SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn tổ hợp có vị trí quan trọng Tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số, Lý thuyết số mà cịn cơng cụ đắc lực Giải tích, Lý thuyết điều khiển, Tối ưu, Xác suất thống kê, toán tin học Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp (MTCT, HSG toán ), toán tổ hợp đề cập liên tục phần thiếu cấu trúc đề thi xem dạng tốn khó bậc phổ thơng Tuy nhiên nay, tài liệu toán tổ hợp phong phú đa dạng, trình bày mức độ sâu sắc chuyên đề nhỏ lẻ, phân tán; tập tổ hợp chưa phân loại hệ thống hoá cách chi tiết, dễ hiểu, phù hợp với học sinh lứa tuổi THPT Vì vậy, để bồi dưỡng kiến thức toán tổ hợp cho em học sinh tham gia ơn luyện học sinh giỏi mơn Tốn hiệu điều kiện thực tế trường THPT chuyên Bắc Kạn sưu tầm, đức rút kinh nghiệm qua năm ôn luyện cho đội tuyển Toán trường chuyên đề toán tổ hợp, chọn chuyên đề: Hướng dẫn học sinh giỏi phần tốn tổ hợp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu lý thuyết xây dựng hệ thống tập phép đếm nâng cao, nguyên lý tổ hợp (Các quy tắc đếm có sách giáo khoa phổ thơng) Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí, đề thi học sinh giỏi cấp, phương pháp giảng dạy toán, nguồn Internet, phương pháp nâng cao, phát triển tư toán học - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua năm trực tiếp giảng dạy, qua đợt tập huấn cho giáo viên THPT chuyên chuyên đề tổ hợp Viện Toán học Việt Nam, Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học Khoa học tự nhiên Viện nghiên cứu câo cấp Toán, qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Bố cục đề tài A Phần mở đầu Lý Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B Nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi phần toán tổ hợp” Một số phép đếm nâng cao tập Phần I Lực lượng tập hợp Phần II Phương pháp song ánh Phần III Phương pháp đệ quy Các nguyên lý tổ hợp tập Phần I Nguyên lý Direclet Phần II Đơn biến bất biến Phần III Nguyên lý cực hạn C Kết luận Tài liệu tham khảo HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 B NÔI DUNG ĐỀ TÀI CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ PHÉP ĐẾM NÂNG CAO VÀ BÀI TẬP -Phần I LỰC LƯỢNG TẬP HỢP Cơ sở lí thuyết 1.1 Nguyên tắc bù trừ Nếu A hữu hạn, BA |A| = |B| + |A\B| 1.2 Quy tắc cộng +) Nếu AB =  |AB| = |A| + |B| +) Tổng quát: Cho tập A1, A2, , An hữu hạn Khi n n i 1 i 1 U Ai  �| Ai |  � 1�i  j �n | Ai �A j |  � 1�i  j  k �n | Ai �A j �Ak |   (1) n | A1 �A2 � �An | 1.3 Quy tắc nhân Cho tập A1, A2, , An hữu hạn Khi | A1 �A2 � �An || A1 | | A2 | | An | Một số ví dụ Bài Trong tập A = {1, 2, 3, , 280} có phần tử A không chia hết cho số số 2, 3, 5, Bài Cho p, q, r số nguyên tố tập A = {1, 2, 3, , p.q.r} CMR tập A số phần tử không chia hết cho số ba số p, q, r không nhỏ Bài Cho tập A = {1, 2, 3, , 280} Gọi n số tự nhiên nhỏ thỏa mãn: Mọi tập có n phẩn tử A chứa số đôi nguyên tố Chứng minh rằng: n  217 HD Bài + Ngun lí Dirichlet Nhận xét Có thể n = 217 nhỏ Bài Trong kì thi gồm mơn thi Toán, Văn, Ngoại ngữ; tổng hợp điểm người ta thấy rằng: - Có tổng số 1000 thí sinh tham gia; - Có 200 thí sinh điểm 10 mơn Tốn; - Có 150 thí sinh điểm 10 mơn Ngoại ngữ; - Có 100 thí sinh điểm 10 mơn Văn; - Có 50 thí sinh điểm 10 hai mơn Tốn Văn; - Có 60 thí sinh điểm 10 hai môn Ngoại ngữ Văn; - Có 70 thí sinh điểm 10 hai mơn Tốn Ngoại ngữ; - Có 10 thí sinh điểm 10 ba mơn Tốn, Văn Ngoại ngữ Hỏi có thí sinh khơng điểm 10 bất khì mơn thi nào? Bài Có 10 học sinh khối 10, 11 học sinh khối 11, 12 học sinh khối 12 Hỏi có cách chọn học sinh đủ ba khối Bài Cho tập M = {1, 2, 3, …, 2n} Một hốn vị M gọi có tính chất p hốn vị có hai phần tử liền kề có hiệu n Chứng minh tất hoán vị M, số hốn vị có tính chất p lớn số hốn vị khơng có tính chất p HD Gọi A tập tất hoán vị M có tính chất p Ta chứng minh 2|A| > (2n)! (*) HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 n Gọi Ak tập hoán vị M mà k n+k đứng liền kề nhau, k = 1,…, n Khi A = U Ak (1) k 1 Từ (1), theo cơng thức lực lượng tập hợp ta có: | A | n �| Ak |  � k 1 �| A| 1�k i �n n �| Ak | k 1 | Ak �Ai |  � 1�k  i �n � 1�k i  j �n | Ak | Ak �Ai �A j |   (1) n 1 | A1 �A2 � �An | Ai | (2) Dễ có |Ak| = 2(2n-1)!; |AkAi | = 4(2n-2)! Thay vào (2) ta được: | A |�2n(2n  1)! n(n  1) 1 4.(2n  2)!  2n (2n  2)!  2n(2n  1)(2 n  2)!  (2 n)! (đpcm) 2 Bài Trên bàn cờ tướng bỏ đường chéo Hỏi có cách xếp qn xe lên bàn cờ cho khơng có quân xe ăn quân xe nào? HD Số cách quân xe lên bàn cờ, chưa xóa đường chéo chính, cho khơng có qn xe ăn quân xe 8! Cách (1) Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho ô bỏ đường chéo tương ứng với tọa độ (i, i) với i = 1, 2, …, Gọi Ai số cách xếp quân xe thỏa mãn tốn mà có qn xe đứng vị trí (i; i) Khi đó: |Ai| = 7!, |AiAj| = 6!,…, |A1…A8| = 0! = Vậy A1 � �A8  C81.7! C82 6! C83.5! C84 4! C85.3! C86 2! C87 1! C88.0!   8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8!       