LÝ THUYẾT CƠ BẢN TOÁN LỚP 10

TỔNG HỢP TỪ DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN Lý thuyết TOÁN 10 NGƯỜI TỔNG HP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG DT: 0946798489 FB: https://www.facebook.com/phong.baovuong Năm học: 2018 - 2019 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ 10 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến Vấn đề Tập hợp Vấn đề Sai số- số gần Chương Hàm số bậc bậc hai Vấn đề Đại cương hàm số Vấn đề Hàm số bậc Vấn đề Hàm số bậc Chương Phương trình hệ phương trình Vấn đề Đại cương phương trình Vấn đề Phương trình bậc ẩn Vấn đề Phương trình bậc hai ẩn Vấn đề Một số phương trình quy bậc nhất, bậc hai 10 Vấn đề Hệ phương trình bậc nhiều ẩn 12 Vấn đề Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số 13 Chương Bất đẳng thức, bất phương trình 14 Vấn đề Bất đẳng thức 14 Vấn đề Bất phương trình bậc – bất phương trình bậc hai 15 Chương Lượng giác 16 Vấn đề Cung góc lượng giác 16 Vấn đề Giá trị lượng giác cung 17 Vấn đề Công thức lượng giác 20 PHẦN HÌNH HỌC 10 21 Chương Vecto 21 Vấn đề Khái niệm véc tơ 21 Vấn đề Tổng hai vecto 21 Vấn đề Hiệu hai vecto 22 Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT vấn đề Phép nhân vercsto với số 22 Vấn đề Hệ trục tọa độ 23 Chương Tích vơ hướng 24 Vấn đề Giá trị lượng giác góc 24 Vấn đề Tích vơ hướng 25 Vấn đề Các hệ thức lượng tam giác 26 Chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng 27 Vấn đề Đường thẳng 27 Vấn đề Đường tròn 29 Vấn đề Elip 30 Vấn đề Hypebol 30 Vấn đề Parabol 31 Vấn đề đường conic 32 Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT PHẦN ĐẠI SỐ 10 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến  Mệnh đề  Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai  Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai  Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P  Mệnh đề "không phải P" gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P  Nếu P P sai, P sai P  Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P Q  Mệnh đề "Nếu P Q" gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu là: P  Q , (P suy Q)  Mệnh đề P  Q sai P Q sai  Lưu ý rằng: Các định lí tốn học thường có dạng P  Q Khi đó:  P giả thiết, Q kết luận  P điều kiện đủ để có Q  Q điều kiện cần để có P  Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P  Q Mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P  Q  Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P Q  Mệnh đề "P Q" gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P  Q  Mệnh đề P  Q hai mệnh để P  Q Q  P  Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P  Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q  Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề  Kí hiệu  : Cho mệnh đề chứa biến P( x) với x  X Khi đó:  "Với x thuộc X để P( x) đúng" ký hiệu là: " x  X , P( x)" " x  X : P( x)"  "Tồn x thuộc X để P( x) đúng" ký hiệu là: " x  X , P( x)" " x  X : P( x)"  Mệnh đề phủ định mệnh đề " x  X , P( x)" " x  X , P( x)"  Mệnh đề phủ định mệnh đề " x  X , P( x)" " x  X , P(x)"  Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B  Cách Giả sử A Dùng suy luận kiến thức toán học biết chứng minh B  Cách (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A khơng thể vừa vừa sai nên kết B phải  Lưu ý:  Số nguyên tố số tự nhiên chia hết cho Ngồi khơng chia hết cho số khác Số không coi số nguyên tố Các số nguyên tố từ đến 100 2; 3; 5;7;11;13;17;19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59;  Ước bội: Cho a, b   Nếu a chia hết b , ta gọi a bội b b ước a  Ước chung lớn (ƯCLN) hay nhiều số tự nhiên số lớn tập hợp ước chung số  Bội chung nhỏ (BCNN) hay nhiều số tự nhiên số nhỏ tập hợp ước chung số Vấn đề Tập hợp  Tập hợp Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa  Có cách xác định tập hợp:  Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc  ; ;    Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp  Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu   Tập hợp – Tập hợp  Tập hợp con: A  B  (x  A  x  B)  A  A , A B A A    A , A  A  B , B  C  A  C A  B Nếu tập hợp có n phần tử  2n tập hợp B  A   Tập hợp nhau: A  B    Một số tập hợp tập hợp số thực R  Tập hợp  :  *         Trong đó:   : tập hợp số tự nhiên khơng có số  : tập hợp số tự nhiên  : tập hợp số hữu tỷ  : tập hợp số nguyên   ( ; ) : tập hợp số thực  Khoảng:  ( a; b)  x   a  x  b : –  ( a; )  x   a  x : –  ( ; b)  x   x  b : – a //////////  b  /////////// ( + + )  Đoạn:  a; b   x   a  x  b : –   Nửa khoảng: + + a b – +  – +   a;    x   a  x : – + – ] +   a; b   x   a  x  b :    a; b  x   axb :  ; b  x    xb :  Các phép toán tập hợp  Giao hai tập hợp: A  B  x x  A x  B  A B A  Hợp hai tập hợp: A  B  x x  A x  B   Hiệu hai tập hợp: A \ B  x x  A x  B  Phần bù: Cho B  A C A B  A\B A B B Vấn đề Sai số- số gần  Số gần Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần  Sai số tuyệt đối Nếu a số gần số a  a  a  a gọi sai số tuyệt đối số gần a Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  Độ xác số gần Nếu a  a  a  d a  d  a  a  d Ta nói a số gần a với độ xác d qui ước viết gọn a  a  d  Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a tỉ số sai số tuyệt đối a , kí hiệu a  a a    a nhỏ độ xác phép đo đạc tính tốn lớn  Ta thường viết  a dạng phần trăm  Qui tròn số gần  Nếu chữ số sau hàng qui trịn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số  Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn  Nhận xét: Khi thay số số qui trịn đến hàng sai số tuyệt đối số qui trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng qui tròn Như vậy, độ xác số qui trịn nửa đơn vị hàng qui tròn  Chữ số Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a, chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số  Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Chương Hàm số bậc bậc hai Vấn đề Đại cương hàm số  Định nghĩa Cho D   , D   Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x  D với số y   Trong đó:  x gọi biến số (đối số), y gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y  f ( x)  D gọi tập xác định hàm số  T  y  f ( x) x  D gọi tập giá trị hàm số  Cách cho hàm số: cho bảng, biểu đồ, công thức y  f ( x) Tập xác định hàm y  f ( x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x) có nghĩa  Chiều biến thiên hàm số: Giả sử hàm số y  f ( x) có tập xác định D Khi đó:  Hàm số y  f ( x) gọi đồng biến D  x1 , x2  D x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Hàm số y  f ( x) gọi nghịch biến D  x1 , x2  D x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Tính chẵn lẻ hàm số Cho hàm số y  f ( x) có tập xác định D  Hàm số f gọi hàm số chẵn x  D  x  D f ( x)  f ( x)  Hàm số f gọi hàm số lẻ x  D  x  D f ( x)   f ( x)  Tính chất đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng  Đồ thị hàm số Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  Đồ thị hàm số y  f ( x) xác định tập D tập hợp tất điểm M  x; f ( x)  mặt phẳng toạ độ Oxy với x  D Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y  f ( x) đường Khi ta nói y  f ( x) phương trình đường Vấn đề Hàm số bậc Hàm số TXĐ Tính chất Bảng biến thiên x a  : hàm số đồng biến Hàm số bậc a  : hàm ( a  0) số nghịch biến  Hàm số Không đổi Hàm số Hàm chẵn y x  Đồng biến ( ; 0) nghịch biến (0; )  x x    x x  A  A(0; b)   y   b  B  ;   a   O B A O Hàm chẵn yb  y x Đồ thị     y  ax  b Điểm đặc biệt B A(0; b) A O x   O(0; 0) A( 1;1) y   B(1;1) B A O  b x   ax  b a Đối với hàm số y  ax  b , (a  0) ta có: y  ax  b   ( ax  b) x   b  a Do để vẽ hàm số y  ax  b , ta vẽ hai đường thẳng y  ax  b y   ax  b , xóa hai phần đường thẳng nằm phía trục hoành Ox  Lưu ý: Cho hai đường thẳng d : y  ax  b d : y  ax  b Khi đó:  d // d   a  a b  b  d  d  a.a  1  d  d  a  a b  b  d  d  a  a  Phương trình đường thẳng d qua A( x A ; y A ) có hệ số góc k dạng d : y  k.