Chuyên đề 26 đồng dư thức

Chuyên đề 26 ĐỒNG DƯ THỨC A Kiến thức cần nhớ I Định nghĩa: Cho số nguyên m  Nếu hai số nguyên a b chia cho m có số dư ta nói a đồng dư với b theo môđun m ký hiệu: a b (mod m) Chú ý: a) a b (mod m) đồng dư thức với a vế trái, b vế phải b) a b (mod m)  a  b m  t  z cho a b  mt c) Nếu a b không đồng dư với theo môđun m ta ký hiệu: a b (mod m) II.Tính chất: Tính chất phản xạ: a a (mod m) Tính chất đối xứng: a b (mod m)  b a (mod m) Tính chất bắc cầu: a b (mod m); b c (mod m)  a c (mod m) Cộng hay trừ vế đồng dư thức có môđun: a b (mod m); c d (mod m)  a c b d (mod m) Tổng quát: bi (mod m), i 1;2; ; k  a1 a2  ak b1 b2  bk (mod m) a) Nhân hai vế đồng dư thức với số nguyên: a b (mod m)  ka kb (mod m) với k  Z b) Nhân hai vế môđun đồng dư thức với số nguyên dương: a b (mod m)  ka kb (mod m) với k  N * Nhân vế nhiều đồng dư thức có mơđun: a b (mod m); c d (mod m)  ac bd (mod m) Tổng quát bi (mod m), i 1;2; ; k  a1 a2 ak b1 b2 bk (mod m) Nâng hai vế đồng dư thức lên lũy thừa: a b (mod m)  a k b k (mod m) (k  N * ) Nếu hai số đồng dư với theo nhiều môđun chúng đồng dư với theo mơđun BCNN môđun ấy: a b (mod mi) i 1;2; ; k  a b (mod [m1; m2;…;mk]) Đặc biệt (mi; mj) = (i; j = 1; 2; …; k) a b (mod mi)  a b (mod m1; m2;…;mk) Nếu a b (mod m) tập hợp ước chung a m tập hợp ước chung b m Đặc biệt: a b (mod m)  (a, m) ( b, m) 10 Chia hai vế môđun đồng dư cho ước dương chung chúng: a b (mod m), k  UC(a, b, m ), k   a b m   mod  k k k m   Đặc biệt: ac bc (mod m)  a b  mod (c, m)   III Một số định lý (ta thừa nhận không chứng minh) Định lý Fermat bé Cho a số nguyên dương p số nguyên tố Khi ta ln có a p a(mod p) Đặc biệt (a, p) 1 a p  1(mod p) Định lý Wilson Với số nguyên tố p ( p  1)!  1(mod p) Định lý Euler Cho m số nguyên dương a số nguyên tố với m; (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m Khi a ( m ) 1(mod m) Chú ý: Nếu số nguyên dương m có dạng phân tích thành thừa số ngun tố:      m  p11 p22 pk k (m) m    1      p1   p2   pk   B Một số ví dụ Dạng tốn tìm số dư phép chia có dư * Tìm cách giải: Với hai số nguyên a m, m > ln có cặp số ngun q, r cho  a r (mod m) a mq  r,0 r  m Để tìm số dư r phép chia a cho m ta cần tìm r cho  0 r  m Ví dụ 1: a) Tìm số dư phép chia 15325  cho b) Tìm số dư phép chia 2016 2018  cho Giải a) Ta có 1532 9.170  2 (mod 9) 15325 25 (mod 9)  15325  2  1(mod 9) Vì  31 4 (mod 9) Do 1532  4 (mod 9) Vậy số dư cần tìm b) Ta có 2016 1(mod 5) 2016 2018 12018 (mod 5)  2016 2018  12018  2(mod 5) Vì  3 3 (mod 5) Do 2016 2018  3(mod 5) Vậy số dư cần tìm  Ví dụ 2: Chứng minh 20132016  2014 2016  20152016  10 106 Giải Ta phải tìm số tự nhiên r cho r (20132016  2014 2016  20152016 )10 (mod106) Ta có 2013 106.19   2013  1(mod106)  20132016 1(mod106) 2014 106.19  2014 0(mod106)  2014 2016 0(mod106) 2015 106.19   2015 1(mod106)  20152016 1(mod106) 10 Do  20132016  20142016  20152016  0(mod106) Ví dụ 3: a) Hãy tìm chữ số tận 99 10 b) Hãy tìm hai chữ số tận 31000 Giải a) Tìm chữ số tận số tìm dư phép chia số cho 10 Vì 92 n 1 9.81n 9(mod 10) Do 910 số nên số 99 có chữ số tận 10 b) Tìm hai chữ số tận số tìm dư phép chia số cho 100 Ta có 34 81  19(mod100)  38 (  19)2 (mod 100) Mà ( 19)2 361 61(mod100) Vậy 38 61(mod100) 310 61.9 549 49(mod100) 320 492 01(mod100) (do 492 2401 24.100  1) Do 31000 01(mod100) nghĩa hai chữ số sau 31000 01 Dạng toán chứng minh chia hết: Khi số dư phép chia a cho m a m Như để chứng tỏ a m ta chứng minh a 0(mod m) Ví dụ 4: Chứng minh 2018  79 Giải Ta có 43 64 1(mod 9)  2016 (43 )672 1(mod 9) Mặt khác 42 16 7(mod 9)  2018 4 2016.42 1.7(mod 9) Vậy 2018  0(mod 9) hay 2018  79 Ví dụ 5: Chứng minh 12 n 1  11n2 133(n  N ) Giải Cách 1: Ta có 122 144 11(mod133); 112 121  12 (mod 133) Do 122 n 1 12.(122 )n 12.11n (mod133) 11n 2 112.11n  12.11n (mod133) Do 122 n 1  11n 2 12.11n  12.11n 0(mod133) Vậy với n  N 12 n 1  11n2 133 Cách 2: Ta có 12 144 11(mod133)  122 n 11n (mod133) Mà 12  112 (mod133) (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta có: 122 n.12 11n.( 112 )(mod 133)  122 n 1  11n 2 (mod133) 12 n 1  11n 2 0(mod133) hay 12 n 1  11n 2 133 Dạng toán xác định dấu hiệu chia hết (1) Ví dụ 6: Cho số a an an  a1a0 (1 an 9; ai 9; i 0;1; ; n  1) Hãy xác định dấu hiệu chia hết: a) Cho b) Cho Giải Ta có a an an  a1a0 an 10n  an  110n    a1 10  a0 i a) Ta có 10 1(mod 3) 10 ai (mod 3), i 1;2;3; ; n n n Do an 10  an  110   a1 10  ao (an  an    a1  ao ) (mod 3) Vậy a 3  an  an    a1  ao 0(mod 3)  an  an    a1  ao 3 i b) Ta có 10 100 0(mod 4)  10 0(mod 4), i 2;3; ;n  an 10n  an  110n   a110  ao (a110  ao )(mod 4) Vậy a 4  a110  a0 0(mod 4)  a1ao 4 Dạng toán sử dụng định lý: Ví dụ 7: Chứng minh với số tự nhiên n thì: n1 23  32 n 1  2007 chia hết cho 22 Giải Theo định lý Fermat bé ta có 210 1(mod 11);310 1(mod 11) Ta có 34 81 1(mod10)  34 n 1 3.(34 )n 3(mod10)  34 n 1 10k  3,(k  N ) Mặt khác 16 1(mod 5)  n 1(mod 5)  n 1 2(2 )n 2(mod10)  n 1 10t  2,( t  N) Do 23 n1  32 n1  2007 210 k 3  310 t 2  2002  23 (210 )k  32 (310 )t  22.91  23  32   0(mod11) Mà 23 n1  32 n 1  20072 (vì 23 n1 số chẵn, 32 n1 số lẻ, 2007 số lẻ) n1 n 1 Do (2;11) 1 nên 23  32  200722 Ví dụ 8: Cho a1 ; a2 ; ; a2016 2016 số nguyên dương Chứng minh điều kiện cần đủ để a15  a25  a35   a2016 30 a1  a2  a3   a2016 30 Giải Theo định lý Fermat bé, 2; 3; số nguyên tố a số nguyên dương ta có: a a (mod 2)  a (a2 )2 a2 a(mod 