Một số biểu diễn cuspidal của nhóm GL2 trên trường p adic

I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHI N Nguyn Th Thu H MáT Să BI U DI N CUSPIDAL CÕA NH´M GL2 TR N TR×˝NG P ADIC LU NV NTH CS TO NH¯C H Ni - Nôm 2019 I HC QUăC GIA H NáI TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N Nguy„n Thà Thu H MáT Să BI U DI N CUSPIDAL CếA NHM GL2 TR N TRìNG P ADIC Chuyản ng nh: M s: i s v lỵ thuyt s 8460101.04 LU NV NTH CS TO NH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA HC TS ẫ VI T CìNG H Ni - Nôm 2019 Mưc lưc Giỵi thi»u ành gi¡ v trữớng a phữỡng CĂc - nhõm Lỵ thuyt bi”u di„n cıa c¡c ‘-nhâm º o Haar Mºt v i t‰nh ch§t cıa nhâm GLr Bi”u di„n h⁄n ch‚ v bi”u di„n c£m sinh Bi”u di„n c£m sinh parabolic v mæ un Jacquet C¡c bi”u di„n cıa nhâm GL2 Fp 10 C¡c bi”u di„n cuspidal º s¥u cıa GL2 Qp p q p q Líi c£m ìn ” ho n th nh quĂ trnh nghiản cứu v ho n thiằn lun vôn n y, lới u tiản tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn sƠu sc n TS ỉ Viằt Cữớng, c¡n bº khoa To¡n - Cì - Tin Håc tr÷íng ⁄i Håc Khoa Håc Tü Nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Nºi Thƒy ¢ trüc ti‚p ch¿ b£o v hữợng dÔn tĂc giÊ sut quĂ trnh nghiản cứu ” t¡c gi£ ho n thi»n lu“n v«n n y Ngo i t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy, cỉ khoa To¡n-Cì-Tin Håc ¢ t⁄o iãu kiằn v õng gõp nhng ỵ kin quỵ bĂu ” t¡c gi£ ho n th nh khâa håc v b£n lu“n v«n n y CuŁi cịng t¡c gi£ xin ữổc gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi gia nh, bn b, ngữới thƠn  luổn ng viản, c vơ, t⁄o måi i•u ki»n thu“n lỉi cho t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lun vôn Giợi thiằu Lỵ thuyt biu din ca cĂc nhõm p-adic l mt hữợng nghiản cứu hiằn ang ữổc rĐt nhiãu nh toĂn hồc quan tƠm Mt nhng lỵ thúc 'y viằc nghiản cứu cĂc biu din ca cĂc nhõm p-adic xuĐt phĂt t chữỡng trnh Langlands Ngữới ta mun xƠy dỹng mt mi liản h» giœa c¡c d⁄ng tü flng c§u v c¡c bi”u di„n cıa c¡c nhâm adelic m c¡c bi”u di„n cıa cĂc nhõm p-adic õng vai trặ nhữ cĂc th nh phn a phữỡng ca chúng Mt nhng iãu c bi»t quan trång v mỵi cıa c¡c nhâm p-adics (so vợi cĂc nhõm thỹc) õ l sỹ tỗn ti ca c¡c bi”u di„n cuspidal Chóng ta s‡ th§y r‹ng c¡c biu din cuspidal cõ vai trặ nhữ nhng viản gch dũng xƠy dỹng tĐt cÊ cĂc biu din bĐt khÊ quy chĐp nhn ữổc ca cĂc nhõm p-adic Bushnell v Kutzko quy”n p q (vỵi s¡ch cıa m…nh [BK93]  xƠy dỹng ht tĐt cÊ cĂc biu din cuspidal cıa GL r F F l mºt tr÷íng p-adic) CĂc biu din cuspidal ữổc xƠy dỹng cÊm sinh t bi”u di„n hœu h⁄n chi•u ( °c bi»t n o â) cıa c¡c nhâm mð compact Mưc ti¶u cıa b i vi‚t n y l mæ t£ l⁄i c¡ch xƠy dỹng õ cho trữớng hổp ỡn giÊn nhĐt CĂc biu din p q ữổc xƠy dỹng t cĂc biu di„n cuspidal cıa GL2pFpq ( ÷ỉc xem nh÷ l mºt bi”u di„n cıa nhâm mð compact K : GL2pZpq thæng qua ph†p chi‚u ch‰nh t›c GL2pZpq — GL2pFpq) Nhœng bi”u di„n n y ÷ỉc gåi l bi”u di„n cuspidal cuspidal GL2 Qp p q º s¥u cıa GL2 Qp CĂc kt quÊ lun vôn ãu l nhœng k‚t qu£ ¢ bi‚t, âng gâp cıa t¡c gi£ l tŒng hæp, tr…nh b y l⁄i c¡c k‚t qu£ n y v chi ti‚t hâa chóng cho d„ ti‚p c“n v logic nh§t câ th” ” lu“n vôn cõ d i va phÊi, tĂc giÊ sò dửng mt cĂch tỹ cĂc kt quÊ ca lỵ thuyt biu din ca cĂc nhõm hu hn (nhữ lỵ thuy‚t °c tr÷ng, ) m khỉng cƒn ph£i nh›c l⁄i Lun vôn ữổc trnh b y nhữ sau: Mửc 2: Chóng ta nh›c l⁄i c¡c kh¡i ni»m v• ành gi¡ v tr÷íng àa ph÷ìng Trong mưc n y chóng ta nh nghắa th n o l mt trữớng p- adic v cĂc tnh chĐt ca nõ ỗng thới ta cụng cõ ữổc cĂch biu din mt phn tò ca trữớng p-adic p q Mưc 3: Chóng ta nh›c l⁄i c¡c kh¡i ni»m v• ‘- nhâm tŒng qu¡t C¡c nhâm GL r F m chóng ta quan t¥m ch‰nh l c¡c ‘-nhâm p q Möc 4: Do c¡c nhâm GLr F l c¡c nhâm tỉpỉ n¶n ta cơng cƒn nghi¶n cøu nhng biu din nhõm tữỡng thch vợi cĐu trúc tổpổ â Trong mưc n y chóng ta n¶u cĂc nh nghắa ca biu din trỡn, biu din bĐt khÊ quy, biu din chĐp nhn ữổc, cụng nhữ b • Schur, mºt ngœ c£nh mỵi (so vỵi kh¡i ni»m bi”u di„n cıa nhâm hœu h⁄n) Möc 5: ÷ỉc dịng ” ành ngh¾a º o Haar, mºt º o °c bi»t cıa khỉng gian compact àa ph÷ìng Kh¡i niằm vã nhõm ỡn modular cụng nhữ c trững modular cụng ữổc ã cp mửc n y p q Mửc 6: ữổc dũng nghiản cứu kắ hỡn vã nhâm GLr F Trong mưc n y chóng ta s‡ nh›c ‚n c¡c ph¥n t‰ch phŒ bi‚n cıa nhâm n y nhữ: phƠn tch Bruhat, phƠn tch Iwasawa, phƠn tch Cartan ỗng thới mửc n y ta cụng nõi rê hỡn vã tổpổ ca nõ Mửc 7: ữổc dũng nhc tợi cĂc khĂi niằm vã biãu din c£m sinh v h⁄n ch‚ cıa mºt bi”u di„n trìn Trong mưc n y chóng ta ÷a kh¡i ni»m bi”u di„n c£m sinh v bi”u di„n c£m sinh compact ( ữổc chu'n hõa) ữổc chu'n hõa Ơy ữổc hiu l nhƠn thảm côn bc hai ca c trững modular Lỵ ca viằc chu'n hõa n y l ta muŁn bi”u di„n c£m sinh cıa mºt bi”u di„n unita công l mºt bi”u di„n unita (do Łi tữổng chnh ca khổng liản quan n khĂi ni»m bi”u di„n unita n¶n kh¡i ni»m n y s‡ khổng ữổc ã cp ni dung ca lun vôn) Mưc 8: Mºt nhœng c¡ch x¥y düng bi”u di„n cıa c¡c nhâm p-adic â l c£m sinh tł nhœng bi”u di„n cıa nhâm ìn gi£n hìn nh÷ c¡c nhâm xuy‚n, hay c¡c nhâm parabolic Möc n y ÷ỉc d nh cho vi»c ành ngh¾a c¡c bi”u di„n c£m sinh parabolic Nhœng bi”u di„n khỉng th” nh“n ÷ỉc nh÷ mºt bi”u di„n cıa mºt bi”u di„n c£m sinh tł mºt nhâm parabolic th… ÷ỉc gåi l mºt bi”u di„n cuspidal Chóng ÷ỉc °c tr÷ng b‹ng vi»c câ mỉ un Jacquet l khỉng gian Mưc 9: Trong mưc n y chóng ta mỉ t£ t§t c£ c¡c bi”u di„n b§t kh£ quy cıa nhâm GL2 Fp p q p q s‡ ÷ỉc tr…nh Mưc 10: Biu din bĐt khÊ quy cuspidal sƠu ca GL Qp b y möc n y B NGTHU TNGV KịHI U Q Trữớng s hu t R Tr÷íng sŁ thüc Fp Qp GLrpF q Tr÷íng hœu hn gỗm p phn tò Trữớng p-adic ỡn