( x  x A )  y A Vấn đề Hàm số bậc Hàm số TXĐ Tính chất Đồ thị y  ax , ( a  0) parabol ( P ) có: y  ax Nguyễn Bảo Vương  Đỉnh O(0; 0) Bảng biến thiên Đồ thị Khi a  : x  y  0   O Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT ( a  0)   Trục đối xứng: Oy Khi a  : x  a  : bề lõm quay lên 0  y  a  : bề lõm quay xuống O    Khi a  : x Đồ thị y  ax  bx  c ,( a  0) parabol ( P) có:  y  b   Đỉnh I   ;     2a 4a  y  ax  bx  c  ( a  0) b  Trục đối xứng: x    2a  b 2a   4a    O I Khi a  : x   a  : bề lõm quay lên  a  : bề lõm quay xuống y b 2a   4a   I O   Vẽ đồ thị hàm số Vẽ đồ thị hàm y  f  x   ax2  b x  c , ( a  0) y  f ( x)  ax  bx  c , ( a  0)  Bước Vẽ parabol ( P ) : y  ax  bx  c  Bước Vẽ parabol ( P ) : y  ax  bx  c  Bước Do  f ( x) f ( x)  nên đồ thị y  f ( x)     f ( x) f ( x)   Bước Do y  f x   hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy vẽ sau:  Giữ nguyên phần ( P ) bên phải Oy hàm số y  f ( x) vẽ sau:  Lấy đối xứng phần qua Oy  Giữ nguyên phần ( P ) phía Ox  Đồ thị y  f x  Lấy đối xứng phần ( P ) Ox qua   hợp phần Ox  Đồ thị y  f ( x) hợp phần O O Chương Phương trình hệ phương trình Vấn đề Đại cương phương trình  Khái niệm phương trình ẩn — Cho hai hàm số y  f ( x) y  g( x) có tập xác định D f D g Đặt D  D f  Dg Mệnh đề chứa biến " f ( x)  g( x)" gọi phương trình ẩn, x gọi ẩn D gọi tập xác định phương trình Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT — Số xo  D gọi nghiệm phương trình f ( x)  g( x) " f ( xo )  g( xo )" mệnh đề  Phương trình tương đương — Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu phương trình f1 ( x)  g1 ( x) tương đương với phương trình f ( x )  g2 ( x) viết f1 ( x)  g1 ( x)  f2 ( x)  g ( x) — Định lý 1: Cho phương trình f ( x)  g( x) có tập xác định D y  h( x) hàm số xác định D Khi miền D, phương trình cho tương đương với phương trình sau: (1) : f ( x)  h( x)  g( x)  h( x) (2) : f ( x).h( x)  g( x).h( x) với h( x)  0, x  D  Phương trình hệ — Phương trình f1 ( x)  g1 ( x) có tập nghiệm S1 gọi phương trình hệ phương trình f ( x )  g2 ( x) có tập nghiệm S2 S1  S2 Khi viết: f1 ( x)  g1 ( x)  f ( x)  g2 ( x) — Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho: 2 f ( x)  g( x)   f ( x)    g( x) Lưu ý:  Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương vế nó, ta phương trình tương đương  Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại nghiệm tìm vào phương trình cho để phát loại bỏ nghiệm ngoại lai Vấn đề Phương trình bậc ẩn Giải biện luận phương trình ax  b   ax  b Hệ số Kết luận b ( i ) có nghiệm x    a a0 a0 (i) b0 ( i ) vô nghiệm b0 ( i ) nghiệm với x Bài tốn tìm tham số phương trình bậc ax  b  (ii)  Để phương trình (ii) có nghiệm  a   Để phương trình (ii) có tập nghiệm  (vô số nghiệm)    Để phương trình (ii) vơ nghiệm    Để phương trình (ii) có nghiệm  có nghiệm có tập a   b  a   b  a   nghiệm    a    b    Lưu ý: Có nghiệm trường hợp ngược lại vơ nghiệm Do đó, tìm điều kiện để (ii) có nghiệm, thơng thường ta tìm điều kiện để (ii) vơ nghiệm, lấy kết ngược lại Vấn đề Phương trình bậc hai ẩn Giải biện luận phương trình bậc hai: ax  bx  c  Nguyễn Bảo Vương (i) Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Phương pháp: Bước Biến đổi phương trình dạng ax  bx  c  Bước Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét trường hợp:  Trường hợp 1: a  0, ta giải biện luận ax  b   Trường hợp 2: a  Ta lập   b2  4ac Khi đó:  Nếu   ( i ) có nghiệm phân biệt x1,2   Nếu   ( i ) có nghiệm (kép): x   b    2a b  2a  Nếu   ( i ) vơ nghiệm Bước Kết luận Lưu ý: a  a     Phương trình ( i ) có nghiệm   b    a  a    Phương trình ( i ) có nghiệm    b    Định lý Viét  b S  x1  x2   a Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  0, ( a  0) có nghiệm x1 , x2   P  x x  c  a Ngược lại, hai số u v có tổng u  v  S tích uv  P u, v nghiệm phương trình x  Sx  P  0, (S  P  0) Ứng dụng định lý Viét  Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai:  x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )2  x1 x2  S2  P  ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  x1 x2  S2  P  x1  x2  a   ( x1  x2 )2  a2  S2  P  a2  x13  x 23  ( x1  x2 )( x12  x1 x  x22 )  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  x1 x2   S.