Định lý wong rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng (luận văn thạc sĩ khoa học)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Ninh Văn Thu Hà Nội - Năm 2019 Mục lục Lời cảm ơn Danh sách ký hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Ánh xạ chỉnh hình riêng 1.3 Miền giả lồi, dạng Levi 10 1.4 Một số kết bổ trợ 11 Chương Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng 12 2.1 Phát biểu toán 12 2.2 Một số bổ đề bổ trợ 13 2.3 Chứng minh Định lý 2.1.1 14 2.4 Dãy lặp ánh xạ chỉnh hình riêng 19 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội với hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Ninh Văn Thu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2017 - 2019, có cơng lao dạy dỗ em suốt trình học tập Nhà trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên em để em hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2019 Học viên Tạ Tuấn Long Danh sách ký hiệu Aut(Ω) Nhóm tự đẳng cấu miền Ω C k (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Tp bΩ Mặt phẳng tiếp tuyến với bΩ p TpC (bΩ) Không gian tiếp xúc phức với bΩ p Lρ (p) Dạng Levi bΩ p N (p) Là vectơ pháp tuyến đơn vị bΩ p Bδ+ (p) dK Ω f k = f ◦ ◦ f Là "nửa" hình cầu tâm pδ = p + δ N (p), bán kính δ Là giả khoảng cách Kobayashi Ω Là hợp thành k lần f Lời nói đầu Giả sử M đa tạp phức Nhóm tự đẳng cấu M (ký hiệu Aut(M )) tập hợp song chỉnh hình M với phép tốn hai ngơi phép hợp thành hai tự đẳng cấu Tôpô Aut(M ) tôpô hội tụ tập compact Định lý Riemann phát biểu miền đơn liên D mặt phẳng C khác C đẳng cấu (hay song chỉnh hình) với hình trịn đơn vị Tuy nhiên, kết khơng cịn trường hợp nhiều chiều Tức là, khơng tồn ánh xạ song chỉnh hình từ đa đĩa lên hình cầu Vấn đề quan trọng đưa với điều kiện để miền Cn (với n > 1) song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Một kết tiếng nghiên cứu theo hướng hai nhà toán học B.Wong J.-P.Rosay nghiên cứu từ năm 70 kỷ trước Năm 1977, B Wong [6] sau năm 1979, J.-P.Rosay [7] chứng minh miền bị chặn Cn với biên giả lồi chặt có nhóm tự đẳng cấu khơng compact ln song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn Định lý Wong-Rosay phát biểu sau: Giả sử Ω miền bị chặn Cn với biên trơn lớp C (fn ) dãy tự đẳng cấu từ Ω vào Giả sử quĩ đạo điểm Ω tác động dãy (fn ) hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt Ω Khi đó, miền Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn Vì vậy, tiếp tục mạch nghiên cứu trên, chọn đề tài nghiên cứu “Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng” để làm luận văn cao học Mục tiêu luận văn trình bày lại kết báo [2] Cụ thể, chứng minh ánh xạ chỉnh hình riêng miền bị chặn Ck mà dãy lặp hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Ck Trong luận văn này, ngồi phần Lời nói đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm hai chương Chương trình bày số khái niệm tính chất hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình riêng, miền giả lồi, dạng Levi số kết bổ trợ Chương dành để trình bày chứng minh Định lý kiểu Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2019 Học viên Tạ Tuấn Long Chương Kiến thức chuẩn bị Giả sử Ω miền Cn ký hiệu Aut(Ω) nhóm ánh xạ song chỉnh hình Ω Ta nhắc lại kết cổ điển H Cartan Ω miền bị chặn Cn Aut(Ω) không compact tồn điểm x ∈ Ω, p ∈ ∂Ω dãy tự đẳng cấu ϕj ∈ Aut(Ω) cho ϕj (x) → p Trong trường hợp này, ta gọi điểm biên p điểm biên tụ quĩ đạo Năm 1977, B Wong [6] sau năm 1979, J.-P.Rosay [7] chứng minh miền bị chặn Cn với biên giả lồi chặt có nhóm tự đẳng cấu khơng compact ln song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn Định lý (Wong-Rosay) Giả sử Ω miền bị chặn Cn với biên trơn lớp C (fn ) dãy tự đẳng cấu từ Ω vào Giả sử quĩ đạo điểm Ω tác động (fn ) hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt Ω Khi đó, miền Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Cn 1.1 Hàm chỉnh hình Kí hiệu C trường số phức Cn = {(z1 , , zn )|zj ∈ C, j = 1, , n} Kí hiệu zj = xj + iyj , xj , yj ∈ R, j = 1, , n, ta viết Dj = ∂ ∂zj = 21 ( ∂x∂ j − i ∂y∂ j ) ∂ ∂ Dj = , ∂zj ∂z j ∂ ∂z j = 12 ( ∂x∂ j + i ∂y∂ j ) Hơn nữa, với j = 1, , n ta đặt dzj = dxj + idyj ; dz j = dxj − idyj Giả sử f : Ω ⊂ Cn → C hàm khả vi liên tục Khi đó, ta định nghĩa: n ∂f = j=1 n ∂f = j=1 ∂f dzj ; ∂zj ∂f dz j ∂z j Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω ⊂ Cn tập mở Cn Khi đó, hàm f : Ω → C gọi chỉnh hình Ω nếu: a) f ∈ C (Ω); b) f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann ∂f = Ω Kí hiệu H(Ω) tập hợp tất hàm chỉnh hình miền Ω Ta nhắc lại ánh xạ F = (f1 , , fm ) : Ω → Cm (m ∈ N∗ ) gọi chỉnh hình fj : Ω → C chỉnh hình với j = 1, 2, , m Kí hiệu Aut(Ω) := {f : Ω → Ω song chỉnh hình} Ta nhắc lại Aut(Ω) nhóm với phép tốn hợp thành gọi nhóm tự đẳng cấu miền Ω Định lý 1.1.2 (Định lý hàm ngược) Giả sử Ω tập mở Cn F : Ω → Cn ánh xạ chỉnh hình Giả sử F (p) khả nghịch điểm p ∈ Ω (JF (z) = 0) Khi đó, tồn lân cận V p lân cận W F (p) cho ánh xạ F : V → W song chỉnh hình Chứng minh Theo giả thiết, ta có Ω tập mở Cn , F : Ω → Cn chỉnh hình F (p) khả nghịch điểm p ∈ Ω Vì F (p) khả nghịch Cn nên khả nghịch R2n Do đó, theo Định lý hàm ngược ánh xạ trơn miền R2n , tồn lân cận V p lân cận W F (p) F : V → W vi phơi Kí hiệu G = (g1 , , gn ) : W → V ánh xạ ngược F Bây giờ, ta chứng minh G = (g1 , , gn ) ánh xạ chỉnh hình Vì G ánh xạ ngược F nên ta có G(F (z)) = z, ∀z ∈ V Điều suy gi (F (z)) = zi , ≤ i ≤ n Lấy đạo hàm Dk theo Định lý hàm hợp (The chain rule), ta n Dk gi (F (z)) = Dj gi (F (z)).Dk f j (z) = j=1 Ta kí hiệu cik = n j=1 (Dk fj (z))(D j gi (F (z))) Dk f j = Dk fj , ≤ i, k ≤ n Khi đó, ta có ma trận C = AB, với A = (akj ) = Dk fj (z) , B = (bji ) = Dj gi (F (z)) Mặt khác, JF (z) = nên A khả nghịch Do đó, điều suy B = Từ đó, Dj gi (F (z)) = 0, ∀j = 1, , n gi chỉnh hình Vậy, ánh xạ G chỉnh hình 1.2 Ánh xạ chỉnh hình