2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! Suy ra, số cách xếp hợp lệ là: 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8!        14833 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! Bài (VMO 2005) Tìm hiểu kết học tập lớp học, người ta thấy: - Hơn số học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn đồng thời đạt điểm giỏi mơn Vật lí; - Hơn số học sinh đạt điểm giỏi môn Vật lí đồng thời đạt điểm giỏi mơn Văn; - Hơn số học sinh đạt điểm giỏi môn Văn đồng thời đạt điểm giỏi môn Lịch sử; - Hơn số học sinh đạt điểm giỏi môn Lịch sử đồng thời đạt điểm giỏi mơn Tốn Chứng minh lớp học nói có học sinh đạt điểm giỏi bốn mơn: Tốn, Vật lí, Văn Lịch sử HD Gọi T, L, S, V tập học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn, Lí, Sử, Văn Khơng tính tổng quát giả sử |T| ≥ |L| ≥ |V| ≥ |S| (*) vai trị bình đẳng chúng giả thiết Đặt TL = TL, LV = LV, VS = VS Theo giả thiết ta có: TL  Ta cần chứng minh: |TLVS| > hay |TLLVVS| > Theo ngun lí bù trừ ta có: 2 T ; LV  L ; VS  V (**) 3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 |TLLVVS| = |TLLV| + |VS| - |(TLLV) VS| = |TL| + |LV| + |VS| - |TLLV| - |(TLLV) VS| (**)  2 2 2 |T| + |L| + |V| - |(TL) (LV| - |(TLV) (VS| > |T| + |L| + |V| - |L| - |V| ≥ 3 3 3 (*) 1 |T| - |L| - |V| �0 (đpcm) 3 Bài Cho lưới vng hình vẽ: Có đường từ góc bên trái lên góc bên phải ngang lên đơn vị thỏa mãn: Các đường khơng qua đoạn AB, CD, EF? Bài 10 Cho A = {a1, a2, …, a8} (A) tập tập A có tính chất: Các tập thuộc (A) có phần tử giao hai tập thuộc (A) khơng chứa hai phần tử A Chứng minh rằng: a) Nếu B1, B2, B3, B4 tập thuộc (A) B1B2B3B4 =  b) Max|(A)| = HD a) Giả thiết phản chứng B 1B2B3B4   Khi tồn giả thiết a thuộc A thuộc B1B2B3B4  BiBj = với i, j = 1, 2, 3, 4, i khác j Suy ra: |A| ≥ |B1B2B3B4| = 12 - + - = 11 > 8, vơ lí Vậy B1B2B3B4= b) Do B1B2B3B4 =  với B1, B2, B3, B4 nên phần tử A thuộc khơng q ba tập Bi (A) Vậy 3.| (A)| ≤ 24  |(A)| ≤ Với |(A) = 8| ta có cách chọn (A) sau: B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a7, a8}; B4 = {a2, a4, a6}; B5 = {a2, a5, a7}; B6 = {a3, a4, a8}; B7 = {a3, a6, a7}; B8 = {a5, a6, a8} Vậy Max|(A)| = Bài 11 Cho 167 tập hợp A1, A2, …, A167 có tính chất: i) |A1| +…+|A167| = 2004; ii) |Ai| = |Aj|.|AiAj| với i, j = 1, 2, …, 167 i khác j Hãy: a) Chứng minh |Ai| = 12 với i = 1, 2,…, 167 167 b) Tính U Ai i 1 HD a) Dễ có |AiAj| = |Ai| = 12 với i, j = 1, 2,…, 167 i khác j HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 167 b) Ta chứng minh I Ai  (*) i 1 Thật vậy, xét tập A1 Từ |A1Ai| = với i = 1, 2,…, 167 suy tập A 2, A3 ,…, A167 chứa phần tử A1 Do |A1| = 12 nên theo ngun lí Đirichlet tồn giả sử A 2, …,A15 chứa a thuộc A1 Nếu có i > 15 cho aAi |AiAj| =  |Aj(Ai\{a})| = Vậy: Aj(Ai\{a}) ={bj} với j = 1, 2,…,15 (1) Dễ thấy b j phân biệt nên từ (1) suy A i chứa 12 phần tử Trái với kết luận |Ai| = 12 Vậy (*) chứng minh Từ (*) |AiAj| = i, j = 1, 2,…, 167 i khác j suy ra: 167 167 167 i 1 i 1 i 1 UAi  ( U ( Ai \{a}) �{a}  ( U ( Ai \{a})  |{a}|=167.11+1=1838 BÀI TẬP Bài Một số tự nhiên gọi số đẹp hợp số không chia hết cho 2, 3, a) Hỏi có số nguyên tố nhỏ 1000; b) Hỏi có số đẹp nhỏ 1000 Bài Giả sử có n = 2008 tập A1,…,A2008 thỏa mãn: i) |Ai| = k = 10 với i = 1, 2, …, n = 2008 ii) |AiAj| = 2k - = 19 với i, j = 1, 2,…, n = 2008 i khác j (Tổng quát: n > k2 - k + 1) Xác định n  2008 U i 1 Ai Bài Có 1999 người tham dự họp Cứ 50 người tùy ý ta chọn người không quen biết CMR ta chọn 41 người cho người người biết nhiều 1958 người khác Bài Có 2010 người xếp thành hàng dọc Hỏi với số nguyên dương k ≤ 1005 cho trước có cách chọn k người từ 2010 người cho khơng có người liền kề chọn Bài Tìm ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn: x + y + z chia hết cho 10 x, y, z không lớn 2008 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Phần II PHƯƠNG PHÁP SONG ÁNH -1 Cơ sở lí thuyết 1.1 Định nghĩa Cho hai tập hợp X Y (khác rỗng) Một ánh xạ f từ X lên Y quy tắc cho tương ứng phần tử xX với phần tử y = f(x)Y + Ánh xạ f gọi đơn ánh với x1, x2X, f(x1) = f(x2)  x1 = x2 + Ánh xạ f gọi toàn ánh với yY, xX cho f(x) = y + Ánh xạ f gọi song ánh f vừa đơn ánh vừa tồn ánh 1.2 Tính chất Giả sử X, Y có hữu hạn phần tử Khi đó: + Nếu tồn song ánh f từ X lên Y |X| = |Y| (trong |X| = số phần tử X) + Nếu f đơn ánh |X|  |Y| + Nếu f tồn ánh |X|  |Y| Một số ví dụ 1.1 Dùng song ánh để đếm số phần tử tập chứng minh hai tập có số phần tử Để đếm số phần tử tập A người ta thiết lập song ánh tập B cho việc đếm số phần tử B đơn giản hơn; sau ấp dụng cơng thức |A| = |B| Bài Phương trình x1 + x2 + + xn = m có nghiệm ngun khơng âm? Bài Phương trình x1 + x2 + + xn = m có nghiệm nguyên dương? Bài Cho n người xếp thành hàng dọc Hỏi có cách chọn k người cho người liên tiếp không chọn (với n > 2k) HD Giả sử n nguời xếp thành hàng dọc với cách đánh thứ tự sau: N 1N2…Nn (ở chữ tương ứng với vị trí đứng) Mỗi cách chọn k người thỏa mãn yêu cầu minh họa sau: N1N N m N m 1 N m  N m  N m N m 1 N m  N m  N m N m 1 