(S  P )  S  3SP  b (1) S  x1  x2   a  Lưu ý: Nếu biểu thức không đối xứng thường ta giải hệ  Biểu thức không đối xứng  c  P  x1 x2  (3) a  phương pháp cộng (1) (2) x1 , x2 theo m x1 , x2 vào (3) để tìm m  Dấu nghiệm phương trình bậc hai:  Phương trình có nghiệm trái dấu: x1   x2  P      Phương trình có nghiệm dương:  x1  x2  P   S   Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT  Hồnh độ x  OH điểm M gọi cơsin  kí hiệu cos  cos   OH M sin  gọi tang  kí hiệu tan  (người ta cịn dùng kí  Nếu cos   0, tỉ số cos  A' hiệu tg  ) tan   y B K A x H O sin  cos  B' cos  gọi cơtang  kí hiệu cot  (người ta cịn dùng kí hiệu cotg  )  Nếu sin   0, tỉ số sin  cos  cot   sin  Các giá trị sin , cos , tan , cot  gọi giá trị lượng giác cung  Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục cơsin Hệ 1) sin  cos  xác định với    Hơn nữa, ta có sin   k 2   sin , k  ; cos   k 2   cos , k   2) Vì 1  OK  1; 1  OH  nên ta có 1  sin   1  cos   3) Với m   mà 1  m  tồn   cho sin   m cos   m  5) cot  xác định với   k  k    4) tan  xác định với   k k ỵ 6) Du ca giá trị lượng giác góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM   đường tròn lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư I II III IV                 Giá trị lượng giác cos  sin  tan  cot  Giá trị lượng giác cung đặc biệt      sin  2 cos  2 2 Nguyễn Bảo Vương Trang 18 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT tan  cot  Không xác định 1 1 Không xác định 3 II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học tan  Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc A Gọi T giao điểm OM với trục t ' At  tan  biểu diễn độ dài đại số vectơ AT trục t 'At Trục t 'At gọi trục tang y t M A x O T t' Ý nghĩa hình học cot  Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc B Gọi S giao điểm OM với trục s 'Bs  cot  biểu diển độ dài đại số vectơ BS trục s 'Bs Trục s 'Bs gọi trục côtang III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin   cos   1  tan   , cos  1  cot   , sin  tan .cot   1, y s' S s B M x     k , k   O   k , k    k , k  2 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau:   cos    cos  sin     sin  tan     tan  cot     cot  2) Cung bù nhau:     Nguyễn Bảo Vương Trang 19 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT sin      sin  cos       cos  tan       tan  cot       cot  3) Cung  :      sin       sin  cos       cos  tan      tan  cot      cot    4) Cung phụ nhau:     2    sin     cos      cos     sin      tan     cot      cot     tan    Vấn đề Công thức lượng giác I – CÔNG THỨC CỘNG cos a  b   cos a cos b  sin a sin b cos a  b   cos a cos b  sin a sin b sin a  b   sin a cos b  cos a sin b sin a  b   sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b  tan a tan b tan a  tan b tan a  b    tan a tan b tan a  b   II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin 2a  sin a cos a cos 2a  cos a  sin a  cos a 1   sin a tan a tan 2a   tan a III – CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH Cơng thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a  b   cos a  b  2 sin a sin b  cos a  b   cos a  b  sin a cos b  sin a  b   sin a  b  cos a cos b  Nguyễn Bảo Vương Trang 20 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Cơng thức biến đổi tổng thành tích u v u v cos 2 u v u v cos u  cos v  2 sin sin 2 u v u v sin u  sin v  sin cos 2 u v u v sin u  sin v  cos sin 2 cos u  cos v  cos PHẦN HÌNH HỌC 10 Chương Vecto Vấn đề Khái niệm véc tơ Định nghĩa • Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đọan thẳng, rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối   • Kí hiệu vectơ có M điểm đầu N điểm cuối MN Nhiều người ta dùng kí hiệu a để  vectơ AB  • • Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ - khơng, kí hiệu Hai vectơ phương, hướng    Giá vectơ AB : Cho AB khác B  A Đường thẳng AB gọi giá AB • Hai vectơ phương: Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng • Nếu hai vectơ phương chúng hướng, chúng ngược hướng  E D b C G  Chú ý Vectơ - khơng AA có giá đường thẳng qua A; phương hướng với vectơ    *    Trên hình vẽ ta có vectơ AB, CD, EG phương với nhau, AB, CD hướng, EG ngược   hướng với vectơ AB, CD Hai vectơ • Độ dài vectơ AB : Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB , kí hiệu AB • Hai vectơ a b gọi chúng hướng độ dài, ta viết a = b        Vấn đề Tổng hai vecto ▪ Định nghĩa   Cho hai vectơ a b Tính chất *    a b  ba ; Các quy tắc Nguyễn Bảo Vương    * a0 a ;      b a     Từ điểm A dựng vectơ AB  a , BC  b    Khi vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b    Kí hiệu AC  a  b b B a C A     a+b  * ab c a bc Trang 21 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT • Quy tắc ba điểm :    Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có AB  BC  AC • Quy tắc