Đồng nhất thức và bất đẳng thức hình học

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - Pham Thái Ly Đong nhat thÉc bat thÉc hình HQC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS ĐÀM VĂN NHI Hà N®i – Năm 2015 Mnc lnc Ma au Mđt so khỏi niắm ve hỡnh - khoi đa di¾n 1.1 Góc nh% di¾n - tam di¾n 1.2 Đ%nh lý Cosin cho góc tam di¾n 1.3 Tam diắn liờn hop vúi mđt tam di¾n cho 10 1.4 Đ%nh lý Sin cho góc tam di¾n 12 1.5 Moi liên h¾ giua góc phang cna mđt gúc a diắn 13 1.6 Hỡnh - Khoi đa di¾n 14 1.7 Khoi đa di¾n đeu 16 1.8 M®t so ví du 18 Vectơ phép toán khơng gian 21 2.1 Đ%nh nghĩa hình HQc cna vectơ 21 2.2 Phép toán vectơ qua TQA đ® 21 2.3 Tích vơ hưóng, tích có hưóng cna hai vectơ 22 2.4 Bài toán véctơ cho tú di¾n 30 M®t so tốn liên quan đen the tích bán kính m¾t cau ngoai tiep 34 3.1 The tích, bán kính m¾t cau ngoai tiep qua đ%nh thúc 34 3.2 Phương pháp the tích 42 3.3 M®t so bat thúc tú di¾n .50 3.4 M®t vài van đe tőng hop .54 3.4.1 Tam di¾n vng tam giác NHQN 54 3.4.2 Phương pháp hình 55 h®p 3.4.3 Phương pháp trai hình 57 Ket lu¾n 60 Tài li¾u tham khao 61 Ma đau Khi cịn HQc sinh cap ba, tơi rat u thích mơn hình HQc khơng gian Lúc say mê vói bút chì thưóc ke đe dnng hình giai nhung tốn khó Trai qua m®t thịi gian dài bây giị làm giáo viên roi lai day mơn hình khơng gian, vói moi tiet day tơi van rat u thích đam mê Nhưng tn hoi ban thân, nhung tốn hình khơng gian van chi xoay quanh nhung dang quen thu®c Và neu chi dùng bút chì thưóc ke chi làm vi¾c đưoc vói nhung khoi hình đơn gian khoi tú di¾n đeu, gan đeu, vng, Và th¾m chí ta đưa phương pháp TQA đ® vào hình khơng gian đe giam bót thao tác dnng hình tốn van cHQN nhung khoi hỡnh ắc biắt e dnng hắ TQA đ Bờn canh đó, tơi nh¾n thay ngưịi ta rat quan tâm đen h¾ thúc liên hay nhung đai lưong b% ch¾n hay ch¾n dưói đe đánh giá yeu to tam giác, tú giác, đưòng tròn tú di¾n Tuy nhiên manh đat cho hình khơng gian cịn oi Vói nhieu mong muon suy nghĩ v¾y tơi quyet đ%nh viet đe tài ve đong nhat thúc bat thúc hình khơng gian đe thoa mãn niem yêu thích cna ban thân muon đóng góp m®t mói me cho tốn HQc nói chung hình HQc nói riêng Nhưng đe có ket qua mói neu chi dùng compa thưóc ke? Có rat nhieu cách nhng luắn chn yeu l khai thỏc mđt toán đe dan đen ket qua biet tiep tuc phát hi¾n nhung tốn mói qua cơng cu tốn cao cap đ%nh thúc, ma tr¾n, giai tích ho¾c lưong giác Các ket qua cna lu¾n văn nham chn yeu o Chương - M®t so tốn liên quan đen the tích bán kính m¾t cau ngoai tiep khoi chóp Ban lu¾n văn Đong nhat thÉc bat thÉc hình HQC" ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao n®i dung đưoc chia làm chương Chương Mđt so khỏi niắm ve hỡnh - khoi a