ĐỒNG DƯ THỨC * Định nghĩa : Cho a, b �Z ; m �N a gọi đồng dư với b theo modunlo m a b có số dư chia cho m Kí hiệu : a �b(mod m) Vậy a �b(mod m) � (a b)Mm * Tính chất : Cho a, b, c, d , e �Z ; m, n �N : a Tính chất phản xạ : a �a (mod m) b Tính chất đối xứng : a �b(mod m) � b �a (mod m) c Tính chất bắc cầu : a �b(mod m); b �c(mod m) � a �c (mod m) d �a c �b d (mod m ) �a c �b d (mod m ) a �b(mod m) � � � �� �a.c �b.d (mod m) c �d (mod m) � � a e �b e(mod m ) � � �a.e �b.e(mod m) n n e a �b(mod m) � a �b (mod m) f a �b(mod m) � a.n �b.n(mod m.n) g a �b(mod m) � a b � (mod m) e e với e �UC (a, b);(e, m) h a �b(mod m); a �b(mod m ') � a �b(mod m, m ' ) k ac �bc(mod m);(c, m) � a �b(mod m) p Định lý Fermat nhỏ: Cho a số nguyên p số nguyên tố, : a �a (mod p) p 1 +) Đặc biệt: Nếu ( a, p) � a �1(mod p)( p �P) Các dạng tốn Dạng : Tìm số dư phép chia Bài 1: Tìm số dư 94 a 92 cho 15 b 1944 c A 1532 cho 2005 cho 2003 d A cho 13 70 50 e A cho 12 2005 2005 f A cho 11 13 Lời giải 94 94 a Ta có: 92 �2(mod15) � 92 �2 (mod15)(1) 4 23 23 23 94 Lại có: �1(mod15) � (2 ) �1 (mod15) � (2 ) �4(mod15) � �4(mod15)(2) Từ (1)(2) � du : b Ta có: 1994 �2(mod 7) � 1994 2005 �( 2) 2005 (mod 7) 3 668 2005 Lại có: (2) �1(mod 7) � ( 2 ) (2) �( 2)(mod 7) � ( 2) �2(mod 7) � 19442005 chia cho dư c Ta có: 1532 �2(mod 9) � 15325 �2 (mod 9);25 �5(mod 9) � 15325 �5(mod 9) � 15325 �4(mod 9) Vậy số dư : 203 667 d Ta có: �1(mod13);2003 3.607 � (3 ) 33 �1(mod13) � (33 ) 667 �1667 � (33 ) 667 32 �9(mod13) � du : 1(mod12) �� e Ta có: � � 1(mod12) �� (52 )35 1(mod12) (7 ) 25 125 (mod12) 570 1(mod12)(1) 750 1(mod12)(2) 70 50 Từ (1)(2) � A chia cho 12 dư 5 401 5 401 f Ta có: �1(mod11) � (3 ) �1(mod11);4 �1(mod11) � (4 ) �1(mod11) � A 32005 42005 �2(mod11) � du : 3 668 2005 3 668 +) �1(mod13) � (3 ) �1.3(mod13) � �3(mod13);4 �1(mod13) � (4 ) �1.4(mod13) � 42005 �4(mod13) � A 32005 42005 �7(mod13) � du : Bài 2: Chứng minh 5555 2222 b 2222 5555 chia hết cho 2002 a chia hết cho 31 200 c 2014 256 chia hết cho 2016 Lời giải 2002 400 5 400 400 a �1(mod 31); 2002 5.400 � (2 ) ; �1(mod 31) � (2 ) �1 (mod 31) � (25 ) 400 22 �1.22 (mod 31) � 22002 �4(mod 31) � 2002 chia hết cho 31 5 5555 1111 b Ta có: 2222 �3(mod 7) � 2222 �3 (mod 7) �5(mod 7) � 2222 �5 (mod 7)(1) 2 2222 1111 Lại có : 5555 �4(mod 7) � 5555 �4 �2(mod 7) � 5555 �5 (mod 7)(2) 5555 2222 1111 1111 Từ (1)(2) � 2222 5555 �5 (mod 7)(3) 1111 1111 1111 1111 1111 Mặt khác : �2(mod 7) � �( 2) �2 (mod 7) � �0(mod 7)(4) 5555 2222 Từ (3)(4) � 2222 5555 M7 c Ta có: 20143 �2008(mod 2016); 2014 �4(mod 2016) � 20145 �20143.20142 �2008.4 �1984(mod 2016) � 201410 (20145 ) �19842 �1024(mod 2016) � 201430 �10243 �64(mod 2016) � 2014200 �10242 �256(mod 2016) � 2014200 256M2016 2n n Bài 3: Chứng minh : A 7.5 12.6 chia hết cho 19 với số tự nhiên n Lời giải 2n n n n Ta có: A 7.5 12.6 7.25 12.6 Lại có : 25 �6(mod19) � 25n �6n (mod19) � 7.25n �7.6n (mod19) � 7.25n 12.6n �7.6n 12.6n (mod19) � 7.25n 12.6n �19.6n �0(mod19) � A 7.52 n 12.6 n M 19n �N n 1 n2 13n �N Bài 4: Chứng minh : A M Lời giải 2 n n n n n 1 n Ta có: �3(mod13) � (4 ) �3 (mod13) � 4.