Hình học tổ hợp với các phương pháp chứng minh

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUY€N ĐÚC ĐAC HÌNH HOC TO HeP VéI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÚNG MINH LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUY€N ĐÚC ĐAC HÌNH HOC TO HeP VéI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÚNG MINH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 8460101.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS Nguyen Huu Đien Mnc lnc Lài nói đau Chương Tong quan ve phương pháp chúng minh 1.1 Phương pháp quy nap 1.2 Phương pháp phãn chúng 1.3 Nguyên lý Dirichlet 1.4 Nguyên lý cnc han 3 10 Chương Các phương pháp chúng minh cho tốn hình HQC to hap 2.1 Tőng quan ve hình HQC tő hap 2.2 V¾n dnng phương pháp quy nap 2.3 V¾n dnng phương pháp phãn chúng 2.4 V¾n dnng nguyên lý Dirichlet 2.5 V¾n dnng nguyên lý cnc han 13 13 15 18 20 24 Chương Úng dnng phương pháp theo đe hình HQC Các tốn thi Olympic ngồi nưác 3.1 H¾ điem đưàng cong 3.1.1 Nh¾n xét ve v¾t the loi 3.1.2 Đem giao điem 3.1.3 Đem so tam giác 3.1.4 Đem so đa giác 3.1.5 Các tốn vái h¾ điem đưàng thang 3.1.6 Các tốn vái h¾ đoan thang 28 28 28 32 35 37 39 41 i 3.2 3.1.7 Các toán vái đa giác không loi H¾ đưàng cong mien ii 43 48 3.2.1 Chia m¾t phang bang h¾ đưàng 49 3.2.2 Chia m¾t phang bang đưàng cong kín 3.2.3 Chia m®t đa giác loi 3.2.4 Chia không gian 58 3.3 Phép phu đóng gói 3.3.1 Các đoi tưang phu 3.3.2 Phép phu vái h¾ hình trịn bang 3.3.3 Bài tốn ve đóng gói 3.4 Phép tô màu 3.4.1 Màu cua điem 3.4.2 Tô màu mien 3.4.3 Tô màu bàn cà 3.5 Các tốn thi Olympic ngồi nưác 53 55 59 59 62 65 67 67 70 72 74 Ket lu¾n 85 Tài li¾u tham kháo 86 Lài nói đau Hình HQC t hap l mđt bđ phắn cua hỡnh HQC núi chung m®t nhánh cua tő hap Nhung tốn cua Hình HQC tő hap thưàng liên quan nhieu đen đoi tưang t¾p hap huu han Vì the tốn mang đ¾c trưng rõ nét cua tốn HQC rài rac Các tốn hình HQC tő hap rat đa dang ve n®i dung phương pháp giãi Nhieu toán phát bieu đơn giãn, có the thay đe giãi đưac can trang b% nhung kien thúc riêng ve hình HQC tő hap hình HQC Khi tốn se trã nên rat de dàng Tuy nhiên có nhung địi hõi kien thúc chun sâu, th¾m chí có nhieu tốn hình HQC tő hap tőng qt cho khơng gian van chưa có lài giãi Hình HQC tő hap ã nưác ta đưac coi n®i dung dành cho HQC sinh khá, giõi b¾c Trung HQC CƠ sã thưàng xuyên xuat hi¾n đe thi HQC sinh giõi, đe thi tuyen sinh THPT chuyên, đe thi Olympic truyen thong 30/4, đe thi Olympic Tốn quoc te Vì v¾y lu¾n văn em xin trình bày đe tài: “Hình HQC to hap vái phương pháp chúng minh” Trong luắn ny em a mđt so phng phỏp chúng minh thưàng su dnng cho tốn hình HQC tő hap úng dnng cua phương pháp vào chúng minh tốn theo chu đe, có đe thi tuyen sinh vào láp 10 chuyên, thi HQC sinh giõi