hình bình hành :   O A  OABC hình bình hành  OA  OC  OB C  Tính chất trung điểm :   B  M trung điểm đoạn AB  MA  MB   Tính chất trọng tâm tam giác :   A   M G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  G Vấn đề Hiệu hai vecto Vectơ đối vectơ    C B   • Nếu a  b  ta nói a vectơ đối vectơ b ngược lại • Vectơ đối vectơ a (kí hiệu  a ) vectơ ngược hướng với vectơ a có độ dài với vectơ a a) Hiệu hai vectơ :       Định nghĩa: Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a  b tổng vectơ a với vectơ đối vectơ b b)       a  b  a  (b)   Cách vẽ vectơ a  b :   Cho vectơ a b  A (như hình vẽ) O     Từ điểm O bất kì, ta vẽ OA  a , OB  b    Ta có BA  a  b c)  B    Quy tắc hiệu vectơ: Với ba điểm M, N, O tùy ý ta có: MN  ON  OM vấn đề Phép nhân vercsto với số Định nghĩa   Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu ka , xác định sau :   1) Nếu k  vectơ ka hướng với vectơ a ;   Nếu k  vectơ ka ngược hướng với vectơ a ;   2) Độ dài vectơ ka k a Tính chất  Với vectơ a, b số thực k, l ta có :       1) k la  (kl)a ;    2) (k  l)a  ka  la ;             3) k a  b  ka  kb ; k a  b  ka  kb ;     4) ka   k  a       I trung điểm đoạn AB  MA  MB  2MI , với điểm M Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta ln có : Điều kiện để hai vectơ phương     MA  MB  MC  3MG       • b phương a ( a  )   k   : b  ka Nguyễn Bảo Vương Trang 22 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT   • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng   k   : AB  kAC Biểu thị vectơ qua hai vectơ không phương    Cho hai vectơ không phương a b Khi vectơ c biểu thị cách      qua hai vectơ a b , nghĩa có cặp số m n cho c  ma  nb Vấn đề Hệ trục tọa độ I) TRỤC VÀ ĐỘ DÀI TRÊN TRỤC  Trục tọa độ (còn gọi trục) đường thẳng xác định điểm O cố định vectơ đơn vị i (vectơ có độ dài 1) Điểm O gọi gốc tọa độ Hướng vectơ đơn vị gọi hướng trục    Trục tọa độ kí hiệu O; i i O x B A a      Cho điểm M tùy ý nằm trục O; i Khi có số k xác định để OM  k.i Số k gọi tọa độ    điểm M trục O; i       Cho vectơ a nằm trục O; i Khi đó, có số t xác định để a  t.i Số t gọi tọa độ     vectơ a trục O; i  Như tọa độ điểm M tọa độ vec tơ OM   AB  t.i Ta gọi số t độ dài Nếu hai điểm A, B phân biết nằm trục Ox Khi có số t cho    đại số vectơ AB trục cho, kí hiệu AB Như AB  AB.i Nhận xét:   a) Nếu vectơ AB hướng với vectơ i AB  AB   Nếu vectơ AB ngược hướng với vectơ i AB  AB  b)   Nếu hai điểm A B nằm trục O; i có tọa độ a b AB  b  a Định lý: Trên trục số: Với ba điểm trục, ta có: AB  BC  AC (HỆ THỨC Sa – lơ)   Hai vectơ AB CD AB  CD II) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ y    Hệ trục tọa độ O; i; j gồm hai trục O; i O; j vng góc với (như hình vẽ)       Trong đó: Điểm O gọi gốc tọa độ     Trục O; j gọi trục tung, khí hiệu Oy j O x i Trục O; i gọi trục hồnh, khí hiệu Ox   Các vectơ i j vectơ đơn vị trục Ox Oy    Hệ trục tọa độ O; i; j cịn kí hiệu Oxy Chú ý: Mặt phẳng mà chọn hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy (Hay mặt phẳng Oxy) Nguyễn Bảo Vương Trang 23 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT III) TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ        Đối với hệ trục tọa độ O; i; j u  x.i  y.j cặp số x; y gọi tọa độ vectơ u    Kí hiệu u  x; y hay u x; y Số x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u   a  x; y Định lí: Cho hai vec tơ   số thực k Khi đó: b   x '; y '       a  b  x  x '; y  y ' a  b  x  x '; y  y '   k.a  kx; ky      x  kx '  a phương với b b   k   :    y  ky '     x  x '  ab  y  y '    y u A K u j O x H i IV) TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Như theo định nghĩa ta có:  x; y tọa độ điểm M OM  x; y Kí hiệu: M x; y hay M   x; y Số x gọi hoành độ, số y gọi tung độ điểm M Nhận xét: Nếu gọi H, K hình chiếu M Ox Oy thì:      M x; y  OM  x.i  y.j  OH  OK     Như vậy: OH  x.i hay x  OH OK  y.j hay y  OK y M(x;y) K j O x i H Định lí: Với hai điểm A x A ; y A  B x B ; y B  ta có:  AB  x B  x A ; y B  y A  V) TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TÂM CỦA TAM GIÁC Định lí 1: Với hai điểm A x A ; y A   x  x A  x B  I B x B ; y B  , trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ là:   yA  yB y I   Định lí 2: Cho ba