riêng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y hai không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi riêng f −1 (K) compact X với tập compact K ⊂ Y Giả sử Ω Ω miền Cn Ck tương ứng Giả sử ánh xạ F : Ω → Ω chỉnh hình riêng Kí hiệu #(w) số điểm F −1 (w) với w = (w1 , , wk ) ∈ Ω Kí hiệu M tập khơng điểm hàm J, tức M = Z(J), J hàm Jacobi F Ảnh F (M ) M gọi tập tới hạn F Mỗi w ∈ F (M ) gọi giá trị tới hạn F Mỗi điểm F (Ω) \ F (M ) gọi giá trị qui F Mệnh đề 1.2.2 Nếu Ω Ω miền Cn F : Ω → Ω ánh xạ riêng a) F (Ω) = Ω b) Tập giá trị qui F tập mở, liên thông trù mật Ω Định lý 1.2.3 (Định lý Rado) Giả sử Ω ⊂ Cn f : Ω → C ánh xạ liên tục chỉnh hình Ω \ {f = 0} Khi đó, f chỉnh hình Ω 1.4 Một số kết bổ trợ Giả sử Ω miền bị chặn Ck , y0 ∈ Ω, f ánh xạ chỉnh hình riêng a điểm giả lồi chặt bΩ cho f nk (y0 ) → a với dãy {nk } ⊂ N Khi đó, ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 1.4.1 Điểm a điểm cố định không đẩy f Chứng minh Giả sử phản chứng f đẩy a Tức là, tồn lân −1 cận mở U a mà nghịch đảo f −1 f cho d(f|U (z), a) < d(z, a) Theo giả thiết, tồn điểm y0 ∈ Ω cho f nk (y0 ) ∈ U với k đủ lớn Đặt nk = {n|f i (y0 ) ∈ U, ∀i ∈ [n, nk ]} Khi đó, f nk −1 (y0 ) ∈ / U Mặt khác, f −1 ánh xạ co hạn chế U nên f nk (y0 ) gần tới a f nk (y0 ) Do vậy, f nk (y0 ) tiến tới a kéo theo f nk −1 (y0 ) hội tụ đến a Vì thế, f nk −1 hội tụ / U Vậy, f không địa phương đến a Điều trái với giả thiết f nk −1 ∈ đẩy a Mệnh đề 1.4.2 Giả sử g tự đẳng cấu hình cầu đơn vị Cn Khi dãy lặp g dạng sau: Hyperbolic(Bắc- Nam): Tồn hai điểm cố định N, S ∈ bB g g n hội tụ địa phương đến S B {N } Parabolic (Nam-Nam): Tồn điểm cố định S ∈ bB g n hội tụ địa phương đến S B {S} Hồi qui (compact): Các quĩ đạo g giữ nguyên khoảng cách cố định từ bB Bổ đề 1.4.3 Giả sử g tự đẳng cấu hình cầu cho có điểm cố định khơng đẩy p bB khơng có điểm cố định gần p Khi đó, dãy lặp g hyperbolic parabolic với cực nam p ( nghĩa S p phân loại trên) Hơn nữa, với lân cận U p, tồn điểm z ∈ U cho quĩ đạo nằm U hội tụ đến p 11 Chương Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng Chương nghiên cứu Định lý Wong-Rosay trường hợp dãy tự đẳng cấu thay dãy lặp ánh xạ chỉnh hình riêng Ta chứng minh quĩ đạo lặp ứng với ánh xạ chỉnh hình riêng f : Ω → Ω điểm thuộc Ω hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt Ω Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị f tự đẳng cấu Nội dung chương viết dựa sở báo [2] Emmanuel Opshtein 2.1 Phát biểu toán Định lý 2.1.1 Giả sử Ω miền bị chặn Ck f ánh xạ chỉnh hình riêng Ω Giả sử tồn điểm y ∈ Ω cho quỹ đạo (f n (y)) hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt a ∈ bΩ Khi đó, Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Ck f tự đẳng cấu Để chứng minh định lý này, ta cần định lý sau đây: Định lý 2.1.2 (Định lý Webster) Giả sử S S hai siêu phẳng giả lồi chặt Ck Giả sử tồn dãy phép CR-nhúng (fn )n từ S vào S cho (fn (S)) hội tụ đến điểm S Khi