diắn Chng ny trỡnh by mđt so khỏi niắm ve góc nh% di¾n - tam di¾n, tam di¾n liên hop vúi mđt tam diắn ó cho, hỡnh - khoi a diắn, a diắn eu cựng mđt so vớ du Ket qua cna chương vi¾c phát bieu chúng minh Đ%nh lý 1.2.1, Đ%nh lý cosin cho góc tam di¾n; Đ%nh lý 1.4.1, Đ%nh lý sin cho góc tam diắn v %nh lý 1.6.1 Trong muc 1.4 nờu mđt so ví du đưa vào đ%nh nghĩa tâm, bán kính đưịng trịn n®i tiep, ngoai tiep, bàng tiep tú di¾n se đưoc khai thác o chương sau nhieu lai đưoc nhac sách phő thơng Chương Véctơ phép tốn khơng gian Chương trình bày đ%nh nghĩa hình HQ c cna véctơ, phép toán véctơ qua TQA minh Các ví du cna chương tù nhung tốn ban, chang han HQA đ®, tích vơ hưóng, tích có hưóng cna hai vectơ ví du Ví du 2.3.8." Neu tú di¾n ABCD có hai c¾p canh đoi di¾n vng góc c¾p canh thú ba cịn lai vng góc" đen nhung tốn mói đat đưoc nhung ket qua đep sau: M¾nh đe 2.4.1 Vói điem O tú di¾n ABCD, điem OJ nam ngồi − tú→di¾n ABCD, − −→ góc tam − di¾n → đinh A ta ln có (1) −O−→ A.VOBCD + O B.VOCDA + O C.VODAB + ˙ O D.VOABC = Đ¾c −→ −→ −→ −→ bi¾t, I A.Sa + I B.Sb + I C.Sc + I D.Sd = ˙0 I tâm m¾t cau ngoai tiep tú di¾n − −→J − −→ − −→J (2) − O A.VO BCD + O J B.VO CDA + O C.VO DAB + −J→ O D.VO ABC = ˙0 Ví dn 2.4.2 Gia su tú di¾n ABCD có BC = a, CA = b, AB = c, DA = x, DB = y, DC = z I tõm mắt cau nđi tiep tỳ diắn J J J Đ¾t T = saIA2 + sbIB2 + scIC2 + sdID2 Khi ta có a2sbsc + b2scsa + x2sasd + y2sbsd + z2scsd T = sa + sb + sc + sd J Chương M®t so tốn liên quan đen the tích bán kính m¾t cau ngoai tiep Chương chương quan TRQNG, t¾p trung nhung ket qua mói cna lu¾n văn bao gom đong nhat thúc bat thúc thúc ve the tích bán kính m¾t cau ngoai tiep Trong bien đői, tác gia su dung đ %nh thúc cap 3, đong nhat thúc (M¾nh đe 3.1.1) tính đưoc the tích bán kính m¾t cau ngoai tiep tỳ diắn bat k qua đ di canh: Mắnh e 3.1.3 Gia su hỡnh chúp SABC cú đ dài canh SA = a, SB = b, SC = c, BC = x, CA = y, AB = z Ta có cơng thúc tính the tích tú di¾n 2a2 a2 + b2 − z2 a2 + c2 − y2 ‚ V = √ , a2 + b2 − z 2b2 12 12 a2 + c − y b2 + c − x b2 + c2 − x2 2c2 Hắ qua 3.1.1 Tỳ diắn A1A2A3A4 cú đ di canh a = l12, b = l13, c = lkính l34,m¾t y =cau l24,ngoai z =tiep l23.túĐ¾t 2Sđưoc = ax by + Khithúc 14, xR= bán cna di¾n xác + đ%nh boicz cơng dưói √ (1) S(S − ax)(S − by)(S − cz) R= 6V √ 2√ S(S − ax)(S − by)(S − cz) (2) R ‚ = 2a2 a2 + b − z a2 + c − y a2 + b2 − z 2b2 , b2 + c − x a2 + c − y b2 + c2 − x2 2c2 Bên canh đó, chương cịn khai thác tốn ve góc nh% di¾n, tam di¾n so đ%nh lý đưoc đe c¾p o chương Trong chương có nhac lai phương phỏp the tớch, mđt phng phỏp huu hiắu e giai quyet tốn hình khơng gian Đong thịi xõy dnng mđt so bat ang thỳc tỳ diắn liên quan