(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề ứng dụng đồng dư thức vào giải một số dạng toán số học

PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn chuyên đề: Như biết tốn học mơn khoa học bản, toán học xuất đời sống hàng ngày, tác dụng toán học rộng lớn, từ việc nhỏ việc tính tiền mua hàng, hay việc lớn để thiết kế nên ngơi nhà cao tầng, cơng trình xây dựng tất phải dựa vào toán học Ngay từ học bậc học Mầm non em quen với số 1, 2, 3, Đến học lên Tiểu học Trung học sở mơn Tốn xác định môn công cụ, quan trọng học sinh Trong chương trình Tốn bậc THCS, cụ thể lớp số học nội dung kiến thức vô quan trọng tảng giúp em khám phá nhiều nội dung khác Toán học Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thân nhận thấy để việc học nội dung phần Số học tốt, cụ thể chuyên đề chia hết, tìm chữ số tận hay chuyên đề số phương, tốt việc ứng dụng Đồng dư thức cách hợp lý cho lời giải hay ngắn gọn, học sinh dễ nắm bắt kiến thức Nhưng nội dung lại không đề cập chương trình mơn Tốn THCS Chính lý mà mạnh dạn giới thiệu tới đồng nghiệp chuyên đề “ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải số dạng toán số học” Với mục đích giúp em học sinh có thêm cách tiếp cận số dạng toán II Mục đích, phạm vi, đối tượng chuyên đề: Mục đích chuyên đề: - Giới thiệu tới em HS khái niệm, tính chất đồng dư thức - Rèn kỹ giải tốn có liên quan đến đồng dư thức Từ áp dụng vào q trình học tập, nghiên cứu nhằm đạt kết cao kỳ thi HSG Phạm vi nghiên cứu chuyên đề: - Chương trình mơn Tốn cấp THCS Đối tượng chun đề: - Áp dụng cho học sinh khá, giỏi cấp THCS PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở lí luận Số học nội dung kiến thức quan trọng chương trình Tốn cấp THCS Từ phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn giản số đến tốn địi hỏi tư cao dạng toán cấu tạo số, toán số ngun tố, số phương, tốn chia hết,…thường dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi nội dung kiến thức giúp tìm lời giải số dạng tốn sử dụng kiến thức Đồng dư thức Đây nội dung không đề cập chương trình khóa lại cần thiết việc Bồi dưỡng HSG, nên đòi hỏi giáo viên phải tìm hiểu nghiên cứu tìm nội dung cần thiết để giúp học sinh tiếp thu vận dụng cách phù hợp suốt trình học Từ áp dụng vào giải dạng tốn có liên quan đồng thời phát triển tư tốn học Để vận dụng vào môn học khác đời sống hàng ngày II Cơ sở thực tiễn Qua thực tế giảng dạy chủ yếu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6, trường THCS, nhận thấy nhiều học sinh cịn lúng túng cách tìm lời giải gặp phải toán chia hết, tìm chữ số tận cùng, số phương, …mặc dù khơng phải tốn q khó, hay toán áp dụng kiến thức Đồng dư thức vào cho ta lời giải hay ngắn gọn, có tốn ta áp dụng kiến thức lớp giải được, sử dụng Đồng dư thức vào giải phù hợp với khả tư học sinh lớp lớp Từ sở lý luận sở thục tiễn mà chọn chuyên đề: “ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải số dạng toán số học” III NỘI DUNG Kiến thức 1.1 Định nghĩa: - Nếu hai số nguyên a b chia cho c (c 0) mà có số dư ta nói a đồng dư với b theo mơđun c; kí hiệu a - Như vậy: a b (mod c) - Hệ thức có dạng: a b (mod c) a – b chia hết cho c b (mod c) gọi đồng dư thức, a gọi vế trái đồng dư thức, b gọi vế phải cịn c gọi mơđun 1.2 Một số tính chất: Với a; b; c; d; m; … số ngun dương (Z+), ta ln có: 1.2.1 Tính chất 1: +a a (mod m) +a b (mod m) +a b (mod m) b b a (mod m) c (mod m) a c(mod m) 1.2.2 Tính chất 2: Nếu a b (mod m) c +a c b d (mod m) + ac bc (mod m).