nưác thài gian qua Bo cnc cua lu¾n văn gom ba chương: Chương Tong quan ve phương pháp chúng minh Chương trình bày phương pháp bãn đưac v¾n dnng đe giãi tốn nói chung như: phương pháp quy nap, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cnc han Ngoài phương pháp phãn chúng đưac su dnng nhieu đan xen phương pháp khác Chương Các phương pháp chúng minh cho tốn Hình HQC to hap Chương đưa tőng quan ve Hình HQC tő hap ví dn minh HQA cách áp dnng phương pháp chúng minh cho tốn Hình HQC tő hap Chương Úng dnng phương pháp theo đe hình HQC; tốn thi HQC sinh giói, thi Olympic ngồi nưác Chương đưa m®t so tốn Hình HQC tő hap theo chu đe như: Bài tốn ve h¾ điem đưàng cong; tốn đưàng cong mien; tốn phu hình bao hình; tốn tơ màu; tốn có đe thi HQC sinh giõi láp tinh, đe thi tuyen sinh THPT chuyên, đe thi Olympic Tốn Đe hồn thành đưac lu¾n văn này, em xin đưac gui lài cãm ơn sâu sac tái PGS TS Nguyen Huu Đien dành thài gian hưáng dan, chi bão, t¾n tình giúp em q trình xây dnng đe tài hồn thi¾n lu¾n văn Em xin đưac gui lài cãm ơn chân thành tái Ban giám hi¾u, phịng sau Đai HQC, khoa Tốn - Cơ - Tin HQC trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên - Đai HQC Quoc gia Hà N®i tao đieu ki¾n thu¾n lai cho em suot q trình HQC t¾p tai trưàng Em xin cãm ơn gia đình, ban bè tat cã MQI ngưài quan tâm, tao đieu ki¾n, giúp em hồn thành lu¾n văn M¾c dù có nhieu co gang thài gian khã có han nên van đe lu¾n văn van chưa đưac trình bày sâu sac khơng the tránh khõi có nhung sai sót cách trình bày Rat mong đưac sn góp ý xây dnng cua thay cô ban Em xin chân thành cãm ơn! Hà N®i, ngày 28 tháng năm 2018 HQC VIÊN Nguyen Đúc Đac Chương Tong quan ve phương pháp chúng minh Chương li¾t kê phương pháp đien hình đưac v¾n dnng đe giãi tốn trung HQC phő thơng như: phương pháp quy nap, phương pháp phãn chúng, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cnc han Mői phương pháp đưac trình by đc lắp nhng su dnng chỳng an xen phương pháp khác ta giãi đưac nhieu t¾p hay thú v% 1.1 Phương pháp quy nap Phương pháp quy nap có vai trị vơ quan TRQNG tốn HQC, khoa HQC Và cu®c song Đoi vái nhieu tốn chương trình tốn phő thơng nhung tốn logic, túc nhung tốn khơng mau mnc, phương pháp quy nap cho ta nhieu cách giãi huu hi¾u Suy dien q trình tù “tính chat” cua t¾p the suy tính chat cua cá the, nên ln ln đúng, cịn q trình ngưac lai, túc q trình quy nap: tù “tính chat” cua mđt so cỏc the suy tớnh chat cua the khơng phãi lúc đúng, mà q trình chi thõa mãn m®t so đieu ki¾n đó, túc thõa mãn ngun lý quy nap: Neu khang đ%nh S(n) thõa mãn hai đieu ki¾n sau: (a) Đúng vái n = k0 (so tn nhiên nhõ nhat mà S(n) xác đ%nh) (b) Tù cuat)S n can = t chúng (ho¾cminh đoi vái MQI giá tr% cuatính n (đúng k0 ≤đan n ≤ ) ((n t )≥đoi k0vái ), ta tính