modular Unimodular Xuy‚n Torus Phi‚m h m Functional Nhâm tuy‚n t‰nh tŒng qu¡t c¡c ma tr“n cï r r Ho n to n khổng liản thổng Totally disconnected Phn tò ỡn tr hâa Uniformizer Phư hỉp Adjoint Mỉ un Jacquet Jacquet module NƠng lản Lifting nh giĂ v trữớng a phữỡng T i li»u tham kh£o cho phƒn n y l mưc cıa b i gi£ng v• c¡c bi”u di„n cıa c¡c nhâm p-adic reductive cıa Murnaghan [FM09] Cho F l mt trữớng khổng tm thữớng (nghắa l F 0) nh nghắa 2.1 Mt nh giĂ trản F l mºt ¡nh x⁄ måi x; y F ta câ: P (1) (2) (3) | | : F — R¥0 thäa mÂn tnh chĐt vợi |x| x 0, |x:y| |x|:|y|, |x y| Ô |x| |y| V dử 2.2 Nu F l tm thữớng Trữớng F hu hn nản cõ s phn tò l t v n l dÔn ‚n x || | |p n n¶n x l Cho p l mt s nguyản t Vợi mỉi s hœu t¿ x d⁄ng x e p (v e p b P Q, ta câ th” vi‚t x nh§t dữợi a pa; b P Z; b 0; pa; pq pb; pq pa; bq 1q Ta ành ngh¾a |x|p |0|p 0) Khi â, | |p l mºt ành gi¡ tr¶n Q Th“t v“y: (1) Tł ành ngh¾a ta câ |x|p Ù x (2) X†t x p e (3) Khổng mĐt tnh tng quĂt, giÊ sò e | Hỡn nœa, n‚u |x|p |y|p, ành gi¡ n y ÷ỉc gåi l â x ¡ e , y|p max t|x|p; |y|pu ành gi¡ p-adic ành ngh¾a 2.3 Hai ành gi¡ n‚u | |1 = | | || nh nghắa 2.4 Mt nh giĂ ữổc gồi l ch§t a k†o theo a || || ríi r⁄c n‚u nhâm tlogp|a|q|a P F u l V‰ dö 2.5 GiĂ tr tuyằt i thổng thữớng trản trữớng sŁ thüc R l mºt ành gi¡ khỉng ríi r⁄c Ta câ tlogp|a |pq|a P Qu Z l mºt nhâm ríi r⁄c cıa nhâm pR; q ành gi¡ p-adic trản trữớng s hu t Q l mt nh gi¡ ríi r⁄c || ành ngh¾a 2.6 Mºt ành gi¡ ÷ỉc gåi l khỉng acsimet n‚u nâ (t÷ìng ÷ìng vỵi) mt nh giĂ thọa mÂn tnh chĐt: |x V dử 2.7 Gi¡ trà tuy»t ành gi¡ p-adic tr¶n Q l y | Ô max t|x|; |y|u : i thổng thữớng trản R l nh giĂ khổng acsimet B • 2.8 C¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: (1) | |l khæng acsimet ành gi¡ acsimet â: (2) (3) |x| Ô vợi mồi x thuc v nh cıa F sinh bði |x| bà ch°n vỵi måi x thuºc v nh cıa F sinh bði Chøng minh | q | |p1 2| |1| X†t x l n¶n | 1| hai d⁄ng sau: Ho°c x 1 Khi â ta cõ: |x| |1 Hoc x 1| Ô max t|1|; |1|; p1q p1q p1q Khi â ta câ: |x| |p1q p1q p q| Ô t| max 1|; ; |1|u 1: ; | 1|u 1: 74 Ùv |N| ¸ nPNp Tł h» thøc tr¶n suy v pn qv v q: P V pNq X†t nhâm Mirabolic cıa G: M# a x a | p P F; x P Fp + : € M v |M| ppp 1q: L§y : Fp — C l mºt °c tr÷ng khỉng Ta câ N tƒm th÷íng cıa Fp Bng viằc ỗng nhĐt nhõm côn lụy ỡn N vợi F p ta xem nh÷ l mºt °c tr÷ng cıa N TĐt cÊ cĂc c trững ca N ãu cõ d⁄ng n y M»nh • 9.9 Cho : Fp — C l mºt °c tr÷ng khỉng tƒm th÷íng Khi â ta câ Ind M N l mºt bi”u di„n b§t khÊ quy ca M Chứng minh Trữợc ht ta sò dửng B ã 9.2 tnh c trững IndMN ca biu din cÊm sinh IndMN Trữớng hổp 1: Vợi a â det m khæng thuºc v o N vợi mồi m P M Do Trữớng hổp 2: Vỵi måi m m V… th‚: x â ta cõ: iãu n y dÔn n + Nu x 0, 9.8 ta nhn ữổc IndM iãu á| pcq P V pNq, sò dửng B ã N pnqp pcqq pq