Một số biểu diễn cuspidal của nhóm GL2 trên trường p adic

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Th% Thu Hà M®T SO BIEU DIEN CUSPIDAL CUA NHÓM GL2 TRÊN TRƯèNG P − ADIC LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi - Nm 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Th% Thu Hà M®T SO BIEU DIEN CUSPIDAL CUA NHÓM GL2 TRÊN TRƯèNG P − ADIC Chuyên ngành: Đai so lý thuyet so Mã so: 8460101.04 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS ĐŐ VIfiT CƯèNG Hà N®i - Năm 2019 Mnc lnc Giái thi¾u Đ%nh giá trưàng đ%a phương Các A- nhóm 15 Lý thuyet bieu dien cua A-nhóm 25 Đ® đo Haar 35 M®t vài tính chat cua nhóm GLr 43 Bieu dien han che bieu dien cam sinh 57 Bieu dien cam sinh parabolic môđun Jacquet 62 p q Các bieu dien cua nhóm GL2 Fp 66 p q 10 Các bieu dien cuspidal đ® sâu cua GL2 Qp 82 Lài cam ơn Đe hồn thành q trình nghiên cúu hồn thi¾n lu¾n văn này, lịi đau tiên tác gia xin chân thành cam ơn sâu sac đen TS o Viắt Cũng, cỏn bđ khoa Toỏn - C Tin HQc – trưòng Đai HQ c Khoa HQc Tn Nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Thay trnc tiep chi bao hưóng dan tác gia suot q trình nghiên cúu đe tác gia hồn thi¾n lu¾n văn Ngồi tác gia xin chân thành cam ơn thay, khoa Tốn-Cơ-Tin HQc tao đieu ki¾n đóng góp nhung ý kien q báu đe tác gia hồn thành khóa HQ c ban lu¾n văn Cuoi tác gia xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưịi thân ln đ®ng viên, cő vũ, tao HQc t¾p hồn thành lu¾n văn MQI đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia q trình Giái thi¾u Lý thuyet bieu dien cna nhóm p-adic mđt húng nghiờn cỳu hiắn ang oc rat nhieu nh tốn HQ c quan tâm M®t nhung lý thúc đay vi¾c nghiên cúu bieu dien cna nhóm p-adic xuat phát tù chương trình Langlands Ngưịi ta muon xõy dnng mđt moi liờn hắ giua cỏc dang tn cau bieu dien cna nhóm adelic mà bieu dien cna nhóm p-adic đóng vai trò thành phan đ%a phương cna chúng Mđt nhung ieu ắc biắt quan TRQNG v múi cna nhóm p-adics (so vói nhóm thnc) sn ton tai cna bieu dien cuspidal Chúng ta se thay rang bieu dien cuspidal có vai trò nhung “viên gach” dùng đe xây dnng tat ca bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc cna nhóm p-adic Bushnell Kutzko quyen p q sách cna [BK93] xây dnng het tat ca bieu dien cuspidal cna GLr F (vói F m®t trưịng p-adic) Các bieu dien cuspidal đưoc xây dnng cam sinh tù bieu dien huu han chieu (đ¾c bi¾t đó) cna nhóm mo compact Muc tiêu cna viet mô ta lai cách xây dnng cho trưịng hop đơn gian nhat Các bieu dien p q p q cuspidal GL2 Qp đưoc xây dnng tù bieu dien cuspidal cna GL2 Fp (đưoc xem p q m®t bieu dien cna nhóm mo compact K0 : GL2 Zp thơng qua phép chieu tac GL2 Zp GL2 Fp ) Nhung bieu dien đưoc GQI bieu dien cuspidal đ® sâu cna GL2 Qp p qÑ p q p q Các ket qua lu¾n