đan cua S(n) đoi vái n = t + Khi S(n) vái MQI n ≥ k0 Giã∀su khang đ%nh S(n ) xác đ%nhthnc vái MQI ≥ thai Đe chúng minh S ( n ) n≥ t0 bang quy nap ta can hi¾n ntheo bưác sau: Cơ sá quy nap: chúng minh rang S(n) vái so tn nhiên n = t0 Quy nap: su nkhang = t (ho¾c đoi vái MQI n (giã t0 ≤ ≤ t)đ%nh ) (t ≥St(0n ).)Trên sãđen giã n thiet ta chúng minh tính đan cua S(n) đoi vái n = t + 1, túc S(t + 1) Neu thìquy theo nguyên lý quy n) cã váihai ∀nbưác ≥ t0trên Giã thõa thiet mãn, ã bưác nap rang m¾nh đe nap đúngS(vái n = t đưac GQI giã thiet quy nap Ví dn 1.1.1 Chnng minh rang m¾nh đe S(n) sau vái tat cã so tn nhiên n n(n + 1) 0+1+2+···+n= Giãi Cơ sã quy nap: Ta có S(0) bang · (0 + ) 2 0= Hai ve bang nên m¾nh đe vái n = Vì v¾y S(0) Quytúc nap: S(k + 1) đúng, Giã su S(k) đúng, ta phãi chúng(kminh + 1)((k + 1) + 1) 0+1+2+···+k+k+1= Su dnng giã thiet quy nap rang S(k) đúng, ve trái có the viet thành k(1 k)+ k(k + 1) + 2(k + 1) + (k + 1) 2 = (k + 1)(k + 2) = (k + 1)((k + 1) + 1) = V¾y S(k + 1) Vì cã bưác sã quy nap bưác quy nap đưac thnc hi¾n, m¾nh đe S(n) vái MQI so tn nhiên n Q Ví dn 1.1.2 Cho x + so nguyên dương n, so , xƒ = m®t so nguyên Chnng minh rang vái MQI x T(n, x) = xn + xn so nguyên Giãi Bài toán đưac giãi quyet bang quy nap Cơ sã quy nap: Vái n = 1, theo giã thiet ta có T(1, x) = x + so x nguyên, nên khang đ%nh 2.Quy nap: Giã su vái n = k khang đ%nh đúng, nghĩa T(k, x) = xk + xk so nguyên Vái n = k + so T(k + 1, x) = xk+1 + xk+1 1 = x + x Σ.xk + x Σ − xk−1 + xk− Σ 1 1 Theo giã thiet quy nap, so x + , xk−1 + , xk + đeu nguyên x xk−1 xk nên T (k + 1, x ) so nguyên khang đ%nh vái MQI so nguyên dương n Q n Ví dn 1.1.3 Chnng minh rang A(n) = + 3n − chia het cho vái MQI so tn nhiên n Giãi Bài toán đưac giãi quyet bang quy nap Cơ sã quy nap: khang đ%nh đúng.Vái n = 0, ta có A(0) = chia het cho 9, nên Quy nap: Giã su A(k) chia het cho vái k ∈ N Ta se chúng minh A(k + 1) chia het cho Th¾t v¾y, ta có A(k + 1) = 7k+1 + 3(k + 1) − = 7A(k) − 9(2k − 1) Theo giã9.thiet thìhet A(cho k) chia cho 9, dó A(k + 1) chia het cho V¾y quy A(nnap ) chia váihet MQI so tn nhiên n Q 216/3 = 72 cắp ụ phói cựngcựng mđt mđt mu cđt, Vỡ (12 66so ta có bat thúc Σ + Σ > Σ + Σ a b a+1 b−1 có ít2nhat 122· (4) = 72 nhat ô đen, ô đen, ã Saubon m®t so bỏc huuúhan, ta cú ac mđt bn c cắp mà mői c®tkhi có bàn cà ban đau so không nhõ 3.5 Các tốn thi Olympic ngồi nưác Bài 3.5.1 (VMO 2011, [2]) Cho ngũ giác loi ABCDE √ có đ® dài mői canh đ® dài đưàng chéo AC, AD khơng vưat q Lay 2011 điem phân bi¾t tùy ý nam ngũ giác Chnng minh rang ton tai m®t hình trịn đơn v% tâm nam canh cua ngũ giác cho chna nhat 403 điem so điem lay Giãi Đe chúng minh khang đ%nh cua toán, ta se chúng minh có the phu ngũ giác ABCDE bãi hình trịn đơn v% có tâm