2)  a a(mod 2) a3 a (mod 3)  a5 a3 a a.a2 a3 a(mod 3) a a(mod 5) Theo tính chất hai số đồng dư với theo nhiều mơđun chúng đồng dư với theo môđun BCNN mơđun Do a a(mod 2.3.5) hay a a(mod 30)  a  a 0(mod 30)   5 5 Nghĩa a1  a2  a3   a2016   a1  a2   a2016  0(mod 30) 5 5 Vậy a1  a2   a2016 30  a1  a2  a3   a2016 30 Ví dụ 9: Chứng minh số tự nhiên có số k cho 1983k  chia hết cho 105 (Đề thi học sinh giỏi tốn cấp tồn quốc năm 1983) Giải Vì 1983 khơng chia hết cho không chia hết cho mà 105 25.55 nên (1983;105 ) 1 Áp dụng định lý Euler ta có: 1983(10 ) 1(mod105 ) 1 1 5 Ta có (10 ) 10       4.10 Nghĩa 19834.10  1105   5 Vậy k 4.104 Dạng toán khác Ví dụ 10: Chứng minh 14 k  k  34 k  4 k không chia hết cho Giải Do số nguyên tố nên theo Định lý Fermat bé ta có: với a = 1; 2; 3; ta có: a a(mod 5)  a 1(mod 5)  a k 1(mod 5) Do 14 k  24 k  34 k  4 k 1 1 1 1 4(mod 5) Chứng tỏ 14 k  k  34 k  4 k 5 Ví dụ 11: Chứng minh với số nguyên tố p tồn vơ số số có dạng n  n,(n  N ) chia hết cho p (Thi vô địch Canada năm 1983) Giải * Nếu p 2 n  n 2, n 2 k (k  N ) * Nếu p 2 (2; p) 1 nên theo định lý Fermat bé ta có: 2k p  1(mod p)  p  0(mod p)  2( p 1)  0(mod p) 2k Hay 2( p  1)  1p (k  N; k 2) Mặt khác ( p  1)2 k ( 1)2 k 1(mod p) 2k 2k  2( p  1)  ( p  1)2 k  2( p  1)  1   ( p  1)2 k  1 p            p p Vậy tồn vô số số tự nhiên n có dạng n ( p  1)2 k ,(k  N; k 2) cho n  n p C Bài tập vận dụng Dạng tốn tìm số dư phép chia có dư 26.1 Tìm số dư phép chia a) 8! cho 11 b) 2014 2015  2016 2015  2018 cho c) 50  4165 cho d) 15  35  55   975  995 cho Hướng dẫn giải – đáp số Với toán dạng này, phương pháp chung tính tốn để đến a b(mod m) với b số có trị tuyệt đối nhỏ (tốt b 1) từ tính thuận lợi a n b n (mod m) a) 8! 1.2.3.4.5.6.7.8 Ta có 3.4 12 1(mod11); 2.6 12 1(mod 11); 7.8 1(mod11) Vậy 8! 5(mod 11)  8! 4(mod 11) Số dư phép chia 8! cho 11 b) 2014  1(mod 5)  2014 2015  1(mod 5) 2016 1(mod 5)  2016 2015 1(mod 5); 2018 3(mod 5) 2014 2015  2016 2015  2018 3(mod 5) c) 23 1(mod 7)  50 (23 )16 4(mod 7) 41  1(mod 7)  4165 ( 1)65  1(mod 7) 50  4165 4  3(mod 7) d) 15 1(mod 4); 35  1(mod 4); 55 1(mod 4); ;975 1(mod 4);995  1(mod 4) Đáp số : Dư 26.2 Tìm số dư phép chia: a) 1532  cho c) 2014 2015 2016 b) 2000 cho 25 cho 13 Hướng dẫn giải – đáp số a) 1532 2(mod 9)  15325 2 5(mod 9)  1532  1(mod 9) b) 32 7(mod 25)  210 (2 )2 72  1(mod 25) 2000 (210 )200 (  1)200 1(mod 25) c) 2014 155.13  nên 2014  1(mod13); 20152016 2 k  1( k  N ) 2016  2014 2015 ( 1)2 k1  1(mod13) Đáp số : dư 12 26.3 Tìm số dư phép chia: a) A 352  353  354  358  3516  3532 cho 425 b) B 1010  1010  1010   1010 100 cho Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có 352 1225 425.3  50  50(mod 