N m  N m  N n 4 31 213 41 4 21 4 432 223 4i 4 2i 4 43k 2k 4k 44 k4 43 x1  ngkc ngdc x2  ngkc xk  ngkc ngdc ngcc xk 1  ngkc Vậy số cách chọn hợp lệ số cặp (x1, x2, …, xj) thỏa mãn hệ: �x1  x2   xk 1  n  k � (*) �x1, xk 1 �0 �x , x , , x  k �2 Đặt y1 = x1, yk+1 = xk+1, yi = xi - với i = 2, 3,…, k (*) tương đương với hệ: �y1  y2   yk 1  n  2k (**) � �y1, y2 , , yk 1 �0 Số nghiệm hệ (**) Cnk k Vậy số cách chọn thỏa mãn toán Cnk k Bài Tìm số nghiệm phương trình x1 + x2 + + x6 = 27 (*) với xi chữ số (i = 1, 2, , 6) HD Đặt E tập nghiệm phương trình (*) thỏa mãn toán, E* = {(x1,…,x6) thỏa mãn (*) với xi ≥ 0, i = 1, 2,…,6} Ai = {(x1,…,x6) thỏa mãn (*) xi > 9}, i = 1, 2,…,6 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Khi đó: E = E*\( U Ai ) i 1 Xét Ai: phần tử thuộc Ai tương ứng với dãy nhị phân có dạng sau: 11 1011 10 11 1011 { { { { x1 x2 x5 x6 Vậy số phần tử Ai số cách chọn vị trí cho chữ số chuỗi nhị phân có độ dài 27 + = 32 Vì xi > nên có 10 chữ số đứng liên tiếp cụm thứ x i Như phần tử A với i = 1, 2, chữ số cịn 32 - 10 = 22 vị trí chọn tùy ý Suy có C22 i …,6 Vậy |Ai| = C22 ; |A A A | = 0; |A A A A | = 0; |A A A A A | = 0; | Tương tự: |AiAj| = C12 i j k i j k m i j k m n A1A2A3A4A5A6| = với i, j, k, m, n = 1,…,6 đơi khác Từ suy - 15 | U Ai | = C22 C12 i 1 , theo nguyên lí bù trừ |E| = - + 15 = số nghiệm (*) thỏa Mặt khác |E*| = C32 C32 C22 C12 mãn toán Bài (VMO 2012) Cho nhóm có gái, kí hiệu G1, G2 , , G5 12 chàng trai Có 17 ghế xếp thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người ngồi vào ghế cho điều kiện cho đồng thời thỏa mãn: 1) Mỗi ghế có người ngồi; 2) Thứ tự ngồi cô gái, xét từ trái qua phải G1, G2 , G3 , G4 , G5 ; 3) Giữa G1 G2 có chàng trai; 4) Giữa G4 G5 có chàng trai nhiều chàng trai Hỏi có tất cách xếp (Hai cách xếp coi khác tồn ghế mà người ngồi ghế cách xếp khác nhau) HD Đánh số thứ tự ghế từ trái sang phải 1,2,…,17 Gọi x1 số chàng trai xếp bên trái G1 , x2 số chàng trai G1 G2 ; x3 số chàng trai G2 G3 ; x4 số chàng trai G3 G4 ; x5 số chàng trai G4 G5 ; x6 số chàng trai ngồi bên phải G5 Khi số ( x1, x2 , , x5 ) hoàn toàn xác định vị trí gái ta có: 1) x1  x2   x6  12 2) �x2 3) �x5 �4 Đổi biến y2  x2  y5  x5  ta x1  y2  x3  x4  y5  x6  với ẩn khơng âm có thêm điều kiện y5 �3 Tiếp theo, áp dụng toán chia kẹo dạng x1  y2  x3  x4  x6   y5 Ta số cách phân ghế cho cô gái HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 4 C12  C11  C10  C94  1161 Vì cịn có 12 chàng trai hốn đổi vị trí 12 ghế dành cho họ nên số cách xếp t/m ycbt 12!.1161 Bài (VMO 2014) Cho đa giác có 103 cạnh Tơ màu đỏ cho 79 đỉnh đa giác tô màu xanh cho đỉnh lại Gọi A số cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề a) Tìm tất giá trị nhận cặp ( A, B) b) xác định số cách tô màu đỉnh đa giác để B  14 Biết rằng, hai cách tô màu xem chúng nhận từ thơng qua phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác HD a) Số đỉnh màu xanh 24 đỉnh (103-79) Nếu tất đỉnh đỏ chia thành cụm A = 78 Nếu bị cắt thành cụm A = 77 Và tiếp tục, tức có k cụm (mỗi cụm đỉnh màu đỏ đứng sát nhau) A  79  k Nếu có k cụm đỏ có k cụm xanh nên có B  24  k Các giá trị k từ đến 24, nên có 24 khả tất b) Để có B  14 k  10 (phải chia quân xanh thành 10 cụm, quân đỏ thành 10 cụm) Đếm số cách chia ? Gọi X số cụm điểm đỏ liền nhau, B  24  X Do B  14 X  10 Áp dụng công Tiếp thức chia kẹo pt chia kẹo, ta suy số cách chia 24 điểm xanh vào 10 cụm C23 theo, ta xem xét việc xếp điểm xanh- đỏ vệc có sẵn 79 điểm đỏ đường trịn, ta bỏ 10 cụm điểm xanh khoảng trống điểm đỏ liên tiếp, khoảng có tối đa 10 Sự trùng lặp theo phép cụm Như số cách chọn 10 khoảng trống 79 khoảng C79 quay chỗ ta chọn 10 vị trí 79 vị trí theo đường trịn Nhờ có (79, 10) = mà ta khơng phải lo “các cấu hình lộn xộn”, cách tô bị lặp 79 lần, đáp số 10 C79 C23 79 Bài Cho tập A = {1, 2, 3, , 30} Hỏi có số tập A có tổng phần tử thuộc khơng lớn 232? Bài Có nhóm người mà đó: Mỗi cặp khơng quen có hai người quen chung, cặp quen khơng có người quen chung Chứng minh số người quen người nhóm HD Giả sử a quen b A, B tập người quen a b Khi đó, với người a’ thuộc A, a’ b có người quen chung a, a’ không quen b, nên a’ quen với người thuộc B Tương tự người b’ thuộc B quen với người thuộc A Vậy có song ánh từ A đến B Suy số người quen a b Nếu a khơng quen b a b có c quen a b Theo trên, số người quen a số người quen c số người quen b Bài Cho A = {1, 2, 3, , 2n} Một tập B A gọi tập cân tập số số chẵn số số lẻ Tìm số tập cân A HD Cách Cách Đặt X = {2, 4, , 2n}, Y = {1, 3, , 2n - 1},  họ tất tập cân A,  họ tập A có n phần tử HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Xét tương ứng f:   , f(B) = B1(Y\B2) B1 = BX, B2 = BY +) Rõ ràng f ánh xạ |B1| = |B2| nên |f(B)| = n suy f(B) thuộc  +) f đơn ánh: Từ f(B) = f(C) suy B 1(Y\B2) = C1(Y\C2) Do tính chẵn lẻ phần tử suy B1 = C1, Y\B2 = Y\C2  B = C +) f toàn ánh: Giả sử M thuộc , M1, M2 cac tập M chứa phần tử chẵn lẻ Đặt B1 = M1, B2 = Y\M2, B = B1B2 Khi đó: |B1| = |M1|; |B2| = |Y\M2| = |Y| - |M2| = n - |M2| = |M1| = |B1| Vậy B tập cân Hơn f(B) = B1(Y\B2) = M1(Y\(Y\M2)) = M1M2 = M Vậy số tập cân A C2nn Bài 10 Cho X = {1, 2, , n = 2008} Hỏi có tập A X có tính chất: A có r = phần tử A không chứa hai số nguyên liên tiếp HD Gọi F(A) họ tập A X có tính chất u cầu tốn, G(Y) họ tập có phần tử tập Y = {1, 2, , 2006 = n - (r-1)} Xét tương ứng f: F(A)  G(Y) xác định sau: Với A = {a, b, c}; a < b < c f(A) = {a, b - 1, c - 2} Hiển nhiên f(A) thuộc G(Y) f ánh xạ Hơn a < b - < c - Dễ kiểm tra f song ánh từ suy số tập A X thỏa mãn tốn C2006 Nhận xét Tổng qt ta có điều kiện r < n - r + f xác định sau: A = {a < a2 0) a) Tìm số phân hoạch E = AB cho AB   b) Tìm số phân hoạch E = ABC cho AB  , BC  , CA   HD a) Số cách chọn tập A có k phần tử Cnk (0 < k < n) Tập B = (E\A)A’ với A’ khác rỗng A’ tập A Vì A có k phần tử nên có 2k - cách chọn A’ Suy có n n k 1 k 0 �(2n  1)Cnk  �(2n 1)Cnk = 3n - 2n cách chọn A B Đây số phân hoạch thỏa mãn toán b) Gọi E’ tập phân hoạch E thỏa mãn toán Với số iE: +) Nếu i thuộc A, B, C đặt tương ứng i với (i, i, i); +) Nếu i thuộc A, B khơng thuộc C đặt tương ứng (i, i, 0); +) Tương tự trường hợp cho tương ứng: (i, 0, i); (0, i, i); (i, 0, 0); (0, i, 0); (0, 0, i) Gọi F tập tất các số dạng Dễ có phân hoạch E tương ứng với n số F ngược lại Từ suy số phân hoạch E 7n (1) Gọi A1 tập phân hoạch E không hợp lệ mà AB = ; A2 tập phân hoạch E không hợp lệ mà BC =  Khi chuyển qua F ta có: |A1| = |A2| = 5n, |A1A2| = 4n  |A1A2| = 2.5n - 4n (2) Vậy số phân hoạch thỏa mãn toán 7n - 2.5n + 4n HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Bài 12 (China MO) Trong xâu nhị phân có độ dài n, gọi an số xâu không chứa số liên tiếp 010 bn số xâu không chứa liên tiếp 0011 1100 Chứng minh bn+1 = 2an HD Gọi A tập xâu nhị phân có độ dài n không chứa số liên tiếp 010 B tập xâu nhị phân có độ dài n không chứa liên tiếp 0011 1100 Xét tương ứng f: A  B xác định sau:Với xâu X = x1x2…xn f(X) = Y = y1y2…yn với y1 = 0, yk  x1+x2+…+xk-1 (mod 2) Dễ chứng minh f song ánh (1) Mặt khác có xâu Y thuộc B đổi cho 1, cho ta có xâu Y’ thuộc B Do số xâu loại B có độ dài n + gấp đơi số xâu loại B có độ dài n + bắt đầu (2) Từ (1) (2) ta có đpcm Bài 13 Gọi M tập số nguyên dương mà hệ thập phân có 2n chữ số, có n chữ số n chữ số Gọi N tập số nguyên dương viết hệ thập phân có n chữ số, có chữ số 1, 2, 3, chữ số1 chữ số Chứng minh |M| = |N| HD Với số a thuộc N có n chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số (VD a = 1234123) Khi ta viết liền aa để số có 2n chữ số (VD aa = 1234123 1234123), đổi chữ số aa thành chữ số aa thành Khi ta số có 2n chữ số số chữ số = số chữ số = n thuộc tập M (VD aa  12121211212121) Đảo lại, với số b thuộc tập M (VD b = 212112) Ta ngắt n chữ số đầu n chữ số cuối (VD b  212 112) sau cộng theo hàng hai số theo quy tắc + = 1, + = 2, + = 3, + = Khi ta có số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, sơ chữ số số chữ số (VD b  412) Số dạng thuộc N Vậy có song ánh M N suy |M| = |N| Bài 14 Trong kỳ thi có k thí sinh tham dự Hội đồng coi thi xếp k thí sinh ngồi xung quanh bàn trịn có n ghế đánh số từ đến n (n �4k) Hai thí sinh gọi ngồi cạnh họ khơng có thí sinh khác Quy chế thi yêu cầu hai thí sinh ngồi cạnh phải có ba ghế trống Hỏi Hội đồng coi thi có cách chọn k ghế quanh bàn tròn làm chỗ ngồi cho k thí sinh? HD Bài tốn quy việc tìm số tập A = {a1  a2  L  ak } tập S = {1,2,…,n} thoả mãn a i 1 ai �4 (i=1,2, , k-1) n  a1  ak �4 Đặt bi   3(i  1) , i = 1, 2,…, k Ta có: bi 1  bi �1 , i = 1, 2, , k - 1; bk  b1 �n  3k  bk  ak  3(k  1) �n  3k  Dễ thấy có song ánh tập A tập B   �b1  b2  L  bk  {1, 2, …, n - 3k + 3} thoả mãn bk  b1 �n  3k  +) Với b1 �{1, 2, 3} đặt ci  bi  b1 , i = 1, 2,…, k Ta có �c2  L  ck �n  3k  bi , ci tương ứng - Vậy có 3Cnk31k 1 tập +) Với bi �4 đặt ci  bi  Ta có �c1  L  ck �n  3k bi , ci tương ứng - Vậy ta có Cnk3k tập Kết luận: Có thảy 3Cnk31k 1 + Cnk3k cách chọn Bài 15 Với đỉnh đa giác đỉnh (cửu giác) tô màu đỏ xanh da trời Chứng minh tồn tam giác đơn sắc đồng dạng, tam giác đơn sắc tam giác có tất đỉnh màu 10 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Bài 12 Có 2n ngài đại sứ mời đến bữa tiệc Mỗi ngài đại sứ có nhiều n-1 kẻ thù Chứng minh xếp ngài đại sứ ngồi quanh bàn trịn để khơng phải ngồi cạnh kẻ thù HD Đầu tiên ta xếp chỗ ngồi cho ngài đại sứ theo cách Gọi H số cặp kẻ thù ngồi cạnh Gọi (A, B) cặp kẻ thù, với B ngồi bên phải A (hình a) Chúng ta phải tách chúng Xét cặp (A’, B’) với A’ người bạn A Ta đạt mục đích cách đảo đầu mút cung BA’(Hình b) H bị giảm (A, A’) (B, B’) hình b cặp thân thiện Ta cần tồn B’ nằm bên phải A’ B bạn B’ Ta A khắp xung quanh bàn theo chiều kim đồng hồ Ta có n người bạn A, bên phải họ có n chỗ ngồi Chúng bị chiếm giữ tất kẻ thù B’ B’ có n - kẻ thù Như tồn điểm A’ bên phải có B’, người bạn B Kết hợp với nguyên lý bất biến mà ta tìm việc làm giảm H thực Vậy sau số lần định