đó, S cầu hóa địa phương Tức là, S CR-đẳng cấu địa phương với phần mặt cầu đơn vị Ck 12 2.2 Một số bổ đề bổ trợ Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2.1 Cho gk : Ω → Ω dãy ánh xạ chỉnh hình cho gk (y) → p ∈ bΩ với y ∈ Ω p điểm giả lồi chặt Khi đó, dãy gk hội tụ địa phương đến p Ω Chẳng hạn, dãy f nk hội tụ địa phương đến a Ω Hệ 2.2.2 Ánh xạ f thác triển trơn lên lân cận a ∈ bΩ f (a) = a Hơn nữa, f song chỉnh hình địa phương (tương ứng CR-tự đẳng cấu) lân cận a (tương ứng bΩ) Chứng minh Đặt zk = f nk (y) wk = f (zk ) Theo Bổ đề 2.2.1, dãy zk hội tụ đến a wk = f (zk ) = f (f nk (y)) = f nk (f (y)) hội tụ đến a Vì a điểm giả lồi chặt zk wk hội tụ đến a nên f thác triển liên tục lên lân cận a bΩ với f (a) = lim f (zk ) = lim wk = a Hơn nữa, a điểm giả lồi chặt bΩ nên ánh xạ thác triển f trơn đơn ánh Bổ đề 2.2.3 (Bổ đề Hopf) Giả sử ϕ ∈ C ∞ (Ω ) hàm điều hòa âm Ω cho ϕ(− ) = ϕ( eiθ ) ϕ(pt ) = ϕ(− + t) αt với t − 4π −1 với θ ∈ [−α, α] Khi đó, ta có α 4π ∇ϕ (p) Chứng minh Sử dụng công thức tích phân Poisson, ta có: ϕ(pt ) = ϕ(− + t) π − ( − t)2 dθ | − + t − eiθ |2 −π α − ( − t)2 − dθ 2π −α | − + t − eiθ |2 αt(2 − t) − π 42 αt − 4π 2π ϕ( eiθ ) Vì thế, bổ đề chứng minh 13 2.3 Chứng minh Định lý 2.1.1 Giả sử Ω miền bị chặn Ck , f ánh xạ chỉnh hình riêng a điểm giả lồi chặt bΩ Khơng tính tổng qt, ta coi a = (0, 0) gốc Ck Ta bΩ = {Re z1 = 0} mặt phẳng tiếp xúc bΩ a Hơn nữa, ta sử dụng phép biến đổi hệ toạ độ để Ω lồi địa phương a Ω ⊂ {Rez1 > 0} Với α đủ nhỏ, đặt Uα Ωα tương ứng thành phần liên thông a bΩ ∩ {Re z1 < α} Ω ∩ {Re z1 < α} Đầu tiên, để chứng minh Định lý 2.1.1 ta cần chứng minh bΩ cầu hoá địa phương quanh điểm a Cụ thể, ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3.1 Tồn lân cận U a bΩ lân cận V p ∈ bB n cho Φ(U ∩ Ω) = V ∩ B n Để chứng minh bổ đề ta cần xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: dãy (f nk ) hội tụ đến điểm a giả lồi chặt bΩ (Kí hiệu: SP C(bΩ)) Định lý 2.1.2 đưa tính cầu hố Trường hợp 2: dãy (f nk ) không hội tụ đến điểm a SP C(bΩ) Khi đó, nhánh khả nghịch f nk dãy CR-vi phơi co Định lý 2.1.2 đưa tính cầu hoá Ta xét trường hợp 1: dãy (f nk ) hội tụ đến điểm giả lồi chặt a ∈ bΩ Mệnh đề 2.3.2 Giả sử (f nk ) hội tụ địa phương đến a lân cận a bΩ Khi đó, bΩ cầu hóa gần a Chứng minh Theo Định lý 2.1.2, ta tồn dãy ánh xạ tự CR-đẳng cấu co lân cận a Giả sử (f nk ) dãy CR-ánh xạ co SP C(bΩ) Hệ 2.2.2 rõ ràng f vi phôi địa phương a Vì vậy, ta cần chứng minh tồn lân cận cố định a cho tất ánh xạ f nk đơn ánh lân cận Thật vậy, để chứng minh điều này, ta xét trường hợp: Trường hợp a): {f nk } ≡ {f n } 14 Đầu tiên, ta cần giả thiết f n (không có f nk ) hội tụ đến a Cố định lân cận U chứa a cho f|U đơn ánh (do f tự đẳng cấu) Vì f n hội tụ đến a U , f n (U ) ⊂ U, ∀n ≥ n0 đủ lớn Bây giờ, ta xét lân cận U chứa a U cho f (U ) ⊂ U, , f n0 −1 (U ) ⊂ U tập hợp tồn f liên tục a điểm cố định f Từ việc xây dựng, ta có