425) 353 352.35  50.35  1750  50(mod 425) 354 (352 )2 ( 50)2 2500  50(mod 425) Tương tự với 358 ;3516 ;3532 Từ có A  100(mod 425) Hay số dư phép chia A cho 425 325 b) Ta có 105 7.14285  5(mod 7); 106 5.10 1(mod 7) n 10n  99 96    0(mod 2) 99 96    0(mod 3)  10  0(mod 6) n sè n 1sè  10n 4(mod 6) 10n 6k  4(k , n  N * ) n Do 1010 106 k 4 (106 ) k 10 104 (mod 7) Vậy B 104  104  104   104 10.104 105 5(mod 7) 26.4 a) Tìm chữ số tận 43 b) Tìm hai chữ số tận 3999 c) Tìm ba chữ số tận số 512 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta tìm dư phép chia số cho10 Vì 42 6(mod10) nên 43 49 (42 ) 4 6.4 4(mod10)  chữ số tận b) Ta tìm dư phép chia số cho 100 Theo ví dụ chun đề 26 ta có 31000 01(mod100) nghĩa hai chữ số sau 31000 01 Số 31000 bội số nên chữ số hàng trăm chia cho phải có số dư để chia tiếp 201 chia hết cho (nếu số dư hay 001; 101 khơng chia hết cho 3) Vậy số 3999 31000 : có hai chữ số tận 201 : =67 c) Ta tìm dư phép chia cho 1000 Do 1000 = 125.8 trước hết ta tìm số dư 2512 cho 125 Từ đẳng thức:  a  b 5 a  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  b5 ta có nhận xét a25  a  b  b5 (mod125) Vì 210 1024  1(mod 25) nên 210 25k  1(k  N ) Từ nhận xét ta có 250 (210 )5 (25k  1)5  1(mod125) Vì 2512 (250 )10 212 ( 1)10 212 212 (mod125) Do 212 210.22 1024.4 24.4 96(mod125) Vậy 2512 96(mod125) Hay 2512 125m  96, m  N Do 2512 8,968 nên m8  m 8n (n  N ) 2512 125.8n  96 1000 n  96 Vậy ba chữ số tận số 2512 096 Dạng toán chứng minh chia hết 26.5 Chứng minh: a) 412015  7; b) n 1  15 ( n  N ) c) 376  76 13 d) 2015  1341 Hướng dẫn giải – đáp số Để chứng tỏ a m ta chứng minh a 0(mod m) a) 41 42   1(mod 7) Do 412015 ( 1) 2015  1(mod 7) hay 412015 6(mod 7)  412015  0(mod 7) b) Ta có 24 16 1(mod15)  24 n 1(mod15)  24 n  0(mod15) Do 24 n 1  2(24 n  1) 0(mod15) c) Ta có 33 27 1(mod13); 376 (33 )25 3(mod13) Ta có 24 3(mod13)  26 12  1(mod13) 276 (26 )12 2 3(mod13) Do 376  276 0(mod13) hay 376  276 13 d) 341 11.31 * Ta có 25 32  1(mod11); 20 22   2(mod11) Do 2015 (  2)15  (25 )3 1(mod11) * 2015 (25 )3 (53 )5 1(mod 31) 25 1(mod 31) 53 1(mod 31) Do 2015 1(mod11.31) hay 2015 1(mod 341)  2015  1341 26.6 Chứng minh 189079  19452015  20172018 7 Hướng dẫn giải – đáp số 1890 0(mod 7); 1945  1(mod 7); 2017 1(mod 7) 189079 0(mod 7); 19452015  1(mod 7); 2017 2018 1(mod 7)  đpcm 26.7 a) Chứng minh 55552222  22225555  155541111 7 69 220 119 b) Cho M 220119  11969  69220  (220  119  69)102 Chứng minh M102 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có 5555 793.7  4(mod 7); 2222 318.7   4(mod 7)  55552222  22225555 42222  ( 4)5555  42222 (43333  1)(mod 7) 3333 1111 Do      1 ; 64 1(mod 7) nên (43 )1111 1(mod 7)   Hay 43333  