văn đeu nhung ket qua biet, đóng góp cna tác gia tőng hop, trình bày lai ket qua chi tiet hóa chúng cho de tiep c¾n v logic nhat cú the e luắn cú đ dài vùa phai, tác gia su dung m®t cách tn ket qua cna lý thuyet bieu dien cna nhóm huu han (như lý thuyet đ¾c trưng, ) mà khơng can phai nhac lai Lu¾n văn đưoc trình bày sau: • Muc 2: Chúng ta nhac lai khái ni¾m ve đ%nh giá trưịng đ%a phương Trong muc đ%nh nghĩa the m®t trưịng p- adic tính chat cna Đong thịi ta có đưoc cách bieu dien m®t phan tu cna trưịng p-adic • Muc 3: Chúng ta nhac lai khái ni¾m ve A- nhóm tőng qt Các nhóm GL pF q r mà quan tâm A-nhóm p q • Muc 4: Do nhóm GLr F nhóm tơpơ nên ta can nghiên cúu nhung bieu dien nhóm tương thích vói cau trúc tơpơ Trong muc nêu đ%nh nghĩa cna bieu dien trơn, bieu dien bat kha quy, bieu dien chap nh¾n đưoc, bő đe Schur, m®t ngu canh mói (so vói khái ni¾m bieu dien cna nhóm huu han) • Muc 5: Đưoc dùng đe đ%nh nghĩa đ o Haar, mđt đ o ắc biắt cna khụng gian compact đ%a phương Khái ni¾m ve nhóm đơn modular đ¾c trưng modular đưoc đe c¾p muc p q • Muc 6: Đưoc dùng đe nghiên cúu kĩ ve nhóm GLr F Trong muc se nhac đen phân tích phő bien cna nhóm như: phân tích Bruhat, phân tích Iwasawa, phân tích Cartan Đong thịi muc ta nói rõ ve tơpơ cna • Muc 7: Đưoc dùng đe nhac tói khái ni¾m ve bieu dien cam sinh han che cna m®t bieu dien trơn Trong muc đưa khái ni¾m bieu dien cam sinh bieu dien cam sinh compact (đưoc chuan hóa) Đưoc chuan hóa o đưoc hieu nhân thêm b¾c hai cna đ¾c trưng modular Lý cna vi¾c chuan hóa ta muon bieu dien cam sinh cna m®t bieu dien unita m®t bieu dien unita (do đoi tưong cna khơng liên quan đen khái ni¾m bieu dien unita nên khái ni¾m se khơng oc e cắp nđi dung cna luắn vn) ã Muc 8: M®t nhung cách xây dnng bieu dien cna nhóm p-adic cam sinh tù nhung bieu dien cna nhóm đơn gian nhóm xuyen, hay nhóm parabolic Muc đưoc dành cho vi¾c đ%nh nghĩa bieu dien cam sinh parabolic Nhung bieu dien khụng the nhắn oc nh mđt bieu dien cna m®t bieu dien cam sinh tù m®t nhóm parabolic đưoc GQI m®t bieu dien cuspidal Chúng đưoc đ¾c trưng bang vi¾c có mơđun Jacquet khơng gian • Muc 9: Trong muc mô ta tat ca bieu dien bat kha quy cna nhóm p q GL2 Fp p q • Muc 10: Bieu dien bat kha quy cuspidal đ® sâu cna GL2 Qp se đưoc trình bày muc BANG THU¾T NGU VÀ KÝ HIfiU Q R Fp Qp p q Trưòng so huu ty Trưòng so thnc Trưòng huu han gom p phan tu Trưịng p-adic GLr F Nhóm tuyen tính tőng qt ma tr¾n cõ r Đơn modular Unimodular Xuyen Torus Phiem hàm Functional Hồn tồn khơng liên thơng Totally disconnected Phan tu đơn tr% hóa Uniformizer Phu hop Adjoint Mơđun Jacquet Jacquet module Nâng lên Lifting r Đ%nh giá trưàng đ%a phương Tài li¾u tham khao cho phan muc cna giang ve bieu dien cna nhóm p-adic reductive cna Murnaghan [FM09] Cho F m®t trưịng khơng tam thưịng (nghĩa F 0) Đ%nh nghĩa 2.1 M®t đ%nh giá F m®t ánh xa tính chat vái MQI x, y F ta có: P | |:F ĐR ¥0 thóa mãn | | ô x 0, (2) |x.y| |x|.