thưc thuật toán với cặp (A,B) ta có cách xếp thoả mãn u cầu tốn Hình a Hình b Bài 13 (IMO 1993) Trên bàn cờ có vơ hạn ngời ta quy ước trị chơi sau: Đầu tiên n2 viên sỏi khối n.n hình vng kề nhau, viên đặt nên hình vng Một lần di chuyển viên sỏi (một nước đi) tức lần nhảy qua chiều nganng chiều đứng băng qua hình vng bị viên sỏi khác chiếm chỗ kề để đến hình vng khơng bị chiếm chỗ tiếp liền theo sau Viên sỏi ô vuông bị nhảy qua bị bỏ khỏi bàn cờ Trò chơi kết thúc viên sỏi bàn cờ Tìm giá trị n để trò chơi kết thúc HD Ta tìm tính bất biến cho tốn sau Đó tính chất: 1) “Bộ bước nhảy”: Sau nước (ta gọi bước nhảy) hình 8a biến thành hình 8b 49 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Thật ta biến hình 8a thành hình 8b qua nước sau: 2) Sau số nước hình 8c thành hình 8d: Chuỗi biến đổi sau: Ta chứng minh xong hai chuỗi biến đổi Trở lại toán: Ta chứng minh trò chơi kết thúc n bội +) Với n = 2: Bài toán giải sau: 50 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 +) Với n = 3: Ta thấy sau lần thực “bộ ba bước nhảy” hình vng 3x3 thành hình chữ nhật 3x1: Rõ ràng trường hợp trị chơi khơng thể kết thúc +) Với n = 4: Ta đưa trường hợp n = Thật từ tính chất ta biến đổi sau: 51 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 +) Với trường hợp n = ta đưa trường hợp n = dãy biến đổi dựa theo TC1 TC2 Các 3x1 bị xố theo thứ tự sau: +) Khi n > 5: Một hình vng nxn ln đưa hình vng (n-3)x(n-3) cách xố hình chữ L với 2n - “bộ ba bước nhảy” Ta minh hoạ cho trường hợp n = 7: Điều chứng tỏ n = 4, 7, 10,… hay 2, 5, 8, 11, Thì trị chơi ln kết thúc Điều xảy n bội số ? Ta kiểm tra với n = thi trị chơi khơng kết thúc Hơn hình vng nxn với n bội số chuyển dược thành hình vng 3x3 Nhưng cách để thực trị chơi nên ta khơng thể khẳng định với n bội số trị chơi khơng thể kết thúc ta chứng minh cho điều Ta tô màu hình vng màu đỏ (Đ), xanh (X) vàng (V) hình sau đây: Nếu n bội số hình vng nxn có số màu Giả sử n = 3m Ta xuất phát từ ô đỏ Gọi A số tất nước tới ô đỏ, B số tất nước tới ô xanh, C số tất nước tới ô vàng Một nước tới ô đỏ làm tăng số ô đỏ thêm 1, 52 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 tới ô xanh làm số ô xanh giảm 1, tới ô vàng làm số ô vàng giảm Ban đầu có m đỏ, m xanh m vàng Như ta có: -A + B + C = m - 1; A – B + C = m; A + B - C = m Nhưng điều dẫn tới mâu thuẫn B C số nguyên Mâu thuẫn dẫn tới điều cần chứng minh Suy rằng: A = m; B = C = m - Bài 14 (IMO 1986) Với đỉnh ngũ giác, ta gán cho số nguyên xi với S = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 > Gọi x, y, z số gán cho đỉnh y < Ta thay (x, y, z) (x + y, -y, z + y) Các bước lặp lại khơng cịn số âm Hãy chứng minh thuật tốn ln ln dừng lại HD Thuật tốn ln dừng lại Chìa khố để giải tốn (cũng tốn VD6) tìm giá trị ngun, hàm khơng âm f(x1, x1, , x5) đỉnh Ta lấy hàm f(x1, x2, x3, x4, x5) = �( x[i ]  x[i  2]) với x6 = x1; x7 = x2, y = x4 < i 1 Khi f(mới) - f(cũ) = 2s.x < với s > Nếu thuật tốn khơng dừng lại ta dãy vơ hạn số nguyên không âm: f0 > f1 > f2 > … Rõ ràng điều xảy Vậy thuật toán cho phải dừng lại Nhận xét 1) Đây thi khó IMO năm 1986 Chỉ có 11 thí sinh giải lời giải lời giải ấn tượng lời giải mà thí sinh nêu 2) Bernard Chazelle (Princeton University) đặt câu hỏi: “Sau nước ta kết thúc thuật tốn” Đây cịn câu hỏi mở Người ta giải đươc cho số trường hợp định BÀI TẬP Bài Các số từ tới 2n xếp tuỳ ý vào vị trí từ tới 2n Cộng số với vị trí tương ứng số Chứng minh tổng nhận có tổng có số dư chia cho 2n Bài Ba số nguyên a, b, c viết lên bảng đen Sau số ngun xố bỏ thay tổng hai số lại bớt Thao tác đươc thực với số sau thời gian thực ta kết số: 17, 1967, 1983 Vậy số ban đầu là: a) 2, 2, b) 3, 3, không? Bài Cho dãy số {xn} {yn} xác định bởi: x0 = 1; y0 = 0; xn + = (5xn - 12yn)/13, yn = (12xn + 5yn)/13 Tính xn2 + yn2 với n = 10, 102, 103 Bài Cho {a1, a2,…, an} hoán vị {1, 2, , n} với n số tự nhiên lẻ Hãy chứng minh (a1 - 1)(a2 - 2)…(an - n) số chẵn Bài Có 2n điểm đường trịn Hãy tìm số cách nối 2n điểm n dây cung không cắt 53 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Bài Một hình trịn chia thành 14 hình quạt Mỗi hình đặt viên bi Ta thực nước sau: Mỗi lần viên bi hình quạt khác di chuyển sang hình quạt kề với theo chiều ngược Hỏi sau số lần thực nước ta đưa tất viên bi ô không ? Bài Ở Vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng, 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác gặp nhau, tóc họ đổi sang màu thứ ba Hỏi có lúc đó, tất hiệp sĩ có màu tóc giống nhau? Bài Có cốc đựng nước: cốc thứ chứa 1/2 nước, cốc thứ hai chứa 1/3 nước, thứ ba chứa 1/4 nước, thứ tư chứa 1/5 nước, thứ năm chứa 1/8 nước, thứ sáu chứa 1/9 nước thứ bảy chứa 1/10 nước Cho phép đổ tất nước từ cốc sang cốc khác đổ nước từ cốc sanng cốc khác cốc chưa đầy Có thể sau số lần đổ nước, cốc chứa: a) 1/12 nước b) 1/6 nước Bài Trên bảng có số 3, 4, 5, Mỗi lần thực cho phép xóa hai số x, y có bảng thay x  y  x  y x  y  x  y Hỏi sau số hữu hạn bước thực