nam canh cua ngũ giác Ta có bő đe sau: √ Bo đe Có the phu tam giác XYZ có đ® dài canh khơng vưat q bãi hình trịn đơn v% có tâm nam tai đinh cua tam giác Chnng minh Giã su ngưac lai, ton tai điem M thu®c tam giác XYZ mà M khơng thu®c bat cú hình trịn hình trịn đơn v% có tâm nam tai đinh cua tam giác Khi đó, ta có MX > 1, MY > MZ > De thay, ba góc X^MY, Y^MZ Z^MX phãi có nhat m®t góc có so đo lán hay bang 120◦ Khơng mat tính tőng quát, giã su X^MY ≥ 120◦ Áp dnng đ%nh lý cosin cho tam giác XMY vái ý rang cos X^MY ≤ − , ta đưac XY = MX + MY − 2MX · MY cos X^MY > + = 1+2· Suy XY > √ 3, trái vái giã thiet Do tam giác ABC, ACD ADE có đ® dài canh khơng √ v% (A), (B), (C) , (A), (C), (D) (A), (D), (E) ba hình trịn đơn Do vưat q nên theo bő đe trên, Σ chúng lan lưat Σ đưac phu bãi b® đó, ngũ giác ABCDE đưac phu bãi Σ hình trịn đơn v% có tâm nam tai đinh cua ngũ giác Theo nguyên lý Dirichlet, hình trịn phãi ton tai hình trịn chúa nhat 403 điem so điem lay Q Bài 3.5.2 (IMO 2014, [2]) Cho đa giác đeu có 103 canh Tơ màu đõ 79 đinh cua đa giác tô màu xanh đinh cịn lai GQI A so c¾p đinh đõ ke B so c¾p đinh xanh ke a) Tìm tat cã giá tr% có the nh¾n đưac cua c¾p (A, B) Xáctơđ%nh cách tơ màu đinhneu cuachúng đa giác = 14 Biettnrang haib) cách màu so đưac xem có đe theBnh¾n đưac qua m®t phép quay quanh tâm cua đưàng trịn ngoai tiep đa giác Giãi So đinh = 103 79 b% = 24 tat cãthì cácAđinh đõ chnm a) thành m®tmàu cnmxanh A 78,−neu cat đinh thành Neu hai cnm = 77 sát nhau) A = 79 − k Neu có k cnm đõ có k cnm xanh, nên cú the: Túc neu có k cnm (mői cnm đinh màu đõ B= tat cã.24 − k Các giá tr% có the cua k tù đen 24, nên có 24 khã Đe có = 14 so k= 10chia (phãi đõ b) thành 10 B cnm) Đem cách nhưchia the.đinh xanh thành 10 cnm, đinh Ta thu đánh so cnm xanh tù đen 10, bat đau tù m®t cnm đong ho) x1 , x2,tu cua , x10 10 Khi so y1 = x1 , y2 = x1 + x2 , , y9 = G QI so phan cnm (theo thú tn vịng trịn thu¾n chieu kim x1 + · · · + x9 (y10 = 24 co đ%nh, khơng tính), so dương khác tù đen 23 (không the 24) Có C92 cách CHQN so tù 23 so Như v¾y có cách chia 24 đinh xanh3thành 10 cnm (có xep hàng) C9 Tương tn v¾y, có C cách chia đinh đõ Nh¾n vái đưac2CC97 cách xep hàng Mői cách 8cho m®t cách tơ màu: đau tiên xep cnm 13đinh xanh, roi cnm đinh đõ, roi đen cnm đinh xanh, (Vì có the quay vịng trịn, nên ta có the coi “điem bat đau” điem đau cua cnm đinh xanh) Hai cách xep khác ã khơng trùng quay vịng trịn Th¾t v¾y, so 79 so ngun to nên se khơng có hai cách trùng Do v¾y so cách se C29 C79 Nhưng có 10 cách CHQN điem bat đau (vì có 10 cnm đinh xanh) cho m®t cách tơ màu, nên phãi chia so C9 C9 9 cho 10, đưac ket quã cuoi 23 78 Q C23C78 Bài 3.5.3 (Putnam 1996) Xác đ%nh so A nhõ nhat cho vái hai hình vng bat kỡ cú tng diắn tớch bang 1, ton