Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 Z I
oAN (Jưm
NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE
MON TOAN LOP 6 THEO CHUONG TRINH MOI
(Liên tục khai giảng các khóa học trực tuyến bồi dưỡng Toán THCS khối 6, 7, 8, 9 cho cdc em HS trén todn quoc) CHUYEN DE 22: DONG DU >, oe + Giáo viên giảng dạy: Thây Thích Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gmail.com Website: www.ToanIQ.com $ $% o >, * o >, * LY THUYET CO BAN 1 Dinh nghia:
Cho a,b la các sô nguyên và n là sô nguyên dương Ta nói a đông dư với b theo modun n và ký hiệu là a = b có cùng sô dư khi chia cho n
Như vậy a = b (mod n) © (a—b): n
Vi du: 23 = 3 - 4 (mod 4) hoac 23 = -1 (mod 4)
Nhận xét: Nếu a chia b dư r thi a = r (mod b)
2 Tính chất: Với mọi a, b, c, n € Z và n > 0, ta có:
a E= a (mod n) với mọi a
a = b(mod n) thi b = a(mod n)
a =b (mod n), b E c (mod n) thì a = c (mod n)
a =b (mod n) => a + c =b + c (mod n) Với mọi số nguyên c
ac = be (mod n) va (c,n) = 1 thi a = b(mod n)
a = b (mod n) => ak = b*(mod n) với moi k > 1
(a + b)" = b" (mod a) (a> 0)
gmoeao
sp
Trang 2
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z
ToAN TQ com
BAI TAP VAN DUNG
Bài I: Chứng minh răng: (2222°55 + 5555222?) : 7 Bài 2: Chứng minh răng: A = (7.52" + 12.6") : 19
Bài 3: Chứng minh rằng: A = (2?”” + 5): 7, (Với n N*)
Bài 4: Tìm số dư khi chia 3” cho 7
Bài 5: Cho số A = 201291 Tìm chữ số tận cùng của A Bai 6: Cho A = 2012”9!3 Tìm hai chữ số tận cùng của A Bài 7: Cho C = 19781986”Tìm chữ số tận cùng của C
Bài 8: Chứng minh răng: A = 2”! + 3”'*! chịa hết cho 5
Bài 9: Chứng minh răng: (220 - 4) : 31
Bài 10: Tìm số dư của số A = 329% + 4205 khi chia cho 11 va khi chia cho 13
Bai 11: Chứng minh rằng: Nếu x không chia hết cho 3 thi x? = 1 (mod 3)
Bài 12: Chứng minh rằng:
a Nếu a = I (mod 2) thì a? = 1 (mod 8) b Nếu a = I1 (mod 3) thì a? = 1 (mod 9)
Bài 13: Giả sử (x? + y') : 3 Chứng minh rằng: x : 3 và y : 3 Bài 14: Chứng minh rằng: a (19911997 1007199) ; 10, b (22+2) : 100 Bài 15: Tìm hai chữ số tận cùng: à A=79” b B=299%””? Bài 16: Chứng minh rằng:
Trang 3Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WWw.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com a 5"⁄2+ 26,5n+ gl : 59 b (422-32 - 7): 168 c (27””+7):11 Bài 17: Cho số A = 19442093 a Tìm số dư của A khi chia cho 7 b Tìm chữ số tận cùng của A
Bài 18: Chứng minh rằng: A = 19611952 + 196319 + 1965! + 2 chia hết cho 7
Bài 19: Chứng minh rằng 24!°!+ 14! chia hết cho 19
Bài 20: Chứng minh rằng 197912 _ 198118! + 1982 chia hết cho 1980
Bài 21: Chứng minh rằng: 2222°55 + 555522? chia hết cho 7
Bài 22: Tìm số dư của A = 776”79 + 7777” + 7787” khi chia cho 3 và khi chia cho 5
Bài 23: Chứng minh rằng A = 5”?! + 24 + 2"! chịa hết cho 23 với n là số tự nhiên
Bài 24: Tìm số dư trong phép chia 579 + 7°° cho 12
Bài 25: Chứng minh rằng: 9" + 1 không chia hết cho 100, với mọi n €N
Bài 26: Chứng minh rằng: I" + 2" + 3" + 4" : 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4 và n
EN
Bai 27: Chimg minh rang: 27°? — 4: 31