( c>0) + ac bd (mod m) + an bn (mod m) + (a+b)n + an +bn d (mod m) thì: bn (mod a) ( a+b) (mod m).( n số lẻ) + Nếu d ước chung a; b; m thì: (mod ); 1.2.3 Tính chất 3: + Nếu a b (mod m) c Z+ ac bc (mod mc) 1.3 Một số kiến thức liên quan: Trong làm tập sử dụng đồng dư thức, ta nên ý tới tính chất hay dùng sau đây: + Với a, b Z+ (a b) n số tự nhiên: an – bn a – b + Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có số chia hết cho n + Lấy n + số nguyên (n 1) đem chia cho n phải có hai số chia cho n có số dư; (Theo ngun lí Đirichlet) + Tìm m chữ số tận số A tìm số dư chia A cho 10m ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI TOÁN 2.1 DẠNG 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: A = 7.52n +12.6n chia hết cho 19 Cách 1: Thêm bớt 7.6n, ta A = 7.25n - 7.6n +19.6n = 7.(25n - 6n) +19.6n Vậy A Ta có: A = 7.25n +12.6n Vì 25n 6n (mod19) => A 7.6n => A 19.6n (mod19) => A (mod19) Đối với số toán lớp ta sử dụng đến đẳng thức: với với ( ta giải cách dễ dàng, nhiên với học sinh lớp chưa thể sử dụng đẳng thức Vì vậy, ta sử dụng Đồng dư thức để có lời giải phù hợp với trình độ học sinh lớp Bài 2: ( Sách Phát triển toán tập 1).Chứng minh rằng: a) A = 22225555 + 55552222 chia hết cho b) Cách 1: a) Ta có Mà Tương tự: download by : skknchat@gmail.com Vậy A = 22225555 + 55552222 chia hết cho b) Sử dụng tính chất: Ta có Cách 2: a) Xét số dư 22225555 chia cho Ta có: 2222 (mod 7) => 22224 34 (mod 7) => 22224 81 (mod 7) Mà 81 (mod 7) => 22224 (mod 7) Nhân vế với vế (1) (2) ta 22225 + Tương tự: 55552222 3.4 (mod 7) 21111 (mod 7) Cộng vế với vế (3) (4) ta có: A 21111 + 51111 (mod 7) Mặt khác: 21111 + 51111 (2 + 5) (mod 7) Từ (5) (6) ta được: A (mod 7) Vậy: A = 22225555 + 55552222 chia hết cho b) Ta có: Ta có: 1961 (mod 7) => 19611962 (mod 7) Tương tự: download by : skknchat@gmail.com Vậy: Bài 3: Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n số B = 42n+1 + 3n+2 ln chia hết cho 13 Lời giải Cách 1: Ta có: Vì Cách 2: Với tốn ta sử dụng kỹ thuật thêm bớt để chứng minh, học sinh lớp chưa học kỹ thuật Nên ta sử dụng Đồng dư thức để chứng minh + Ta xét số dư 42n+1 chia cho 13 Ta có: 42 = 16 (mod 13) => 42n 3n (mod 13) => 42n+1 4.3n (mod 13) Hay 42n+1 4.3n (mod 13) (1) + Ta xét số dư 3n+2 chia cho 13 Ta có: 32 = - 4(mod 13) Mà 3n 3n (mod 13) => 32.3n => 3n+2 - 4.3n (mod 13) - 4.3n (mod 13) (2) Từ (1) (2), cộng vế với vế, ta B (mod 13) Vậy B = 42n+1 + 3n+2 chia hết cho 13 với n Bài 4: Chứng minh với n N N a) A = 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 b) B = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133 Cách 1: a) Ta có: Vì b) Từ ta có Cách 2: a) A = 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 Ta có: A = 25n + 2n.16 + 2n.2 Vì 5.25n 5.2n (mod23) => A 5.2n + 2n.16 + 2n.2 (mod23) 23.2n (mod23) (mod23) Vậy A = 