tai mđt hình chđ nh¾t có di¾n tích bang A thõa mãn đieu ki¾n: hai hình vng nói có the đưac xep nam hồn tồn hình chđ nh¾t mà phan cua chúng không đè lên nhau, canh cua hình vng song song vái canh cua hình chđ nh¾t Giãi Vái hai hình vng có tőng di¾n tích bang nói ã đe bài, GQI x đ® dài canh cua m®t hình, ta có √ x≥ √ √ ≥ − x2 √ x x + − x2 có di¾n tích f (x) = x2 + x − x2 Ta có Khi đó, hình chu nh¾t nhõ nhat chúa chúng nói se có canh √ − − x 2, 1−x √ f J ( x) 2x x2 = + f J ( x ) = ⇔ 8x4 − 8x2 + = ⇔ x2 = Tù đó, x = √ + √ + , thay vào ta đưac giá tr% can tìm A = f ( x ) = (1 + 2) Q Bài 3.5.4 (IMO 1964 [6]) Trong m¾t phang cho điem Nhđng đưàng thang noi nhđng điem khơng song song, khơng vng góc khơng trùng Qua mői điem cho, ke nhđng đưàng vng góc vái tat cã đưàng thang qua bon điem cịn lai Tìm so lưang lán nhat nhñng điem cat cua nhñng đưàng vng góc, khơng tính điem cho Giãi Bon điem xác đ%nh đ%nh = đưàng thang Suy tù mői điem C2 nhung cho có the ke đưac đưàng vng góc, vắy tng cđng l 30 ng vuụng gúc So lang nhung điem cat nhung đưàng vng góc = 435 So lưang phãi trù nhung điem sau: C2 nghĩa 75 (điem) • So lưang 5C nhung điem khơng tính = mői c¾p năm điem cho, • Tù hai điem đưàng vng góc xuong m®t đưàng đưàng thang chúng song song vái không cat nhau, ta GQI nhung điem nhung điem b% mat So lưang nhung điem b% mat tù nhung đưàng thang song song vng góc vái đưàng thang qua (5 − 2) = (điem) lai Suy mat C2 =3 (điem) V¾y tőng mat à C25 = 30 (iem) ã Cắp nm điem cho lay theo b® ba xác đ%nh C35 = 10 (tam giác) Tai mői trnc tâm mat hai điem tőng so mat 20 điem Suy so lưang lán nhat nhung điem cat 435 − 75 − 30 − 20 = 310 (điem) Q Bài 3.5.5 (IMO 1974 [6]) Ta xét nhđng cách chia bàn cà quoc te cã × thnh p hỡnh chủ nhắt, tnng ụi mđt khụng có điem chung, chúng thõa mãn nhđng đieu ki¾n sau: i) Mői hình chđ nh¾t tao bãi nhđng ngun chna trang có bay nhiêu đen; ii) Neu so lưang nhđng trang hình chđ nh¾t thn i, a1 < a2 < a3 < < ap Hãy tìm giá tr% lán nhat cua p, vái nhđng cách chia v¾y ton tai, vái so cnc đai cua p v¾y, tìm tat cã dãy a1, a2, , a p mà chúng the hi¾n cách chia vái nhđng tính chat Giãi Tù ii) đieu ki¾n tốn ta có ≥ p 1(p và+ vì1the ) 32 = a1 + a2 + · · · + ap ≥ Tù suy p ≤ Ta viet tat cã nhung khã xãy cho sn phân tích 32 thành tőng cua so tn nhiên khác nhau: 1.32 = + + + + + + 11, 2.32 = + + + + + + 10, 3.32 = + + + + + + 9, 4.32 = + + + + + + 9, 5.32 = + + + + + + Trưàng hap khơng the thành hi¾n thnc, bàn cà có ì khụng ton tai hỡnh chu nhắt vái 22 Nhung trưàng hap cịn lai đeu thnc hi¾n đưac de dang dnng đưac nhung ví dn tương úng: 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 5 6 2 5 6 4 4 4 4 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 7 2 1 6 2 5 6 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 