Bài 28: Chứng minh rang: 0,3 (1983'°8 - 1917!) là một số nguyên
Bài 29: Chứng minh rằng: 333555” + 777555””” chia hết cho 10
24n+1 34n+1
Bài 30: Chứng minh rằng: (7 +4 — 65): 100, với mọi n € N*
Bai 31: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) Ta co: (7767 + 7777 + 778778) : 3 b) (7767 + 77777 + 77878) : 5 c) (32005 + 42005) : 1] d) (37008 a 42995) : 11
Trang 4Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com e) 19947099 : 7 Bài 32: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n: a) (52011 + 2n!l + 2n19 ¡ 23 b) (112 + 122): 133 c) (512 + 26.5" + 821); 50 d) (138 + 14°81) : 183 e) (2201 + 32m1) ; 5 ƒ) (42" — 32" — 7) : 5 (với n là số lẻ) Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên lố
Trang 5Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN (Jưm CHUYEN DE 22: DONG DU >, ss Giáo viên giảng dạy: Thây Thích Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gmail.com Website: www.ToanIQ.com BAI TAP VAN DUNG $ $% o >, $% 7 ~~ “Mục tiêu các bài toán vận dụng ĐỒNG DU là chứng mình quan hệ chia hết, chia có dự, tìm số dư, chữ số tận cùng ”
“+ Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết:
Phương pháp: Đề chứng minh a : m ta cần chứng minh rằng: a = 0 (mod m)
Bài 1: Chứng minh răng: (2222°55Š + 555577?) : 7 Hướng dẫn giải: Ta có: +) 2222 = 3 (mod 7) hoac 2222 = -4 (mod 7) => 2222°°> = (-4)°>> (mod 7) +) 5555 = 4 (mod 7) c> 552222 — 42222 Suy Ta: (22225555 + 5555222) = (-4)55 + 422 (mod 7) Ta 66: (-4)5555 + 42222 = (-4)?222243333 4 42222 = _ 42222 43333 42222 = _ 42222 (43333 _ 1): 4333 = (4391111 = 64H 64 = 1 (mod 7) => 64!!! = 1 (mod 7) => 64!" _ 1 = 0 (mod 7) => 4°33 _ 1 = 0 (mod 7) => - 47222 (43333 _ 1) = 0 (mod 7) Tuyên tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén [i
Trang 6Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com => (2222°>° + 55557"): 7 (dpcm) Bài 2: Chứng minh răng: A = (7.52" + 12.6") : 19 Hướng dẫn giải: Phan tich: A = (7.577 + 12.6") = 7.25" + 12.6" Ta có: 25 E 6 (mod 19) => 25"=6"(mod 19) > 7.25" = 7.6" (mod 19) => 7.25" + 12.6" = 7.6" + 12.6" (mod 19) Ta co: 7.6" + 12.6" = 19.6": 19 => 7.25" + 12.6" = 0 (mod 19) f> A=(7.5"+ 12.6"): 19 (đpem) Bài 3: Chứng minh rằng: A = (2?”” + 5): 7, (Với n N*) Hướng dẫn giải: Ta c6: 4 = 1 (mod 3) > 4"= | (mod 3) Hay 4" = 3k + 1 (Véik € N*) > A= kt 4.5 > A=2.85+5 Ta c6: 8 = 1 (mod 7) => 8*= 1 (mod 7) > 2.8% = 2 (mod 7) > 2.8k+5 =7 (mod 7) > 2.8§+ 5 = 0 (mod 7) => (22°" +5) =0 (mod 7) => A=(2?”+5):7 (dpcm) ** Dang 2: Tim số dư:
Trang 7Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z
ToAN TQ com
Phuong phap: Néu a = r (mod b) va 0 < r<b thir 1a s6 du khi chia a cho b
Bài 4: Tìm số dư khi chia 320 cho 7 Hướng dẫn giải: Ta có: 9 = 2 (mod 7) > 91000 = 21000 (mod 7) Ta có: 2? = 8 = 1 (mod 7) => (23) = 1 (mod 7) = 2””.2 =2 (mod 7) => 21000 chia 7 du 2 => 30 chia 7 dư 2 ‹ se Dạng 3: Tìm một chữ số tận cùng: Phương pháp:
Nếu a = r (mod 10) và 0 < r < 10 thì r là chữ số tận cùng của a
Nếu a có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6 thì a" cũng có các chữ số tận cùng như a Tức la: a” = a (mod 10)
