Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 4 - ThS. Nguyễn Thị Phương Thảo cung cấp cho học viên các kiến thức về biến đổi Fourier; tính chất của biến đổi Fourier; tính chất đảo miền thời gian; tích chập trong miền tần số; biến đổi Fourier ngược, hệ thống tuyến tính bất biến - bộ lọc số;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Chương Biến đổi Fourier Giảng viên: Nguyễn Thị Phương Thảo Bộ mơn: Kỹ thuật Máy tính Mạng Email: thaont@tlu.edu.vn Website: https://sites.google.com/a/wru.vn/thaont/ Giới thiệu • Phép biến đổi Fourier đưa tín hiệu từ dạng biểu diễn miền thời gian sang miền tần số cách phân tích tín hiệu thành tín hiệu có dạng sin • Ví dụ: ánh sáng tự nhiên tổng hợp ánh sáng đơn sắc • Ánh sáng loại tín hiệu • Mỗi ánh sáng đơn sắc tín hiệu • Mỗi ánh sáng đơn sắc có bước sóng khác tần số khác • Dải tần số ánh sáng trắng gọi phổ tín hiệu Nội dung Biến đổi Fourier Tính chất biến đổi Fourier Hệ thống TTBB: Bộ lọc số 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Định nghĩa Biến đổi Fourier tín hiệu định nghĩa: +∞ 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝜔 = 𝑛=−∞ Ký hiệu: 𝐹𝑇[𝑥(𝑛)] = 𝑋(𝜔) 𝑋(𝜔) = 𝑋 𝜔 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔 𝑋 𝜔 • 𝑋 𝜔 : phổ biên độ tín hiệu • arg 𝑋 𝜔 : phổ pha tín hiệu Sự tồn BĐ F: Biến đổi Fourier tồn nếu: +∞ 𝑥(𝑛) < ∞ 𝑛=−∞ Tín hiệu lượng ln tồn biến đổi Fourier 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Định nghĩa Đặc tính phổ tần số tín hiệu: +∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗 𝑋 𝜔 + 𝑘2𝜋 = 𝑛=−∞ 𝜔+𝑘2𝜋 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 = 𝑋 𝜔 = 𝑛=−∞ Như vậy, 𝑋 𝜔 tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 Với 𝑥(𝑛) tín hiệu thực, 𝑋(𝜔) đối xứng qua trục tung Khi nghiên cứu phổ tín hiệu, ta cần xét phổ khoảng 𝜔 ∈ −𝜋, 𝜋 𝜔 ∈ 0,2𝜋 Biến đổi Fourier công cụ nghiên cứu phổ tín hiệu đặc tính tần số hệ thống: 𝐹𝑇 𝑥(𝑛) = 𝑋 𝜔 : phổ tín hiệu 𝑥(𝑛) 𝐹𝑇 ℎ(𝑛) = 𝐻 𝜔 : đặc tính tần số hệ thống 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Các dạng biểu diễn BĐ Fourier a Dạng phần thực phần ảo 𝑋 𝜔 = 𝑋𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋𝐼 (𝜔) Từ cơng thức định nghĩa ta có: +∞ +∞ 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 = 𝑋 𝜔 = 𝑛=−∞ 𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 − 𝑗 sin 𝜔𝑛 𝑛=−∞ Vậy: Phần thực: 𝑋𝑅 𝜔 = Phần thực: 𝑋𝐼 𝜔 = +∞ 𝑛=−∞ 𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 − +∞ 𝑛=−∞ 𝑥 𝑛 sin 𝜔𝑛 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Các dạng biểu diễn BĐ Fourier b Dạng module argumen 𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒 𝑗𝜑 𝜔 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Các dạng biểu diễn BĐ Fourier b Dạng độ lớn pha 𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒 𝑗𝜑 𝜔 4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform) Quan hệ BĐ Fourier BĐ Z Biến đổi Z +∞ 𝑥 𝑛 𝑧 −𝑛 𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥(𝑛) = 𝑛=−∞ z biến phức 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔 +∞ 𝑥 𝑛 𝑟 −𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 𝑋 𝑧 = 𝑛=−∞ Nếu đánh giá 𝑋(𝑧) vòng tròn đơn vị 𝑟 = +∞ 𝑋 𝑧 𝑧=𝑒 𝑗𝜔 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 = 𝑋(𝜔) = 𝑛=−∞ Như vậy, BĐ Fourier BĐ Z đánh giá vịng trịn đơn vị 4.2 Tính chất biến đổi Fourier Tính tuyến tính Có tín hiệu 𝑥1 (𝑛) 𝑥2 (𝑛): 𝐹𝑇[𝑥1 (𝑛)] = 𝑋1 (𝜔) 𝐹𝑇[𝑥2 (𝑛)] = 𝑋2 (𝜔) 𝑥(𝑛) = 𝑎1 𝑥1 (𝑛) + 𝑎2 𝑥2 (𝑛) 𝐹𝑇[𝑎1 𝑥1 (𝑛) + 𝑎2 𝑥2 (𝑛)] = 𝑎1 𝑋1 (𝜔) + 𝑎2 𝑋2 (𝜔) Ý nghĩa: Đối với tín hiệu tổng hợp nhiều tín hiệu thành phần, ta sd BĐ F thành phần sau tổng hợp lại 4.2 Tính chất biến đổi Fourier Tính chất trễ • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Nếu tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 𝐹𝑇 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑋 ′ 𝜔 = 𝑒 −𝑗𝜔𝑘 𝑋(𝜔) Tính chất đảo miền thời gian • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Nếu tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑥 −𝑛 𝐹𝑇 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑋 ′ 𝜔 = 𝑋(−𝜔) 4.2 Tính chất biến đổi Fourier Tích chập miền tần số • Tích chập miền thời gian