Luận văn thạc sĩ về ước lượng metric bergman

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TONG VĂN QUÁN VE ƯéC LƯeNG METRIC BERGMAN LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Năm 2017 TONG VĂN QUÁN VE ƯéC LƯeNG METRIC BERGMAN Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS Ninh Văn Thu Hà N®i - Năm 2017 Mnc lnc Lài cam ơn Danh mnc ký hi¾u Ma đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm chinh hình 1.2 Hàm đieu hịa, đa đieu hịa dưói 1.3 Nhân Bergman, metric Bergman 12 1.3.1 Nhân Bergman 12 1.3.2 Metric Bergman 16 1.4 Các tính chat cna metric Bergman 17 1.5 Hàm peak chinh hinh 19 1.6 Hàm peak đa đieu hịa dưói .19 1.7 Mien gia loi, gia loi ch¾t 19 Chương Dáng đi¾u a biên cua metric Bergman 21 2.1 Dáng đi¾u o biên cna metric Bergman .21 2.2 2.3 2.4 M®t so ưóc lưong L2 cho toán tu ∂ 23 Chúng minh Đ%nh lý 2.1.5 24 Chúng minh cho Đ%nh lý 2.1.1, 2.1.3 26 2.5 Ví du nh¾n xét 30 Ket lu¾n 33 Tài li¾u tham khao 34 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình nghiêm khac cna TS Ninh Văn Thu Thay dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac chân thành đen thay Qua đây, xin gui lịi cam ơn sâu sac tói q thay Khoa Tốn - Cơ Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2015 - 2017, có cơng lao day tơi suot q trình HQc t¾p tai Nhà trưịng Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè ban đong nghi¾p thân men quan tâm, tao ieu kiắn v c v, đng viờn tụi e tụi hồn thành tot nhi¾m vu cna Tơi xin chân thành cam ơn Hà n®i, tháng 11 năm 2017 Tác gia lu¾n văn Tong Văn Quán Danh mnc ký hi¾u KΩ(Z) Nhân Bergman BΩ(z, X) Metric Bergman ρ Hàm peak đa đieu hịa dưói L2(Ω) T¾p hàm bình phương kha tích Ω ǁ·ǁ Chuan L2 H2(Ω) Khơng gian hàm chinh hình L2(Ω) gΩ(z, w) Hàm Green đa cnc H(Ω) T¾p hàm đieu hịa Ω SH(Ω) T¾p hàm đieu hịa dưói Ω PH(Ω) T¾p hàm đa đieu hịa Ω PSH(Ω) T¾p hàm 2đa đieu hịa dưói Ω ∂u Σnj,k=1 j k Lu(a; X) := ∂z ∂z k (a)X X dang Levi j D := B1 = {z ∈ C : |z| < 1} đĩa đơn v% Ma au Cho l mđt mien b% chắn Cn, ký hi¾u KΩ(z) nhân Bergman Ω Metric Bergman đưoc xác đ%nh boi Xj K ∂2Ωlog (z Xk Σ1/2 BΩ(z, X) Σ ) n = X = n Σ Xj∂/∂zj ∈ T j= j·k=1 1,0 ∂zj∂zk ) Gan đây, ngưòi ta chi rang metric (C n Bergman cna m®t mien siêu loi b% ch¾n tùy ý đay đn Đieu tra lịi m®t phan thoa đáng ve tốn cő đien cna Kobayashi: Mien gia loi b% ch¾n Bergman đay đn? Van đe đưoc nghiên cúu r®ng rãi Tuy nhiên, tính Bergman đay đn khơng đam bao rang metric