nPN n y k†o theo c vỵi måi c C hay HomN 1; V Do â Sß döng lu“t thu“n nghàch Frobenius ta câ P tu 75 HomM pIndMN p ; |M q q HomM p ; |N q Hìn nœa theo m»nh • 9.9 th… Ind + N‚u x 0, Ind M N p q ¥ dimpIndMN q V… th‚ dim V p ppp1q Gồi Vi vợi i chy t aPFp cặn l mt biu din bĐt khÊ quy, nản |M chứa IndNM |M|{|N| l⁄i câ 1, n¶n M N 0: p aq ‚n bi”u di„n b§t kh£ quy cuspidal cıa V vy IndNM l tĐt cÊ cĂc p qƠ G Ta va mợi chứng minh rng dim Vi Sò dưng c¡c k‚t qu£ vła t‰nh ÷ỉc, ta câ p vợi mồi i Sò dửng mằnh ã 9.1(4) ta li cõ biu din bĐt khÊ quy Mằnh ã 9.10 Cho p ; V q l mºt bi”u di„n b§t khÊ quy cuspidal ca G Khi õ luổn tỗn ti mºt °c tr÷ng : F p C — M khỉng tƒm th÷íng cho |M Ind N °c bi»t, s chiãu ca mt biu din bĐt khÊ quy cuspidal l p Chøng minh Ta câ | N pp2 1qpp2 pq |G|: l mºt bi”u di„n cıa nhâm N nản nõ l tng trỹc tip DĐu bng xÊy v 76 cıa c¡c bi”u di„n b§t kh£ quy cıa N M°t kh¡c, ta l⁄i câ N l mºt nhõm giao hoĂn, nản Theo B ã Schur, cĂc biu din bĐt khÊ quy ca N ch cõ chiãu bng iãu n y dÔn n |N chứa mt c tr÷ng cıa N Hay nâi mºt c¡ch kh¡c ta câ HomN p1; V q bĐt k õ vợi måi c P C ta câ: pcq |N pnqp pcqq @n P N suy pcq |N pnqp pcqq Do V l mºt bi”u di„n cuspidal n¶n V V pNq L§y P p ; |N q nâ câ p c trững : Fp2 C nh nghắa 9.11 Mt c trững ữổc HomN nPN nPN ca Fp2 gồi l phƠn tch nu tỗn ti mt c tr÷ng ÷ỉc cıa F cho p p ı p2 nghi»m tr¶n Fp2 Do â |kerpNFp2 {Fp q| p 1: p dửng q nh lỵ ỗng cĐu nhõm, ta cõ Ênh ca NFp2 {Fp cõ iãu n y dÔn ‚n NFp2 {Fp l p Vỵi måi x N Fp2 {Fp p q x Gi£ sß v N N Fp2 N Fp2 {Fp p Fp2 {Fp p {Fp q q x: p q iãu n y dÔn p P E p q v ker h P F Do ch¿ â £nh cıa h câ |E| phƒn tß V“y h l — Fp; fi fi— h Ta câ a P pp y 1q{pp 1q p m ºt p to n ¡nh Do l ¡nh x⁄ chu'n cıa mð rºng Galois Fp2 1 X†t ¡nh x⁄ h : Fp2 — E; q: Trong õ NFp2 {Fp : Fp2 n õ tỗn ti cho 1 {Fp Ta câ p q1 p BŒ • 9.12 p â Chøng minh NFp2 {Fp Do NFp2 {Fp p q, nản nu pq phƠn t‰ch ÷ỉc th… p q p q 1: V“y p q p 1q Ta ành ngh¾a pxq p q Khi õ l mt c trững ca F GiÊ sò ngữổc l⁄i ta câ q Ta câ NF p2 {Fp p pq p l mt ỗng cĐu nhõm gia p q p q p q1 1 Nâi mºt c¡ch kh¡c l nghi»m cıa a thøc xp 1 M°t kh¡c ta l⁄i câ x p2 x câ 77 Phƒn cuŁi cıa möc n y s‡ t“p trung v o viằc xƠy dỹng cĂc biu din cuspidal bĐt kh£ quy cıa nhâm G, b‹ng c¡ch li¶n k‚t mØi mt c trững khổng phƠn tch ữổc ca Fp2 vợi mºt bi”u di„n cuspidal Do sŁ chi•u cıa bi”u di„n cuspidal b§t kh£ quy l p 1, ta câ th” lĐy bĐt k khổng gian vc tỡ p chiãu Khỉng gian chóng ta c£m th§y th‰ch hỉp nh§t tr÷íng hỉp n y s‡ l khỉng gian V c¡c h m nh“n gi¡ trà phøc tr¶n F Hìn nœa chóng ta cơng p M muŁn r‹ng h⁄n ch‚ cıa bi”u di„n n y tr¶n nhâm Mirabolic M ph£i l Ind trững khổng tm thữớng ca Fp Vợi cĂc c i”m â, chóng ta b›t ƒu x¥y düng bi”u di„n a b fqpxq N vỵi l mºt °c pbxqfpaxq: 1p Hìn