điểm A x A ; y A  , B x B ; y B  C  x C ; yC  Khi trọng tâm G ABC có tọa độ  x  x A  x B  x C  G   yA  y B  yC yG   Chương Tích vơ hướng Vấn đề Giá trị lượng giác góc A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Với góc  (00    1800), ta xác định điểm M(x ; y) nửa đường M'   trịn đơn vị cho MOx Khi cos = x , sin   y , -1 -x Nguyễn Bảo Vương y y M x O x Trang 24 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT tan   y (x  0) , x cot  x (y  0) y Các số sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc  • Tính chất : Với hai góc bù  1800   ta có : sin(180o  )  sin  ; cos(180o  )  cos ; tan(180o   )   tan  (   900) ; cot(180o  )  cot (00 <  < 1800) Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Góc 00 300 450 600 sin 2 3 2 2  - -1 1 - -1   cos tan cot  900 1200 1350 1500 1800 2 2 Vấn đề Tích vơ hướng Góc hai vectơ    • Cho hai vectơ a b khác vectơ  - 2 3 - - -1   Từ điểm O bất kì, ta vẽ vectơ OA  a OB  b   gọi góc hai vectơ a b Khi AOB ,     kí hiệu a, b        • a, b  900  a  b Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ   Tích vơ hướng hai vectơ a b số,   kí hiệu a.b , xác định công thức      a.b  a b cos a, b   Tính chất tích vơ hướng :     Với vectơ a, b, c số thực k, ta có:   1) a.b  b.a (Tính chất giao hóan) ;             3) a b  c  a.b  a.c (Tính chất phân phối phép cộng) ;      a b  c  a.b  a.c (Tính chất phân phối phép trừ) ; 2) ka b  k ab ;    4) a.b   a  b Nguyễn Bảo Vương Trang 25 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT 5) Bình phương vơ hướng: Bình phương vơ hướng vectơ bình phương độ dài vectơ : 2 2 a  a B • Các đẳng thức bình phương vơ hướng :   ab   2  2  a  2ab  b ;   ab   2  2  a  2ab  b ; 2 2     a  b  (a  b)(a  b) B’ 6) Cơng thức hình chiếu :    A O     Cho OA  a, OB  b Tích vơ hướng hai vectơ a b tích vơ hướng a     với OB '  b ' hình chiếu b lên a :         a.b  a.b ' hay OA.OB  OA.OB ' B • Chú ý: Cho đường tròn (O) điểm M Dựng cát tuyến MAB với (O), ta định nghĩa: Phương tích điểm M đường trịn (O), kí hiệu PM/O số xác định biểu thức:   PM/O  MA.MB  d2  R O A d R d  MO ; M T Nếu M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O)  PM/O  MT  MT2 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng   Trong mặt phẳng Oxy, cho a  (x; y) b  (x '; y ') Khi :  (1) a.b  xx ' yy ' ;  (2) a  x  y2 ;   (3) cos (a, b)  xx ' yy ' x  y2 x '2  y '2     a  0, b  0 ; (4) Khoảng cách hai điểm M x M ; yM  N x N ; y N  :  MN = MN  (x N  x M )2  (yN  yM )2 ;   (5) a  b  xx ' yy '  Vấn đề Các hệ thức lượng tam giác I) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG 1) Các định lí: A b2  a.b ' c2  ac ' a  b2  c2 (định lí Py – ta – go) c b h 2) Các hệ quả: b '.c '  h2 b ' b2  c' c 1   2 h b c a.h  b.c B b' c' H C a II) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Nguyễn Bảo Vương Trang 26 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT 1) Định lí cơsin a  b2  c2  2bc.cos A b2  c2  a  2ca cos B c2  a  b2  2ab cos C Định lí sin a b c    2R sin A sin B sin C Công thức tính diện tích: 1 ah  bh b  ch c a 2 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc S 4R abc (Hê – rông) S  p p  a p  bp  c ; p  S  pr  p  a   p  b rb  p  c rc S Bán kính đường trịn nội tiếp, đường trịn bàng tiếp: r  p  a  tan A B C  p  b tan  p  c tan 2 A B rb  p tan C rc  p tan  p tan 5) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến  b m  m2c   b2  c2  a m2a     c  a  b2  a  b2  c 6) Cơng thức tính độ dài đường phân giác  2a   2b   2c  4bc b  c 4ca c  a  4ab a  b p p  a  p p  b p p  c Chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vấn đề Đường thẳng I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ CHÍNH TẮC     Vectơ a gọi vectơ phương đường thẳng  a  giá a song song trùng với  Nhận xét: Nguyễn Bảo Vương Trang 27 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT   * Nếu a vectơ phương đường thẳng  ka k    vectơ phương  * Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm đường thẳng vectơ phương  Định lí: Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng  qua điểm M0 x ; y0 nhận a  a1 ; a , a12  a 22  làm vec tơ      phương có phương trình là: x  x  ta1 : y  y  ta t    1 Ta gọi 1 phương trình tham số đường thẳng  Nếu