trở thành tích nhân miền tần số: 𝐹𝑇[𝑥1 (𝑛) ∗ 𝑥2 (𝑛)] = 𝑋1 𝜔 𝑋2 (𝜔) • Ý nghĩa: chuyển tín hiệu hệ thống TTBB từ dạng biểu diễn miền thời gian sang dạng biểu diễn miền tần số 𝐹𝑇 𝑥(𝑛) 𝑋(𝜔) ℎ(𝑛) 𝐻(𝜔) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) 𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔) 𝐻(𝜔) 4.2 Tính chất biến đổi Fourier Dịch chuyển miền tần số • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔0𝑛 𝑥 𝑛 𝐹𝑇 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑋 ′ 𝜔 = 𝑋(𝜔 − 𝜔0 ) 4.2 Tính chất biến đổi Fourier Điều chế tín hiệu • Trong truyền thơng, tín hiệu truyền dạng tần số bình thường khơng xa → Khi truyền xa (truyền tín hiệu radio, truyền hình) người ta thường đưa tín hiệu lên tần số cao phương pháp điều chế (nhân tín hiệu với tín hiệu có tần số cao): 𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛 Trong đó: • 𝑥 𝑛 : tín hiệu cần truyền dẫn • cos𝜔0𝑛: thành phần mang thơng tin • 𝜔0: tần số sóng mang • Với phương pháp điều chế này, ta phổ tín hiệu truyền sau (với 𝑋 𝜔 phổ tín hiệu 𝑥(𝑛) 1 𝐹𝑇 𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛 = 𝑋𝑇𝐷 𝜔 = 𝑋 𝜔 + 𝜔0 + 𝑋(𝜔 − 𝜔0 ) 2 4.2 Tính chất biến đổi Fourier Vi phân miền tần số • Tín hiệu 𝑥 𝑛 𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔) • Nếu tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛 𝐹𝑇 𝑥′ 𝑛 = 𝑋′ 𝑑𝑋(𝜔) 𝜔 =𝑗 𝑑𝜔 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số Hệ thống TTBB miền tần số • Hệ thống TTBB: 𝑥(𝑛) ℎ(𝑛) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) • Biểu diễn miền tần số 𝑋(𝜔) 𝐻(𝜔) 𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔) 𝐻(𝜔) • Trong đó: 𝐻(𝜔) gọi đáp ứng tần số • Biểu diễn 𝐻(𝜔) dạng module argument 𝐻 𝜔 = 𝐻(𝜔) 𝑒 arg 𝐻(𝜔) 𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số biên độ hệ thống arg 𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số pha (đáp ứng pha) hệ thống • Cách xác định 𝐻(𝜔) hệ thống mô tả dạng PT SP TT HSH tương tự miền z Ví dụ • Tìm đáp ứng tần số hệ thống mô tả sau: a 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑦(𝑛 − 1) + 𝑏𝑥(𝑛) b 𝑦(𝑛) = 𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1) c d e 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số Bộ lọc số • Một ứng dụng quan trọng Xử lý tín hiệu lọc số • Ứng dụng hệ thống lọc nhiễu tạp âm • Ứng dụng xử lý hình ảnh: • Lọc, trích đặc điểm đặc trưng vân tay • Xử lý tiếng nói: • Tách âm karaoke • Dựa nghiên cứu phổ tần số thông tin cần thu nhận (VD: Karaoke: tần số tiếng hát người phân biệt với tần số nhạc nền) xây dựng lọc để trích bỏ tần số ko cần thiết • loại lọc số thơng thường • • • • Bộ lọc thơng thấp Bộ lọc thông cao Bộ lọc thông dải Bộ lọc chắn dải 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số Bộ lọc số a Bộ lọc thông thấp lý tưởng • Định nghĩa: Bộ lọc thông thấp lọc có đáp ứng tần số biên độ • |𝐻(𝜔)| = với −𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 • |𝐻(𝜔)| = với 𝜔 lại 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số Bộ lọc số b Bộ lọc thông cao lý tưởng • Đáp ứng tần số biên độ: • |𝐻(𝜔)| = với – 𝜋 ≤ 𝜔 ≤ −𝜔𝑐 𝑣à 𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ +𝜋 • |𝐻(𝜔)| = với 𝜔 lại 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số Bộ lọc số c Bộ lọc thông dải lý tưởng • Đáp ứng tần số biên độ: • |𝐻(𝜔)| = với – 𝜔𝑐2 ≤ 𝜔 ≤ −𝜔𝑐1 𝜔𝑐1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐2 • |𝐻(𝜔)| = với 𝜔 lại 4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số Bộ lọc số d Bộ lọc chắn dải lý tưởng • Đáp ứng tần số biên độ: • |𝐻(𝜔)| = với −π ≤ 𝜔 ≤– 𝜔𝑐2 – 𝜔𝑐1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐1 𝜔𝑐2 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 • |𝐻(𝜔)| = với 𝜔 cịn lại Bài tập Cho đáp ứng tần số lọc lý tưởng, pha không sau: 𝐻(𝜔) = với −𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ +𝜔𝑐 𝐻(𝜔) = với 𝜔 lại a Bộ lọc lọc b Tìm đáp ứng xung Tìm đáp ứng xung lọc số lý tưởng thông cao, thông dải, chắn dải với đáp ứng tần số 𝐻(𝜔) = ... nghĩa: Đối với tín hiệu tổng hợp nhiều tín hiệu thành phần, ta sd BĐ F thành phần sau tổng hợp lại 4. 2 Tính chất biến đổi Fourier Tính chất trễ • Tín hiệu