đen the tích bán kính m¾t cau ngoai tiep, von đưoc khai thác rat sách phő thơng o Vi¾t Nam e phan cuoi cna chương có đưa phương pháp giai tốn hình khơng gian mói phương pháp hình h®p phương pháp trai hình m®t so ví du đơn gian đe minh HQA Lu¾n văn đưoc hồn thành vói sn hưóng dan cna PGS.TS Đàm Văn Nhi - Trưịng Đai HQc sư pham Hà N®i Tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac tói Thay hưóng dan, tói gia đình, ban bè ngưòi thân Đong thòi tác gia xin cam ơn đen Ban giám hi¾u, thay trưịng Dn b% Đai HQc Dân t®c Trung Ương Nha Trang tao đieu ki¾n ve khóa HQc MQI m¾t đe tác gia đưoc tham gia HQc t¾p hồn thành Hà N®i, ngày 10 tháng 08 năm 2015 Tác gia Pham Thỏi Ly Chng Mđt so khỏi niắm ve hình - khoi đa di¾n Chương trình bày khái ni¾m ve hình - khoi đa di¾n, góc nh % diắn-tam diắn, %nh lý Euler, Cauchy Nđi dung chn yeu đưoc hình thành tù tài li¾u [2], [3] [5] 1.1 Góc nh% di¾n - tam di¾n Ta biet moi đưịng thang a nam m¾t phang (P ) chia m¾t phang thành hai phan, moi phan vói đưịng thang a GQI m®t nua m¾t phang Đưịng thang a GQI bà cna nua m¾t phang Đ%nh nghĩa 1.1.1 Hình hop boi hai nua m¾t phang (α) (β), có chung bị a GQI l nh% diắn Mđt nh% diắn nh the có kí hi¾u [α, a, β] ho¾c [α, β] (Hình 1) Neu (α) ta lay điem M (β) ta lay điem N (M N đeu khơng nam a) nh% di¾n kí hi¾u [M, a, N ] Ta cat nh% diắn [, a, ] boi mđt mắt phang (P ) vng góc vói a tai điem O (Hình 2) Giao tuyen cna (P ) nua m¾t phang (α) (β) lan lưot nua đưòng thang Ox Oy Khi góc ∠xOy đưoc GQI góc phang cua nh% di¾n [α, a, β] Hien nhiên mđt nh% diắn cú nhieu gúc diắn [, ] nam tù 00 đen 1800 Khi góc phang nh% di¾n bang nh% 90 ta phang, nhiên góc phang đeu bang So đo cna góc phang nói nh% di¾ncác nh% di¾nđó vng Hình Hình Đ%nh nghĩa 1.1.2 Hình hop boi ba tia Ia, Ib, Ic khụng ong phang oc GQI l mđt tam diắn hay góc tam di¾n Ta kí hi¾u tam di¾n Iabc Các tia Ia, Ib, Ic GQI canh cna tam di¾n Các mien góc aIb, bIc, cIb GQI l cỏc mắt cna tam diắn đ lún cna góc ∠aIb, ∠bIc, ∠cIa GQI góc phang o inh cna tam diắn (Hỡnh 3) Mđt tam diắn tam di¾n vng neu ba góc phang o đinh cna đeu góc vng   sin cos ∠C = ∠C = x √ (1 + y2)(1 + y2 + y2 + x2 x2) 3.4.2 Phương pháp hình h®p Vói bat kỳ tú diắn ABCD ta dnng oc hỡnh hđp AA1BB1.C1CD1D nhắn AB lm mđt ũng chộo cna ỏy trờn AA1BB1 v nhắn CD làm m®t đưịng chéo cna đáy dưói CC1DD1 De dàng thay (1) Góc giua AB CD bang góc giua AB A1B1 A1B1//CD, Hình 14 Đó khoang cách giua hai m¾t phang AA1BB1 CC1DD1 (3) VABCD = VAA1BB1.C1CD1D Ví dn 3.4.1 Cho tỳ diắn ABCD vúi đ di canh a = AB, b = CD góc α = ∠(AB, CD) Chúng minh rang, the tích tú di¾n ABCD bang 6abd sin α khoang cách giua AB CD bang d Bài giai Dnng hình h®p