a1 a 1 khác 0, cách khử tham số t hai phương trình ta có: : x  x0 a1  y  y0 2  a2 Ta gọi 2  phương trình tắc đường thẳng  Nếu a1  , từ phương trình tham số  ta có:  x  x0 a a t   y  y  x  x , đặt k  , ta  : y  y  k x  x aa  a1 a1  y  y  ta  Gọi A giao điểm  với Ox, Az tia  phía Ox , gọi  góc hai tia Ax Az , ta thấy       k  tan  Hệ số k hệ số góc đường thẳng  mà ta biết Phương trình gọi phương trình đường thẳng theo hệ số góc Chú ý: * Nếu  / /d k   k d ; * Nếu   d k  k d  1 II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT    Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng  n  có giá vng góc với đường thẳng  Nhận xét:   * Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng  kn  k   vectơ pháp tuyến  * Một đường thẳng xác định biết điểm đường thẳng vectơ pháp tuyến   * Nếu  có vectơ pháp tuyến n  A; B  có vectơ phương a  B; A      Định lí 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  qua điểm M  x ; y0  nhận vectơ pháp tuyến n   A; B  với A, B không đồng thời Điểm M  x; y  thuộc đường thẳng  khi:     4 Chú ý:    Ax  By  c  C  Ax A x  x  B y  y0  0  By Định lí 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm M  x; y  thỏa mãn phương trình: Ax  By  C  5 Với A, B không đồng thời đường thẳng ( kí hiệu đường thẳng  )  Phương trình dạng   với A, B không đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát đường thẳng  Nhận xét:   C C Khi  vng góc với Oy M0  0;   B B    C  C Khi  vng góc với Ox M0   ;  A  A   Nếu A   By  C   y    Nếu B   Ax  C   x     Nếu C   Ax  By  Khi  qua gốc tọa độ Nguyễn Bảo Vương Trang 28 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  C   C  Nếu A, B, C đồng thời khác  cắt Ox Oy hai điểm M0   ;  M1  0;   B  A   x a Khi phương trình  viết dạng sau:  Với a   y 1 b 6 C C , b   Phương trình gọi phương trình theo đoạn chắn đường thẳng  A B  III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Xét hai đường thẳng 1 2 có phương trình tổng qt 1 : A1 x  B1 y  C1  2 : A2 x  B2 y  C2  A x  B y  C  1 A2 x  B2 y  C2   Giả sử 1 2 có điểm chung M  x; y  , lúc  x; y  nghiệm hệ phương trình :  Theo phương pháp cramer đặt: D A1 B1  A1B2  A2 B1 ; A2 B2 Dx  B1 C1  B1C2  B2C1 ; B2 C2 Dy  C1 A1  C1 A2  C2 A1 ; C2 A2 Ta có: a) 1 cắt 2  D  0; b) 1 song song   D  ( Dx  hay Dy  ) c) 1 trùng 2  D  Dx  Dy  0; Cách 2: Nếu A2 , B2 , C2  ta có: a) 1 cắt 2  A1 A2 b) 1 song song c) 1  2  A1 A2  B1 B2 2   B1 B2 ; A1  A2  C1 C2 B1 B2  C1 C2 ; Vấn đề Đường tròn I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn C  có tâm I  a; b  bán kính R có phương trình: C : x  a   y  b  R 1 Trường hợp đặc biệt , a  b  phương trình 1 trở thành x  y2  R Là phương trình đường trịn có tâm gốc tọa độ O bán kính R Trong mặt phẳng Oxy , phương trình x  y2  2ax  2by  c  2  Với a  b2  c  phương trình đường trịn có tâm I  a; b  bán kính R  a  b2  c III Phương trình tiếp tuyến đường trịn: Trong mặt phẳng tọa dộ Oxy , tiếp tiếp d điểm M0  x 0; ; y  đường trịn tâm I  a; b  có phương trình là: d :  x       a x  x  y  b y  y  Nguyễn Bảo Vương Trang 29 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Đường thẳng  tiếp xúc đường tròn  I; R   d  I;    R Vấn đề Elip A TÓM TẮT GIÁO KHOA I Định nghĩa  Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2  2c độ dài 2a không đổi  a  c   Tập hợp điểm M cho F1M  F2 M  2a gọi elip  Hai điểm F1 F2 gọi hai tiêu điểm cặp elip  Khoảng cách F1F2  2c gọi tiêu cự F1M F2 M gọi bán kính qua tiêu điểm M II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm F1  c;  F2  c;   c  a    Xét elip :  E  : M  x; y  ; F1M  F2 M  2a Điều kiện cần đủ để M  x; y  thuộc  E  x2 a  y2 b 1  1 với b2  a  c2 Phương trình 1 gọi phương trình tắc elip  E  III HÌNH DẠNG CỦA ELIP Xét elip  E  : x2 a2  y2 b2      Với M x; y  E F1M  a  y  với b2  a  c2 B2 M ta có x A1 c c x F2 M  a  x a a F1 F2 O A2 B1  E  có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng O   E  cắt trục Ox hai điểm A  a;  , A  a;   E  cắt Oy điểm B  0; b  , B  0; b  Các điểm A , A , B , B gọi đỉnh elip  E  Đoạn thẳng A A  2a gọi trục lớn elip  E  B B trục nhỏ  E   1 2 1 2  2b gọi  Các điểm elip nằm trọn hình chữ nhật có phương trình cạnh x  a, y  b Hình chữ nhật gọi hình chữ nhật sở elip IV TÂM SAI