4 4 6 7 4 4 6 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 6 5 1 7 6 5 Q Bài 3.5.6 (IMO 1987 [6]) Cho n m®t so nguyên lán ho¾c bang Chnng minh rang ton tai t¾p n điem m¾t phang cho khỗng cách giđa hai điem bat kì m®t so vơ ti v mi ba iem xỏc %nh mđt tam giỏc khơng suy bien vái di¾n tích hđu ti Giãi Xét t¾p hap n điem m¾t phang S = {(x, x2) | x = 1, 2, , n} Khỗng cách cua hai điem bat kì A(a, a2) B(b, b2) S 2 2 d (A, B) = (a − b) + (a − b ) = |a − b| + ( a + b )2 Do a + b > + (a + b)2 không phãi so phương, tù d(A, B) so vơ ti Nhưng di¾n tích cua tam giác bat kì có ba đinh S: A(a, a2), B(b, b2) C(c, c2) vái a < b < c a a b b2 = c c (b − a)(c − a)(c − b) so huu ti khác khơng V¾y S t¾p can tìm Q Bài 3.5.7 (IMO 1999 [6]) Hãy tìm tat cã nhđng t¾p hap hđu han S có nhat ba iem thuđc mắt phang cho vỏi tat có nhủng điem khác A, B thu®c S, đưàng trung trnc cua AB trnc đoi xnng cho S Giãi T¾p có khã đa giác đeu n canh (n > 2) Ký hi¾u A1, A2, , Ak nhung đinh cua bao loi cua S (và lay nhung chi so mod k can thiet) Ta chi trung rang chúng taoAra A m®t đa giác loi k canh Ak+1 phãi nam trênseđưàng trnc cua i i+2 (ngưac lai, điem đoi xúng cua se nam ngồi bao loi) Do đó, canh bang Tương tn Ai+1 Ai+2 phãi đoi xúng vái đưàng trung trnc cua Ai Ai+3 (ngưac lai, m®t nhung điem đoi xúng se nam bao loi) Do tat cã nhung góc đeu bang Batdo kìđó trnc xúng chotâm S phãi trnc đoi đeu xúngk cho AiGiã ,i = k, nóđoi phãi qua C cua đa giác canh su1, X , mđt hoắc bờn thuđc mđt tamphan giỏc Ai Ai+ giác đay, CKhi phãi đưàng 1Ck-đa tròn điem S cua đó,lànótâm nam canh ngoai tiep tam Ai Ai+trnc namcua trênS), banhư tâm v¾y đưàng trnc,trên 1X (vì mà chúng phãigiác nhung đoinó xúng X trung phãi nam đưàng C, qua Ai Ai+1 Nhưng tat cã nhung điem tam giác Aitròn Ai+tâm 1X thnc sn nam đưàng tròn này, ngoai trù Ai Ai+1 V¾y X khơng the phan cua k-đa giác Q Bài 3.5.8 (VMO 2017) Cho so ngun n > Bãng vng ABCD kích thưác n × n gom n2 vng đơn v%, mői ô vuông đơn v% đưac tô bãi m®t ba màu: đen, trang, xám M®t cách tơ màu đưac GQI đoi xnng neu mői có tâm đưàng chéo AC đưac tơ màu xám mői c¾p đoi xnng qua AC đưac tơ màu đen ho¾c màu trang Ngưài ta đien vào mői ô xám so 0, mői trang m®t so ngun dương mői đen m®t so ngun âm M®t cách đien so v¾y đưac GQI k-cân đoi (vái k nguyên dương) neu thõa mãn đieu ki¾n sau i) Mői cắp ụ oi xnng qua AC ac ien cựng mđt so nguyên thu®c đoan [−k, k] ii) Neu m®t hàng m®t c®t giao tai đen t¾p so ngun dương đưac đien hàng v cỏc so nguyờn dng ac ien trờn cđt khơng giao nhau; neu m®t hàng m®t c®t giao tai trang t¾p so ngun âm đưac đien hàng t¾p so ngun âm đưac đien c®t khơng giao a) Vái = 5, tìm giá nhõ nhat bên cua dưái k đe ton tai cách đien so k-cân đoi cho n cách tơ màu đoitr% xnng