AA1BB1.C1CD1D Khi hai đưịng chéo o đáy hình h®p CD = b,C1D1 = AB = a góc ∠(CD, C1D1) = α Đ® dài abd sin α đưịng cao hình h®p bang d Vắy, the tớch hỡnh hđp bang V= De dàng thay VABCD = V Tù suy cơng thúc tính the tích tú di¾n VABCD = abd sin α Ví dn 3.4.2 Cho tỳ diắn ABCD vúi đ di canh AB = CD = a, BC = DA = b CA = BD = c Hãy tính the tích tú di¾n ABCD tích T = cos ∠(AB, CD) cos ∠(BC, DA) cos (CA, BD) Bi giai Dnng hđp AAhỡnh mắt BBhđp C1 CD D Khi l nhung hỡnh chuhỡnh nhắt Vắy l mđt khoiú hđp hỡnhhỡnh chu hđp nhắt = C z = AB Tù h¾ thúc y + z = a2, z + x2 = C = AC b2,1,xy + y2 21= c suy b +− c a2 + b2− c2 , y c + a2 − , z = = a2 b x = 2 V¾y the tích VABCD = xyz hay cơng thúc tính the tích tú di¾n √ − − VABCD = √ 2 2 (b + c a )(c 6+ a2 b2)(a2 + b2 c2) − |b2 − c2| Ta lai có h¾ thúc cos ∠(AB, CD) , cos ∠(BC, DA) = = a2 |c2 − a2 |a2 − b2| cos ∠(CA, BD) | c2 b2 = 2 V¾y T |(b2 − c2)(c2 − a2)(a2 − b2)| = abc Ví dn 3.4.3 [Pompiu] Cho tú di¾n gan đeu ABCD Chúng minh rang vói bat kỳ điem P ta ln có 2 22 +PC PA22222 PC ™222 ™ PBPD PD PB PC PA PA22 + + PB ™ PA+ + PD PB PC PD Bài giai Dnng hình h®p cho c¾p canh đoi di¾n cna tú di¾n nhung đưịng chéo khơng song song cna m¾t đoi diắn cna hỡnh hđp Vỡ tỳ diắn gan eu nờn hỡnh hđp vựa dnng l mđt hỡnh hđp chu nhắt Do vắy cú the dnng hắ TQA đ Oxyz cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), 2 2 D(a; b; c) (x; y; z).ln Khiđúng PD ™ + 2PB tương đương vói bat thúc ™tn 2xPA + 2y + 2z+2 PC Các bat thúcGia cònsu laiPđưoc chúng minh tương 3.4.3 Phương pháp trai hình Khi giai m®t tốn ve tú di¾n mà du ki¾n cna liên quan đen tőng góc phang ho¾c tőng canh vi¾c phang hóa tú di¾n (túc trai phang tỳ diắn ú lờn mđt mắt phang) cho phù hop se cho ta m®t lịi giai GQN gàng de hieu Ví dn 3.4.4 Cho tú di¾n gan đeu ABCD vói AB = CD = b, AC = BD = c AD = BC = d Xác đ%nh v% trí điem M thu®c AB cho chu vi tam giác MCD nho nhat Hình 15 Bài giai Trai m¾t DAB xuong m¾t phang (ABC) đe đưoc hình bình hành ACBE, O ABE =O ABD (Hình 15) V¾y MC + MD “ √ CE = 2c2 + 2d2 − b2 V¾y chu vi tam giác MCD nho nhat bang √ b + 2c2 + 2d2 − b2 M trung điem AB Ví dn 3.4.5 Cho tú di¾n ABCD vói AC = AD = BC = BD = AB = a, CD = b GQI M trung điem canh AB N trung điem canh CD Xác đ%nh v% trí điem P thu®c canh AD cho chu vi tam giác P M N nho nhat Bài giai Trai m¾t ACD xuong m¾t phang (ABD) đe đưoc tú giác loi ABDF , O ACD =O AFD GQI L trung điem canh F D V¾y P M + P N = P M + P L “ M L V¾y, chu vi tam giác M N P nho nhat P ∈ M L Vì tú giác AM DL n®i Hình 16 tiep đưịng trịn nên ML.AD = AM.DL + MD.AL hay √ ML = ab + (4 − a2)(4 − Chu vi tam giác PMN nho nhat bang + ab + √(4 − a2)(4 − b2) − a 4+ b2 + Hình ∠CSA = tam 