f n (U ) ⊂ U, ∀n ∈ N hạn chế f n U đơn ánh hợp thành ánh xạ đơn ánh Trường hợp b): {f nk } Tiếp theo ta cần kiểm tra thực tế, hội tụ dãy f nk đến a có kéo theo hội tụ dãy lặp ánh xạ h = f p đến a Chọn lân cận nhỏ U a SP C(bΩ) p = nk0 số nguyên cho f p (U ) ⊂ U Ánh xạ h = f p : U → U vi phôi địa phương dãy ảnh {hn (U )} dãy đơn điệu giảm hi+1 (U ) ⊂ hi (U ) Ta chứng minh dãy (hnk ) xác định nk = nk p nk + hội tụ đến a U Thật vậy, h =f pnk =f p nk p +p = f nk +i với i < p Vì vậy, ta có hnk (U ) = f nk +i (U ) ⊂ f nk +i (U ) ⊂ 1≤i≤p f i (f nk (U )) 1≤i≤p Theo giả thiết, ta có f nk (U ) dần đến a (k đủ lớn) a điểm cố định f , tính liên tục f suy hnk (U ) dần đến a Vì dãy hn (U ) giảm nên hội tụ đến a Thay f h áp dụng lập luận lân cận a cầu hoá Ta xét trường hợp 2: (f nk ) không hội tụ đến a lân cận a Ta nhắc lại rằng, Ω miền lồi mạnh lân cận O a, a = (0, 0) gốc tọa độ Ω1 = Ω ∩ O = {Rez1 ≥ 0} Ta đặt Ω = Ω ∩ O ∩ {Rez1 ≤ } U = bΩ ∩ O ∩ {Rez1 ≤ } Không tính tổng qt, ta giả sử Ω1 O Sự khơng hội tụ f nk có nghĩa tồn dãy điểm zi ∈ bΩ cho zi hội tụ đến a tồn dãy ki ∈ N cho dãy điểm f nki (zi ) nằm lân cận cố định a, gọi U1 Vì a điểm cố định f nki nên ta giả sử 15 f nki (zi ) ∈ bU1 = bΩ ∩ O ∩ {Rez1 = 1} cách di chuyển zi đến gần a Cuối cùng, ta đặt gi = f nki xác định Mệnh đề 2.3.3 Với i zi ∈ {Rez1 = i } > tồn số nguyên k = k( ) cho gk (U ) ⊃ U1 U Tính cầu hố gần a hệ trực tiếp Mệnh đề 2.3.3 Hệ 2.3.4 Nếu (f nk ) không hội tụ đến a lân cận a bΩ hình cầu hóa gần a Chứng minh Cố định tập V mở, compact U1 {a} Với đủ nhỏ cho V ⊂ U1 U có số nguyên k cho gk (U ) ⊃ V Hơn nữa, khơng có điểm tới hạn ánh xạ gk |U nằm V U V miền giả lồi chặt Vì V miền đơn liên nên tồn nhánh ngược gk |U V , nghĩa có ánh xạ CR-vi phôi h : V −→ U với gk ◦ h = Id Do đó, dãy ánh xạ h co V Định lý 2.1.2 V cầu hố Như vậy, chứng minh tính cầu hố địa phương U1 {a} Thậm chí theo lý thuyết Chern-Moser, ta chứng minh tính cầu hố a a điểm giả lồi chặt Vì vậy, ta chứng minh tính cầu hố địa phương U1 Để chứng minh Mệnh đề 2.3.3 ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.3.5 Với > tồn dãy phân kỳ ci −→ +∞ cho với p ∈ U1 với gi (p) ∈ / U , ta có gi (p)u ≥ ci u , 16 ∀u ∈ TpC bΩ Chứng minh Với p ∈ U1 , gọi N (p) = ∂ ∂u vectơ pháp tuyến đơn vị hướng vào bΩ p Ta định nghĩa pδ = p + δ N (p), Bδ+ (p) = B(p + δ N (p)) ∩ { N (p), ≥ δ}, với δ đủ nhỏ Khi đó, với δ > đủ nhỏ, Bδ+ (p) ⊂ Ω gi (Bδ+ (p)) ⊂ Ω (vì gi hội tụ đến a Ω) Đặt ϕ := − N (gi (p)), gi (y) − gi (p) Khi đó, ϕ hàm điều hòa âm, −c triệt tiêu p, tức ϕ(p) = ϕ(p) B + (p) (c số phụ thuộc vào độ cong bΩ a) Hơn nữa, ta có ∇p (ϕ) = − =− ∂ϕ ∂ϕ (p), , (p) ∂y1 ∂yn N (gi (p)), ∂gi ∂gi (p) , , N (gi (p)), (p) ∂y1 ∂yn = − N (gi (p)), gi (p) Sử dụng khái niệm đạo hàm theo hướng ϕ p theo hướng vectơ đơn vị N (N hướng với vectơ gradient ∇ϕ(p)), ta có ∇ϕ(p) = ∇p (ϕ).N (p) = N (gi (p)), gi (p).N (p) Áp dụng Bổ đề Hopf, ta khẳng định ni (p) := N (gi (p)), gi (p).N (p) = ∇ϕ(p) ≥ Vì δ bất kỳ, nên ta lấy δ nhỏ 2 c δ để ni (p) lớn Ta xét dạng Levi L bΩ xác định L(p, u) = [u, iu], iN (p) , u ∈ TpC (bΩ) Từ độ trơn tính giả lồi chặt U1 nên tồn hai số c1 c2 với c1 giá trị cực tiểu, c2 giá trị cực đại dạng Levi U1 cho c1 u ≤ L(p, u) ≤ c2 u Bằng tính tốn bản, ta có: L(gi (p), gi (p)u) = [gi (p)u, gi (p)u], iN (gi (p)) = gi (p)[u, u], iN (gi (p)) 17 = [u, u], t gi (p).iN (gi (p)) = [u, u], ni (p).iN (p) = ni (p)L(p, u) Ở trên, ta sử dụng đẳng thức t gi (p).iN (gi (p)) = ni (p).iN (p) Vì vậy, với p ∈ U1 , u ∈ TpC (bΩ), ta có: c2 gi (p)u ≥ L(gi (p), gi (p)u) = ni (p)L(p, u) ≥ c1 ni (p) u Vì ni (p) lớn nên kéo theo gi (p)u ≥ c ni (p) u = ci u , c = c1 c−1 ci −→ +∞ Bổ đề khẳng định gi làm dãn theo hướng tiếp tuyến phức bΩ gi (p) không tiến tới a Ta cần chứng minh tiếp cho Mệnh đề 2.3.3 tính dãn ánh xạ theo tiếp tuyến phức kéo theo tính dãn thực C Cho γ : [0, l] −→ U1 bΩ gọi đường phức γ(t) ˙ ∈ Tγ(t) bΩ, ∀t Độ dài Euclid γ ký hiệu (γ) Với x, y ∈ U1 , ta định nghĩa CR-khoảng cách x, y công thức: dCR U1 (x, y) = inf { (γ), γ đường phức x y } Chú ý đường phức nối hai điểm x, y điều kiện giả lồi chặt Hơn nữa, tập mở U1 \U dCR -bị chặn Bây ta chứng minh Mệnh đề 2.3.3 Chứng minh Kí hiệu B CR (zi , τ ) hình cầu (theo khoảng cách dCR ) tâm zi , bán kính τ Cố định τ > cho B CR (zi , τ ) ⊂ U , ∀i đủ lớn Vì U1 \U dCR -bị chặn nên ta cần chứng minh bgi (B CR (zi , τ )) ∩ B CR (gi (zi ), ci τ ) ∩ (U1 \U ) = ∅, ta lấy ci τ lớn CR-đường kính U1 \U Lấy điểm x ∈ bgi (B CR (zi , τ )) ∩ U1 \U ta chứng minh dCR (gi (zi ), x) ≥ ci τ Thật vậy, xét đường phức γ U1 \U nối gi (zi ) với x Vì gi CR-vi phơi địa phương điểm hình cầu B CR (zi , τ ) mà ảnh chúng 18 nằm tập điểm giả lồi chặt bΩ nên thành phần liên thông gi (zi ) γ ∩ gi (B CR (zi , τ )) nâng thành đường phức γ˜ qua ánh xạ gi Vì thế, ≤ (γ) γ : [0, l] −→ B CR (zi , τ ) nối zi với bB CR (zi , τ ) cho gi ◦ γ(t) = γ(t), ∀t ∈ [0, l] Vì γ(t) ∈ U1 gi (γ(t)) ∈ U1 \U , ∀t, sử dụng ước lượng thu từ Bổ đề 2.3.5 ta có: l (γ) ≥ = l ˙ gi (γ(t))γ(t) dt γ(t) ˙ dt = 0 l ˙ γ(t) dt ≥ ci (γ) ≥ ci τ ≥ ci Điều chứng minh bất đẳng thức γ nối zi với bB CR (zi , τ ) γ đường phức nối gi (zi ) với x Chú ý 2.3.6 Nếu Ω miền bị chặn Cn mà lân cận a bΩ hình cầu hóa gần a f ánh xạ chỉnh hình riêng Ω mà dãy lặp f hội tụ đến a bên Ω Ω song chỉnh hình với hình cầu đơn vị f tự đẳng cấu Ω 2.4 Dãy lặp ánh xạ chỉnh hình riêng Trong phần, giải thích ánh xạ f n (không f nk ) hội tụ đến a bên Ω Chú ý Ω miền Ck có biên bΩ cầu hoá lân cận điểm a f ánh xạ chỉnh hình riêng có dãy lặp hội tụ đến a bên Ω Khi đó, f tự đẳng cấu Ω song chỉnh hình với hình cầu Từ ý trên, ta biết rằng, bΩ cầu hố địa phương gần a; xác cịn lại để hoàn thành chứng minh Định lý 2.1.1 Bước tiếp ta sử dụng Bổ đề 2.3.1 để khẳng định tính cầu hố địa phương quanh a sinh song chỉnh hình từ Ω đến B n Điều có nghĩa tồn CR-vi phơi Φ : U −→ V ⊂ bB n Định lý