(4 ) �4.3 (mod13) � �4.3 (mod13)(1) Lại có: 32 �4(mod13) � 3n.32 �4.3n (mod13) � 3n �4.3n (mod13)(2) � n 1 3n �4.3n 4.3n 0(mod13) � A 42 n1 3n M 13n �N 776 777 778 Bài 5: Tìm số dư : A 776 777 778 chia cho Lời giải 776 776 776 Ta có: 776 �1(mod 3) � 776 �( 1) (mod 3) � 776 �1(mod 3) 777 �0(mod 3) � 777 777 �0(mod 3);778 �1(mod 3) � 778778 �1(mod 3) � A chia dư 776 777 777 +) Lại có: 776 �1(mod5) � 776 �1(mod 5);777 �3(mod5) � 777 �( 3) (mod 5) 778778 �3778 (mod 5) � A �1 3777 3778 (mod5) � A �1 3.3777 3777 (mod 5) �1 3777 (3 1)(mod 5) �1 2.3777 (mod 5);32 �1(mod5) � (3 )338 �3(mod5) � A �1 2.3 �2(mod 5) Vậy A chia dư Bài 6: Chứng minh 30 20 b chia hết cho 30 15 a 20 chia hết cho 11 222 555 c 555 222 chia hết cho 30 d 1234 1388 chia hết cho 2014 Lời giải 5 5 a �1(mod11);10 �1(nod11) � 10 �1(mod11) � 10 �1(mod11) � 20 �1(mod11) � 205 �0(mod11) 30 30 b �1(mod13) � �1(mod13);3 �1(mod13) � �1(mod13) � 230 320 �1 1(mod13) �0(mod13) 222 222 3 74 222 c 555 �2(mod 7) � 555 �2 (mod 7);2 �1(mod 7) � (2 ) �1(mod 7) � 555 �1(mod 7) 222 �2(mod 7) � 222555 �(2)555 (mod 7) 185 555 (2)3 �1(mod 7) � � ( 2)3 � � � �1(mod 7) � 222 �( 1)(mod 7) � A �1 1(mod 7) �0(mod 7) Có: 30 d Ta có : 1234 �778(mod 2014) � 1234 �778 �1500(mod 2014) � 1234 �1500 �1234(mod 2014) � 12343.123427 �778.1234(mod 2014) � 123430 �1234.1234.778 �1388(mod 2014) � (123430 1388) M2014 1998 1999 2000 10 Bài 7: Tìm số dư phép chia A (1997 1998 1999 ) chia cho 111 Lời giải Ta có: 1998 �0(mod11);1997 �1(mod11) � 1997 1998 �1(mod11);1999 �1(mod11) � 19992000 �1(mod11) � A �(1 1)10 �210 �1024 �25(mod111) � A chia 111 dư 25 Bài 8: Sử dụng định lý Fermat nhỏ 10 10 10 10 10 Chứng minh : A 10 10 10 10 5M7 Lời giải Vì số nguyên tố nên (10,7) = nên theo định lý Fermat nhỏ ta có : 106 �1(mod 7) � 106 k �1k �1(mod 7) Với số tự nhiên n khác : n 4(k N ) 1010 Đặt 10 6ήk���� n n n 10n 1000 02 14 43 M2,3 � (10 2)M6 � 10 �4(mod 6) 106 k n1 106 k.104 1.14 (mod 7) 10 (mod 7) 1010 10 (mod 7) 10 1010 �104 (mod 7);1010 �104 (mod 7) .;1010 �10 ( mod 7) � A �10.104 �0(mod 7) � AM7 Bài 9: Sử dụng định lý Fermat nhỏ 1331 1331 1331 1331 11 Chứng minh : A 1331 M Lời giải 11 Vì 11 số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ ta có : a �11(mod11)a �Z � a121 (a11 )11 �a11 �a( mod11) � a1331 (a121 )11 �a11 (mod11) �a(mod11) Áp dụng kết ta : 11331 21331 13311331 �1 1331 �886446 �0(mod11) � AM 11 Bài 10: Chứng minh : a �a(mod 30)a �Z Lời giải Ta có : 30 2.3.5 6.5; a a a(a 1) a (a 1)(a 1) a (a 1)(a 1)(a 1) 4 4 43 M Ta cần chứng minh : a �a(mod 5) +) Nếu a �0(mod 5) � a �0 �a (mod 5) ( 1)5 �a(mod5) +) Nếu a ��1(mod 5) � a �� ( 2)5 ��32 ��2 �a (mod 5) +) Nếu a ��2(mod 5) � a �� p Vậy a �a(mod 5) � a �a(mod p) 22 22 Bài 11: Chứng minh : A (22 22)M3234 Lời giải Ta có : 3234 3.22.7 +) Có : A �0(mod 22) 22 +) 22 �1(m0d 3) � 22 �1(mod 3) 22 22 22 +) 22 �1(m0d 7) � 22 �1 �1(mod 7) � 22 k k A 227 k 1 22 22(227 k 1) 22 � (22k )7 1� (22 k )6 (22 k )5 22 k 1� � � 22.