0(mod 7) Do 55552222  22225555 0(mod 7) 155541111 (2.7777)1111 21111.77771111 0(mod 7)  đpcm b) Ta có 102 2.3.17 Ta có (220  119  69)102 0(mod102) * 220 0(mod 2); 119  1(mod 2); 69 1(mod 2)  M 0(mod 2) * 220 1(mod 3); 119  1(mod 3); 69 0(mod 3)  M 0(mod 3) * 220  1(mod17); 119 0(mod17); 69 1(mod17)  M 0(mod17) (Để ý 11969 69220 số lẻ);  M 0(mod 2.3.17) Hay M 102 26.8 Chứng minh 52 n  12n 1  22 n  13n 1 38 (n  N * ) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt A 52 n  12n1  22 n 13n1 Ta có A2, n  N * ; Ta có A 2n (52 n  12  2n  13n 1 ) 2n (25n  110  n  19) Do 25 6(mod19)  A 2 n (6 n  110  n 19) 2 n6 n 119 0(mod19) Hay A19 Mà (2;9) 1  A19.2  A38 Dạng toán xác định dấu hiệu chia hết 26.9 Cho số a an an  ao (1 an 9; ai 9; i 0;1; ; n  1) Hãy xác định dấu hiệu chia hết: a) Cho b) Cho 25 c) Cho 11 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có : a an an  a1ao an 10n  an  110n    a110  ao i a) Ta có 10 1(mod 9) 10 ai (mod 9),i 1; 2;3; ; n a  an  an    a1  ao  (mod 9) Vậy a 9  an  an    a1  ao 0(mod 9)  an  an    a1  ao 9 i b) Ta có 10 100 0(mod 25)  ai10 0(mod 25),i 2;3; ; n  a ( a110  ao ) (mod 25) Vậy a 25  a110  ao 0(mod 25)  a1ao 25 i i c) Do 10  1(mod11)  10 ai ( 1) (mod11) a (ao  a2  a4  )  (a1  a3  a5  ) (mod11) Do a 11  (ao  a2  a4  )  (a1  a3  a5  ) 0(mod11) Tức hiệu tổng chữ số vị trí lẻ tổng chữ số vị trí chẵn i d) Ta có 10 1000 0(mod8)  10 0(mod8), i 3; 4; ; n  a (a2102  a110  ao ) (mod 8) d) Cho Vậy a 8  a2102  a110  ao 0(mod 8)  a2 a1ao 8 Dạng toán sử dụng định lý 26.10 Cho A 22  19 với n  N * Chứng minh A hợp số 10 n 1 Hướng dẫn giải – đáp số Theo định lý Fermat bé, 11 số nguyên tố nên ta có 210 1(mod11)  210 n 1(mod11)  210 n 1 2.210n 2(mod 22)  210 n 1 22k  2( k  N ) Do 23 số nguyên tố ta có 10 n1 222 1(mod 23)  22 10 n1 2 22 k 2 4.2 22 k 4(mod 23)  2 19 4 19 0(mod 23) Tức A23 Mà A  23, n 1 nên A hợp số 26.11 Cho B (12!)13  20162015 Chứng minh B chia hết cho 13 Hướng dẫn giải – đáp số Theo định lý Wilson: Với số nguyên tố p ( p  1)!  1(mod p) Do 13 nguyên tố nên 12!  1(mod13)  (12!)13 (  1)13  1(mod13) Ta có 2016 13.155  1(mod13)  20162015 1(mod13) Do B (12!)13  20162015 0(mod13) Hay B13 26.12 Chứng minh với n  N : a) 2 n1 b) 2  3.23n 7 n1  2.12 5n 1  5.102 n 11 Hướng dẫn giải – đáp số a) Theo định lý Fermat bé, số nguyên tố nên 26 1(mod 7) Ta có 1(mod 3)  4n 1(mod 3)  2.4n 2(mod 6) Nghĩa 22 n 1 2(22 )n 2.4n 2(mod 6)  22 n 1 6k  2, ( k  N ) Mặt khác 23n (23 ) n 8n 1(mod 7)  3.23n 3(mod 7) Do 22 n 1  3.23n 26 k 2  22 (26 ) k  22.1  0(mod 7) b) Do 11 số nguyên tố nên 210 1(mod11) Ta có 16 1(mod 5)  16n 1(mod 5)  2.16 n 2(mod10) Nghĩa 24 n 1 2(24 )n 2.16n 2(mod10)  24 n 1 10k  2, ( k  