Nếu a có chữ số tận cùng là 4; 9 thì a” có chữ số tận cùng là 6; 1
Nếu a = 4 (mod 10) => a? = 6 (mod 10), nên a?* = 6 (mod 10) Nếu a = 9 (mod 10) => a? = 1 (mod 10), nén a** = 1 (mod 10)
Suy ra: Đề tìm chữ số tận cùng của a" ta chia n cho 2
Nếu a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8 thì ta áp dụng một trong các kết quả sao: 2** = 6 (mod 10)
3“ = 1 (mod 10) 7% = 1 (mod 10) 84k = 6 (mod 10)
Suy ra: Đề tìm chữ số tận cùng của a" ta chia n cho 4
Bài 5: Cho số A = 201291 Tìm chữ số tận cùng của A
Tuyển tập các bài tốn ơn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án va Tuyén 4
Trang 8Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com Giải: Ta có: 2013 = 4.503 + 1 2012 = 2 (mod 10) => 2012 = 6 (mod 10) => (20124) = 6 (mod 10) => 20127 = 6 (mod 10) => 2012?0!2 2012 = 6.2 (mod 10) => 2012713 = 2 (mod 10) Vay chit số tận cùng của A là 2 Dạng 4: Tìm hai chữ số tận cùng Phương pháp giải: - Nếu a =r (mod 100) và 10 < r < 100 thì r là chữ số tận cùng của a Nhận xét: 2” = 76 (mod 100) 3°° = 01 (mod 100) 6° = 76 (mod 100) 7* = 01 (mod 100) 5? = 25 (mod 100) Mà 76" = 76 (mod 100) va 25" = 25 (mod 100), n = 2 Suy ra:
a°°K = 00 (mod 100) néu a = 0 (mod 10)
a°K = 01 (mod 100) néu a = 1; 3; 7; 9 (mod 10)
a2%* = 25 (mod 100) nếu a = 5 (mod 10)
a°K = 76 (mod 100) nếu a = 2; 4; 6; 8 (mod 10)
Vay dé tìm hai chữ số tận cùng của a" ta lẫy số mũ n chia cho 20 Bai 6: Cho A = 2012”9!13 Tìm hai chữ số tận cùng của A
Giải: Ta có:
Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên
Trang 9Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com 2013 = 20.100 + 13 2012 = 2 (mod 10) > 201220 = 2”° (mod 100) > 201220 = 76 (mod 100) > (20122)! = 76 (mod 100) Ta có: 2012° = 84 (mod 100) => (20125)? = 5ó (mod 100) 2012 = 12 (mod 100) => (201252 2012 = 56.12 (mod 100) => (201252 2012 = 72 (mod 100) => 20121 = 56.12 (mod 100) => (201220)190 _2012!3 = 76.72 (mod 100) > 2012203 = 72 (mod 100)
Vậy, hai chữ số tận cùng của A là 72
Bài 7: Cho C = 19781986”Tìm chữ số tận cùng của C Giải: Ta có: 1986 = 2 (mod 4) => 19868 = 2° (mod 4) => 1986° = 0 (mod 4) > 1986° = 4k (k € N*) > C= 1978** Ta có: 1978 = 8 (mod 10) => 197§! = 6 (mod 10) > 1978** = 6 (mod 10) => € có chữ số tận cùng là 6 Tuyên tập các bài tốn ơn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên
Trang 10Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Bài §: Chứng minh rằng: A = 2?"*! + 32"! chịa hết cho 5 Giải: Ta có: 2281! = 2.An: 32n+l — 3 on - > A=2.4"+ 3.9" 4 = 4 (mod 5) => 4" = 4" (mod 5) => 2.4" = 2.4" (mod 5) 9 = 4 (mod 5) => 9" = 4" (mod 5) => 3.9" = 3.4" (mod 5) => A = 2.4" + 3.4" (mod 5) => A = 5.4" (mod 5) => A = 0 (mod 5)
=> A chia hét cho 5 (dpem)
ToaN IQ com
Trang 11
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WWw.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I
oAN com
BAI TAP REN LUYEN