|y|, (3) |x y| Ô |x| |y| (1) x 1.Giỏ tr% tuyắt oi thơng thưàng R m®t đ%nh giá Ví dn 2.2 2.Neu F m®t trưàng huu han, F có nhat m®t đ%nh giá đ%nh giá tam thưàng Trưàng F huu han nên có so phan tu pn vái p m®t so nguyên to n m®t so ngun dương Do xpn vái MQi x F Đieu P | | |1| M¾t khác ta lai có |1| p dan đen x n 0), | | |1.1| |1| (do || || nên x so thnc dương cua cua đơn v% Hay nói cách khác x Cho p m®t so nguyên to Vái mői so huu ts x dưái dang x PQ 1 , ta có the viet x nhat pae pa, b P Z, b 0; pa, pq pb, pq pa, bq 1q Ta đ%nh nghĩa | b x| p (và |0| 0) Khi đó, | | l mđt %nh giỏ trờn Q Thắt vắy: (1) Tù đ%nh nghĩa ta có |x| 0ơ x p e p p p (2) Xét x a pe y b a1 pe ta có: b1 e a e1 a1 e e1 a.a1 p b1 b.b1 p p p |x.y| p p p (3) Khơng mat tính tőng quát, gia su e |x p y | e1 p p pe e1q e e1 p ¡ e , đó: p p |x| |y| p e e1 a e1 a | | Hơn nua, neu x p %nh giỏ ny ac GQI Ô p b b1 |y| , |x p p %nh giỏ p-adic max t|x| , |y | u Ô |x| |y | y| max t|x| , |y | u p p p p p p p Phan cuoi cna muc se t¾p trung vào vi¾c xây dnng bieu dien cuspidal bat kha quy cna nhóm G, bang cỏch liờn ket moi mđt ắc trng khụng phõn tích đưoc cna F p2 vói m®t bieu dien cuspidal Do so chieu cna bieu dien cuspidal bat kha quy p 1, ta có the lay bat kì khơng gian véc tơ p chieu Không gian cam thay thích hop nhat trưịng hop se khơng gian V hàm nh¾n giá tr% phúc Fp Hơn nua muon rang han che cna bieu dien nhóm Mirabolic M phai l IndM vúi l N mđt ắc trưng khơng tam thưịng cna Fp Vói đ¾c điem đó, bat đau xây dnng bieu dien πν ν a b π pf qpxq p q p q θ bx f ax Hơn the nua, mong muon rang πν trùng vói ν nhóm tâm hóa Z cna G: ν Do đó, π ν π a b d pf qpxq pf qpxq pq p q ν df x pqp q p q ν c θ bc x f ac x Bang tính tốn trnc tiep, ta có the kiem tra đưoc rang πν m®t đong cau nhóm giua p q (nhóm tn cau cna V ) Ta can mo r®ng đong cau cho tồn B Aut V b® nhóm G Đe thnc hi¾n đieu ta can phai viet lai nhóm G dưói dang phan tu sinh quan h¾ Đ¾t w 1 u 1 Khi có quan h¾ giua w phan tu cna B sau: w a d w, w2 p q , wu d a 01 M¾nh đe 9.13 Nhóm G nhóm sinh bái B w˜ vái quan h¾ sau (1) 0α w˜ α w˜ δ , (2) 0 w˜ , (3) 01 pw˜uq nhóm sinh boi B vói nhung quan h¾ phía Khi w˜ Chúng minh Đ¾t G˜ Đ G co đ%nh phan tu B bien w˜ thành w Chúng ta can chúng minh rang kerpθq Đau tiên chúng minh rang G˜ , vói MQI b P B T , ton tai b , b P B ton tai nhat m®t tồn cau θ : G˜ cho w˜bw˜ b1 w˜b2 Th¾t v¾y, neu β 0, α b δβ β 1 boi (3), ta có w˜uw˜ w˜bw˜ α 01 d1ud2; u w˜ u ; boi (2) ta có: w˜uw˜ Đieu dan đen 1 u pw˜d w˜ 1 w˜u 1 qw˜uw˜pw˜ d w˜ q b1 w˜b2 , 1 b pw˜d w˜ qu 1 b phan tu cna B (su dung (1)) 1 u pw˜ d