th‚ nœa, chóng ta cơng mong muŁn rng trũng vợi trản nhõm tƠm hõa Z ca G: d 0 fqpxq pdqfpxq: dp Do â, a b fqpxq pcq pbc1xqfpac1xq: cp B‹ng t‰nh to¡n trüc ti‚p, ta cõ th kim tra ữổc rng l mt ỗng c§u nhâm giœa B v p q Aut V (nhâm c¡c tü flng c§u cıa V ) Ta cƒn mð rng ỗng cĐu n y cho to n b nhõm G ” thüc hi»n i•u n y ta cƒn ph£i vit li nhõm G dữợi dng phn tò sinh v quan h» °t w Khi â chóng ta câ c¡c quan h» giœa w v c¡c phƒn tß cıa B nh÷ sau: w d a 78 a (2) w~2 (3) pwu~q3 ~ Chøng minh °t G l nhâm sinh bði B v w~ vợi nhng quan hằ pha trản Khi õ ~ tỗn t⁄i nh§t mºt to n c§u : G — G cŁ ành c¡c phƒn tß B v bi‚n w~ th nh w Chóng ta cƒn chøng minh r‹ng ker pq ~ ƒu ti¶n chóng ta chøng minh r‹ng G, vợi mồi b PB T , tỗn ti b1; b2 P B cho wb~w~ b1wb~2 Th“t v“y, nu 0, õ 0 iãu n y dÔn ‚n wb~w~ pwd~1w~1 q wu~w~pw~1d2w~q b1wb~2; â b1 pwd~1w~1 q u1 p v b2 u1 w~1d2w~q l c¡c phƒn tß cıa B (sß dưng (1)) Tip theo, ỵ rng nu d p q P wd~w~ wd~w~ w~ B Gi£ sß tỗn ti g P kerp q Khi P T , â b‹ng c¡ch sß dưng (1) v (2) ta câ âg R B, g câ th” ÷ỉc vi‚t l⁄i nh÷ sau g 79 â b‹ng cĂch sò dửng nh ca v phÊi thổng qua ỗng cĐu l phn tò (mƠu thuÔn) nh nghắa pwq, ta ành ngh¾a h m sŁ j : Fp — C bi jpxq Vợi nh nghắa n y, ta cõ th nh nghắa pwqpfqpxq pwq nhữ sau: q py1 jpxyqfpyq: yPFp p q Vi»c cỈn l⁄i cıa chóng ta õ l kim tra xem vợi w ữổc nh nghắa nhữ trản cõ bÊo to n cĂc quan hằ (1),(2) v (3) mằnh ã 9.13 trản hay khổng Viằc ki”m tra khỉng khâ, nh÷ng cƒn nhœng t‰nh to¡n kh¡ t m v cõ phn buỗn tà nản s‡ bä qua (c¡c chøng minh chi ti‚t câ th” tm thĐy [PS83, Chữỡng 2, mửc 13]) nh lỵ 9.14 (1) Vợi mồi c trững khổng phƠn tch ữổc ca Fp2 , biu din ữổc xƠy dỹng nhữ trản l mºt bi”u di„n b§t kh£ quy cuspidal (2) N‚u l hai c trững khổng phƠn tch ữổc ca Fp2 , õ flng cĐu vợi v ch¿ q 1p q G pq M p M Chøng minh (1) Tł c¡ch x¥y düng ta câ res M Ind N Do Ind N b§t kh£ quy nản cụng l mt biu din bĐt khÊ quy GiÊ sß nâ khỉng ph£i bi”u di„n cuspidal, â nâ l bi”u di„n cıa mºt bi”u di„n c£m sinh parabolic iãu n y dÔn n s chiãu ca nõ phÊi l 1, p hoc p (mƠu thuÔn theo cĂch xƠy dỹng biu din cõ s chiãu l p 1) (2) ” ìn gi£n k‰ hi»u chóng ta sß dưng N °t v ; 1 N‚u v , â ta câ: Hìn nœa, p q p q @ P Fp p q thay cho NF p2 {Fpp q pq v Tr 80 Do â pw q pw q Nh÷ v“y ta câ 1 Ngữổc li, giÊ sò rng P AutpV q cho 1psq flng cĐu vợi Khi õ, tỗn ti tỹ flng cĐu psq, @s P G M°t kh¡c pq 1psq psq, @s P G °c bi»t, v l resGM b‹ng tr¶n B Do â, P F Hìn nœa, pw1q p q 1p q vợi mồi p nản q py1 jpxyqfpyq p 1q Tł BŒ • Schur 4.19, l mºt ph†p tü Do â, resGM ¸ py1 pw1q q j1pxyqfpyq; P vỵi måi x Tł â suy jp q j1p q vợi mồi P Fp, nghắa l ¸ pTrp qq p q pTrp qq 1p q: Np q Np q Vỵi x Chån Tr pq P pq p q nghi»m kh¡c cho hai flng thøc tr¶n, hi”n nhi¶n l °t a y y l °c trững ca F ữổc