thác triển cổ điển chứng minh Φ thác triển thành song chỉnh hình Φ : Ω −→ D, D 19 tập mở B n có biên chứa V Tính song chỉnh hình cho phép ta chuyển f thành tự đẳng cấu địa phương B n , xác định bởi: g : Φ(Ω ∩ f −1 (Ω )) → Φ(Ω ) → Φ ◦ f ◦ Φ−1 (y) y Song chỉnh hình g thác triển thành tự đẳng cấu tồn cục hình cầu, ký hiệu g Bằng luận luận trên, ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.4.1 Dãy lặp g parabol hyperbolic với cực nam Φ(a) Bổ đề kéo theo tồn điểm x ∈ Φ(Ω ) có quĩ đạo lại Φ(Ω ) tiến đến Φ(a) Do đó, quĩ đạo y = Φ−1 (x) nghịch ảnh quĩ đạo g x theo Φ Vì vậy, f n (y) hội tụ đến a Do đó, ta có hệ sau: Hệ 2.4.2 Với giả thiết Định lý 2.1.1, ta có dãy (f n ) hội tụ đến a Ω Bổ đề đảm bảo có điểm nằm tập D có quĩ đạo (dương) theo g D có tiến đến S Vì tồn quĩ đạo chúng D nên liên hợp chúng cho phép kéo theo thông tin f Bổ đề 2.4.3 Ta có dãy lặp (f n ) hội tụ đến a Ω Hơn nữa, tập Ω = {z ∈ Ω , f n (z) ∈ Ω , ∀n ∈ N} tập bất biến mở khác rỗng f Chứng minh Theo lập luận trên, ta kết luận tồn điểm y ∈ Ω cho f n (y) nằm Ω Vì vậy, Ω khác rỗng Vì quỹ đạo hội tụ đến a nên f n hội tụ địa phương Ω đến a Do đó, Ω bất biến Cuối cùng, Ω mở theo tính chất giảm chỉnh hình metric Kobayashi Hệ 2.4.4 Ánh xạ Φ thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ Ω −→ B n 20 Chứng minh Gọi Oi := f −i (Ω ) Vì tính bất biến Ω qua f f n hội tụ Ω đến a nên ta kết luận (Oi )i dãy tăng tập mở vét cạn Ω Ta định nghĩa Φ : Ω = ∪Oi → B n z ∈ Oi → g −i ◦ Φ|Ω ◦ f i (z) Khi đó, ánh xạ chỉnh hình Ω mở trùng với Φ Ω Vì vậy, Φ thác triển chỉnh hình ánh xạ Φ từ Ω lên Ω Phần lại để chứng minh Φ ánh xạ song chỉnh hình Đầu tiên ta cần chứng minh Φ riêng Bổ đề 2.4.5 Ánh xạ Φ : Ω −→ B n ánh xạ riêng Chứng minh Theo Mệnh đề 1.4.2, dãy lặp g parabol hyperbolic Hơn nữa, Φ : Ω → D song chỉnh hình nên ta có đẳng thức Φ−1 ◦ g(z) = f ◦ Φ−1 (z) với w ∈ D thoả mãn g(z) ∈ D Tồn hai điểm cố định S (điểm cực dương) N (điểm cực âm) hút tất quĩ đạo bB n \{N, S} Khi đó, Φ(On \On−1 ) tiến đến bB n theo n Thật vậy, quĩ đạo f tiền ảnh qua Φ điểm w tập chạm đến O0 = Ω thời điểm n Vì vậy, quĩ đạo qua g Φ(z) lại D trước thời điểm (nếu g k (z) ∈ D, ∀k ≥ N f k (Φ−1 (z)) = Φ−1 (g k (z)) nằm Ω , ∀k ≥ N ) Nếu n lớn Φ(z) phải gần điểm cực dãy lặp, điểm S g parabolic điểm khác bB n g hyperbolic Nói cách khác, Φ(z) gần tới biên B n Lấy dãy (zi )i∈N ∈ Ω hội tụ đến bΩ, ta cần chứng minh Φ(zi ) tiến tới biên B n Ta cần cố định số thực dương δ số nguyên n0 cho d(Φ(On \On−1 ), bB n ) ≤ δ với n ≥ n0 , nghĩa Φ(Ω\On0 ) δ-khoảng cách từ bB n Tiếp theo ta tách (zi ) thành hai phần, phần thứ chứa toàn phần tử thuộc On0 , phần thứ hai không thuộc On0 : (zi1 ) = {zni ∈ {zn } | zni ∈ / On0 }; (zi2 ) = {zni ∈ {zn } | zni ∈ On0 } 21 Vì f n0 , Φ|O0 g ánh xạ riêng f n0 (zi2 ) ⊂ O0 nên xây dựng ta có d(Φ(zi1 ), bB n ) ≤ , Φ(zi2 ) = g −n0 ◦ Φ|O0 ◦ f n0 (zi2 ) δ-khoảng cách đến bB n với i đủ lớn Cuối cùng, ta cần chứng