w˜ q P T , bang cách su dung (1) (2) ta Tiep theo, ý rang neu d pw˜dw˜ qw˜ P B Gia su ton tai g P kerpθq Khi g R B, bang cách su dung b neu b P w˜bw˜ T, T,b w˜b neu b P B có w˜dw˜ $& % 1 g có the đưoc viet lai sau α1 β β g δ δ α w˜ α, α1 , δ, δ 0 Do δ α Anh cna ve phai thông qua đong cau θ phan tu α1 α α1 δ β 1β δα (mâu thuan) ¸ p q δβ Ñ Đe đ%nh nghĩa πν w , ta đ%nh nghĩa hàm so j : Fp C boi j x θ λ λν λ p p q NF { p2 p q p q Fp pλq x ¸ p q ν py qj pxy qf py q Vói đ%nh nghĩa này, ta có the đ%nh nghĩa πν w sau: p qp qpxq πν w f yPFp p q Vi¾c cịn lai cna kiem tra xem vói πν w đưoc đ%nh nghĩa có bao tồn quan h¾ (1),(2) (3) m¾nh đe 9.13 hay khơng Vi¾c kiem tra khơng khó, can nhung tính tốn ti mi có phan buon te nên se bo qua (các chúng minh chi tiet có the tìm thay [PS83, Chương 2, muc 13]) Đ%nh lý 9.14 (1)Vái MQI đ¾c trưng ν khơng phân tích đưac cua F , bieu dien π p2 đưac xây dnng m®t bieu dien bat kha quy cuspidal ν (2)Neu ν ν hai đ¾c trưng khơng phân tích đưac cua F , πν cau p2 vái πν chs ν α ν α p q Chúng minh p q p q (1)Tù cách xây dnng ta có resGM πν M IndM N θ Do IndN θ bat kha quy nên πν m®t bieu dien bat kha quy Gia su khơng phai bieu dien cuspidal, bieu dien cna m®t bieu dien cam sinh parabolic Đieu dan đen so chieu cna phai 1, p ho¾c p (mâu thuan theo cách xây dnng bieu dien πν có so chieu p 1) p q p q (2)Đe đơn gian kí hi¾u su dung N λ thay cho NFp2 {Fp pλq Tr λ Đ¾t π πν , 1π ν ν Neu ν B Hơn nua, πν đ¾t j j1ν , j p q ν, ta có: ν α p q p p q @α P F ν α p p qq p q ¸ j1 x ¸ x p N p ¸ p x p p qq p q θ Tr λ ν λ λq p q j x Khi π p N pλq x λq p λ jν lan lưot hàm so j tương úng vói θ Tr λ ν λ N λ p p q p q θ Tr λ ν λ π p q p q Do π w1 π w1 Như v¾y ta có π π1 Ngưoc lai, gia su rang π cau vói π Khi đó, ton tai tn cau ϕ pq pq @ P P AutpV q pπ q Tù Bő đe pq pq pq@ P bang B Do đó, ν pαq ν pαq vói MQi α P F Hơn nua, π pw q cho π s ϕ ϕ π s , s G M¾t khácM resG π M resG Schur 4.19, θ m®t phép v% tn Do đó, π s π s , s G Đ¾c bi¾t, π π ¸ nên ¸ p p qj pxyqf pyq ν py qj pxyqf pyq, vói MQI x P F MQI f P V (nhac lai rang V khơng gian hàm f Tù suy j pαq j pαq vói MQI α P F , nghĩa θpTrpλqqν pλq θpTrpλqqν pλq y ν y PF ¸ Np Vói x ¸ PF Np λq α :F Ñ C) p ¸ p λq α N pλq α p q θpxTrpλqqν pλq ¸ bat kì, ta có j x2 α p π w1 yPFp p p 1 p q p q p q θpxTrpλqqν pλq, @α, x P F j x2 α Rút GQN ν x o hai ve ta thu đưoc p N pλq α CHQN λ0 phan tu sinh cna nhóm xyclic Fp2 Vói y p q p q p q PF p bat kì, ton tai λ PF p2 cho Tr λ y N λ N λ0 (do Fp2 mo rđng (trũng) bắc hai nhat cna Fp) Mđt nghiắm khác cho hai thúc trên, hien nhiên λ Đ¾t ay nghĩa p q ν λ p q boi θy x p q ν λ p q p q ν1 λ ν λ đ¾t θy đ¾c trưngp cna F đưoc đ%nh p q ¸ θ xy Khi đó, ta có ayθy yPFp , θ Chú ý rang y y θy1 , su dung b e Artin ve tớnh đc lắp y tuyen