Bergman dan đeu vô cnc z dan tói biên M®t hàm ρΩ đưoc peakzhịa đa đieu hịa dưói m®ttuc điem biên w cna m®t mien neuGQI ρ là0làhàm đa cna đieu dưói Ω,tai vói ρ(w )= ρ(z) < vói MQI Ω\{w M®t cách nhiên, ta0 0 } loi hoi xem liắu Bergman mđtmien gia b%liên ch¾n tn cótrên danΩ đeu đen vơ cnc taimetric m®t điem biên neu ton tai hàm peak đa đieu hịa dưói tai điem N®i dung cna lu¾n văn đưa ket qua riêng sau: n Cho Ω m®t gia loi đieu b% chắn v cho w0(z) Gia su ton tai mđt peak đa hịa so dưói ρC> Ωcho tai w∈0 ∂Ω mà liên tuc taivói whàm , mien nghĩa là, ton tai hang c, γ ≥ −c|z 0MQI − wHolder | z ∈ Ω Khi đó, ta có inf BΩ(z; X) →∞ z → w0 |X| 0ƒ=X∈T Ω 1,0 (Cn) Ket qua đưoc trình bày báo “Boundary behavior of the Bergman metric” cna B.-Y Chen tap chí Nagoya Math J., Vol 168, pp 27–40 [4], khang đ%nh metric Bergman cna mđt mien gia loi b% chắn dan eu en vơ cnc tai m®t điem biên neu ton tai hàm peak đa đieu hịa dưói tai điem Lu¾n văn “Ve ưóc lưong metric Bergman” trình bày lai ket qua báo cna B.-Y Chen Ngoài phan Mo đau, Ket lu¾n, Tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom hai chương Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương chúng tơi trình bày khái ni¾m ban giai tích phúc bao gom đ%nh nghĩa m®t so ví du ve hàm chinh hình, hàm song chinh hình, hàm đieu hịa, hàm đa đieu hịa, nhân Bergman, metric Bergman, tính chat cna metric Bergman, hàm peak chinh hình, hàm peak đa đieu hịa dưói, mien gia loi, mien loi ch¾t Chương Dáng đi¾u a biên cua metric Bergman Chương đưoc giành đe trình bày ket qua ve dáng đi¾u o biên cna metric Bergman vói ket qua ve m®t so ưóc lưong L2 cho tốn tu ∂ M¾c dù het súc co gang van đe nghiên cúu phúc tap kinh nghi¾m nghiên cúu cịn han che nên lu¾n văn có the van cịn nhieu khiem khuyet Trong q trình ĐQc d%ch tài li¾u, viet lu¾n văn xu lý văn ban chac chan không tránh khoi nhung sai sót nhat đ%nh Tác gia rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương chúng tơi trình bày khái ni¾m ban giai tích phúc bao gom đ%nh nghĩa m®t so ví du ve hàm chinh hình, hàm song chinh hình, hàm đieu hòa, hàm đa đieu hòa, nhân Bergman, metric Bergman, tính chat cna metric Bergman, hàm peak chinh hình, hàm peak đa đieu hịa dưói, mien gia loi, mien loi ch¾t Kien thúc cna Chương đưoc tham khao tù tài li¾u [1, 2, 3] 1.1 Hàm chinh hỡnh Gia su l mđt mien cna mắt phang phúc C f hàm bien phúc z = x+iy xác đ%nh Ω Đ%nh 1.1.1 ([1]) Hàm f đưoc GQI C-kha vi tai điem z0 ∈ Ω neu ton tainghĩa giói han f J (z0 f (z0 + h) − f (z0) ) := lim h →0 h h=0 Trong trưịng hop này, ta nói rang f có đao hàm theo bien phúc tai điem z0 Xét vi phân df = ∂f dx ∂f dy (1.1) + ∂y ∂x Đoi vói hàm z = x + iy z = x − iy, ta có dz = dx + idy, dz = dx − idy 1 dx(dz = −(dz + dz), (1.2) dz) 2i dy = The (1.2) vào (1.1), thu đưoc h¾ thúc ∂f Σ df = ∂f +i Σdz −i dz + ∂ ∂f x ∂f ∂ ∂ ∂ y x y Bang cách đ¾t ∂f ∂f 1 Σ ∂f + i Σ = = −i , ∂f ∂f ∂f ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ta thu đưoc ∂f Σ ∂f − ∂f = ∂f ∂f = ∂f ∂ ∂ +∂ , ∂ i ∂ ∂ x z z y z z ta có the viet bieu thúc vi phân (1.1) dưói dang df = ∂f ∂f dz dz + ∂z (1.3) (1.4) ∂z Đ%nh lý 1.1.2 ([1]) Hàm f C-kha vi tai m®t điem chs R2-kha vi tai điem ∂f = ∂z Đ%nh nghĩa 1.1.3 ([1]) Gia su D l mđt mien cna mắt phang phỳc C (i) Hm : Dlõn cắn C oc chsnh vi tai fmđt nàoGQI cnahàm điem z0 hình tai điem z0 neu C-kha (ii) Hàm f : D → C đưoc GQI hàm chsnh hình mien D neu chinh hình tai MQI điem cna mien ay T¾p hop MQI hàm chinh hình mien D đưoc ký hi¾u O(D) (iii)Hàm f (z) chsnh hình tai điem vô neu hàm ϕ(z) = f Σ chinh hình z tai điem z = Ví dn 1.1.4 • Hàm f (z) = z chinh hình t¾p mo bat kỳ C, f J (z) = n ã ton Hm bđ a thúc kỳ p(z) m¾t bat phang phúc=vàa0 + a1z + · · · + anz chinh hình pJ (z) = a1 + · · · + nan z n−1 Ví dn 1.1.5 Hàm f (z) = z khơng chinh hình Th¾t v¾y, ta có f (z0 + h) − f (z0) h = h h khơng có giói han h → neu cho h dan tói theo truc thnc cho h dan tói theo truc ao ta thu đưoc hai giá tr% khác Đ%nh lý 1.1.6 ([1]) Neu f g chsnh hình Ω thì: (i) f + g chsnh hình Ω (f + g)J = f J + gJ (ii) fg chsnh hình Ω (fg)J = f J g + fg J (iii)Neu g(z0) ƒ= f/g chsnh hình tai z0 f ΣJ (z f J (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g J (z0 ) )= g2(z0) quy tac đao hàm hàm Ngồi ra, neu f : Ω → U g g : U → C chsnh hình hap (gf )J (z) = g J (f (z))f J (z) vái MQI z ∈ Ω Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho Ω ΩJ mien cna m¾t phang phúc Hàm f : Ω → ΩJ đưoc GQI song chinh hình neu m®t song ánh chinh hình tù Ω vào ΩJ T¾p hop MQI hàm song chinh hình tù Ω vào ΩJ đưoc ký hi¾u boi O(Ω, ΩJ ) 1.2 Hàm đieu hòa, đa đieu hòa dưái Đ%nhGQI nghĩa 1.2.1 Hàm mien thnc Ωu(x, y) đơn tr% Ωtrong Ω ⊂hàm R2 đưoc hàm đieu ([1]) hòa neu mien cómien đao riêng cap hai liên tuc thoa mãn phương trình ∂2u ∂2u ∆u := + = boi H(Ω) T¾p hop hàm đieu hịa Ω đưoc hi¾u ∂x2ký ∂y (1.5) Ví dn 1.2.2 Hàm (x, y) = tuc ln(xtrên + y22) hàm