minh Φ song chỉnh hình Điều thực khơng rõ ràng có tồn phủ chỉnh hình hình cầu Tuy vậy, ta biết ánh xạ riêng vào miền bị chặn có bội hữu hạn Đặc biệt, tồn số nguyên d (gọi bội Φ) thoả mãn: a) #(z) = d với giá trị qui Φ; b) #(z) < d với giá trị tới hạn Φ Bây giờ, ý deg(f n ) ≤ deg(Φ), ∀n Φ = g −n ◦ Φ ◦ f n deg(f n ) ≤ (degf )n Vì thế, mặt bội f n bị chặn Mặt khác, bội f n (deg(f ))n Vì vậy, f tự đẳng cấu Ω (vì deg(f ) = 1) Rõ ràng Φ đơn ánh Φ|Oi = g −n ◦ Φ|O0 ◦ f n hợp thành ánh xạ đơn ánh với i cố định 22 Kết luận Trong luận văn trình bày: Chương trình bày số khái niệm tính chất hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình riêng, miền giả lồi, dạng Levi số kết bổ trợ Chương chứng minh Định lý kiểu Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng Ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình riêng miền bị chặn Ck mà dãy lặp hội tụ đến điểm biên giả lồi chặt tự đẳng cấu miền miền song chỉnh hình với hình cầu đơn vị Ck Hướng luận văn ta mở rộng chứng minh Định lý Wong-Rosay kỹ thuật scaling 23 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải (2009), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Emmanue Opshtein (2010), A Wong-Rosay type theorem for proper holomorphic self-maps, Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques, tome XIX, pp 513–524 http://afst.cedram.org/item?id=AFST-2010-6-19-3-4-513-0 [3] Emmanue Opshtein (Thèse 2005), Approche dynamique du problème de l’injectivite des applications holomorphes propres, présentée en vue de l’obtention du doctorat de l’université paul sabatier de toulouse, pp 1–90 [4] W Rudin (1980), Function theory in the unit ball of Cn , Vol 241 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, New York [5] E Opshtein (2006), Dynamique des applications holomorphes propres des domaines réguliers et problème de l’injectivité, Math Ann., 133(1):pp.1– 30 [6] B.Wong (1977), Characterization of the unit ball in Cn by its automorphism group, Invent Math., 41(3):pp.253–257 24 [7] J.-P.Rosay (1979), Sur une caractérisation de la boule parmi les domaines de Cn par son groupe d’automorphismes, Ann Inst Fourier (Grenoble)., 29(4):pp.91–97 [8] E B Lin B Wong (1990), Curvature and proper holomorphic mappings between bounded domains in Cn , Rocky Mountain J Math., 20(1):pp.179– 197 25 ... ∈ U cho quĩ đạo nằm U hội tụ đến p 11 Chương Định lý Wong-Rosay cho ánh xạ chỉnh hình riêng Chương nghiên cứu Định lý Wong-Rosay trường hợp dãy tự đẳng cấu thay dãy lặp ánh xạ chỉnh hình riêng. .. nên theo Định lý Rado, ta suy hàm g chỉnh hình Ω Mặt khác, ánh xạ F −1 chỉnh hình Ω F (M ) F (M ) = Z(g) nên F −1 thác triển thành ánh xạ chỉnh hình Ω Áp dụng định lý hàm hợp cho ánh xạ F −1... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ TUẤN LONG ĐỊNH LÝ WONG-ROSAY CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH RIÊNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Ninh Văn