cna cỏc ắc trng phõn biắt cna mđt nhúm, ta có ay vói MQI y Fp Đ¾c P bi¾t, ta cịn có: p q ν λ0 p q p q ν λ0 ν λ0 p q ν λ0 Ket hop vói p q p q ν λ0 ν λ0 p p qq ν pλ qν pλ q, ν N λ0 1 p p qq ν N λ0 p q p q p q ta có ho¾c ν λ0 ν λ0 ho¾c ν λ0 ν, λ0 phan tu sinh cna F p p q ν λ0 Tù suy ν ν ho¾c ν H¾ qua 9.15 Chúng ta có p2 p bieu dien ụi mđt khụng ang cau vỏi ắc bi¾t tat ca bieu dien cuspidal cua G đưac xây dnng Chúng minh GQI α phan tu sinh cna nhóm F , m®t đ¾c trưng θ cna F p2 p q p q p2 2kiπ đưoc xác đ%nh nhat biet giá tr% θ α Gia su θ α e Theo m¾nh đe 9.12, ta có θ phân tích đưoc chi k chia het cho p Ta có p giá tr% k chia het cho p nam khoang tù đen p2 Do có p đ¾c trưng phân tích đưoc V¾y se có p2 p đ¾c trưng khơng phân tích đưoc Xét quan h¾ tương đương đ¾c trưng khơng phân tích đưoc sau ν ν chi ν α ν α Các lóp tương đương có phan tu, nên có so lóp tương đương p p p Áp dung đ%nh lý 9.14 ta có p2 bieu dien π đơi m®t khơng cau vói p q p2 p q ν p Hơn nua so lưong bieu dien cuspidal cna G xác bang p2 , nên cách xây dnng πν tù đ¾c trưng khơng phân tích đưoc cna F bieu dien cuspidal cna G 10 p2 cho phép ta biet het Các bieu dien cuspidal đ® sâu cua GL2pQpq Trong muc se xây dnng m®t lóp bieu dien cuspidal cna nhóm GL2 Qp Các bieu dien đưoc xây dnng cam sinh tù nhung bieu dien p q p q cuspidal cna GL2 Fp đưoc xây dnng o phía Các bieu dien đưoc GQI bieu dien cuspidal có đ® sâu p q Đ%nh lý 10.1 Xét σ m®t bieu dien cuspidal bat kha quy cua GLr Fp Thơng qua tồn cau nhóm tù GLr Zp vào GLr Fp , ta có the xem σ m®t bieu dien p q p q p q cua GLr Zp Gia su l mđt ắc trng cua p Q thóa mãn han che cua χ xuong Z p p q trùng vái đ¾c trưng trung tâm cua σ, χ σ m®t bieu dien cua Q GLr Zp p GLr Neu GQI π bieu dien cam sinh compact indQ GL pZ χ σ π m®t bieu dien bat p pQp q qrp p q q p kha quy cuspidal chap nh¾n đưac cua GLr Qp Trưóc het, can m®t bő đe tőng qt cho phép mơ ta han che cna m®t bieu dien cam sinh (trong trưịng hop đ¾c bi¾t mà quan tâm) Bo đe 10.2 Cho H m®t nhóm má, compact modulo tâm hóa cua m®t Anhóm đơn modular G GQI σ, W m®t bieu dien trơn huu han chieu cua H p q p q GQIH π indG σ bieu dien cam sinh compact tương úng Khi han che cua π xuong H đưac cho bái à| r G ind H π pσqs H H gPHzG{H IndHXg 1Hg p σ| g HXg Hg q, H p q σphq vái MQI h P H Chúng minh Vói moi g P G, GQI V C pHgH, σ q không gian hàm f trơn HgH thoa mãn f ph gh q σ ph qf pgh q Vì HgH mo G compact modulo H nên ta có m®t đơn cau tac V Đ ind pσ q, đ%nh nghĩa bang cách mo r®ng boi bên ngồi HgH Bây giị, t¾p đơn ánh V Đ π σ bieu dien cua g Hg đ%nh nghĩa bái g σ g Hg g g 2 G g H g cho ta m®t ánh xa tac gPH zG{H Vg Ñ π Ta se chi l mđt ang cau cna cỏc H-mụun Thắt vắy, bang cách xét giá cna hàm, de thay ánh xa đơn ánh M¾t khác, tù đ%nh nghĩa