ã hình b) Vái n = 2017, giáđien tr%so nhõ nhatđoi cua k đe vái MQI cách tô màu đoi xnng, ton taitìm cách k-cân ihàng = 1,Giãi 2, 3, 4,QI5.A Theo hình cua đe bài, ta can có A1 ∩ A3 = ∅ a) G i lan lưat t¾p hap so nguyên dương hàng i vái 1, c®t giao tai đen c®t giong hàng Tương tn, A1 ∩hàng A4 = A3 ∩5 Athõa = Ngoài ra, hàng 1, c®t có chung trang ã góc nên 1, , hàng mãn A1 ∩ A5 ƒ= ∅ tương tn A3 ∩ A4 ƒ= , A4 ∩ A5 ƒ= ∅ het, k = khơng đu khơng the đien so đe cho A1 ∩ ATrưác = ∅ Giã su vái k = đien đưac, | A1 | = neu | A1 | = khơng cịn so đe CHQN cho A3 Gãi su A1 = {1} A3 = A4 = {2}, A5 = {1} Nhưng ý rang A4 ∩ A5 ƒ= ∅ nên mâu thuan Suy k ≥ Ta se chúng minh k = thõa vái cách đieu sau: ke,Trưác het, v% (i, tơ j) se đưac đen neu ibàn + jcà, chan, b) trang Đieu đen ki¾nxen can: xéttrí cách màu đoitơxúng túc ngưac lai tô trang Xét hai ô trang bat kỳ bãng ô vuông sau ã v% trí (a, b) (c, d), ≤ a, b, c, d ≤ 2017 Neu a + c chan b + d chan, suy a + d b + c le Khi đó, m®t hai (a, d) (b, c) se đưac tơ đen chúng khơng the nam đưàng chéo màu xám Suy hai ô vuông trang phãi đưac đien so khác a ràng + c ta le có thìthe b+ cũngl¾p le, lu¾n xét ô (d, cđe ) đien (c, d) Neu rõ áp ddnng suy hai so so vái đienơ cho hai khác Tù suy tat cã so đien cho ô trang nam ã nua bên phãi cua bãng ụi mđt phõn biắt Do ú, ta thu ac ket quã k ≥ + + · · · 2016 100 1009 8· 20172 − + + = = 2017 −1 Đieu se chúng minh = vá iM thõa mãn tốn bang ki¾n quyđu: napTarang ket quã trênrang cũngkđúng , ,QI bãng có kích thưác n × n vái n so nguyên dương, cn the k = n Th¾t v¾y, vái n = 1, n = 2, n = 3, ta de dàng kiem tra đưac ket quã tương úng Xét n ≥ giã su rang khang đ%nh vái MQI so nguyên dương bé n Đánh so hàng tù → n c®t → n Ta se chúng minh rang vái MQI v% trí cua đen ton tai cách đien so nguyên dương không vưat q k n vào trang cịn lai bãng (trưàng hap đien so âm tương tn tính bình đang) Xét đo th% G = (V, E) mà V t¾p hap đinh, đinh thú i úng vái hàng thú i ≤ i ≤ n; cịn E t¾p hap canh, có canh noi tù đinhTathú i đen thú j neu tai ô (i, j) ô (j, i) ô màu trang phát bieuđinh bő đe sau: Bő đe (Đ%nh lý Mantel-Turan) Xét m®t đo th% đơn vơ hưáng có , n,đinh k canh Khi đó, neu đo th% khơng có chúa tam giác k ≤ n42 Áp dnng vào toán, ta xét trưàng hap sau: Neu ,đo th% , G khơng có chúa tam giác, theo , bő , đe se có khơng q n2 n2 canh, nghĩa có khơng q trang nên có the dùng , 4, k = 4n2 so nguyên dương đien vào (cho dù v% trí cua đen the nua) váiđonhau m®t Đieu nàygiã tương úng váia, vi¾c (a, b),đưac (b, c),noi Neu th%đơi G có chúa tamnày giác, su đinh b, c phân bi¾t (c, a) (b, a), (c, b), (c, b), (a, c) giao điem cua hàng a, b, c đeu đưac tơ màu trang Khi đó, so đien vào khơng can phãi phân bi¾t t¾p hap trang (neu có) cịn lai hàng a, b, c không