hiện, bảng xuất số nhỏ không? Bài 10 Trên bàn có 100 viên kẹo Hai người thay phiên bốc k viên kẹo, k{1, 2, 3} Hỏi người có chiến thuật thắng? Bài 11 Trên bảng có số nguyên Người ta ghi nhớ chữ số cuối số này, sau xố cộng thêm vào với số cịn lại bảng lần chữ số vừa xoá Ban đầu bảng ghi số 71998 Hỏi sau số số lần thực thế, thu số 19987? Bài 12 Số nguyên dương có chữ số bảng biến đổi thành số có chữ số khác theo quy tắc sau: cộng thêm vào hai chữ số liên tiếp nó, hai chữ số không 9; trừ từ hai chữ số liên tiếp nó, hai chữ số khơng Hỏi phép biến đổi vậy, thu số 2002 từ số 1234? Bài 13 Hai người chơi trị chơi sau Ban đầu có số 1, 2, 3, Mỗi lần thực hiện, người thứ cộng vào hai số cạnh đơn vị, người thứ hai đổi chỗ hai số cạnh Người thứ thắng sau nước tất số Hỏi người thứ hai cản trở người thứ chiến thắng? Bài 14 Cho bàn cờ quốc tế 88 Hỏi quân mã nước từ ô bên trái kết thúc ô bên phải hay khơng? Với điều kiện phải qua tất ô bàn cờ ô qua lần Bài 15 Một hình trịn chia thành 14 hình quạt Mỗi hình đặt viên bi Ta thực nước sau: Mỗi lần viên bi hình quạt khác di chuyển sang hình quạt kề với theo chiều ngược Hỏi sau số lần thực nước ta đưa tất viên bi ô khơng? 54 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TỐN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Phần III NGUYÊN LÍ CỰC HẠN Cơ sở lí thuyết Ngun lý cực hạn hay gọi nguyên lý khởi đầu cực hạn có phát biểu đơn giản: Một tập hợp hữu hạn (khác rỗng) số thực có phần tử lớn phần tử nhỏ Nguyên lý đơn giản giúp “khởi đầu” từ hai “đầu mút”, nhỏ lớn nhất, từ cho thơng tin bổ sung mà xét vị trí khác khơng có Ngun lý cực hạn thường sử dụng để chứng minh tồn hay không tồn đối tượng Dưới xem xét số ví dụ Một số ví dụ Ví dụ Cho n điểm xanh n điểm đỏ mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh ta nối 2n điểm n đoạn thẳng có đầu mút khác màu cho chúng đôi không giao Lời giải Với cách nối 2n điểm n đoạn thẳng xanh - đỏ, ta tính tổng độ dài đoạn thẳng nối Do số cách nối hữu hạn nên tồn cách nối có tổng độ dài nói nhỏ Ta chứng minh cách nối thoả mãn yêu cầu toán Giả sử ngược lại, tồn hai đoạn thẳng cách nhau, giả sử AB CD cắt O (A, C tơ màu đỏ, cịn B, D tơ màu xanh) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: AD < OA + OD, BC < OB + OC Suy AD + BC < AB + CD Như ta giữ nguyên n - đoạn nối cịn lại thay AB, CD AD, BC tổng đoạn nối cách nối nhỏ cách nối Mâu thuẫn với tính nhỏ Vậy tồn cách nối 2n điểm n đoạn thẳng xanh - đỏ cho chúng không cắt Nguyên lý cực hạn sử dụng để trình bày lời giải tốn sử dụng đơn biến cách hiệu Ta xem lại tốn: Ví dụ Trong quốc hội Mỹ, nghị sĩ có khơng q kẻ thù Chứng minh chia quốc hội thành viện cho viện, nghị sĩ có khơng kẻ thù Lời giải Đây ví dụ phần bất biến Lời giải sử dụng bất biến thông qua đại lượng s(A) + s(B) (A, B) cách chia quốc hội Mỹ thành viện, dựa vào tính chất A B có nghị sĩ có kẻ thù ta biến đổi A  A’, B  B’ cho s(A’) + s(B’) < s(A) + s(B) Ta trình bày lời giải toán nguyên lý cực hạn Gọi (A, B) cách chia quốc hội Mỹ thành viện cho s(A) + s(B) nhỏ (Nhắc lại, s(A), s(B) tổng tổng số kẻ thù thành viên tính viện đó) Khi đó, (A, B) cách phân chia cần tìm Thật vậy, ngược lại, A (hoặc B) có nghị sĩ có kẻ thù phép biến đổi nói trên, ta cách chia A’, B’ với s(A’) + s(B’) < s(A) + s(B), mâu thuẫn với cách chọn A,B Trong số học, nguyên lý cực hạn thường áp dụng thông qua việc xét ước số nhỏ nhất, ước số lớn nhất, nghiệm nguyên dương nhỏ … Sau xem xét ví dụ điển hình số học sử dụng ngun lý cực hạn: Ví dụ Tìm tất số nguyên dương lẻ n cho 15n + chia hết cho n Lời giải Rõ ràng n = nghiệm toán Tiếp theo, giả sử n > Gọi p ước số nguyên tố lẻ nhỏ n Giả sử k số nguyên dương nhỏ cho 15k - chia hết cho p 55 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Vì 152n - = (15n - 1)(15n+1) chia hết cho n nên 152n-1 chia hết cho p Như (15, p) = theo định lý nhỏ Fermat ta có 15p-1 - chia hết cho p Theo định nghĩa k ta suy k ước số số p-1 2n Vì k chia hết p-1 nên k  p - < p Nếu k số lẻ k chia hết n (vì k chia hết 2n) Ta có k chia hết n, k < p, p ước số nguyên tố nhỏ n nên k=1, p chia hết 15k-1=14 Nếu k = 2l, l nguyên dương l < 2k = k < p, k = 2l chia hết 2n Từ l < p, l chia hết n tương tự trên, l = => k =2 Từ p chia hết 15k - = 14.16 Trong hai trường hợp ta suy p = 7, tức 15 n +1 chia hết cho Nhưng rõ ràng 15n + chia dư 2, mâu thuẫn Vậy số lẻ n thoả mãn điều kiện 15n + chia hết cho n n = Hãy nhìn vào hai đầu mút! Nguyên lý cực hạn tốn đại số đơi thể cách đơn giản Ta xét ví dụ sau: Ví dụ Cho n  số thực phân biệt a 1, a2, …, an thoả mãn điều kiện n n i 1 i 1 �ai  0,�ai2  1, Chứng minh tồn bốn số a, b, c , d thuộc {a1, a2, …, an} cho n a  b  c  nabc ��ai3 �a  b  d  nabd i 1 Lời giải Giả sử a1 < a2 < … < an Chọn a = a1, b = a2, c = a3, d = an (1) Ta chứng minh n a  b  c  nabc ��ai3 �a  b  d  nabd i 1 Từ (1) suy (ai - a)(ai - b)(ai - c)   ai3 - (a + b + c)ai2 + (ab + bc + ca)ai - abc   ai3  (a+b+c)ai2 - (ab+bc+ca)ai + abc, với  i  