N ) Mặt khác 12 1(mod11)  125 n1 1(mod11)  2.125 n1 2(mod11) Do 102 1(mod11)  102 n 1(mod11)  5.102 n 5(mod11) Vì 22 n 1  2.125n 1  5.102n 210 k 2   22  0(mod11) Dạng toán khác 26.13 a) Với giá trị số tự nhiên n 3n  63 chia hết cho 72 b) Cho A 20n  16 n  3n  Tìm giá trị tự nhiên n để A323 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có 72 8.9 (8;9) 1 * 63 0(mod 9); n 2 3n 0(mod 9) 3n  63 0(mod 9) * Mặt khác, với n 2k (k  N * ) 3n  32 k  9k  1k  0(mod 8) Do 3n  63 3n   64 0(mod 8) Vậy với n 2k (k  N * ) 3n  6372 b) Ta có 323 17.19 (17;19) 1 * A (20n  1)  (16n  3n ) P  Q Ta có 20n 1(mod19)  P 0(mod19) Nếu n 2k (k  N * ) Q 162 k  32k ( 3) 2k  32k 32k  32 k 0(mod19)  A P  Q 0(mod19) * A (20n  3n )  (16n  1) P ' Q ' 20n 3n (mod17) Do P ' 20n  3n 0(mod17) Nếu n 2k (k  N * ) Q ' 162 k  ( 1) k  1  0(mod17)  A P ' Q ' 0(mod17) Do (17;19) 1 nên A 0(mod17.19) Vậy với n 2k (k  N * ) A 20n  16n  3n  1323 26.14 Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p  1p Hướng dẫn giải – đáp số Theo định lý Fermat bé ta có p 2(mod p ) nên p  1(mod p ) ta có 0(mod p)  p 3 Mặt khác p 3 23  9 0(mod 3) Vậy p 3 số cần tìm 26.15 Tìm tất số nguyên tố p cho p2  20 số nguyên tố Hướng dẫn giải – đáp số Với p 3 p  20 29 số nguyên tố Với p 3 p 1(mod 3) nên p  20 21 0(mod 3) Vậy p  203 mặt khác p  20  nên p  20 hợp số Vậy có số nguyên tố cần tìm p 3 26.16 Cho p số nguyên tố Chứng minh số ab p  ba p p với số nguyên dương a, b Hướng dẫn giải – đáp số Với a, b  N * Nếu ab p số ab p  ba p p Nếu abp ( a, p ) (b, p) 1 Do a p  b p  1(mod p)  a p   b p  0(mod p)  ab(a p   b p  ) 0(mod p )  ab p  ba p 0(mod p ) hay ab p  ba p p, a, b  N * 26.17 a) Chứng minh tổng bình phương ba số nguyên phép chia cho khơng thể có dư b) Chứng minh phương trình x  y  z 2015 khơng có nghiệm ngun Hướng dẫn giải – đáp số a) Giả sử a, b, c  Z mà a  b  c 7(mod 8) Ta có a 0; 1; 2; 3; (mod 8)  a 0;1; 4(mod8)  b  c 7;6;3(mod 8) Điều vơ lý b 0;1; (mod 8) Và c 0;1; 4(mod 8)  b  c 0;1; 2; 4;5(mod 8) Vậy a  b2  c 7 (mod 8) b) Áp dụng câu a) ta có với x, y , z  Z x  y   z (2 x)2  y  (3 z )2 7(mod 8) Mà 2015 8.251  7 (mod 8) Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun 26.18 Tìm hai chữ số tận 20112010 2009 (Đề thi Olympic Toán Singapore năm 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có 2011 11(mod100); 112 21(mod100); 113 31(mod100); 115 21.31 51(mod100)  1110 512 1(mod100) Ta có 20102009 0(mod10)  20102009 10k ( k  Z )  20112010 2009 201110 k 1110 k (1110 ) k 1(mod100) Do hai chữ số tận số 01    2012 2012 2012  a2008  b 2008  c 2008 26.19 Cho biểu thức A  a  b  c  với a, b, c số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30 (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn tốn lớp TP Hà Nội, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Bài tốn có nhiều cách giải Sau cách giải theo đồng dư thức: * Ta có n  N * n5  n 0(mod 30) (ví dụ chuyên đề 26 chứng minh) A (a 2012  a 2008 )  (b 2012  b 2008 )  (c 2012  c 2008 ) A a 2007 (a  a )  b 2007 (b5  b)  c 2007 (c5  c) Ta có a  a 0(mod 30)  a 2007 (a  a ) 0(mod 30) Tương tự b2007 (b5  b) 0(mod 30);c2007 (c5  c) 0(mod 30) Vậy A 0(mod 30) Hay A30 26.20 Chứng minh không tồn ba số nguyên (s; y; z) thỏa mãn đẳng thức x  y 7z  (Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Giả sử tồn ba số nguyên (x; y; z) thỏa mãn x  y 7 z   x  y  z 8 z  (1) Xét với số nguyên a a chẵn a 2k (k  Z )  a 16k 0(mod 8); Nếu a lẻ a (2k  1) 1(mod 8) Do x  y  z 0;1; 2;3(mod 8) Trong z  5(mod 8) mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn ba số nguyên (s; y; z) thỏa mãn đẳng thức x  y 7 z  26.21 Tìm hai chữ số cuối số A 41106  572012 (Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có 412 (40  1) 402  80 1 81(mod100) 412 812 6561 61(mod100)  415 61.41 1(mod100)  41106 41.(415 ) 21 41 (mod100) Mặt khác 57 10556001 1(mod100)  57 2012 (57 )503 1(mod100) Vì A 41  1(mod100) Do hai chữ số cuối số A 41106  57 2012 42 26.22 Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a  20 b  13 chia hết cho 21 Tìm số dư phép chia A 4 a  9b  a  b cho 21 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Trần Phú – Hải Phòng, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Do a  2021  a 1(mod 3) a 1(mod 7) b  1321  b 2(mod 3) b 2(mod 7) Suy A 4 a  9b  a  b 1    1(mod 3)  A 10(mod 3) Xét a 3k  1; b 3q  với k, q  N ta có a 43k 1 4.64 k 4(mod 7) 9b 93q 2 23q 2 4.8q 4(mod 7) Do A 4 a  9b  a  b 4   1 10(mod 7)  A 10(mod 7) A 10(mod 3) A 10(mod 7) mà (3;7) 1 nên A 10(mod 3.7) Hay A 10(mod 21) Vậy số dư phép chia A cho 21 10 26.23 Cho n số nguyên dương chứng minh A 23n 1  23n   hợp số (Đề thi học sinh giỏi lớp TP Hà Nội, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 23 1(mod 7)  (23 ) n 1(mod 7)  23 n 1 2.(23 ) n 2(mod 7) 23n  22.(23 ) n  4(mod 7) nên A 2   0(mod 7) nghĩa A7 Mà với n  N * A>7 Vậy A hợp số 26.24 Chứng minh A 2012 n  20134 n  2014 n  20154 n số phương với số nguyên dương n (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số n  N * ta có 20124 n 0(mod 2); 20134 n 1(mod 2); 20144 n 0(mod 2); 20154 n 1(mod 2) Do A 2 0(mod 2) * Ta lại có 2012 0(mod 4)  20124 n 0(mod 4); 2014 2(mod 4)  2014 2 0(mod 4)  20144 n (2014 ) 2n 0(mod 4) Do 2013 1(mod 4)  20134 n 1(mod 4); Do 2015  1(mod 4)  20154 n ( 1) n 1(mod 4) Vậy A 2(mod 4) nghĩa A chia cho dư Ta có A2; A 22 ; số nguyên tố Vậy A khơng số phương n  N *