can phãi rài Rõ ràng mői hàng se lai không n − ô the Khi đó, ta có the dùng so đe đien vào ô trang ã dùng không n − so phân bi¾t đe đien vào mői cịn lai cua mői hàng Neu khơng tính hàng a, b, c, ta lai n − hàng, su dnng , , ( n− ) so nguyên dương phân giã thiet quy nap can khơng q bi¾t cho hàng Do đó, trưàng hap này, so lưang so nguyên dương phân bi¾t can dùng khơng vưat q 1+n− Tóm lai, MQI , , , , ( n − 3) = ( n − 3) + 4( n − ) 4 , 2, n ≤ =, , 4 ( n − 1) , , trưàng hap, ta đeu can su dnng không so ngun dương phân bi¾t đe đien vào trang hay nói cách khác n2 , , k= thõa mãn đe vái bãn n × Theo nguyên lý quy nap khang đ%nh đưac chúng minh V¾y giá tr% tot nhat can tìm cua k 20172−1 n Q n2 Ket lu¾n Vái mnc ớch giỏi thiắu mđt so phng phỏp chỳng minh thng su dnng cho tốn hình HQC tő hap úng dnng cua phương pháp vào chúng minh tốn theo chu đe, lu¾n văn đat đưac nhung ket quã ban đau sau: • Trình bày phương pháp bãn đưac v¾n dnng đe giãi tốn nói chung như: phương pháp quy nap, phương pháp phãn chúng, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cnc han • Áp dnng phương pháp quy nap, phãn chúng, nguyên lý Dirich- let, nguyên lý cnc han cho tốn hình HQC tő hap • Trình bày tőng quan ve hình HQC tő hap giãi m®t so tốn hình HQC tő hap theo chu đe như: tốn ve h¾ điem đưàng cong; toán đưàng cong mien; toán phu hình bao hình; tốn tơ màu; tốn có đe thi HQC sinh giõi, đe thi tuyen sinh THPT chuyên, đe thi Olympic Tốn Tài li¾u tham kháo Tieng Vi¾t [1] Vũ Huu Bình (2016), Hình HQC tő hap, NXB Đai HQC Quoc gia Hà N®i [2] Tran Nam Dũng (chu biên) (2017), Các kỳ thi tốn VMO lài giãi bình lu¾n, NXB The giái [3] Nguyen Huu Đien (1999), Phương pháp Dirichlet nng dnng, NXB Khoa HQC Và kĩ thuắt H Nđi [4] Nguyen Huu ien (2001), Nhủng phng pháp đien hình giãi tốn phő thơng, NXB Giáo dnc [5] Nguyen Huu Đien (2004), Sáng tao giãi tốn phő thơng, NXB Giáo dnc [6] Nguyen Huu Đien (2005), M®t so chun đe hình Giáo dnc HQC tő hap, NXB [7] Phan Huy Khãi (2007), Các toán hình HQC tő hap, NXB Giáo dnc Tieng Anh [8] J Herman, R Kucera, and J Simsa (2003), Counting and Configurations Problems in Combinatorics, Arithmetic, and Geometry, Translated by Karl Dilcher, Springer ... đan xen phương pháp khác Chương Các phương pháp chúng minh cho tốn Hình HQC to hap Chương đưa tőng quan ve Hình HQC tő hap ví dn minh HQA cách áp dnng phương pháp chúng minh cho tốn Hình HQC... bày đe tài: ? ?Hình HQC to hap vái phương pháp chỳng minh Trong luắn ny em a mđt so phương pháp chúng minh thưàng su dnng cho tốn hình HQC tő hap úng dnng cua phương pháp vào chúng minh tốn theo... 3 10 Chương Các phương pháp chúng minh cho tốn hình HQC to hap 2.1 Tőng quan ve hình HQC tő hap 2.2 V¾n dnng phương pháp quy nap 2.3 V¾n dnng phương pháp phãn chúng