Đồng nhất thức và bất đẳng thức hình học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phạm Thái Ly Đồng thức bất đẳng thức hình học Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số khái niệm hình - khối đa diện 1.1 Góc nhị diện - tam diện 1.2 Định lý Cosin cho góc tam diện 1.3 Tam diện liên hợp với tam diện cho 10 1.4 Định lý Sin cho góc tam diện 12 1.5 Mối liên hệ góc phẳng góc đa diện 13 1.6 Hình - Khối đa diện 14 1.7 Khối đa diện 16 1.8 Một số ví dụ 18 Vectơ phép toán không gian 21 2.1 Định nghĩa hình học vectơ 21 2.2 Phép toán vectơ qua tọa độ 21 2.3 Tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ 22 2.4 Bài toán véctơ cho tứ diện 30 Một số toán liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp 34 3.1 Thể tích, bán kính mặt cầu ngoại tiếp qua định thức 34 3.2 Phương pháp thể tích 42 3.3 Một số bất đẳng thức tứ diện 50 3.4 Một vài vấn đề tổng hợp 54 3.4.1 Tam diện vuông tam giác nhọn 54 3.4.2 Phương pháp hình hộp 55 3.4.3 Phương pháp trải hình 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Khi học sinh cấp ba, yêu thích môn hình học không gian Lúc say mê với bút chì thước kẻ để dựng hình giải toán khó Trải qua thời gian dài làm giáo viên lại day môn hình không gian, với tiết dạy yêu thích đam mê Nhưng tự hỏi thân, toán hình không gian xoay quanh dạng quen thuộc Và dùng bút chì thước kẻ làm việc với khối hình đơn giản khối tứ diện đều, gần đều, vuông, Và chí ta đưa phương pháp tọa độ vào hình không gian để giảm bớt thao tác dựng hình toán chọn khối hình đặc biệt để dựng hệ tọa độ Bên cạnh đó, nhận thấy người ta quan tâm đến hệ thức liên hay đại lượng bị chặn hay chặn để đánh giá yếu tố tam giác, tứ giác, đường tròn tứ diện Tuy nhiên mảnh đất cho hình không gian ỏi Với nhiều mong muốn suy nghĩ định viết đề tài đồng thức bất đẳng thức hình không gian để thỏa mãn niềm yêu thích thân muốn đóng góp mẻ cho toán học nói chung hình học nói riêng Nhưng để có kết dùng compa thước kẻ? Có nhiều cách luận văn chủ yếu khai thác toán để dẫn đến kết biết tiếp tục phát toán qua công cụ toán cao cấp định thức, ma trận, giải tích lượng giác Các kết luận văn nhằm chủ yếu Chương - Một số toán liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Bản luận văn Đồng thức bất đẳng thức hình học" phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo nội dung chia làm 3 chương Chương Một số khái niệm hình - khối đa diện Chương trình bày số khái niệm góc nhị diện - tam diện, tam diện liên hợp với tam diện cho, hình - khối đa diện, đa diện số ví dụ Kết chương việc phát biểu chứng minh Định lý 1.2.1, Định lý cosin cho góc tam diện; Định lý 1.4.1, Định lý sin cho góc tam diện Định lý 1.6.1 Trong mục 1.4 nêu số ví dụ đưa vào định nghĩa tâm, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp tứ diện khai thác chương sau nhiều lại nhắc sách phổ thông Chương Véctơ phép toán không gian Chương trình bày định nghĩa hình học véctơ, phép toán véctơ qua tọa độ, tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ ví dụ minh họa Các ví dụ chương từ toán bản, chẳng hạn Ví dụ 2.3.8." Nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện vuông góc cặp cạnh thứ ba lại vuông góc" đến toán đạt kết đẹp sau: Mệnh đề 2.4.1 Với điểm O tứ diện ABCD, điểm O nằm tứ diện ABCD, góc tam diện đỉnh A ta có −→ −−→ −→ −−→ (1) OA.VOBCD + OB.VOCDA + OC.VODAB + OD.VOABC = Đặc − → −→ −→ −→ biệt, IA.Sa + IB.Sb + IC.Sc + ID.Sd = I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện −−→ −−→ −−→ −−→ (2) −O A.VO BCD + O B.VO CDA + O C.VO DAB + O D.VO ABC = Ví dụ 2.4.2 Giả sử tứ diện ABCD có BC = a, CA = b, AB = c, DA = x, DB = y , DC = z I tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Đặt T = sa IA2 + sb IB + sc IC + sd ID2 Khi ta có a2 sb sc + b2 sc sa + x2 sa sd + y sb sd + z sc sd T = sa + sb + sc + sd Chương Một số toán liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp Chương chương quan trọng, tập trung kết luận văn bao gồm đồng thức bất đẳng thức thức thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp Trong biến đổi, tác giả sử dụng định thức cấp 3, đồng thức (Mệnh đề 3.1.1) tính thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện qua độ dài