cna π ta có đưoc tính tồn ánh Chú ý rang H tác đ®ng lên Vg thơng qua phép nhân bên Đ phai cna H lên HgH, đong thịi ánh xa Vg π đong cau H-môđun H g Tiep theo ta kiem tra đưoc tương úng f f tù Vg vào IndHXg ÞĐ q Hg p σ| HXg Hg đưoc đ%nh nghĩa tot m®t song ánh bao tồn tác đ®ng cna H Ta có đieu phai chúng minh p q Chúng minh cho đ%nh lý 10.1 GQI H nhóm Qp GLr Zp Rõ ràng H m®t nhóm mo, đong thịi compact modulo tâm hóa cna G GLr Qp Đe đơn gian, ta viet σ đe chi bieu dien χ σ cna H Ta se chúng minh đ%nh lý 10.1 bang cách lan lưot chúng minh tính bat kha quy, chap nh¾n đưoc tính cuspidal cna π Tính bat kha quy: Ta có khang đ%nh sau đây: Vói p g q tu MQI g p q PG H, ta ln có HomHXg Hg σ, σ Tam thịi chap nh¾n khang đ%nh này, theo bő đe phía trưóc ta có σ xuat hi¾n π vói b®i 1, hay nói cách khác dim HomH σ, π H p | q Gia su phan chúng rang π khơng bat kha quy Khi ton tai m®t dãy khóp ngan cna G-module khơng tam thưịng: ÝĐ π ÝĐ π ÝĐ π ÝĐ Chú ý rang H compact modulo tâm hóa nên MQI bieu dien (chang han σ, π1 , π2 π) mà Q p tác đng nh mđt ắc trng eu l H-mụun nua n Vì π p q p q G indHG σ nên π có the nhúng vào Ind σ m®t G-module Đieu tương tn H p q t 0u , cho π1 Su dung đ%nh lý thu¾n ngh%ch Frobenius 7.5 ta có HomH π1 , σ nói cách khác σ xuat hi¾n π1 Theo đ%nh lý thu¾t ngh%ch Frobenius 7.6 ta có p p q HomG indG Hσ , π2 q p q HomH σ, π2 Do σ xuat hi¾n π2, nhiên đieu mâu thuan vói vi¾c σ chi xuat hi¾n vúi bđi P Ơ Nh vắy ta chi can phai chúng minh nh¾n xét nói Vì g G H nên bang cách su dung phân tích Cartan, ta có the gia su mà khơng làm mat tính tőng quát rang g diag α m1 , , αmr , m1 mr GQI k chi so nhat p q F ¥ F ¥ thoa mãn mk mk σ, g HomN pOqXg N pOqg σ σ, úng vói phân hoach r k p p ¥ Gia su HomHXg g Hg σ q t0u Khi ta có q u0u, N lũy đơn cna nhóm parabolic pr kq cna r Ta có N pOq X gN pOqg € N pBq, o kí hi¾u đưoc hieu theo nghĩa hien nhiên Vì σ đưoc nâng lên tù GL pF q nên σ tam thưòng N pOq X g N pOqg, túc Hom pσ, 1q t0u Đieu mâu thuan vói pσ, W q m®t bieu dien cuspidal cna GL pF q k k k k k r k k g p Nk pOqXg Nk pOqg k r p Tính chap nh¾n đưac: Tiep theo ta chúng minh π bieu dien chap nh¾n đưoc De thay ta chi can chúng minh, vói moi m πKm huu han chieu e Km nhóm đong d chớnh bắc m Ơ Nhac lai rang Km l không gian vector gom hàm hang so đ%a phương f : G ÑW thoa mãn p f hgk q p q p q σ hf g , vói MQI h P H, g P G, k P K m Su dung phân tích Cartan, ta có the cHQN phan tu đai di¾n cna lóp ke kép H G Km o dang g a k, a diagFα m1 , F , αmr vúi z { p q m Ô m Ô Ô m v k P K {K Vói moi a v¾y, đ¾t tpaq maxtm m | 1Ô i Ô r 1u Chỳ ý rang neu tpaq m m ¥ m U pOq € gK g X H, U lũy đơn cna nhóm parabolic toi đai úng vói phân hoach r j pr j q Như v¾y r i m j j j i m j ta có: p q σ u p q f g p q f ug p f g g ug q p