Định lý wong rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TA TUAN LONG Đ±NH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XA CHINH HÌNH RIÊNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TA TUAN LONG Đ±NH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XA CHINH HÌNH RIÊNG Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS Ninh Văn Thu Mnc lnc Lài cam ơn Danh sách ký hi¾u Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm chinh hình 1.2 Ánh xa chinh hình riêng 1.3 Mien gia loi, dang Levi 10 1.4 M®t so ket qua bő tro 11 Chương Đ%nh lý Wong-Rosay cho ánh xa chinh hình riêng 12 2.1 Phát bieu toán 12 2.2 M®t so bő đe bő tro .13 2.3 Chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 14 2.4 Dãy l¾p cna ánh xa chinh hình riêng 19 Ket lu¾n 23 Tài li¾u tham khao 24 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hQc Khoa hQc Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i vói sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna PGS TS Ninh Văn Thu Em xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac đoi vói sn quan tâm, đ®ng viên sn chi bao hưóng dan cna thay Qua đây, em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói q thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQ c 2017 - 2019, có cơng lao day em suot q trình HQ c t¾p tai Nhà trưịng Em xin cam ơn gia đình, ban bè ban đong nghi¾p thân men quan tâm, tao ieu kiắn v c v, đng viờn em e em hon thnh tot nhiắm vu cna mỡnh H Nđi, ngày 23 tháng 11 năm 2019 HQc viên Ta Tuan Long Danh sách ký hi¾u Aut(Ω) Nhóm tn cau cna mien Ω Ck(Ω) Không gian hàm kha vi liên tuc đen cap k TpbΩ M¾t phang tiep tuyen vói bΩ tai p T (bΩ) Khơng gian tiep xúc phúc vói bΩ tai p p Lρ(p) Dang Levi cna bΩ tai p C N˙ (p) Là vectơ pháp tuyen đơn v% cna bΩ tai p δB + (p) Là "nua" hình cau tâm pδ = p + δN˙ (p), bán kính δ dKΩ Là gia khoang cách Kobayashi Ω f k = f ◦ ◦ f Là hop thành cna k lan f Lài nói đau Gia su M đa tap phúc Nhóm tn cau cna M (ký hi¾u boi Aut(M )) t¾p hop song chinh hình cna M vói phép tốn hai phép hop thành cna hai tn cau Tơpơ Aut(M ) tơpơ h®i tu đeu t¾p compact Đ%nh lý Riemann phát bieu rang MQI mien đơn liên D m¾t phang C khác C đeu cau (hay song chinh hình) vói hình trịn đơn v% Tuy nhiên, ket qua khơng cịn trưịng hop nhieu chieu Túc là, khơng ton tai ánh xa song chinh hình tù đa đĩa lên hình cau Van đe quan TRQNG đưoc đưa ú l vúi ieu kiắn no e mđt mien Cn (vói n > 1) song chinh hình vói hình cau đơn v% M®t nhung ket qua női tieng nghiên cúu theo hưóng đưoc hai nhà tốn HQ c B.Wong J.-P.Rosay nghiên cúu tù nhung năm 70 cna the ky trưóc Năm 1977, B Wong [6] sau năm 1979, J.