nh nghắa bi P l phn tò sinh ca nhõm xyclic Fp2 Vợi y Fp bĐt k, tỗn ti Fp2 cho yvN N (do Fp2 l m rng (trữớng) bc hai nhĐt cıa F p) Mºt ypxq pxyq Khi p q p q 1p q 1p q v °t p â, ta cõ ay y 0: y PFp Chú ỵ rng y y1, â y y1 , sß dưng bŒ • Artin v• t‰nh ºc l“p tuy‚n cıa c¡c °c trững phƠn biằt ca mt nhõm, ta cõ ay vợi mồi y Fp c biằt, ta cặn cõ: p 0q p 0q p 0q P p 0q: K‚t hỉp vỵi p 0q p 0q pNp 0qq pNp 0qq p 0q p 0q ho°c p 0q p 0q Tł â suy ta câ ho°c 1 phƒn tß sinh cıa Fp2 : 81 1 p 0q 1p 0q; ho°c , v… l P Fp p p H» qu£ 9.15 Chóng ta câ 22 biu din ổi mt khổng flng cĐu vợi c biằt tĐt cÊ cĂc biu din cuspidal ca G ữổc xƠy dỹng nhữ trản Chứng minh Gồi l phn tò sinh cıa nhâm Fp2 , â mºt °c tr÷ng ca Fp2 2ki ữổc xĂc nh nhĐt bit gi¡ trà p q Gi£ sß p q ep21 Theo mằnh ã 9.12, ta cõ phƠn tchữổc v ch¿ k chia h‚t cho p câ óng p gi¡ trà k chia h‚t cho p n‹m kho£ng tł ‚n p Do Ta õ cõ p c trững phƠn tch ÷ỉc V“y s‡ câ p p °c tr÷ng khỉng ph¥n tch ữổc Xt quan hằ tữỡng ữỡng trản cĂc c trững khổng phƠn tch ữổc nhữ sau v ch CĂc lợp tữỡng ữỡng cõ phn tò, nản cõ s lợp tữỡng ữỡng l p2 p p2 p p dửng nh lỵ 9.14 trản ta câ bi”u di„n ỉi mºt khỉng flng c§u vợi p p Hỡn na s lữổng biu di„n cuspidal cıa G ch‰nh x¡c b‹ng 22 , n¶n cĂch xƠy dỹng t cĂc c trững khổng phƠn tch ÷æc cıa Fp2 cho ph†p ta bi‚t h‚t c¡c bi”u di„n pq pq cuspidal cıa G 10 C¡c bi”u di„n cuspidal º s¥u cıa GL2pQpq Trong mưc n y s xƠy dỹng mt lợp cĂc biu din cuspidal ca nhõm p q GL2pFpq  ữổc xƠy dỹng pha trản CĂc biu din n y ữổc gồi l bi”u di„n GL2 Qp C¡c bi”u di„n n y ữổc xƠy dỹng cÊm sinh t nhng biu din cuspidal cıa cuspidal câ º s¥u p q ành lỵ 10.1 Xt l mt biu din cuspidal bĐt khÊ quy cıa GL r Fp Thæng qua to n c§u nhâm tł GLr Zp v o GLr Fp , ta cơng câ th” xem nh÷ l mºt bi”u di„n p q p q p q cıa GLr Zp GiÊ sò l mt c trững ca Qp thọa mÂn hn ch ca xung Zp trũng vợi c trững trung t¥m cıa , â l N‚u gåi l bi”u di„n c£m sinh compact ind GLrpQpq QpGLrpZpq p q p khÊ quy cuspidal chĐp nhn ữổc ca GLr Qp Trữợc ht, cn mt b ã tng quĂt cho ph†p mæ t£ h⁄n ch‚ cıa mºt bi”u di„n c£m sinh (trong tr÷íng hỉp °c bi»t m chóng ta ang quan tƠm) B ã 10.2 Cho H l mt nhâm mð, compact modulo t¥m hâa cıa mºt ‘-nhâm ìn modular G Gåi p ; W q l mºt bi”u di„n trìn hœu h⁄n chi•u cıa H Gåi ind G H bi”u di„n c£m sinh compact t÷ìng øng Khi â h⁄n ch‚ cıa xuŁng H ÷ỉc cho bði 82 pql | rind p qs G H â g H ‡ H l bi”u di„n cıa g Hg IndHHXg1Hgpg nh nghắa bi g |HXg1Hgq; gPHzG{H pg1Hgq phq vợi måi h P H P G, gåi Vg p Chøng minh Vỵi mØi g C8 HgH; q l khỉng gian c¡c h m f trìn p q ph1qfpgh2q V… HgH mð G v cơng compact G modulo H n¶n ta câ mºt ìn c§u ch‰nh t›c V g — ind H p q, ành ngh¾a b‹ng c¡ch mð rºng bi ngo i HgH BƠy giớ, cĂc ìn ¡nh V g — cho ta mºt ¡nh x⁄ chnh tc trản HgH thọa