cạnh: Mệnh đề 3.1.3 Giả sử hình chóp SABC có độ dài cạnh SA = a, SB = b, SC = c, BC = x, CA = y , AB = z Ta có công thức tính thể tích tứ diện 2a2 a2 + b2 − z a2 + c2 − y a2 + b2 − z 2b2 b2 + c2 − x2 a2 + c2 − y b2 + c2 − x2 2c2 V = √ 12 12 Hệ 3.1.1 Tứ diện A1 A2 A3 A4 có độ dài cạnh a = l12 , b = l13 , c = l14 , x = l34 , y = l24 , z = l23 Đặt 2S = ax + by + cz Khi bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện xác định công thức (1) R = (2) R = S(S − ax)(S − by)(S − cz) 6V √ 2 S(S − ax)(S − by)(S − cz) 2 2 2 2a a +b −z a +c −y 2 a +b −z 2b2 b + c2 − x a2 + c2 − y b2 + c2 − x2 2c2 Bên cạnh đó, chương khai thác toán góc nhị diện, tam diện sở định lý đề cập chương Trong chương có nhắc lại phương pháp thể tích, phương pháp hữu hiệu để giải toán hình không gian Đồng thời xây dựng số bất đẳng thức tứ diện liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp, vốn khai thác sách phổ thông Việt Nam Ở phần cuối chương có đưa phương pháp giải toán hình không gian phương pháp hình hộp phương pháp trải hình số ví dụ đơn giản để minh họa Luận văn hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Trường Đại học sư phạm Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới gia đình, bạn bè người thân Đồng thời tác giả xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung Ương Nha Trang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hoàn thành khóa học Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2015 Tác giả Phạm Thái Ly Chương Một số khái niệm hình - khối đa diện Chương trình bày khái niệm hình - khối đa diện, góc nhị diện-tam diện, định lý Euler, Cauchy Nội dung chủ yếu hình thành từ tài liệu [2], [3] [5] 1.1 Góc nhị diện - tam diện Ta biết đường thẳng a nằm mặt phẳng (P ) chia mặt phẳng thành hai phần, phần với đường thẳng a gọi nửa mặt phẳng Đường thẳng a gọi bờ nửa mặt phẳng Định nghĩa 1.1.1 Hình hợp hai nửa mặt phẳng (α) (β), có chung bờ a gọi nhị diện Một nhị diện có kí hiệu [α, a, β] [α, β] (Hình 1) Nếu (α) ta lấy điểm M (β) ta lấy điểm N (M N không nằm a) nhị diện kí hiệu [M, a, N ] Ta cắt nhị diện [α, a, β] mặt phẳng (P ) vuông góc với a điểm O (Hình 2) Giao tuyến (P ) nửa mặt phẳng (α) (β) nửa đường thẳng Ox Oy Khi góc ∠xOy gọi góc phẳng nhị diện [α, a, β] Hiển nhiên nhị diện có nhiều góc phẳng, nhiên góc phẳng Số đo góc phẳng nhị diện [α, β] nằm từ 00 đến 1800 Khi góc phẳng nhị diện 900 ta nói nhị diện nhị diện vuông Hình Hình Định nghĩa 1.1.2 Hình hợp ba tia Ia, Ib, Ic không đồng phẳng gọi tam diện hay góc tam diện Ta kí hiệu tam diện Iabc Các tia Ia, Ib, Ic gọi cạnh tam diện Các miền góc aIb, bIc, cIb gọi mặt tam diện Độ lớn góc ∠aIb, ∠bIc, ∠cIa gọi góc phẳng đỉnh tam diện (Hình 3) Một tam diện tam diện vuông ba góc phẳng đỉnh góc vuông Hình 1.2 Định lý Cosin cho góc tam diện Định lý 1.2.1 Cho góc tam diện Iabc với góc phẳng ∠bIc = α, ∠cIa = β , ∠aIb = γ Kí hiệu số đo góc nhị diện cạnh Ia, Ib, Ic tương ứng x, y, z Khi ta có đồng thức sau cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos z, cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos x, cos β = cos α cos γ + sin α sin γ cos y Hình Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Đàm Văn Nhỉ, 2012, Đồng thức phương pháp tọa độ hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Văn Như Cương, Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy, 2000, Hình học 11, NXB Giáo Dục [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mẫn, 2014, Hình học 12, NXB Giáo Dục [4] Dam Van Nhi, 2012, Proving some geometric indentities by using the determinants, Journal of science and Arts, No 4(21) 2012, 385-394 [5] A.Pogorelov, 1987, Geometry , Mir publishers Moscow [6] A.D Alexandrov, 1987, Convex polyhedra , Mir publishers Moscow 61 [...]...Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Đàm Văn Nhỉ, 2012, Đồng nhất thức và phương pháp tọa độ trong hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Văn Như Cương, Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy, 2000, Hình học 11, NXB Giáo Dục [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mẫn, 2014, Hình học 12, NXB Giáo Dục [4] Dam Van Nhi, 2012, Proving some geometric indentities by using