n Cho i chạy từ đến n cộng lại vế theo vế, ta n n n i 1 i 1 i 1 �ai3 �(a  b  c)�ai2  (ab  bc  ca)�an  nabc  a  b  c  nabc Tương tự, từ (1) ta lại có: (ai - a)(ai - b)(ai - d)  với  i  n Từ đây, làm tương tự ta n suy �ai3 �a  b  d  nabd i 1 Nguyên lý cực hạn không áp dụng cho tập hợp hữu hạn mà cịn cho tập hợp vơ hạn Cụ thể đây, ta sử dụng tính thứ tự tốt tập hợp số tự nhiên N (cũng tích Đềcác Nk) : Mọi tập N có phần tử nhỏ Ví dụ Chứng minh phương trình x3 + 3y3 + 9z3 = khơng có nghiệm ngun khác (0, 0, 0) Lời giải Giả sử ngược lại, tồn nghiệm (x, y, z)  (0, 0, 0) Gọi (x0, y0, z0) nghiệm với |x0| + |y0| + |z0| dương nhỏ Vì x03 + 3y03 + 9z03 = nên suy x0 chia hết cho Đặt x0 = 3x1 Thay vào phương trình, ta 9x13 + y03 + 3z03 = 56 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 Từ lại suy y0 chia hết cho 3, đặt y = 3y1 Thay vào phương trình, ta lại 3x 13 + 9y13 + z03 = Từ suy z0 chia hết cho 3, z0 = 3z1 cuối ta có x13 + 3y13 + 9z13 = Như ta nghiệm (x1, y1, z1) phương trình thoả mãn: < |x1| + |y1| + |z1| < |x0| + |y0| + |z0| Mâu thuẫn với cách chọn (x0, y0, z0) Vậy điều giả sử sai ta có đpcm Ví dụ Cho a, b, c nguyên dương:  a  b  abc �c Chứng minh k  a  b  abc số phương Lời giải Giả sử ngược lại, tồn a, b, c số nguyên dương cho  a  b  abc �c cho k  a  b  abc không số phương Với số k này, ta cố định số c xét tập   � � S  c;k   �  a;b  � �* | k  a  b  abc � � Theo điều giả sử S  c;k  �� nên theo nguyên lý cực hạn tồn cặp số  A;B  thuộc S  c;k  cho A + B nhỏ Giả sử A �B Xét phương trình X  BcX  B2  k  Rõ ràng A nghiệm phương trình Gọi a nghiệm cịn lại � a  Bc  A A  a  Bc � � � � � B2  k Theo định lý Viét ta có: � Aa  B2  k a � � � A  1  2 Phương trình (1) nói lên a số nguyên Nếu a = B2  k nên trái với điều giả sử Nếu a < a �1, k �c nên a  Bca  B2  k �a  Bc  B2  c  a  B2 nên đẳng thức phương trình khơng xảy Vậy a >  a;B  thuộc S  c;k  Lại có a  B2  k B2   A nên a + B < A + B Mâu thuẫn với chọn cặp  A;B  A A Vậy giả sử sai nên toán chứng minh Nhận xét Phương pháp giải toán gọi phương pháp “Viète Jumping” Các bước để giải tốn là: Bước Xét cặp  a;b  cho ta số k Với số k xét tất cặp  a;b  thỏa mãn Bước Giả sử số k không thỏa mãn đề Trong tất cặp  a;b  xét nói trên, chọn cặp  A;B  cho A + B nhỏ Ta chứng minh cặp số có tổng nhỏ thỏa mãn Bước Cố định số nhỏ cặp  A;B  , đưa tốn phương trình bậc nhận số lại cặp  A;B  nghiệm, chứng minh nghiệm lại thỏa mãn đề trái với giả sử Ví dụ Chứng minh a, b, q  a  b2 số nguyên dương q số phương ab  57 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 � a  b2 � � � * S q  a;b � � | q    Lời giải Giả sử q không số phương Xét tập   � � Theo ab  � �   giả thiết S  q  �� nên theo nguyên lý cực hạn tồn cặp số  A;B  thuộc S  q  cho A + B nhỏ Giả sử A �B Xét phương trình q  x  B2 � x  Bqx + B2  q  Bx  Rõ ràng A nghiệm phương trình Giả sử nghiệm cịn lại a Theo định lí Viét ta có: � a  Bq  A A  a  Bq � � � � � B2  q � Aa  B2  q � a � � A  3  4 Đến ta giải tương tự ví dụ đến kết luận Ví dụ Cho x, y , p  x2  y  số nguyên dương Chứng minh p số lập xy phương � x2  y  � � �  x; y  � �* | p  Lời giải Xét tập S  p   � � Theo giả thiết S  p  �� nên theo xy � �   nguyên lý cực hạn tồn cặp số  A;B  thuộc S  p  cho A + B nhỏ Giả sử A �B Xét phương trình p  x  B2  � x  Bpx  B2   ẩn x Ta tìm nghiệm A, a Bx phương trình Dễ  a;B  thuộc S  p  cách chọn  A;B  nên A �a Theo phương trình  A  B   A  B  � 0;1; 2;3; 4;5;6 A �Aa  B2  �  A  B   A  B  �6 Từ suy ra: với A �B Từ ta kiểm tra có cặp A = B = thỏa mãn p số nguyên dương Khi p = số lập x2  y2  phương Như với số nguyên dương x, y , p  p = (A = B = xy số nhỏ thỏa mãn tính chất này) Tóm lại p = tốn chứng minh Ví dụ Cho hàm số f: N*  N* thoả mãn điều kiện f(n + 1) > f(f(n)) với n nguyên dương Chứng minh f(n) = n với n nguyên dương Lời giải Gọi d phần tử nhỏ miền giá trị f; tức là: d = min{ f(n): n  N*} Giả sử m  N* cho f(m) = d Nếu m > ta thấy d = f(m) > f(f(m - 1)) Mâu thuẫn với cách chọn d Vậy m = Suy f có giá trị nhỏ nhất Bây ta lại xét tập hợp {f(n): n  2} Bằng lý luận tương tự trên, ta suy tập có phần tử nhỏ giá trị nhỏ f(2) Hơn nữa, f(1) < f(2), theo cách chọn f(1) Thật vậy, f(1) = f(2) f(1) > f(f(1)) mâu thuẫn Điều tiếp tục để được: f(1) < f(2) < f(3) k với k Khi f(k)  k + Sử dụng (1) ta suy f(k + 1)  f(f(k)) Nhưng điều mâu thuẫn với điều kiện f(k + 1) > f(f(k)) Ta suy f(k) = k với k nguyên dương BÀI TẬP Bài Tập hợp S sinh viên trường đại học có tính chất: hai sinh viên có số bạn S khơng có người quen chung S Chứng minh tồn sinh viên có người quen S Bài Một quốc gia có 100 sân bay Khoảng cách sân bay khác Mỗi sân bay có chuyến bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay có chuyến bay đến Bài Tổng số số thực không âm tổng bình phương chúng lớn Chứng minh ta chọn số số số có tổng lớn Bài Có trường học, trường có n học sinh Mỗi học sinh quen với n+1 học sinh từ hai trường khác Chứng minh người ta chọn từ trường bạn cho ba học sinh chọn