180giác Chúng chóp m®t+Ví∠BSC dn 3.4.6 chóp SABCminh thoarang mãn hình SSAB = S∠ASB SBC = S SCA tú di¾n gan đeu Bài giai Đ¾t a = SA, b = SB, c = SC Bóc m¾t hình chóp theo canh SA, AB, AC trai m¾t phang (SBC) đe đưoc đa giác A 1SA2 CB Vì ∠A1SB + ∠BSC + ∠CSA = ∠ASB + ∠BSC + ∠CSA = 180 nên A2 2thang hàng =di¾n SSCA nên SSAtn1A Sbang SAB SCA 1, S, B có Vì SA = SA = SA nên khoang tù B vàTương C đen A2CA 1V¾y 1= BC//A suy raSABC BCVìcách =Slà a tú = SA = 1A2hình SB, AB =A SC V¾y chóp gan đeu Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày nh¾n đưoc nhung ket qua sau õy Trỡnh by mđt so khỏi niắm ve gúc nh% di¾n - tam di¾n, khoi hình đa di¾n, khoi a diắn eu ắc biắt l mđt so %nh lý hay liên quan đen góc nh% di¾n - tam di¾n đ%nh lý Sin, Cosin, Euler, Cauchy, nhiên chúng minh cna đ%nh lý lai không đưoc giói thi¾u sách giáo khoa bang Tieng Vi¾t nên rat nhieu ngưịi giang day nghiên cúu tốn cna đ%nh lý Dùng phương pháp TQA HQc khơng biet đen chúng minh đ® ket hop vói cơng cu tốn cao cap đe xây dnng đong nhat thúc bat thúc cho nhung khoi đa di¾n tőng quát mà thnc hi¾n bang vi¾c ve hình dnng hình thuan túy khơng the giai quyet đưoc Đưa phương pháp giai tốn hình khơng gian phương pháp the tích, phương pháp hình h®p, trai hình mói me lý thú Tuyen cHQN giói thi¾u tốn tù ban đen nâng cao khó ve hình khơng gian áp dung phương pháp TQA đ® đe giai quyet Nhieu tốn lu¾n văn đưoc lay tù đe thi HQc sinh gioi hay vô đ%ch cna nưóc, khu vnc quoc te Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Văn M¾u, Đàm Văn Nhi, 2012, Đong nhat thúc phương pháp TQa đ® hình HQc, NXB ĐHQG Hà N®i [2] Văn Như Cương, Tran Đúc Hun, Nguyen M®ng Hy, 2000, Hình HQc 11, NXB Giáo Duc [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Pham Khac Ban, Lê Huy Hùng, Ta Man, 2014, Hình HQc 12, NXB Giáo Duc [4] Dam Van Nhi, 2012, Proving some geometric indentities by using the determinants, Journal of science and Arts, No 4(21) 2012, 385394 [5] A.Pogorelov, 1987, Geometry , Mir publishers Moscow [6] A.D Alexandrov, 1987, Convex polyhedra , Mir publishers Moscow ... di¾n đeu (Hình 6a), khoi l¾p phương (Hình 6b) khoi 12 m¾t đeu (Hình 6c) Hình Neu có canh tai moi đinh m¾t tam giác đeu van đe se phúc tap Tuy nhiên, ta có the xây dnng so nhung khoi hình Đó khoi... đeu, gan đeu, vng, Và th¾m chí ta đưa phương pháp TQA đ® vào hình khơng gian đe giam bót thao tác dnng hình tốn van cHQN nhung khoi hình đ¾c bi¾t đe dnng h¾ TQA đ Bờn canh ú, tụi nhắn thay ngũi... < 3600 1.6 Hình - Khoi đa di¾n Mđt a giỏc n chia mắt phang thnh hai mien: mien mien ngồi M®t đa giác vói mien cna hop thành m®t hình GQI mien đa giác Đ%nh nghĩa 1.6.1 Hình đa di¾n hình gom có