(22 1) � � � k k +) 22 �1( m0d 7) � 22 �1 �1(mod 7) Đặt B (22k )6 (22k )5 22 k � B �1142 4 31 �7 �0(mod 7) � A �0(mod 49) 7.chu so.1 Vậy A �0(mod 3.22.49) � dpcm 7 Bài 12: Chứng minh : A (7 77)M20 ( Có 100 chữ số ) Lời giải Ta có : 20 = 7 Đặt B (997.chu.so.7) � A : le A B 77 �(1) B �1 �0(mod 4)(1) 1)(mod κ���� 4) B 4k 3(k Ta có : B �(� N * );7 B 2B k 3 16 k.8 1k.3 3(mod 5) A �3 77 �80 �0(mod 5)(2) � A �0(mod 20)(vì:(4,5)=1) n n n n * Bài 13: Chứng minh : A M5 � nM/ 4( n �N ) Lời giải k k 4k +) n 4k � A �1 16 81 ( 1) k k 4k +) n 4k � A �1 16 81 (1) �1 �10 �0(mod 5) k k 4k +) n 4k � A �1 16 81 (1) �1 16 �30 �0(mod5) k k 4k 3 2 +) n 4k � A �1 16 81 ( 1) �1 �0(mod 5) Vậy A chia hết cho n không chia hết cho n 3 n2 n 17n �N * Bài 14: Chứng minh : A (2 )M Lời giải A 32n.8 9.3 n 5n �15n.8 9.15n �17.5n �0(mod17) n 2 Bài 15: Chứng minh : A n n n 1MB (n 1) n �N , n Lời giải A n n n n n2 ( nn 2 1) ( n 1) +) Với n = +) Xét với n > A n (n 1)( n n3 n n4 n 1) ( n 1) A ( n 1) � n ( n n 3 nn 4 n 1) 1� � 4 4 4 4 4 3� C n �1(mod n 1) � n k �1k (mod n 1)k �N Ta có nhận xét sau : � n (n n3 n n4 n 1) �1.(1 1)(mod n 1) �n 2(mod n 1) 4 44 4 43 C 1 � C �n 1(mod n 1) � C M(n 1) � AM( n 1) n �2 69 Bài 16: Chứng minh : 220 119 69 220 A 220119 119 6943 M 102 4 2 le Lời giải Ta có : AM2 69 220 119 69 �0(mod 3); AM3 +) 220 �1(mod3);119 �1(mod 3);69 �0(mod 3) � A �1 (1) 11969 +) 220 �1(mod17);119 �0(mod17);69 �1(mod17) � A �( 1) 119 1220 �0(mod17) � AM 17 Vậy AM2.3.17 102(dpcm) 100 Bài 17: Giả sử a1 , a2 , a100 số tự nhiên thỏa mãn : a1 a2 a3 a100 5 5 Tìm số dư chia A a1 a2 a100 cho 30 Lời giải ή 30) a �Z Ta có : a �a(mod A a15 a25 a100 a1 a2 a100 100 100 Có : �1(mod 6) � �1(mod 6) � �25(mod 6) 100 100 Mặt khác : �25(mod5);(5,6) � �25(mod 30) Vậy số dư 25 Dạng 2: Tìm chữ số tận sơ Bài 1: Tìm chữ số tận 5100 (mod 30) a 167 � (45 )6 � � � c 1414 2010 b 14 Lời giải a Ta có : 167 �7(mod10) � 167 2010 �7 2010 (mod10) 2010 1005 1005 Lại có : �49 �( 1) �1(mod10) 2010 Vậy có tận 14 2 14 14.14 14 14.7 14 98 14.14 b 14 �4 (mod10);4 �(16) (mod10) � �6 (mod10) � �6(mod10) Vậy tận 5.6.7 3.5.7 5.3.7 5.6.7 5.6.7 c 16 (mod10) � �6(mod10) � có tận ... 2)(mod 7) � ( 2) �2(mod 7) � 19442005 chia cho dư c Ta có: 1532 �2(mod 9) � 15325 �2 (mod 9);25 �5(mod 9) � 15325 �5(mod 9) � 15325 �4(mod 9) Vậy số dư : 203 667 d Ta có: �1(mod13);2003 3.607... dư : A 776 777 778 chia cho Lời giải 776 776 776 Ta có: 776 �1(mod 3) � 776 �( 1) (mod 3) � 776 �1(mod 3) 777 �0(mod 3) � 777 777 �0(mod 3);778 �1(mod 3) � 778778 �1(mod 3) � A chia dư. .. 1(mod12) (7 ) 25 125 (mod12) 570 1(mod12)(1) 750 1(mod12)(2) 70 50 Từ (1)(2) � A chia cho 12 dư 5 401 5 401 f Ta có: �1(mod11) � (3 ) �1(mod11);4 �1(mod11) � (4 ) �1(mod11) � A 32005 42005