đôi quen Bài Trên đường thẳng cho 50 đoạn thẳng Chứng minh có đoạn thẳng chúng có điểm chung, có đoạn thẳng chúng đôi rời Bài Chứng minh đa giác lồi có diện tích phủ hình chữ nhật diện tích Bài Chứng minh 15 số nguyên dương thuộc {2, 3, …, 1992} đôi nguyên tố có số ngun tố Bài Một số số thực dương viết bảng Tổng tích đơi chúng Chứng minh ta xố số để tổng số lại nhỏ Bài Cho a, b số nguyên dương cho ab + chia hết a + b2 Chứng minh biểu thức (a2 + b2)/(ab + 1) số phương với giá trị cụ thể a b Bài 10 Chứng minh a, b số nguyên dương cho k  a2  b2 số nguyên k = ab  Bài 11 Trên đường thẳng có 2n + đoạn thẳng Mỗi đoạn thẳng giao với n đoạn thẳng khác Chứng minh tồn đoạn thẳng giao với tất đoạn thẳng lại Bài 12 Trong mặt phẳng cho n > điểm Hai người chơi nối cặp điểm chưa nối véc-tơ với hai chiều Nếu sau nước người tổng véc tơ vẽ người thứ hai thắng; khơng vẽ véc tơ mà tổng chưa có lúc người thứ thắng Hỏi người thắng chơi đúng? Bài 13 Trong tam giác nhọn khoảng cách từ trung điểm cạnh đến đỉnh đối diện tổng khoảng cách từ điểm đến cạnh tam giác Chứng minh tam giác C KẾT LUẬN Trên hệ thống tập liên quan đến số khía cạnh tổ hợp, phân loại thành dạng tương đối cụ thể Chúng đưa chuyên đề vào dạy bồi dưỡng ôn luyện học 59 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 sinh giỏi mơn Tốn chủ yếu đội tuyển Tốn ba khối 10, 11 12 trường phổ thông chuyên Bắc Kạn, bước đầu thu số kết sau: - Học sinh nắm kiến thức vận dụng tương đối linh hoạt Có nhìn hứng thú tốn tổ hợp, “ tư tổ hợp” - Các em nhận dạng toán thể chúng tương đối tốt - Qua phần có tác dụng việc gây hứng thú học tập cho học sinh, lơi em vào hoạt động Tốn học tự giác, tích cực Tuy nhiên khả cịn hạn chế nội dung tổ hợp rộng, chưa thể đưa hết nội dung vào đề tài, tập dừng lại mức độ sưu tầm, biên dịch, chưa tự sáng tạo phát triển hệ thống tập mới, nên sáng kiến nhiều khiếm khuyết, mong nhận ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp để lần sau bổ sung cho hoàn thiện 60 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tủ sách Toán học tuổi trẻ (2007), Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 - 2006) NXB Giáo Dục Văn Phú Quốc (Chủ biên), Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán I NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2013), Đại số Giải tích 11 nâng cao (tái lần thứ sáu), NXB Giáo Dục Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ, Quyển 1, NXB Giáo Dục Việt Nam 2009 Phép đếm - vấn đề nâng cao, Trần Nam Dũng, Trường Đại học KHTN Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh Luận văn Phương pháp toán sơ cấp “Bài toán đếm nâng cao tổ hợp ứng dụng”, Trương Nhật Lý, Đại học Đà Nẵng, 2011 Phương pháp ánh xạ toán tổ hợp, Nguyễn Chiến Thắng, THPT chuyên Quảng Bình, 2013 Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi tổ hợp, Huỳnh Tấn Châu Tài liệu Internet, đặc biệt website: www.mathlinks.ro, www.diendantoanhoc.net, www.mccme.ru 10 Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc NXB giáo dục 2008 11 Andreescu, T., & Feng, Z (2003), A Path to Combinatorics for Undergraduates: Counting Strategies, Springer 12 Balakrishnan, V K (1995), Schaum's outline of theory and problems of combinatorics: [including concepts of graph theory], McGraw-Hill 13 Bóna, M (2011), A walk through combinatorics: an introduction to enumeration and graph theory, World Scientific 14 Chuan-Chong, C., & Koh, K M (1992), Principles and techniques in combinatorics, World Scientific 15 Lê Hải Châu, Lê Hải Khôi (1997), “ 199 toán chọn lọc toán tổ hợp” 16 Trường đại học KHTN (2007), “ Các chuyên đề Toán rời rạc số vấn đề liên quan” 17 Trường đại học KHTN (2006), “ Các chuyên đề Toán học chọn lọc” 18 Titu Andreescu, Zuming Feng.(2002), “102 Combinatorial problems ” 19 Tài liệu chuyên toán 10, 11 20 Nguyễn Quý Dy, (2005), “ Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, tập Tổ hợp” NXB Giáo dục 2005 61 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC KẠN TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HỢP Họ tên: Lê Anh Chung Tổ cơng tác: Tổ Tốn-Lý-TD Bắc Kạn, tháng 11 năm 2015 62 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TOÁN TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015-2016 63 ... �3 Tiếp theo, áp dụng to? ?n chia kẹo dạng x1  y2  x3  x4  x6   y5 Ta số cách phân ghế cho cô gái HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TO? ?N TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015- 2016 4 C12  C11...  |A1A2| = 2.5n - 4n (2) Vậy số phân hoạch thỏa mãn to? ?n 7n - 2.5n + 4n HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TO? ?N TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015- 2016 Bài 12 (China MO) Trong xâu nhị phân có độ... ' �A1 ' ii) Phép ánh xạ (*) đơn ánh iii) Phép ánh xạ (*) to? ?n ánh 19 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI PHẦN TO? ?N TỔ HƠP - Chuyên Bắc Kạn-Năm học 2015- 2016 Cm (i) Ta có m  a1  �s (a ) (vì a �A1 ) Do s