Bài 9: Chứng minh răng: (220 - 4) : 31 Giải: Ta có: 2Ÿ = 1 (mod 31), 2002 = 5.400 + 2 > (25)400 = 1 (mod 31) => 22000 = 1 (mod 31) 22 = 4 (mod 31) > 2200022 = 4 (mod 31) => 22002 = 4(mod 31) => 22002— 4= 4- 4 (mod 31) c 22002 4 = 0 (mod 31) => (2-4): 31 (dpcm) Bài 10: Tìm số dư của số A = 329 + 4205 khi chia cho 11 và khi chia cho 13 Giải: +) Ta có: A = 32005 + 42005 A =(9W0! + 2019 = (243901 + (25982 = (149! + (-1)8°2 (mod 11) = 2 mod II +) Ta có: A = 32095 + 42005
= (334.3 + (43.4 = 13.3 + (-1).4 (mod 13) = 3 + 4 (mod 13) = 7 (mod 13) A chia cho 11 du 2, A chia cho 13 du 7
Bài 11: Chứng minh rằng: Nếu x không chia hết cho 3 thi x? = 1 (mod 3) Giải: Vì x không chia hết cho 3 nên suy ra: TH1:x=3k+1: > 3k+1=1 (mod 3) > (3k+ 1)? =1 (mod 3)
Trang 12Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WWw.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com > x2=1 (mod 3) TH2: x =3k +2: > 3k +2 =2 (mod 3) > (3k+ 2)? =1 (mod 3) Vậy với x không chia hết cho 3 thi x? = 1(mod 3) (dpcm) Bài 12: Chứng minh rằng: c Nếu a = I (mod 2) thì a? = 1 (mod 8) Giai: Ta cé a= 1 (mod 2) > a-1=0 (mod 2)
= (a- 1).(a + 1) = 0 (mod 2)
Vì a - 1 =0 (mod 2) nên suy ra: a - 1 = 2k a+1=2k+2 => (a- 1).(a + 1)= 0 (mod 2) > 2k.(2k + 2) = 0 (mod 2) > 4.k.(k + 1) = 0 (mod 2) > 4k.(k + 1) = 0 (mod 8)
Vi (a - 1) và (a + 1) là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp nên suy ra: (a - 1).(a + 1) chia hết cho 8
= (a- 1).(a + 1) = 0 (mod 8) > a2-1=0 (mod 8) > a2 = 1 (mod 8) (dpcm) d Nếu a = 1 (mod 3) thia® = 1 (mod 9) Tuong tu Bài 13: Giả sir (x? + y*) : 3 Chimg minh rang: x !3 vay: 3 GIải:
Gia str x? khong chia hết cho 3 nên suy ra: x? = 1 (mod 3)
=> yˆ= 2 (mod 3) (Vô lý)
Tương tự, yˆ = 1 (mod 3) => x2 = 2 (mod 3) (Vô lý)
Trang 13
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z
ToAN TQ com
Vay, x2 = 0 (mod 3) va y? = 0 (mod 3) > x = 0 (mod 3) vay = 0 (mod 3) > xi3vay:3 Bài 14: Chứng minh rang: c (19911997 1007199) ; 10, d (2° + 2%) 100 Giải: a) Ta có: 1991197 - 1997! = 11997 _ (-1)499 (mod 10) = 1- 1 (mod 10) = 0 (mod 10) Suy ra: (199117 - 1997!) ; 10 b) Ta có: 2? + 2”? = 2?.(1 + 2”) = 512.[1 + (2?)/%]= 512.{1 + 512!] = 12.(1 + 1219) (mod 100) = 12.(1 + 24) (mod 100) = 12.25 (mod 100) = 0 (mod 100) Suy ra: (27 + 2”) : 100 Bài 15: Tìm hai chữ số tận cùng: 9 a) A=79/ b)B=29%” Giải: a) Taco: A= 797 Ta có: 9 = 1 mod 4=> 97” = 1 mod 4 Suy ra: 97” = 4k +1 => A=7% = 74#1 = (7k7 = 2401*7 = 1.7 (mod 100) => A = 07 (mod 100) Suy ra: A có hai chữ sô tận cùng là 07 b) Ta có: B= 299”°” Ta có: 29!° = 01 (mod 100) Tuyên tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén
Trang 14Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com Ma 9 = -1 mod 10 => 92012 = (-1)2012 mod 10 = 1 mod 10 Suy ra: 92012 = 10k + 1
Suy ra: B = 2910k+1 = (2910)k.29 = 01.29 (mod 100) = 29 mod 100