-P.Rosay [7] chúng minh rang MQI mien b% ch¾n Cn vói biên gia loi ch¾t có nhóm tn cau khơng compact ln song chinh hình vói hình cau đơn v% Cn Đ%nh lý Wong-Rosay đưoc phát bieu sau: Gia su l mđt mien b% chắn Cn vói biên trơn lóp C2 (fn) m®t dãy tn cau tù Ω vào Gia su rang quĩ đao cna m®t điem Ω dưói tác đ®ng cna dãy (fn) h®i tu đen m®t điem biên gia loi ch¾t cna Ω Khi đó, mien Ω song chinh hình vói m®t hình cau đơn v% Cn Vì v¾y, tiep tuc mach nghiên cúu trên, cHQN đe tài nghiên cúu “Đ%nh lý Wong-Rosay cho ánh xa chinh hình riêng” đe làm lu¾n văn cao HQ c Muc tiêu cna lu¾n văn trình bày lai ket qua báo [2] Cu the, chúng tơi chúng minh ánh xa chinh hình riêng cna mien b% ch¾n Ck mà dãy l¾p cna h®i tu đen m®t điem biên gia loi ch¾t song chinh hình vói hình cau đơn v% Ck Trong lu¾n văn này, ngồi phan Lịi nói đau, Ket lu¾n, Tài li¾u tham khao, lu¾n văn bao gom hai chương Chương trình bày m®t so khái ni¾m ban tính chat cna hàm chinh hình, ánh xa chinh hình riêng, mien gia loi, dang Levi m®t so ket qua bő tro Chương đưoc dành đe trình bày chúng minh cna Đ%nh lý kieu WongRosay cho ánh xa chinh hình riêng Hà N®i, ngày 23 tháng 11 năm 2019 HQc viên Ta Tuan Long Chương Kien thÉc chuan b% Gia su Ω mđt mien Cn v ký hiắu Aut() l nhúm ánh xa song chinh hình cna Ω Ta nhac lai m®t ket qua cő đien cna H Cartan rang neu l mđt mien b% chắn Cn v Aut(Ω) khơng compact ton tai điem x ∈ Ω, p ∈ ∂Ω dãy tn cau ϕj ∈ Aut(Ω) cho ϕj (x) → p Trong trưòng hop này, ta GQI điem biên p điem biên tu quĩ đao Năm 1977, B Wong [6] sau năm 1979, J.-P.Rosay [7] chúng minh rang mien b% ch¾n Cn vói biên gia loi ch¾t có nhóm tn cau khơng compact ln song chinh hình vói hình cau đơn v% Cn Đ%nh lý (Wong-Rosay) Gia su Ω m®t mien b% ch¾n Cn vói biên trơn lóp C2 (fn) m®t dãy tn cau tù Ω vào Gia su rang quĩ đao cna m®t điem Ω dưói tác đ®ng (fn) h®i tu đen m®t điem biên gia loi ch¾t cna Ω Khi đó, mien Ω song chinh hình vói m®t hình cau đơn v% Cn 1.1 Hàm chinh hình Kí hi¾u C trưòng so phúc Cn = {(z1, , zn)|zj ∈ C, j = 1, , n} Kí hi¾u zj = xj + iyj, xj, yj ∈ R, j = 1, , n, ta viet ∂ ∂z j = (∂−i ∂xj ∂y j ∂ Dj = ∂ ∂z Dj = , j ∂zj ) ∂ = ( + i ∂ ) ∂z ∂ j ∂xj ∂y j Hơn nua, vói moi j = 1, , n ta đ¾t dzj = dxj + idyj; dzj = dxj − idyj Gia su f : Ω ⊂ Cn → C hàm kha vi liên tuc Khi đó, ta đ%nh nghĩa: n Σ ∂f ∂f = dzj ; ∂ z n Σ ∂f dzj ∂f = j= ∂zj Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho Ω Cn l mđt mỏ Cn Khi đó, hàm f : Ω → C đưac GQI chsnh hình Ω neu: a) f ∈ C1(Ω); b) f thóa mãn phương trình Cauchy-Riemann ∂f = Ω Kí hi¾u H(Ω) t¾p hop tat ca hàm chinh hình mien Ω Ta nhac lai rang ánh xa F = (f1 , , fm ) : Ω → Cm (m ∈ N∗ ) đưoc GQI chinh hình neu fj : Ω → C chinh hình vói MQI j = 1, 2, , m Kí hi¾u Aut(Ω) := {f : Ω → Ω song chinh hình} Ta nhac lai rang Aut(Ω) m®t nhóm vói phép tốn hop thành đưoc GQI nhóm tn cau cna mien Ω Đ%nh lý 1.1.2 (Đ%nh lý hàm ngưoc) Gia su Ω t¾p má Cn F : Ω → Cn ánh xa chsnh hình Gia