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 b) B = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133 Tương tự câu a) ta có: B 121.11n + 12.144n (mod133) Vây B = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133 Bài 5: ( lớp 8) Chứng minh với số nguyên n > 1: A = nn – n2 + n – chia hết cho đa thức B = (n – 1)2 Ta có: Với n = A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B Với n > 2, ta biến đổi A sau: A = nn – n2 + n – download by : skknchat@gmail.com Mặt khác: n (mod n – 1) nk Từ đó: nn-1 + nn-2 + … + n2 (mod n – 1), k N n – (mod n – 1) Nên: nn-1 + nn – + … + n2 + n – (mod n – 1) => nn-1 + nn – + … + n2 + (mod n – 1) (1) => (n – 1)(nn-1 + nn – + … + n2 + 1) (mod (n – 1)2) => A = (n – 1)(nn-1 + nn – + … + n2 + 1) chia hết cho (n – 1)2 Vậy: A = nn – n2 + n – chia hết cho đa thức B = (n – 1)2 Với số tốn có luỹ thừa tầng sử dụng Đồng dư thức giúp cho học sinh có cách giải tổng qt cho dạng tốn Chẳng hạn Bài 6: Chứng minh rằng: a) Vì Thật vậy: => => b) Ta có 124 = 4.31 Dễ thấy Vì Vì Từ ta xét Vì download by : skknchat@gmail.com => Mà => M = 5m+1 => Vậy c) Vì 22 = 2.11 nên ta chứng minh Ta có (Định lý Fecma) Từ ta xét chia cho 10 có số dư * => ( => ) Tương tự: Vậy d) Ta có 212 1(mod 13) (Định lý Fecma) Từ tốn đưa tìm số dư chia 22n cho 12 Ta có: 22n 0(mod 4) => 22n =4k ( k N) => 22n = 4n 1(mod 3) => 22n =3m+1 ( m N) => 22n = 12m+4 => D = 212m+4 +10 = 16.(26)2m + 10 3+10(mod 13) 0(mod 13) Vậy D chia hết cho 13 với n Sau hình thành cho em số kỹ định qua dạng tốn chứng minh với cách biến đổi tương tự em không gặp q nhiều khơng gặp số dạng tốn sau: 2.2 DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN TRONG PHÉP CHIA Bài 1: Tìm số dư phép chia số A = 19932014 cho Lời giải ta có lời giải toán Cách 1: Nếu thêm bớt vào số 19932014 cách dễ dàng: A= 19932014-1+1 VìA= Suy A chia cho dư Cách 2: Ta có: 1993 (mod 3) => 19932014 12014 (mod 3) (mod 3) Vậy số 19932014 chia cho dư Bài 2: Tìm số dư A = 776776 + 777777 +778778 chia cho cho Lời giải Cách 1: Ta có: nên ta phải tìm số dự chia Vì cho Thật vậy: Vì nên A chia dư Tương tự: A chia dư Cách 2: + Trường hợp 1: Tìm số dư A = 776776 + 777777 +778778 chia cho Ta có: 776 (mod 3) => 776776 2776 (mod 3) Tương tự: 777777 4338 (mod 3) 1338 (mod 3) (mod 3) (mod 3) 778778 1(mod 3) => A = 776776 + 777777 +778778 1+0+1(mod 3) (mod 3) Vậy A = 776776 + 777777 +778778 chia cho dư + Trường hợp 2: Tìm số dư A = 776776 + 777777 +778778 chia cho Ta có: 776 (mod 5) => 776776 1776 (mod 5) 1(mod 5) 10 ... áp dụng kiến thức lớp giải được, sử dụng Đồng dư thức vào giải phù hợp với khả tư học sinh lớp lớp Từ sở lý luận sở thục tiễn mà chọn chuyên đề: “ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải số dạng toán số. .. cao dạng toán cấu tạo số, toán số ngun tố, số phương, tốn chia hết,…thường dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi nội dung kiến thức giúp tìm lời giải số dạng tốn sử dụng kiến thức Đồng dư thức. .. ? ?ứng lớp giảng dạy bồi dư? ??ng HSG mơn Tốn qua nghiên cứu chuyên đề ? ?Ứng dụng Đồng dư thức vào giải số dạng toán chia hết” thân tơi tích lũy thêm nhiều kiến thức phần Số học download by : skknchat@gmail.com