Suy ra: B chia cho 100 dư 29 => B có 2 chữ số tận cùng là 29 Bài 16: Chứng minh rằng: a) GUE E b) 5m 26 + Q2ntl > 59 Giai: Ta co: Q2n = 64 64 = 5 (mod 59) 647 = 5" (mod 59) 8 = 8 (mod 59) 642.8 = 8.5" (mod 59) 82n +1 +( 5n +2 + 26.50) = 8.52 + 5n+2 + 26.5" (mod 59) 82n +1 +( 5n+2 + 26.5) = 8.524 25.5n + 26.5" (mod 59) 82n +1 +( 5n+2 + 26.5") = (8 + 25 + 26).5" (mod 59) 82n +1 + 5n +2 + 26,5n = 59,5" = 0 (mod 59) 50 + 26.5" + 8"! ; 59 (dpcm) (4—3?"- 7) ¡ 168 Giải: 168 = 23.3.7 Ta c6: (477 — 37" - 7) = 16"— 9" — 7 CM chia hét cho 8: Ta co: 16" = 0 (mod 8) 9 = 1(mod 8) 9n = 1 (mod 8) 7 =7 (mod 8) 162 -9"- 7=0-1-7 (mod 8) =0 (mod 8) 42n_- 32n_- 7:8 (1) CM chia hét cho 3: 4= 1 (mod 3) 42n = 1 (mod 3) 3°" = 0 (mod 3) Tuyén tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 dé thi HSG Toan 6 có đáp an va Tuyén 14
Trang 15Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com 7 = 1 (mod 3) o> 42n — 32n_ 7 = 1-0-1 (mod 3) = 0 (mod 3) > 42n- 32n- 7:3 (2) - CMchia hét cho 7: 16 = 2 (mod 7) 16" = 2" (mod 7) 9 = 2 (mod 7) 9n = 2" (mod 7) 7 = 0 (mod 7) > 16"- 92-7 = 2-2-0 (mod 7) = 0 (mod 7) > 42n-32n-7:7 (3) Ma (8, 3) = 1, (3, 7) = 1, (8, 7) = 1 Từ (1), (2), (3) suy ra: 429 - 322 - 7: 8.3.7 => 42n — 32n_ 7: 168 (dpcm) c) (220""" Giai: Ta c6: 24! = 16".2 = 1.2 (mod 5) = 2 (mod 5)
Suy ra: 2“! = 5k + 2 (k là số tu nhién chan)
Suy Ta: 2?" +7 = 2512 +7 =32,4+ 7= (-1).4 + 7 (mod 11) =4+7mod 11 = 11 mod 11 Suy ra: 2?”””" + 7 = 0 (mod 11) (2?”””+7):11 +7):11 Bài 17: Cho số A = 19442093 a) Tìm số dư của A khi chia cho 7 b) Tìm chữ số tận cùng của A Giải: a Ta có: 1944 = 5 (mod 7) => 19442005 = 52005 (mod 7) 5 = - 2(mod 7) Tuyén tập các bài toán ôn thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 dé thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén [Ri
Trang 16Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 52004 = (-2)2004 (mod 7) 52004 = 22004 (mod 7) 23 = 8 = 1 (mod 7) (23)668= 1 (mod 7) 22004 = 1 (mod 7) 52004 = 1 (mod 5) 5 = 5 (mod 7) 52004.5 = 5 (mod 7) 52005 = 5 (mod 5) 19442005 = 5 (mod 7) Vay A chia cho 7 dư 5 Ta có: 1944 E 4 (mod 10) 19442005 = 42005 (mod 10) Ta có: 2005 = 2.1002 +1 42 = 6 (mod 10) (42) 1002 = 6 (mod 10) 42004 = 6 (mod 10) 4 = 4 (mod 10) 420044 = 6.4 (mod 10) = 4 (mod 10) Vậy, chữ số tận cùng của A là 4 Ta có: 42 = ( 6) (42)1092 = ( 6)1002 = ( 6) 42004 4 = ( 6).4 = ( 4) Vậy A có chữ số tận cùng là 4 ToAN IQ.com Bài 18: Chứng minh rằng: A = 19611952 + 196319 + 196512% + 2 chia hết cho 7 Ta có: +) cò 1961 = 1 (mod 7) 1961 = 1(mod 7) 1963 = 3 (mod 7) “tag 19631964 = 31964 (mod 7) Giải: Tuyên tập các bài tốn ơn thi MYTS Tốn 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên
Trang 17Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com 33 = 27 =- 1(mod 7) (33)55? = (-1)95 (mod 7) 31962 = 1 (mod 7) 32 = 2 (mod 7) 3196232 = 2 (mod 7) 31964 = 2 (mod 7) +) 1965 = 5 (mod 7) => 19651? = 51966 (mod 7) 5 = - 2 (mod 7) => 51966 = (-2)1966 (mod 7) => 51966 = 21966 (mod 7) 23 = 8 =1 (mod 7) (23)®5 = 1 (mod 7) 21965 = 1 (mod 7) 2 = 2 (mod 7) 219652 = 2 (mod 7) 21966 = 2 (mod 7) > 1965196 = 2 (mod 7) +) 2S á (mpi.2) => 196119 + 196319 + 196519 + 2 =14+2+2+4+2 (mod 7) =0 (mod 7) => 1961192 + 1963194 + 1965196 + 2 : 7 (dpem) Bài 19: Chứng minh rằng 24!°!+ 14! chia hết cho 19 GIải: Ta có: 24!917+ 14191 = 51917 4 (-5)1917 (mod 19) = 0 mod 19 Suy ra: 241917 + 14; 19 Tuyên tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén
Trang 18Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WWw.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com Bài 20: Chứng minh rằng 197912 _ 19811! + 1982 chia hết cho 1980 Giải: Ta có: 19791972 T— 1081198! + 1982 = (-1)199 ~ 11981 + 2 (mod 1980) =-1-1+ 2 (mod 1980) =0mod 1980
Suy ra: 1970192 — 1098118!+ 1982 chia hết cho 1980
Bài 21: Chứng minh rằng: 2222555 + 555522? chia hết cho 7 Giải: Ta G0: 22225555 + 3399252 = 35555 4 42222 (mod 7) = (33)191.9 + (43)74,16 (mod 7) = (-1)1851.9 + 170,16 (mod 7) = -9 + 16 (mod 7) = 7 (mod 7) = 0 (mod 7)
Suy ra: 2222°5% + 5555??? chia hết cho 7
Bài 22: Tìm số dư của A = 7767 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 va khi chia cho 5 Giải: Ta co: 776 = 1 (mod 5) > 776’ = 1 (mod 5) 777 = 2 (mod 5)
Trang 19Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WWw.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com => 777777 = 2777 (mod 5) 22=-1 (mod 5) (22)388 = (-1)388 (mod 5) 2776 = 1 (mod 5) 2 = 2 (mod 5) > 2777= 2 (mod 5) 777777 = 2 (mod 5) 778 = 3 (mod 5) 778778 = 3778 (mod 5) 32 =-1 (mod 5) (32)388 = (- 1)388 (mod 5) 3776 = 1 (mod 5) 32 = 4 (mod 5) 3778 = 4 (mod 5) 776776 + 777777 + 778778 = (1 + 2 + 4) (mod 5) = 2 (mod 5) Nó Ù Ù U Bài 23: Chứng minh rằng A = 5”?! + 24 + 2"! chịa hết cho 23 với n là số tự nhiên GIải: Ta có: A=5.5"+ 2n" 2+ 2n2 = 5,25" + 16.2" + 2.21, Ta có: 25 = 2 (mod 23) => 25"= 2"(mod 23) 2 A= 5.25" + 16,2" + 2,2n E 5,2" + 16.2" + 2.2" (mod 23) > A= 23.2" (mod 23) > A=0 (mod 23) => A chia hết cho 23 Bai 24: Tim sé du trong phép chia 5” + 7° cho 12 GIải:
Ta có: 579 + 79 = 253 + 492 = 135 + 1?5 (mod 12) = 1 + 1 (mod 12) = 2 (mod 12)
Suy ra: 57 + 7° chia cho 12 dư là: 2
Trang 20
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WWw.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com Bài 25: Chứng minh rằng: 9" + I không chia hết cho 100, với mọi n €N Giải: Xét 2 trường hợp: THI:n= 2k (k thuộc N): Ta có: 9+ =9 *+ ] =§IÊ+ Ị SI =1 (mod 10) 81*= 1 (mod 10) => 8lJ*+1 =2 (mod 10)
> Voin = 2k thi 9" + 1 chia cho 10 dư 2
=> 0n + 1 không chia hết cho 100 TH1: n= 2k + 1(k thuộc N): Ta co: 99+ 1=9°K*14+1=81K9+1 81 = 1 (mod 10) 81k= 1 (mod 10) > 81k+1=2 (mod 10)
> Voin = 2k thi 92 + 1 chia cho 10 du 2
=> 0n + 1 không chia hết cho 100
Bài 26: Chứng minh rằng: I" + 2" + 3" + 4" : 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4 và n EN Giải: Vì n không chia hết cho 4 nên suy ra, n= 4k + 1,n= 4k+2,n= 4k +3 THI:n=4k + 1 taco: Jn+2n+3n+4n=1+2#?1+ 34đ4+1l+ 4&*!=1+216ú*+3.ĐI*+ 4.256 Ta co: 16 = 1 (mod 5) 16k = 1 (mod 5)
Trang 21Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com 81 =1 (mod 5) 81*= 1 (mod 5) 256 = 1 (mod 5) 256k = 1 (mod 5) f> 1+2.16*+3.8§1*+4.256*= 1 +2 + 3 + 4 (mod 5) =0 (mod 5) => Jn+2n+ 3" + 4" chia hết cho 5 TH2:n= 4k + 2 ta có: In+2n+3n+4n=1+212+3®12+ 4#4*2=1+4.16*+ 9.81*+ 16.256 Ta co: 16 = 1 (mod 5) 16k = 1 (mod 5) 81 =1 (mod 5) 81 = 1 (mod 5) 256 = 1 (mod 5) 256k = 1 (mod 5) > 142.16 + 3.81k+ 4.256 = 1 + 4+ 9 + 16 (mod 5) =0 (mod 5) => Jn+2n+ 3" + 4" chia hết cho 5 TH3:n= 4k + 3 ta có: 12+ 294 394 4m= 14 2443 4 3443 4 Atk +3 = 1 4 8.16*+ 27.81*+ 64.256 Ta co: 16 = 1 (mod 5) 16k= 1 (mod 5) 81 =1 (mod 5) 81 = 1 (mod 5) 256 = 1 (mod 5) 256k = 1 (mod 5)