su rang F J (p) kha ngh%ch tai mői điem p ∈ Ω (JF (z) ƒ= 0) Khi đó, ton tai lân c¾n V cua p lân c¾n W cua F (p) cho ánh xa F : V → W song chsnh hình Chúng minh Theo gia thiet, ta có Ω t¾p mo Cn , F : Ω → Cn chinh hình F J (p) kha ngh%ch tai moi điem p ∈ Ω Vì F J (p) kha ngh%ch Cn nên kha ngh%ch R2n Do đó, theo Đ%nh lý hàm ngưoc đoi vói ánh xa trơn giua mien R2n , ton tai lân c¾n V cna p lân c¾n W cna F (p) đưoc F : V → W m®t vi phơi Kí hi¾u G = (g1 , , gn ) : W → V ánh xa ngưoc cna F Bây giò, ta chúng minh rang G = (g1 , , gn ) ánh xa chinh hình Vì G ánh xa ngưoc cna F nên ta có G(F (z)) = z, ∀z ∈ V Đieu suy rang gi(F (z)) = zi, ≤ i ≤ n Lay đao hàm Dk theo Đ%nh lý hàm hop (The chain rule), ta đưoc n Σ Dkgi(F (z)) = Djgi(F (z)).Dkfj (z) = j=1 Ta kí hi¾u cik = ≤ n Σn j= (Dkfj(z))(Djgi(F (z))) Dkf = Dkfj, ≤ i, k j Khi đó, ta có ma tr¾n C = AB, vói A = (akj) = Dkfj(z) , B = (bji) = Djgi(F (z)) M¾t khác, JF (z) ƒ= nên A kha ngh%ch Do đó, đieu suy rang B = Tù đó, D j gi (F (z)) = 0, ∀j = 1, , n the gi chinh hình V¾y, ánh xa G chinh hình 1.2 Ánh xa chinh hình riêng Đ%nh nghĩa 1.2.1 Gia su X, Y hai không gian tôpô Ánh xa f : X → Y đưac GQI riêng neu f −1 (K) compact X vái MQI t¾p compact K ⊂ Y Gia su Ω ΩJ mien Cn Ck tương úng Gia su ánh xa F : Ω → ΩJ chinh hình riêng Kí hi¾u #(w) so điem F −1 (w) vói w = (w1 , , wk ) ∈ ΩJ Kí hi¾u M t¾p khơng điem cna hàm J, túc M = Z(J), J hàm Jacobi cna F Anh F (M ) cna M GQI t¾p tói han cna F Moi w ∈ F (M ) GQI giá tr% tói han cna F Moi điem cna F (Ω) \ F (M ) đưoc gQI giá tr% qui cna F M¾nh đe 1.2.2 Neu Ω ΩJ mien Cn F : Ω → ΩJ ánh xa riêng a) F (Ω) = ΩJ b) T¾p giá tr% qui cua F t¾p má, liên thơng trù m¾t ΩJ Đ%nh lý 1.2.3 (Đ%nh lý Rado) Gia su Ω ⊂ Cn f : Ω → C ánh xa liên tnc chsnh hình Ω \ {f = 0} Khi đó, f chsnh hình Ω 2.3 ChÉng minh Đ%nh lý 2.1.1 Gia su Ω mien b% ch¾n Ck , f ánh xa chinh hình riêng a điem gia loi ch¾t bΩ Khơng mat tính tőng qt, ta có the coi a = (0, 0) goc Ck Ta bΩ = {Re z1 = 0} m¾t phang tiep xúc cna bΩ tai a Hơn nua, ta cú the su dung phộp bien i hắ toa đ đe Ω loi đ%a phương tai a Ω ⊂ {Rez1 > 0} Vói MQI α đn nho, đ¾t Uα Ωα tương úng thành phan liên thông cna a bΩ ∩ {Re z1 < α} Ω ∩ {Re z1 < α} Đau tiên, đe chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 ta can chúng minh bΩ có the cau hố đ%a phương quanh điem a Cu the, ta có bő đe sau: Bo đe 2.3.1 Ton tai mđt lõn cắn U no ú cua a bΩ lân c¾n V cua p ∈ bBn cho Φ(U ∩ Ω) = V ∩ Bn Đe chúng minh bő đe ta can xét hai trưòng hop sau: Trưịng hop 1: dãy (fnk ) h®i tu đen điem a gia loi ch¾t bΩ (Kí hi¾u: SPC(bΩ)) Đ%nh lý 2.1.2 đưa tính cau hố đưoc Trưịng hop 2: dãy (f nk ) khơng h®i tu đen điem a SPC(bΩ) Khi đó, nhánh kha ngh%ch cna f n k dãy CR-vi phôi co Đ%nh lý 2.1.2 đưa tính cau hố đưoc Ta xét trưịng hop 1: dãy (fnk ) h®i tu đen điem gia loi ch¾t a ∈ bΩ M¾nh đe 2.3.2 Gia su (fnk ) h®i tn đeu đ%a phng en a trờn mđt lõn cắn cua a bΩ Khi đó, bΩ có the cau hóa đưac gan a Chúng minh Theo Đ%nh lý 2.1.2, ta chi sn ton tai m®t dãy ánh xa tn CR-đang cau co trờn mđt lõn cắn cna a Gia su rang (fn k ) m®t dãy CRánh xa co SPC(bΩ) H¾ qua 2.2.2 rõ ràng chi rang f vi phơi đ%a phương tai a Vì v¾y, ta chi can chúng minh rang ton tai m®t lân c¾n co đ %nh cna a cho tat ca ánh xa f n k đơn ánh lân c¾n Th¾t v¾y, đe chúng minh đieu này, ta xét trưòng hop: Trưòng hop a): {f nk } ≡ {f n } Đau tiên, ta can gia thiet rang f n (khơng chi có f nk ) hđi tu en a Co %nh mđt lõn cắn U chúa a cho f|U đơn ánh (do f tn cau) Vì f n h®i tu đen a U , f n (U ) ⊂ U, ∀n ≥ n0 đn lón Bây giị, ta xét mđt lõn cắn U J chỳa a U cho f (U J ) ⊂ U, , f n0 −1 (U J ) ⊂ U t¾p hop ton tai f liên tuc a mđt iem co %nh cna f Tự viắc xõy dnng, ta có f n (U J ) ⊂ U, ∀n ∈ N han che cna f n U J đơn ánh hop thành cna ánh xa đơn ánh Trưòng hop b): {f nk } bat kỳ Tiep theo ta can kiem tra rang thnc te, sn h®i tu cna dãy f n k đen a có kéo theo sn h®i tu cna dãy l¾p cna ánh xa h = f p en a CHQN mđt lõn cắn p nho U cna a SPC(bΩ) p = nk0 m®t so nguyên cho f (U )⊂U Ánh xa h = f p : U → U vi phôi đ%a phương dãy anh {hn (U )} dãy đơn đi¾u giam hi+1 (U ) ⊂ hi (U ) Ta se chúng minh dãy (hnjk ) xác đ%nh boi + h®i tu đenΣ a Σtrên U Th¾t v¾y, hnk = f pnk n = J n p k vói i < p Vì v¾y, ta có J J k h nk j (U ) = f nk +i fn k+i(U ) ⊂ [ (U ) ⊂ [ pΣ p nk Σ+p= nk+i f fi(fnk (U )) 1≤i≤p 1≤i≤p Theo gia thiet, ta có f nk (U ) dan đen a (k đn lón) a điem co đ%nh cna f , tính liên tuc cna f suy rang hnjk (U ) dan đen a Vì dãy hn (U ) giam nên h®i tu đen a Thay f boi h áp dung l¾p lu¾n lân c¾n cna a có the cau hố đưoc Ta xét trưịng hop 2: (fnk ) khụng hđi tu en a mđt lõn cắn cna a Ta nhac lai rang, Ω mien loi manh mđt lõn cắn O cna a, a = (0, 0) goc TQA đ® Ω1 = Ω ∩ O = {Rez1 ≥ 0} Ta đ¾t ΩG = Ω ∩ O ∩ {Rez1 ≤ s} UG = bΩ ∩ O ∩ {Rez1 ≤ s} Khơng mat tính tőng qt, ta có the gia su rang Ω1 « O Sn khơng h®i tu cna f nk có nghĩa ton tai m®t dãy điem zi ∈ bΩ cho zi h®i tu đen a ton tai dãy ki ∈ N cho dãy điem f nki (zi ) nam ngoi mđt lõn cắn co %nh cna a, GQI U1 Vì a điem co đ%nh cna f nki nên ta có the gia su rang f nki (zi ) ∈ bU1 = bΩ ∩ O ∩ {Rez1 = 1} bang cách di chuyen zi đen gan a Cuoi cùng, ta đ¾t gi = f nki xác đ%nh si boi zi ∈ {Rez1 = si } M¾nh đe 2.3.3 Vái MQI s > ton tai so nguyên k = k(s) cho gk (UG ) ⊃ U1 \UG Tính cau hố đưoc gan a h¾ qua trnc tiep cna M¾nh đe 2.3.3 H¾ qua 2.3.4 Neu (fnk ) khơng h®i tn đen a mđt lõn cắn cua a thỡ b cú the hình cau hóa gan a Chúng minh Co đ%nh t¾p V mo, compact U1 \{a} Vói MQI s đn nho cho V ⊂ U1 \UG có m®t so nguyên kG cho gks (UG ) ⊃ V Hơn nua, khơng có điem tói han