q f g , p qP p p q p q nói cách khác f g W m®t vector co đ%nh boi Uj O boi Uj Fp Khi tính cuspidal cna σ, W cho ta f g q V¾y ta chúng minh đưoc neu f pq HakKm vói t a p q Pπ K m f có giá nam lóp ke kép m Vì t¾p lóp ke v¾y huu han nên ta có so chieu cna πKm huu han Tính cuspidal: GQI P M N m®t nhóm parabolic cna G Đe chúng minh π cuspidal ta can chi mơđun Jacquet πN Do ta chi can chúng minh πN p Chú ý rang HomN π, C q pπ q p q N không gian gom vector (trong khơng p q Vì π ind pσ q nên ta có the đong nhat π vói C pH zG, σ q, khơng gian hàm hang so đ%a phương φ G vói giá t¾p giá tr% W thoa mãn φphg q σ phqφpgq gian đoi ngau π cna π) đưoc co đ%nh boi N Ta se chi π G N H Ta có the kiem tra phép đong nhat bang cách ý rang không gian đoi ngau cna tőng trnc tiep cna không gian vector se cau vói tích trnc tiep cna đoi ngau Suy π N không gian gom hàm hang so đ%a phương φ : G W p q Ñ thoa mãn p q φ hgn p q p q σ hφg , vói MQI h P H, g P G, n P N Tiep theo, su dung phân tích Iwasawa ta có the cHQN phan tu đai di¾n cho lóp ke kép H G N cho chúng đeu nam M Vói moi m M , ý rang z { P p q NXH Do vói MQI h P N pOq, ta có N O p qp q φ hm q p p q túc φpmq P W đưoc co đ%nh boi N pF q Hơn nua pσ , W q bieu dien cuspidal (do pσ, W q bieu dien cuspid2al) nên φpmq Suy pπ q σ hφm p X mNm H φm q m hm p N φm, Tài li¾u [BH06]C J Bushnell, G Henniart, The local Langlands conjecture for GL2, Grundlehren der Math Wiss 335, Springer, Berlin p q via compact open [BK93]C J Bushnell, P C Kutzko, The admissible dual of GL N subgroups, Princeton University Press, Princeton (1993) [FM09]F Murnaghan, Representations of reductive p-adic groups, http://www.math.toronto.edu/murnaghan/course/mat1197/notes.pdf p q [PS83]I Piatetski-Shapiro, Complex representations of GL2 K for finite fields K, Contemporary mathematics (16) [PR07]D Prasad, A Raghuram, Representation theory of GLn over nonArchimedean local fields, http://www.math.tifr.res.in/ dprasad/ictp2.pdf [S71]J P Serre, Linear representations of finite groups, Graduate texts in Mathematics 42, Springer [RV18]R Vinroot, Topological groups, http://www.math.wm.edu/ vinroot/PadicGroups/topgroups.pdf ... g P G), nên p : ¸pq π g |G| p q p q, p π g gPG m®t ánh xa tuyen tính tù V vào W P W , ta có πpg qpxq P W , nên p πpg qpxq πpg qpxq Do π pg q p π pg qpxq π pg qpπ pg qpxqq x Đieu dan đen p pxq... vói MQI g P G ta có pqpg q pp ιqpg q g p? ? pqpg q, Ký hi¾u Lg ph? ?p nhân bên trái vói g, Lg x pp L qpg q ggg pL gg 1 1 ¸ G p Jx p Jx ppgq 1 nên lưoc đo sau giao hốn: Lg G G p xJ { Lppgq { ¸ G H... 30 : tv P V |Stab pvq l mđt G pq ã PV P V Ton tai m®t nhóm mo compact K cna G cho K € pv q X Stab pv q Lay g P Stab pv v q k P K, ta có π pgk qpv vq π pg qpπ pk qpv q π pk qpv qq π pg qpv vq