Trang 22Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WWw.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 z I oAN com => 1+2.16*+3.8§1*+ 4.256* = 1 + 8+ 27 + 64 (mod 5) = 0 (mod 5) => n+ 2n + 3" + 4" chia hét cho 5
Vậy với n không chia hết cho 4 thì 1" + 2" + 3" + 4" chia hết cho 5
Bai 27: Chimg minh rang: 27°? — 4: 31
Giai:
Ta c6: 270 — 4 = (2°) 4 — 4 = 324 4 4 = 1400.4 - 4 (mod 31) = 4-4 (mod 31)
= 0 (mod 31)
Nên suy ra: 27° — 4 : 31
Bài 28: Chứng minh rang: 0,3 (1983'98 - 1917!9!”) 1a mot so nguyén Giải: Ta có: 19831983 - 1017191 = 31983 _ 71917 (mod 10) = 9991,3 - 49958,7 (mod 10) = (-1)?°1.3 - (-1)?58.7 (mod 10) =-3- (7) (mod 10) = -10 (mod 10) = 0 (mod 10) Suy ra: 1983198 - 1917! chịa hết cho 10 => 198313 1917!” có chữ số tận cùng băng 0 => 0,3 (1983198 - 191719! là một số nguyên 5777 Bài 29: Chứng minh rằng: 333555” + 777555””” chia hết cho 10 Giải: Ta co: 555 = 3 (mod 4)
Trang 23Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com > 555 =-1 (mod 4) > 555776 = 1 (mod 4) => 555776555 = 3 (mod 4) > 555777 = 3 (mod 4) => 555777 = 4k + 3 (kthuộc N*) => 333555 =3334k†3= 3334k, 3333 = (3332)k, 3333 Ta có: 333! = 1 (mod 10) > (333) = 1 (mod 10) 3333 = 7 (mod 10) > 33323333 = 7 (mod 10) > 3334k+3 = 7 (mod 10) Ta có: 555 = - 1 (mod 4) 555332 = 1(mod 4) 555 = 3 (mod 4) 555332555 = 3 (mod 4) 555333 = 3 (mod 4) 555333 = 4k + 3(k thuộc N) 77755511 = 7774k+3 = 7774k/7773 7772 = 1 (mod 10) 7774 = 1 (mod 10) 7773 = 3 (mod 10) 777447773 = 3 (mod 10) 777#k+3 = 3 (mod 10) 333555” + 777555)” = 3334k+3 + 7774k+3 = 7 + 3 (mod 10) = 0 (mod 10) 333555” + 777555'”” : 10 (đpcm) GUE eed Bài 30: Chứng minh rằng: (72””" + 43'””” — 65 ) : 100, véi moi n € N* Giải: Ta có: 21! = 249.2 = 16".2 chia hết cho 4 => 2! = 4k Suy ra: 72°""* = 74* = 2401* = 1 (mod 100)
Trang 24Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com Ta có: 3"! = §1"3 = 3 mod 20 => 34741 = 20k + 3 Suy ra: 43'”"" = 420k†+3 — 420k 43 = 76 64 (mod 100) = 64 (mod 100) 24ant1 34n+1 Suy ra: 7 +4 — 65 =1 + 64-65 (mod 100) = 0 (mod 100) Suy ra: (72?””” + 43“”” — 65) : 100 (đpcm) Bai 31: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) Ta có: (776718 + 7777" + 778778) : 3 b) (7767 + 777" + 7787) : 5 c) (32095 + 42005) : ]] đ) (32005 + 42005 : 1] e) 1994799 : 7 Giai: a) Ta c6: (7767 + 777777 + 77878) Ta có: 776 = 2 mod 3 => 776" = 27" mod 3 Ta co: 27 = 1 mod 3 => (22)388 = 1388 mod 3 Suy ra: 7767” chia 3 du 1 +) Ta có: 777 =0 mod 3 => 77777 = 0 mod 3 +) Ta co: 778 = 1 mod 3 => 778'8 = 17% mod 3
Suy ra: 77878 chia cho 3 du 1
Suy ra: (776779 + 77777 + 77873) = (1 +0 + 1) mod 3
=> (77671 + 777”! + 7787”) =2 mod 3
Tuyên tập các bài tốn ơn thi MYTS Tốn 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên lễ