ELIP Tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn gọi tâm sai elip Kí hiệu e  c  a V ELIP VÀ PHÉP CO ĐƯỜNG TRÒN Hệ thức b2  a  c2 cho thấy tiêu cự elip nhỏ b gần a nên elip có hình dạng gần đường tròn Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  : x  y2  a Với điểm M  x; y  thuộc đường tròn ta xét điểm  M ' x '; y '  x '  x x '2 y '2  tập hợp điểm M ' có tọa độ thỏa phương trình   elip E b a b y '  y  a   Ta nói đường trịn C  co thành elip  E  Vấn đề Hypebol I ĐỊNH NGHĨA Nguyễn Bảo Vương Trang 30 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2  2c độ dài 2a không đổi  a  c  Hypebol tập hợp điểm M cho F1 M  F2 M  2a  Hai điểm F1 F2 gọi hai tiêu điểm hypebol  Khoảng cách F1F2  2c gọi tiêu cự  F1M, F2 M gọi bán kính qua tiêu điểm M II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL Định lí: Trong mặt phẳng Oxy, hypebol  H  có hai tiêu điểm F1  c;  , F2  c;  điểm    M  H  F1M  F2 M  2a  a  c x2 a2  y2 1 b2   H  có phương trình là:  1 Với b2  c2  a Phương trình 1 gọi phương trình tắc hypebol  H  III HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL Xét hypebol  H  :  H x2 a2  y2 b2  với b2  c2  a có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng O        Đặt B  0; b  , B  0; b  , đoạn thẳng B B  2b gọi trục ảo  H   Ta có M  x; y    H  x  a hay x  a Do  H  gồm hai phần:  Phần gồm điểm M  x; y  cho x  a gọi nhánh phải  H  ;  Phần gồm điểm M  x; y  cho x  a gọi nhánh trái  H     Các điểm A1 a; , A2 a; gọi đỉnh H ; đoạn thẳng A1A2  2a gọi trục thực H  Tỉ số e  2 c gọi tâm sai hypebol Mọi hypebol có tâm sai e  a    Hình chữ nhật tạo đường thẳng x  a y  b gọi hình chữ nhật sở hypebol H    Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình chữ nhật sở gọi hai đường tiệm cận H b a Phương trình hai đường tiệm cận y   x      Bán kính qua tiêu điểm: Với điểm M x; y  H , ta có:  x M  F1M  a  ex F2 M  a  ex  x M  F1M  a  ex F2 M  a  ex Vấn đề Parabol ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm F cố định đường thẳng  không qua F Ta gọi : parabol tập hợp điểm M cho khoảng cách từ M đến F khoảng cách từ M đến     M  P  FM  d M;   Điểm F gọi tiêu điểm parabol Đường thẳng  gọi đường chuẩn parabol  P  Khoảng cách từ F đến đường thẳng  gọi tham số tiêu parabol 2.PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC PARABOL Nguyễn Bảo Vương Trang 31 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT p  2  Định lí:Trong mặt phẳng Oxy , parabol  P  có tiêu điểm F  ;  ( với p  ) đường chuẩn  : x  phương trình  P  : y  2px p  có  Phương trình  gọi phương trình tắc parabol  P  HÌNH DẠNG CỦA PARABOL Xét parabol  P  : y2  2px  p      P có trục đối xứng Ox;   gọi đỉnh  P ; M   P  x   Điểm O 0;  M Vấn đề đường conic I.ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP VÀ HYPABOL Cho elip  E  : x2 a2  y2 b2  1 a b 0   H  : x2 a2  y2 b2    a, b  Ta gọi : a đường chuẩn E ( hay H ) ứng với tiêu điểm F1 c; e a  Đường thẳng  : x  đường chuẩn E ( hay H ) ứng với tiêu điểm F2 c; x  Đường thẳng 1 : x   Với điểm M MF1 d  M; 1           nằm elip  E  hay hypebol  H  , ta có: MF2 d M; 2       e II ĐỊNH NGHĨA BA ĐƯỜNG CÔNIC Cho điểm F, đường thẳng  cố định không qua F số dương e Tập hợp điểm M cho tỉ số FM d  M;   e gọi đường cônic Điểm F gọi tiêu điểm,  gọi đường chuẩn e gọi tâm sai đường cô nic  Khi e  nic đường elip;  Khi e  nic đường hypebol;  Khi e  nic đường parabol TÀI LIỆU ĐƯỢC TRÍCH TỪ TÀI LIỆU CỦA THẦY LÊ VĂN ĐOÀN, THẦY NGUYỄN PHÚ KHÁNH VÀ MỘT SỐ TÀI LIỆU KHÁC TRÊN MẠNG MÌNH CHỈ SẮP XẾP LẠI ĐỂ CHO BẠN ĐỌC TIỆN THEO DÕI KIẾN THỨC CHƯA KIỂM ĐỊNH NÊN BẠN ĐỌC CHÚ Ý NHÉ Nguyễn Bảo Vương Trang 32 ... số vectơ AT trục t 'At Trục t 'At gọi trục tang y t M A x O T t' Ý nghĩa hình học cot  T? ?? B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc B Gọi S giao. .. HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học tan  T? ?? A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc A Gọi T giao điểm OM với trục t ' At  tan  biểu... Nguyễn Bảo Vương M O C Trang 16 LÝ THUY? ?T CẦN NHỚ T? ??N THPT Đường trịn lượng giác Trong m? ?t phẳng t? ??a độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng t? ?m O bán kính R 1 Đường trịn c? ?t hai trục t? ??a độ bốn điểm A