cna ánh xa gks |Us nam V ca UG V đeu mien gia loi ch¾t Vì V mien đơn liên nên ton tai nhánh ngưoc cna gks | Us V , nghĩa có m®t ánh xa CR-vi phơi hG : V −→ UG vói gks ◦ hG = Id Do đó, dãy ánh xa hG co V Đ%nh lý 2.1.2 chi rang V có the cau hố đưoc Như v¾y, chúng minh đưoc tính cau hố đ%a phương cna U1 \{a} Th¾m chí theo lý thuyet cna Chern-Moser, ta có the chúng minh đưoc tính cau hố đưoc tai a a điem gia loi ch¾t Vì v¾y, ta chúng minh đưoc tính cau hố đ%a phương cna U1 Đe chúng minh M¾nh đe 2.3.3 ta su dung bő đe sau: Bo đe 2.3.5 Vái MQI s > ton tai m®t dãy phân kỳ ci −→ +∞ cho vái MQI p ∈ U1 vái gi (p) ∈/ UG , ta có ǁgiJ (p)uǁ ≥ ci ǁuǁ, ∀u ∈ Tp C bΩ Chúng minh Vói moi p ∈ U1 , GQI N˙ (p)∂ vectơ pháp tuyen đơn v% u hưóng = ∂ vào cna bΩ tai p Ta đ%nh nghĩa pδ = p + δ δN˙ (p), B + (p) = B(p + δN˙ (p)) ∩ {(N˙ (p), ) ≥ δ}, vói δ đn nho Khi đó, vói δ > đn nho, B+(p) ⊂ Ω gi(B+ (p)) ⊂ Ω s (vì gi h®i δ δ t u đ e n a t r o n g Ω ) Đ¾t ϕ := −(N˙ (gi (p)), gi (y) − gi (p)) Khi đó, ϕ hàm đieuG hịa dưói âm, tri¾t tiêu tai p, túc ϕ(p) = ϕ(p) ™ −cs2 B+(p) (c hang so chi phu thu®c vào đ® cong cna bΩ tai a) Hơn nua, ta có p ∂ y ∂ y ∂ϕ ∇˙ (ϕ) = − (p), , ∂ϕ (p)Σ v ( ∂∇g˙i hưóng=vói vectơ gradient ˙ (g − N (p)), %N i ϕ(p)), ta có ∂ ˙ ˙ (g y N (p)Σ , , N ǁ∇˙ ϕ(p)ǁ = ∇˙ ˙ ∂ gi ˙ (p) p (ϕ).N (p)), (p)ΣΣ = (N˙ (gi (p)), ˙ = −(N (gi (p)), giJ (p).N˙ giJ (p)) (p).) Su dung khái ni¾m đao hàm theo hưóng Bő đe Hopf,cna ta khang cnaÁp ϕ dung tai p theo hưóng vectơ đ%nh đơn rang ˙ J cJ s ˙ ˙ ni(p) := (N ǁ∇ϕ(p)ǁ (gi(p)), g≥ i(p).N (p)) = Vì δ bat kỳ, nên ta δcó the lay δ nho s2 đe ni(p) lón Ta xét dang Levi L cna bΩ xác đ %nh boi L(p, u) = ([u, iu], iN˙ (p)), u ∈ C Tp (bΩ) Tù đ trn v tớnh gia loi chắt cna U1 nờn ton tai hai hang so c1 c2 vói c1 giá tr% cnc tieu, c2 giá tr% cnc đai cna dang Levi U1 cho c1ǁuǁ2 ≤ L(p, u) ≤ c2ǁuǁ2 Bang tính tốn ban, ta có: L(gi (p), giJ (p)u) = ([giJ (p)u, g J (p)u], iN˙ (gi (p))) i = (giJ (p)[u, u], iN˙ (gi (p))) i ∂ y = ([u, u], t giJ (p).iN˙ (gi (p))) = ([u, u], ni (p).iN˙ (p)) = ni(p)L(p, u) e trên, ta su dung thúc t giJ (p).iN˙ (gi (p)) = ni (p).iN˙ (p) Vì v¾y, vói MQI p ∈ U1 , u ∈p T C (bΩ), ta có: c2 ǁgiJ (p)uǁ2 ≥ L(gi (p), giJ (p)u) = ni (p)L(p, u) ≥ c1 ni (p)ǁuǁ2 √ Vì ni (p) lón nên kéo theo ǁgiJ (p)uǁ ≥ c ni (p)ǁuǁ = ci ǁuǁ, √ −1 c = c Bőcđe−→ trên+∞ khang đ%nh rang gi làm dãn theo hưóng tiep tuyen phúc cna c i2 bΩ neu gi(p) không tien tói a Ta can chúng minh tiep cho M¾nh đe 2.3.3 tính dãn cna ánh xa theo tiep tuyen phúc kéo theo tính dãn thnc sn Cho γ : [0, l] −→ U1 bΩ đưoc GQI đưòng phúc neu γ˙ (t) ∈ T C γ(t bΩ, ∀t ) Đ® dài Euclid cna γ đưoc ký hi¾u A(γ) Vói MQI x, y ∈ U1 , ta đ%nh nghĩa CR-khoang cách giua x, y boi công thúc: dCR (x, y) = inf {A(γ), γ U đưòng phúc giua x y } Chú ý đưịng phúc có the