Trang 25Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 => (77671 + 777?” + T78””3) chia cho 3 dư 2 b) (776776 + 71777 + 778778) +) 776 = 1 mod 5 => 776’ = 1 mod 5 +) 777 =2 mod 5 => 777" = 27" mod 5 2*=1 mod 5 => (24)! = 1 mod 5 => 27° = 1 mod 5 => 277°2 = 1.2 mod 5 => 277 =2 mod 5 => 777”7'= 2 mod 5 +) 778 =3 mod 5 => 778778 = 37” mod 5 Ta có: 3ˆ =-1 mod Š => (3)! = (-1)*9 mod 5 => 378 =-1 mod 5 Suy ra: (776779 + 77777+ 7787) =(1+2 - 1) mod 5 => (77671 +7777 +7787) =2 mod 5 > (776' + 777'" + 778") chia cho 5 du 2 c) a9 of 47005) -11 +) 3°=1 mod 11 => (3°)! =1 mod 11 ToaN IQ com
Trang 26Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 => 3” = | mod 11 +) 4 =1 mod 11 => (4°! = 1 mod 11 => 479 = | mod I1 => (37005 + 42005) = (1 + 1) mod II => (32005 + 42005) = 2 mod II => (3200 + 429) chia cho 11 du 2 đ) (3205 + 420% : 1 +) Ta có: 3° = I mod 13 => (35 = 1 mod 13 => 32004 = | mod 13 => 37004 3 = 1.3 mod 13 => 3” = 3 mod 13 +) 43 =-1 mod 13 => (4) = (-1)° mod 13 => 4204 = 1 mod 13 => 47004 4 = 1.4 mod 13 => 47005 = 4 mod 13 Suy ra: (379 + 470) = (3 + 4) mod 13 => (3200 + 420) = 7 mod 13 => (37005 + 470) chia cho 13 du 7 e) Ta co: 1994 = -1 mod 7 => 1994205 = (~1)?05 mọd 7 => 199470 = - ] mod 7 => 199473 + 7 = -] + 7 mod 7 ToAN IQ.com
Trang 27Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916
=> 1994295 + 7 = 6 mod 7 => 19942 chia cho 7 dư 6
Bài 32: Chứng minh răng với mọi sô tự nhiên n: a) (52.1 + 2m1 + 2819) ¡ 23 b) (1112 + 122) ; 133 c) (52 + 26.5" + 821) ; 50 đ) (132 + 142) : 183 e) (221 + 321) ¡ 5 ) (42" — 32" — 7) : 5 (với n là số lẻ) Giải: a) (52n11 + 2n! + 2n19 ¡ 23 Ta có: 52m1 + 2m! + 2m14= 5 25n+ 212 + 16,2" Ta có: 25 E= 2 mod 23 => 25" = 2 mod 23 => 5.25" = 5.2" mod 23 => 5.25" + 22.2 + 16.2" = (5.29 + 2.2" + 16.2") mod 23 = 27.23 mod 23 = 0 mod 23 Suy ra: (52.1 + 2"!! + 2n); 23 b) (112 + 122): 133 Ta có: 122"! = 12.144" Ta co: 144 = 11 mod 133 > 144"7=11"2 mod 133 ToaN IQ com
Trang 28Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 => 12.144n= 12.11"mod 133 => 117? 4+ 127) = (12.119 + 121.11") mod 133 co 117? 4 1277! = 112.133 mod 133 => 1177+ 127! =0 mod 133 > (1177 4+ 1271) : 133 ©) (512 + 26.5" + 821) 159 Ta c6: 87"! = 8.64" = 8.5" mod 59 Suy ra: 5"!2 + 26.5" + 8784! = (25.5" + 26.5" + 8.5") mod 59 = 5".(25 + 26 + 8) mod 59 = 5.59 mod 59 = 0 mod 59 Suy ra: (5"'2 + 26.5" + 8781) : 59 đ) (132 + 14219) ; 183 Ta có: 14”!! = 14.196" = 14.13" mod 183 = 14.13" mod 183 Suy ra: 13"? + 14°"! = (169.13 + 14.13") mod 183 = 13".(169 + 14) mod 183 = 13.183 mod 183 = 0 mod 183 Suy ra: (13" + 14”): 183 e) (22m1 + 32n*] ; s Ta có: 2"! = 2 4n: 32n:! = 3 0n Ta có: 9 = 4mod 5 => 0" = 4" mod 5 => 3.9n = 3.4" mod 5 => 27m) + 3201 = (2.40 + 3.4") mod 5 ToaN IQ com
Trang 29Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam Wwww.ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 Z ToAN TQ com = 495 mod 5 =0mod 5 => (22.11 + 32011 ; 5 Ð) (4?2_ 32— 7) : 5 (với n là số lẻ) Ta có: 4”? = 1ó" = 1 mod 5 32n = 9n = (-1)" mod 5 = -1 mod 5 (Vì n là số lẻ) Suy ra: 47" — 377-7 =1-(-1)-7mod5 =-5mod5 = 0 mod 5 Suy ra: (42° — 37"— 7) : 5 (với n là số lẻ) Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên l2