mÂn f h1gh2 Vg : ‡zG{H gPH Ta s‡ ch¿ ¥y l mºt flng c§u cıa c¡c H-mỉ un Th“t v“y, b‹ng c¡ch x†t giĂ ca cĂc h m, d thĐy Ănh x trản l ìn ¡nh M°t kh¡c, tł ành ngh¾a cıa ta câ ÷ỉc t g |HXg1Hgq ‰nh to n ¡nh Chú ỵ rng H tĂc ng lản Vg thổng qua php nhƠn phÊi ca H lản HgH, ỗng thới Ănh x Vg l ỗng cĐu cĂc H-mổ un Ti‚p theo ta ki”m tra ÷ỉc t÷ìng øng f fi—f t Vg v o IndHHXg1Hgp ữổc nh nghắa tt v l mºt song ¡nh b£o to n t¡c ºng cıa H Ta câ i•u ph£i chøng minh p q nhâm m, ỗng thới compact modulo tƠm hõa ca G GL rpQpq ” ìn gi£n, ta Chøng minh cho ành lỵ 10.1 Gồi H l nhõm QGLr Zp Rª r ng H l mºt p cơng vi‚t ” ch¿ bi”u di„n cıa H Ta s‡ chøng minh ành lỵ 10.1 bng cĂch ln lữổt chứng minh tnh bĐt khÊ quy, chĐp nhn ữổc v tnh cuspidal ca Tnh bĐt khÊ quy: Ta cõ khflng nh sau Ơy: Vỵi måi g HomHXg1Hg PG H, ta ln câ p ;g q t0u T⁄m thíi ch§p nh“n khflng ành n y, õ theo b ã pha trữợc ta cõ xuĐt hiằn vợi bi 1, hay nõi cĂch khĂc dim HomH p ; |H q Gi£ sß ph£n chứng rng khổng bĐt khÊ quy Khi õ tỗn ti mt dÂy khợp ngn ca cĂc G-module khổng tm thữớng: v 20: Chú ỵ rng v H compact modulo tƠm hõa nản mồi biu din (chflng h⁄n ; 1; ) m tr¶n â Q t¡c ng nhữ mt c trững ãu l H-mổ un nòa ìn V… p ind G H p q n¶n câ th” nhóng v o IndGH p q nh÷ mºt G-module 83 iãu tữỡng tỹ cụng p q t u, úng cho Sò dửng nh lỵ thun nghch Frobenius 7.5 ta câ HomH 1; nâi c¡ch kh¡c xu§t hi»n Theo nh lỵ thut nghch Frobenius 7.6 ta câ p HomG ind G H p q; q Hom p ; q: H Do â cơng xu§t hiằn 2, nhiản iãu n y mƠu thuÔn vợi viằc ch xuĐt hiằn vợi bi P Nh÷ v“y ta ch¿ cƒn ph£i chøng minh nh“n x†t nâi tr¶n V… g G H n¶n b‹ng c¡ch sò dửng phƠn tch Cartan, ta cõ th giÊ sò m khỉng l m m§t t‰nh tŒng qu¡t r‹ng m g diagp$F thọa mÂn mk Ơ v mk Hom Gi£ sß HomHXg1Hgp ;g â ta cơng câ q t0u Khi qX p N O k g pr kq cıa r Ta câ NkpOq X gNkpOqg € NkpBq, Ơy cĂc k hiằu ữổc hiu theo nghắa hin nhiản V ữổc nƠng lản t GL rpFpq nản g tm thữớng trản NkpOq X g1NkpOqg, tức l HomN pOqXg N pOqgp ; 1q t0u iãu n y mƠu thuÔn vợi p ; W q l mt biu din cuspidal ca GLrpFpq ứng vợi phƠn hoch r k k Tnh chĐp nhn k ữổc: Tip theo ta chứng minh D thĐy ta ch cn chứng minh, vợi mỉi m Ơ th K l biu din chĐp nhn m ữổc l hu hn chiãu Ơy Km l nhõm ỗng chnh bc m Nhc li rng thọa mÂn K m l khổng gian vector gỗm c¡c h m h‹ng sŁ àa ph÷ìng f : G p q ph qf pg q; f hgk vỵi måi h —W P H; g P G; k P Km: Sò dửng phƠn tch Cartan, ta cõ th chồn cĂc phn tò i diằn ca cĂc lợp kã kp HzG{Km ð d⁄ng g a k, â a diagp$Fm1 ; : : : ; $Fmr q vỵi m1 ¤ m2 ¤ ::: ¤ mr v k P K{Km Vợi mỉi a nhữ vy, pq Ơ pq t t a t max mi p q | Ô i ¤ r 1u mi X p q Chó þ r‹ng n‚u t a m j mj m th… Uj O gKmg H, â Uj l c«n lơy ìn cıa nhâm parabolic tŁi ⁄i øng vỵi phƠn hoch r j r j Nhữ vy ta câ: puq fpgq fpugq fpg g ug q f pg q; p q P W l mºt vector