đưoc noi boi hai điem x, y bat kỳ đieu ki¾n gia loi ch¾t Hơn nua, t¾p mo U1 \UG dCR -b% ch¾n Bây giị ta se chúng minh M¾nh đe 2.3.3 Chúng minh Kí hi¾u B CR (zi , τ ) hình cau (theo khoang cách dCR ) tâm zi , bán kính τ Co đ%nh τ > cho B CR (zi , τ ) ⊂ UG , ∀i đn lón Vì U1 \UG dCR -b% ch¾n nên ta chi can chúng minh bgi (B CR (zi , τ )) ∩ B CR (gi (zi ), ci τ ) ∩ (U1 \UG ) = ∅, boi ta có the lay ci τ lón CR-đưịng kính cna U1 \UG Lay m®t điem x ∈ bgi (B CR (zi , τ )) ∩ U1 \UG ta se chúng minh dCR(gi(zi), x) ≥ ciτ Th¾t vắy, xột mđt ũng phỳc U1 \UG noi gi (zi ) vói x Vì gi m®t CR-vi phơi đ%a phương tai MQI điem cna hình cau B CR (zi , τ ) mà anh cna chúng nam t¾p điem gia loi ch¾t cna bΩ nên thành phan liên thông cna gi(zi) γ ∩ gi (B CR (zi , τ )) có the đưoc nâng thành đưòng phúc γ˜ qua ánh xa gi CR CR Vì the, A ≤ A(γ) γ˜ : [0, l] −→ B (zi , τ ) noi zi vói bB (zi , τ ) cho gi ◦ ˜γ(t) = γ(t), ∀t ∈ [0, l] ˜ Vì γ(t) ∈ U1 gi (γ(t)) ∈ U1 \UG , ∀t, ˜ Bő đe 2.3.5 ta có: su dung ưóc lưong thu đưoc tù A(γ) ≥ A ∫ l = ǁγ˙ (t)ǁ dt = ∫ l ∫ l ǁgiJ (γ˜(t))γ˜˙ (t)ǁ dt ˙ ≥ ǁγ˜(t)ǁ dt ≥ ci A(γ˜) CR Đieu chúng minh bat ci ≥thúc ci τ.trên γ˜ noi vói bB (zi, τ ) γ zi đưịng phúc bat kì noi gi(zi) vói x Chú ý 2.3.6 Neu Ω mien b% ch¾n Cn mà lân c¾n cua a bΩ có the hình cau hóa gan a f ánh xa chsnh hình riêng cua Ω mà dãy l¾p cua f h®i tn đen a bên Ω Ω song chsnh hình vái hình cau đơn v% f tn cau cua Ω 2.4 Dãy l¾p cua ánh xa chinh hình riêng Trong phan, có the giai thích tai ánh xa f n (khơng chi nhat f n k ) h®i tu đen a bên Ω Chú ý rang neu Ω mien Ck có biên bΩ có the cau hố oc lõn cắn cna mđt iem a v f l mđt ỏnh xa chinh hỡnh riờng cú dóy lắp h®i tu đen a bên Ω Khi đó, f tn cau Ω song chinh hình vói hình cau Tù ý trên, ta biet rang, bΩ có the cau hố đ%a phương gan a; xác nhung cịn lai đe hồn thành chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 Bưóc tiep ta su dung Bő đe 2.3.1 đe khang đ%nh rang tính cau hố đ%a phương quanh a sinh m®t song chinh hình tù Ω đen B n Đieu có nghĩa ton tai CR-vi phôi Φ : UG −→ V ⊂ bB n Đ%nh lý thác trien cő đien chúng minh rang Φ có the thác trien thành m®t song chinh hình Φ : ΩG −→ D, D t¾p mo cna Bn có biên chúa V Tính song chinh hình cho phép ta chuyen f thành m®t tn cau đ%a phương cna Bn, xác đ%nh boi: g : Φ(ΩG ∩ f −1 (ΩG )) → Φ(ΩG ) y ›→ Φ ◦ f ◦ Φ−1(y) Song chinh hình g thác trien nhat thành m®t tn cau tồn cuc cna hình cau, đưoc ký hi¾u g Bang lu¾n lu¾n o trên, ta có bő đe sau: Bo đe 2.4.1 Dãy l¾p cua g ho¾c parabol ho¾c hyperbolic vái cnc nam Φ(a) Bő đe kéo theo ton tai m®t điem x ∈ Φ(ΩG ) có quĩ đao van o lai Φ(ΩG ) tien đen Φ(a) Do đó, quĩ đao cna y = Φ−1 (x) ngh%ch anh cna quĩ đao g cna x theo Φ Vì vắy, f n (y) hđi tu en a Do ú, ta có đưoc h¾ qua sau: H¾ qua 2.4.2 Vái gia thiet Đ%nh lý 2.1.1, ta