đieu R2\{(0, hịa 0)} Th¾t v¾y, f f (x, 0)}, đao hàm riêng liên tuc: ∂f y) liên 2x ∂2fR \{(0, 2y2 − 2xcó ∂x = , , = x2 + y2 ∂x2 (x2 + y2)2 Mắnh e 2.2.1 Cho l mđt mien gia loi b% ch¾n Cn cho ϕ đa đieu hòa dưái Ω Cho ψ đa đieu hòa dưái gia su rang ∂∂ψ ≥ ∂ψ∂ψ theo nghĩa phân phoi (m®t cách tương đương, hàm e−ψ đa đieu hịa trên) Khi đó, vái bat kỳ (0, 1)-dang g ∂-đóng Ω ton tai m®t nghi¾m cua phương trình ∂u = g cho |g|2 e−ϕdVn −ϕ Ω ∫ |u| e dVn ≤ C Ω ∫ ∂∂ψ đây, C > hang so v dVn ký hiắu đ o Lebesgue Cn Mo r®ng quan TRQNG cna ket qua đưoc thnc hi¾n boi Diederich - Ohsawa Berndtsson B.-Y Chen su dung phiên ban cna Berndtsson: M¾nh đe 2.2.2 Cho l mđt mien gia loi b% chắn Cn cho ϕ, ψ M¾nh đe 2.2.1 Cho < ν < Khi đó, vái bat kỳ (0,1)-dang g -úng khoang ton tai mđt nghiắm u đe phương trình ∂u = g cho ∫≤ ∫ |g|2 Ω |u| ∂∂ψ e−ϕ+νψdVn ν(1 − −ϕ+νψ e dVn Ω ν)2 2.3 ChÉng minh Đ%nh lý 2.1.5 n Ký cho ϕvói phương m®t hàm đa tích đieu hịaCho dưói Ω hi¾u L2loi (Ω)boi bathm aubỡnh so kha khỏi niắm trờn l mđt mien gia b% ch¾n cata Ω Chuan L đưoc ký hi¾u ǁ · ǁChúng C Ωtat 2 Ký hi¾u H (Ω) khơng gian hàm chinh hình L (Ω) Vói bat kỳ hàm đo đưoc Ω, ta đ%nh nghĩa:= ∫ ǁfǁΩ,ϕ Ω |f |2 e−ϕ dVn Chúng ta nói rang f ∈ L2(Ω, ϕ) neu ǁfǁΩ,ϕ < ∞ Bây giò se chúng minh Đ%nh lý 2.1.5 w = vàminh Ω ⊂cua {|z| < 1} 2.1.5 Theo Khơng gia thietmat cnatính đ%nh lý, vói moita0 có < the s gia log ρ/c) Đ¾t φ = − kéo log(−ρ) Khơng mat tính tőng qt, ta có the su Ω CHQNtam®t cut trơn lóp C ∞ (chúng vanhàm kýJJ≡cat hi¾u cho≡đơn gian) cho χ|(−∞,0) 1, χ|χ 0, J (1,∞) sup |χ | ≤ sup |χ | ≤ Cho < so coΩđ%nh hàm tùy sau:ý Chúng ta xác đ%nhs (z) = χ (− log φ(z) + log(− log gk,w s)) + 1Σ log |z − w| log k vói bat kỳ k > w ∈ Ω Bo đe 2.4.1 Ton tai m®t hang so k0 > (chs phn thu®c vào n, γ) cho vái < sk0/γ ket qua sau bat kỳ w ∈ Ω thóa mãn |w − w0| (i) g ∼ log k0− ,w |z gan ww| (ii) gk ,w(z) + (φ(z) − log(− log |z − w|)) m®t hàm đa đieu hịa dưái Ω 8( n+ 1) Chúng minh Gia sk0/γ k se đưoc xác đ%nh sau Khi su |w − w 0| < đó, ta có k γ | > − γs ρ −| w Vì {z ∈ Ω : gk,w(z) = log |z − w|} ⊃ {z ∈ Ω : ρ(z) > k−s } nên ta có gk,w ∼ log |z − w| gan w Bang tính tốn đơn gian, có đưoc phương trình sau theo nghĩa phân phoi ∂ φ∂ φ lo g | z − w | + χJ (·) + χJ (·)∂∂φΣ JJ ∂∂g = χ (·) ∂ φ∂ φ k, φ log φ log φ w Σ k k χJ (·) log |z − w| ∂ log |z − w| ∂ log |z − w| φ log k |z − + ∂φlog |z − w| − ∂φ log w| + χ(·)∂∂ log |z − w| Quan sát thay rang supp χJ (·) ⊂ {z ∈ Ω : ρ(z) ≤ −sk } k/ γ Tù đó, ta suy ⊂ {z ∈ Ω : |z − w0| ≥ s } |z − w| ≥ |z − w0| − |w − w0| ≥ |z − w0| < sk0/γ Vì the, supp χJ (·) |w − w0 | |φ(z)| = | log(−ρ(z))| ≥ γ| log |z − w0|| ≥ γ| log(2|z − w|)| Theo bat thúc Cauchy-Schwarz, bat thúc sau theo nghĩa phân phoi ±2 Re ∂φ∂ log |z − w| ≥ −∂φ∂φ − ∂ log(− log |z − w|)∂ log(− log |z − log |z − w|) w| Bang cách bo qua so hang nua dương χ(·)∂∂ log |z − w|, ton tai m®t hang so C J > (chi phu thu®c vào γ) cho C J (∂∂φ + ∂∂(− log(− log |z − w|))) log k mien k ≥ e, boi ϕ > log2 Ω, ∂∂ϕ ≥ ∂ϕ∂ϕ ∂∂gk,w(z) ≥ − ∂∂(− log(− log |z − w|)) ≥ ∂ log(− log |z − w|)∂ log(− log |z − w|) Đe hoàn thành chúng minh chi can lay k0 đn lón cho log k0 ≤ C j )8(n+1 Chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 Cho < s w ∈ Ω vói gk0,w Đe cho đơn gian, ký hi¾u gw = gk0,w Cho δ = δ(s) := sup z∈Ω,ρ(z)≥−s |z − w0| κ : R= → [0, 1]đó, δhàm lóp C ∞ cho κ| ρ 2) = peak đa κ| 0.dưói Khi > trơn hàm (1,∞) đieu hịa GQI Chúng ta đ¾t δ → s → 0(−∞,1−log ηw = κ(− log(− log |z − w|) + log(− log δ1/2) + 1) ψw = (φ − log(− log |z − w|)) 1 ϕw = 2(n + 1)gw − log(− log |z − w|) + ψw Theo Bő đe 2.4.1, ϕw đa đieu hịa dưói Ω Bang tính tốn đơn gian, ta 0có ≥ ∂ψ w |).∂∂ψ Đieu wnghĩa w ∂ψ w ∂∂ψ w ≥ ∂ log(− log |z − w0|)∂ log(− log |z − √ |∂ηw |∂∂ψw ≤ sup |κJ | Chú ý rang, supp gw ⊂ {z ∈ Ω : ρ(z) ≥ −s} ⊂ {z ∈ Ω : ηw(z) = 1} ∂ Do đó, ta có ηw(w) = Cho X = |X| Chúng ta áp dung M¾nh đe 2.2.2 ∂z vói ν = , ϕ = ϕw, ψ = ψw đe giai ∂-phương trình ∂u KΩ1/2 (z, w ) w) K Ω∂η (w) = −w Ω Ω vói đánh giá ∫ | (z1 uw Ω | −2(n+1)gw+ e log(− log |z−w|) dV |∂η ≤ 32 ∫ |z1− ∫Ω w ≤ C1 n Ω∩{|z−w0 | hang so chi phu thu®c vào sup |κJ | Vì Ω 2(n + 1)gw − 2(n + 1)gw − log(− log |z − w|) < 2(n + 1) log | z − w| gan w, nên hàm fw −w = mãn log(− log |z − w|) < )ηwKΩ−(z, w) 1/2 uw chinh hình Ω thoa KΩ (w) (z1 Ω1/2 fw(w) = uw(w) = 0, Xfw(w) = |X|K ǁfwǁΩ ≤ (w) KΩ(·, w) ǁΩ −w1) w Ω ǁuwǁΩ 1/2 K ǁ(z1 (w) η ≤ C3δ 1/ + ǁuwǁΩ,2(n+1)gw− log(− log |z−w|) 1/ Đieu có nghĩa ≤ C 4δ −1 −1/4 B (w; X) |X| đ%nh lý đưoc hoàn ≥k0C /γ4 δ Ω thành vói bat kỳ w ∈ Ω vói |z − w0| < s Chúng minh J J chút Tam thịi minh co đ%nh w ∈lýΩ CHQNChi m®tcan điem minh cho |w−w | = lý δ Chúng Đ%nh 2.1.3 suabiên đői w chúng cna Đ%nh Ω (w) 2.1.1 mđt v lắp lai nh chỳng minh ta cnathay Đ%nh 2.1.1 Rõ ràng, ta có γ/k J ρ w Chúng ta l¾p lay slu¾n = (3δ Chúng thelý w bang w , ρ boi Ω (w)) J |w − wJ | phù hop Đe hoàn thành chúng minh, chi can lay τ = γ 4αk0 Chúng minh Hắwqua w1, mđthđi iem ý 0Khi tai mđtJ dãy điem C\Ω,Cho k = 2,∂Ω mà tu tùy tói w khiđó, k ton → ∞ k ∈2.1.2 Cho wk ∈ ∂Ω điem gan wk nhat vói moi k Ta suy Ω ⊂ C\∆(wk , rk ) rk = |wk − wkJ | ∆(x, r) ký hi¾u đĩa có tâm o x vói bán kính r Vì ∂∆(wk , rk ) C ∞, Ω có m®t hàm peak đa đieu hịa dưói liên tuc Holder tai wkJ vói moi k theo rang metric Bergman không the thác trien liên tuc qua w0 Theo kéo Đ%nh lý 2.1.1, metric Bergman dan đeu đen vơ tai wk Đieu 2.5 Ví dn nh¾n xét Ví dn 2.5.1 Cho ϕ hàm đa đieu hịa dưói liên tuc Holder Cn Xét mien sau Ω = {z ∈ Cn : r(z) = |z1|2/α1 + |z2|2/α2 + + |zn|2/αn + ϕ(z) < 0} αmà j > 0, j = 1, 2, , n Neu ϕ ≡ −1 Ω m®t mien Reinhardt đưoc nhieu tác gia nghiên cúu Bây giò cho p điem biên bat kỳ Khơng mat tính tőng qt, ta có the gia su rang pj ƒ= neu ≤ j ≤ l pj = neu j > l vói so ngun dương l Chúng ta lay m®t lân c¾n mo U cna p cho zj khơng tri¾t tiêu o vói ≤ j ≤ l Vói moi z ∈ Ω ∩ U ta có 1/αj −r(z) + |zj |2/αj > j1/α |z |2 1/α 1/αj 1/αj 1/αj j j = |z −p | + Re p (z −p ) + |pj |2/αj j j j j j vói ≤ j ≤ l Đ¾t 2/α 1/αj j j p r(z) − |z | 2/α Re Chú ý rang, r( z) − j|zj | (z 1/αj −p 1/αj ) + |pj |2/αj neu neu ≤l.j ≤ l j > j j j ρj (z) 2/αj+1 2/α r(z) |z |2/αjra=rang |z1 |2/α + đa đieu + |zhòa |2/αj−1trên + |zΩ j +và|zthoa j−1dưói j+1 n| +−ϕ(z) Tù nđó, tajsuy ρj ∩| U vói+moi mãn 1/αj ρj (z) ≤ 1/αj −|z j − p j −|zj | 2/αj | neu ≤ j ≤ l neu j > l Cho ρ = Σn j= rõ ρj Thì ρ hàm peak đa đieu hịa dưói Ω ∩ U tai p ràng, liên tuc Holder U Đe có đưoc hàm peak đa đieu hịa dưói tồn cuc, ta lay ρ˜ = max{ρ, −δ} vói hang so co đ%nh phù hop δ > 0, mo r®ng ρ thành hang so −δ tai nơi khơng đưoc đ%nh nghĩa Như v¾y Đ%nh lý 2.1.1 có the áp dung đưoc Ví dn 2.5.2 Cho Ω đưoc đ%nh nghĩa Hơn nua, gia su < αj ≤ vói MQI ≤ j ≤ n Cho p điem biên bat kỳ Lưu ý rang vói bat kỳ z ∈ Ω, ta có (−r(z) + |zj |2/αj )αj > |zj |2 = |zj − pj |2 + Re pj (zj − pj ) + |pj |2 , ≤ j ≤ n Đ¾t ρj,p = |pj |2 + Re pj (zj − pj ) − (−r(z) + |zj |2/αj )αj Rõ ràng rang hàm ρj,p đa đieu thúc hịa dưói < αj ≤ 1, bat −ρj,p (z) > |zj − pj |2 trên Ω V¾y hàm ρp := j= Σn ρj,p hàm peak đa đieu hịa dưói thoa mãn gia thiet cna Đ%nh lý 2.1.3 boi r liên tuc Holder Cn Đ%nh lý 2.1.3 đưoc áp dung Nh¾n xét 2.5.3 Neu cho ϕ ≡ −1 ví du Ω loi hàm đưoc xác đ%nh boi r˜(z) = sup (ρp (z) + |z − p|2 )Σ∗ p∈∂Ω (trong * the hi¾n phép quy hóa nua liên tuc trên) m®t hàm đa đieu hịa dưói Ω vói đieu sau (i) −CδΩα (z) ≤ r˜(z) < α = min{α1 , α2 , , αn }; (ii) ∂∂r˜ ≥ ∂∂|z|2 theo nghĩa phân phoi α/2 (z).cna Kettrên hopcác m®t ket loi qua nőithe tieng rang Caratheodory trùng Dna vào ket qua Sibony, có dưói Kobayashiln boi vói C|X|/δ metric Kobayashi mien vóich¾n thnc temetric metric metric Bergman Ω ln nho metric Caratheodory, l¾p túc ta thu oc mđt úc long chắt cho metric Bergman B(z; X) ≥ C|X|/δ α/2 Ω (z) Ví dn 2.5.4 Diederich-Ohsawa thu đưoc m®t ưóc lưong đ%nh lưong khoang cách Bergman cho mien gia loi b% ch¾n Cn , có ton tai m®t hàm lóp C ∞ b% ch¾n, vét can (exhaustion), đa đieu hịa dưói ρ Ω cho 1/c c δ (z) ≤ −ρ(z) ≤ c δ (z) Ω c1 Ω vói hang so thích hop c1, c2 > Vói phương pháp su dung đe chúng minh Đ%nh lý 2.1.1, đieu ki¾n có the b% làm yeu thành chi gia su sn ton tai cna m®t hàm đa đieu hịa dưói, vét can, b% ch¾n mà liên tuc Holder Ω Ket lu¾n Lu¾n văn “Ve ưóc lưong metric Bergman” giai quyet van đe sau: Chương trình bày khái ni¾m ban giai tích phúc bao gom đ %nh nghĩa m®t so ví du ve hàm chinh hình, hàm song chinh hình, hàm đieu hòa, hàm đa đieu hòa, nhân Bergman, metric Bergman, tính chat cna metric Bergman, hàm peak chinh hình, hàm peak đa đieu hịa dưói, mien gia loi, mien loi ch¾t Bergman vói đe kettrình qua bày ve m®t so ưóc lưong cho cna tốn tu ∂ Chương đưoc giành ket qua ve dáng đi¾uLo biên metric Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Thny Thanh (2006), Cơ sá lý thuyet hàm bien phúc, NXB Đai HQc quoc gia Hà N®i Tieng Anh [2] Marek Jarnicki and Perter Pflug (1993), Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter [3] Piotr Jakóbczak and Marek Jarnicki (2016), Lecture on holomorphic functions of several complex variables, Jagiellonian University [4] B.-Y Chen (2002), “Boundary behavior of the Bergman metric”, Nagoya Math J., Vol 168, pp 27–40 [5] Z Blocki (2010), The Bergman kernel and metric, PHD course, Jagiellonian University ... dưói 1.3 Nhân Bergman, metric Bergman 12 1.3.1 Nhân Bergman 12 1.3.2 Metric Bergman 16 1.4 Các tính chat cna metric Bergman 17 1.5 Hàm peak chinh... Kobayashiln boi vói C|X|/δ metric Kobayashi mien vóich¾n thnc temetric metric metric Bergman Ω ln nho metric Caratheodory, l¾p túc ta thu oc mđt úc long chắt cho metric Bergman B(z; X) ≥ C|X|/δ... đieu hòa, nhân Bergman, metric Bergman, tính chat cna metric Bergman, hàm peak chinh hình, hàm peak đa đieu hịa dưói, mien gia loi, mien loi ch¾t Chương Dáng đi¾u a biên cua metric Bergman Chương