cŁ ành bði UjpOq v â bði UjpFpq Khi p ; W q cho ta fpgq nâi c¡ch kh¡c f g â t‰nh cuspidal cıa V“y ta ¢ chøng minh ÷ỉc n‚u f PK m th… f câ giĂ nm cĂc lợp kã kp HakK m vợi p q m V cĂc lợp kã nhữ vy l hu hn nản ta cõ s chiãu ca t a 84 K m l hœu h⁄n T‰nh cuspidal: Gåi P M N l mºt nhâm parabolic cıa G ” chøng minh l cuspidal ta cƒn ch¿ mæ un Jacquet N Do â ta ch¿ cƒn chøng minh pNq Chú ỵ rng Hom N p ; Cq p gỗm cĂc vector (trong khổng gian i ngÔu ca ) ữổc c nh bi N Ta s ch¿ V… ind G H p q n¶n ta cõ th ỗng nhĐt p qN l khổng gian qN p z q, khæng gian c¡c h m thäa mÂn phgq phq pgq Ta vợi C H G; hng s a phữỡng trản G vợi giĂ giĂ tr W cõ th kim tra php ỗng nhĐt n y l úng bng cĂch ỵ rng khổng gian i ngÔu ca q tng trỹc tip ca cĂc khổng gian vector s flng cĐu vợi tch trỹc tip ca cĂc i ngÔu Suy p N l khổng gian gỗm cĂc h m hng s a phữỡng : G phgnq phq pgq; vợi mồi h W thọa mÂn P H; g P G; n P N Ti‚p theo, sò dửng phƠn tch Iwasawa ta cõ th chồn phn tò i diằn cho cĂc lợp kã kp H G N cho chúng ãu nm M Vợi mỉi m M, ỵ rng z { P p q N X H H X mN m1: N O Do â vỵi måi h P NpOq, ta câ phq pmq phmq pm tøc l pmq PW m hm q p m q; ÷ỉc cŁ ành bði NpFpq Hìn nœa v… p ; W q l bi”u di„n cuspidal (do p ; W q l bi”u di„n cuspid2al) n¶n pmq Suy p qN 85 T i li»u [BH06] C J Bushnell, G Henniart, The local Langlands conjecture for GL 2, Grundlehren der Math Wiss 335, Springer, Berlin p q via compact [BK93] C J Bushnell, P C Kutzko, The admissible dual of GL N open subgroups, Princeton University Press, Princeton (1993) [FM09] F Murnaghan, Representations of reductive p-adic groups, http://www.math.toronto.edu/murnaghan/course/mat1197/notes.pdf p q for finite fields [PS83] I Piatetski-Shapiro, Complex representations of GL K K, Contemporary mathematics (16) [PR07] D Prasad, A Raghuram, Representation theory of GL n over nonArchimedean local fields, http://www.math.tifr.res.in/ dprasad/ictp2.pdf [S71] J P Serre, Linear representations of finite groups, Graduate texts in Mathemat-ics 42, Springer [RV18] R Vinroot, Topological groups, http://www.math.wm.edu/vinroot/PadicGroups/topgroups.pdf 86 ... tuy‚n t‰nh pgq b£o to n P G), n¶n p0 : |G | ? ?p q g p pg1 q ; gPG l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh i tł V v o W P W , ta câ pg1qpxq P W , n¶n p pg1qpxq pg1qpxq Do â pgq 1 p pg qpxq pgqp pg qpxqq x i•u... m¢n fpgKq fpgq fpKgq Cho f P C Gq v g P G, ta p Ki X Ki1q Khi â K l nhâm mð compact ành ngh¾a: cp p pgqpfqqpxq fpg1xq; @x P G v p pgqpfqqpxq fpxgq; @x P G: Khi â p ; C8 Gqq v cp M»nh • 5.2 p ;... di„n cıa nhâm mð compact K : GL2pZpq thæng qua ph? ?p chi‚u ch‰nh t›c GL2pZpq — GL2pFpq) Nhœng bi”u di„n n y ÷ỉc gåi l bi”u di„n cuspidal cuspidal GL2 Qp p q º s¥u cıa GL2 Qp C¡c kt quÊ lun vôn