có dãy (f n ) h®i tn đen a Ω Bő đe tiep theo đam bao rang có nhung điem nam t¾p D có quĩ đao (dương) theo g van D có tien đen S Vì tồn b® quĩ đao cna chúng D nên liên hop cna chúng cho phép kéo theo nhung thông tin ve f Bo e 2.4.3 Ta cú dóy lắp (fn) hđi tn đen a Ω Hơn nua, t¾p ΩJG = {z ∈ ΩG , f n (z) ∈ ΩG ,∀n ∈ N} t¾p bat bien má khác rőng cua f Chúng minh Theo l¾p lu¾n o trên, ta ket lu¾n đưoc rang ton tai điem y ∈ ΩG cho f n (y) van nam ΩG Vì v¾y, ΩJG khác rong Vì quy đao cna h®i tu đen a nên f n h®i tu đeu đ%a phương Ω đen a Do đó, ΩJG bat bien Cuoi cùng, ΩJG mo theo tính chat giam chinh hình cna metric Kobayashi H¾ qua 2.4.4 Ánh xa Φ thác trien thành m®t ánh xa chsnh hình tù Ω −→ Bn Chúng minh GQI Oi := f −i (ΩJG ) Vì tính bat bien cna ΩJG qua f f n h®i tu Ω đen a nên ta ket lu¾n rang (Oi )i dãy tăng t¾p mo vét can cna Ω Ta đ%nh nghĩa Φ : Ω = ∪Oi → Bn z ∈ Oi ›→ g −i ◦ Φ|Ω ◦ f i (z) J s Khi đó, ánh xa chinh hình boi ΩJG mo trùng vói Φ ΩJG Vì v¾y, Φ thác trien chinh hình cna ánh xa Φ tù ΩJG lên Ω Phan lai đe chúng minh rang Φ ánh xa song chinh hình Đau tiên ta can chúng minh Φ riêng Bo đe 2.4.5 Ánh xa Φ : Ω −→ Bn ánh xa riêng Chúng minh Theo M¾nh đe 1.4.2, dãy l¾p cna g ho¾c parabol ho¾c hyperbolic Hơn nua, Φ : ΩG → D m®t song chinh hình nên ta có thúc Φ−1 ◦ g(z) = f ◦ Φ−1 (z) vói MQI w ∈ D thoa mãn g(z) ∈ D Ton tai hai điem co đ%nh S (điem cnc dương) N (điem cnc âm) hút tat ca quĩ đao cna bB n \{N, S} Khi đó, Φ(On \On−1 ) tien đen bB n theo n Th¾t v¾y, quĩ đao boi f cna m®t tien anh qua Φ cna điem w t¾p cham đen O0 = ΩJG chi tai thịi điem n Vì v¾y, quĩ đao qua g cna Φ(z) không the o lai D trưóc thịi điem (neu g k (z) ∈ D, ≥ N f k (Φ−1 (z)) = Φ−1 (g k (z)) nam ΩG , ∀k ∀k ≥ N ) Neu n lón Φ(z) phai o rat gan mđt iem cnc cna dóy lắp, iem ny hoắc l S neu g parabolic ho¾c điem khác cna bB n neu g hyperbolic Nói cách khác, Φ(z) gan tói biên cna B n Lay m®t dãy bat kỳ (zi)i∈N ∈ Ω h®i tu đen bΩ, ta can chúng minh rang Φ(zi) tien tói biên cna Bn Ta chi can co đ%nh m®t so thnc dương δ so nguyên n0 cho d(Φ(On \On−1 ), bB n ) ≤ δ vói MQI n ≥ n0 , nghĩa Φ(Ω\On ) δ-khoang cách tù bBn Tiep theo ta se tách (zi) thành hai phan, phan thú nhat chúa tồn b® phan tu thu®c ve On0 , phan thú hai khơng thu®c On0 : (z1) = {zn ∈ {zn } | i i (z2) = {zn zni i i ∈ {zn } | zni ∈/ On0 }; ∈ On0 } Vì fn0 , Φ|O g ánh xa riêng fn0 (z2) ⊂ O0 nên bang xây dnng i ta có d(Φ(z1), bBn) ≤ s, Φ(z2) = g−n0 ◦ Φ|O ◦ fn0 (z2) δ-khoang i cách đen bB vói i đn lón n i i Cuoi cùng, ta can chúng minh rang Φ m®t song chinh hình Đieu thnc sn khơng rõ ràng có ton tai phn chinh hình cna hình cau Tuy v¾y, ta biet rang bat kỳ ánh xa riêng vào mien b% chắn eu cú bđi huu han ắc biắt, ton tai so nguyên d (GQI b®i cna Φ) thoa mãn: a) #(z) = d vói moi giá tr% qui cna Φ; b) #(z) < d vói moi giá tr% tói han cna Φ Bây giị, ý rang deg(fn) ≤ deg(Φ), ∀n boi Φ = g−n ◦ Φ ◦ f n deg(fn) ≤ (degf )n Vì the, mđt mắt bđi cna f n b% chắn Mắt khỏc, bđi cna f n bang (deg(f ))n Vỡ vắy, f m®t tn cau cna Ω (vì deg(f ) = 1) Rõ ràng Φ đơn ánh Φ| Oi vói MQI i co đ%nh = g−n ◦ Φ|O0 ◦ f n hop thành cna ánh xa đơn ánh Ket lu¾n Trong lu¾n văn chúng tơi trình bày: Chương trình bày m®t so khái ni¾m ban tính chat cna hàm chinh hình, ánh xa chinh hình riêng, mien gia loi, dang Levi m®t so ket qua bő tro Chương chúng minh Đ%nh lý kieu Wong-Rosay cho ánh xa chinh hình riêng Ta chúng minh đưoc ánh xa chinh hình riêng cna mien b % ch¾n Ck m dóy lắp cna nú hđi tu en mđt iem biên gia loi ch¾t tn cau cna mien mien song chinh hình vói hình cau đơn v% Ck Hưóng tiep theo cna luắn ta cú the mo rđng chỳng minh %nh lý Wong-Rosay bang ky thu¾t scaling Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Văn Khuê- Lê M¾u Hai (2009), Hàm bien phúc, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Tieng Anh [2] Emmanue Opshtein (2010), A Wong-Rosay type theorem for proper holomorphic self-maps, Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathé- matiques, tome XIX, pp 513–524 http://afst.cedram.org/item?id=AFST-2010-6-19-3-4-513-0 [3] Emmanue Opshtein (Thèse 2005), Approche dynamique du problème de l’injectivite des applications holomorphes propres, présentée en vue de l’obtention du doctorat de l’université paul sabatier de toulouse, pp 1–90 [4] W Rudin (1980), Function theory in the unit ball of Cn, Vol 241 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, New York [5] E Opshtein (2006), Dynamique des applications holomorphes propres des domaines réguliers et problème de l’injectivité, Math Ann., 133(1):pp.1– 30 [6] B.Wong (1977), Characterization of the unit ball in Cn by its automorphism group, Invent Math., 41(3):pp.253–257 [7] J.-P.Rosay (1979), Sur une caractérisation de la boule parmi les domaines de Cn par son groupe d’automorphismes, Ann Inst Fourier (Grenoble)., 29(4):pp.91–97 [8] E B Lin B Wong (1990), Curvature and proper holomorphic mappings between bounded domains in Cn, Rocky Mountain J Math., 20(1):pp.179– 197 ... hình, ánh xa chinh hình riêng, mien gia loi, dang Levi m®t so ket qua bő tro Chương chúng minh Đ%nh lý kieu Wong- Rosay cho ánh xa chinh hình riêng Ta chúng minh đưoc ánh xa chinh hình riêng cna... ∈ U cho quĩ đao cua nam U h®i tn đen p Chương Đ%nh lý Wong- Rosay cho ánh xa chinh hình riêng Chương nghiên cúu ve Đ%nh lý Wong- Rosay trưòng hop dãy tn cau đưoc thay the boi dãy l¾p cna ánh xa... cna hàm chinh hình, ánh xa chinh hình riêng, mien gia loi, dang Levi m®t so ket qua bő tro Chương đưoc dành đe trình bày chúng minh cna Đ%nh lý kieu WongRosay cho ánh xa chinh hình riêng Hà N®i,