Chương 4 - Biến đổi Z và áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc. Nội dung chương này gồm có: Biến đổi trong xử lý tín hiệu, biến đổi Z, các tính chất của biến đổi Z, biến đổi Z ngược, biến đổi Z một phía, biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z, xét tính ổn định của hệ thống.
Trang 1Chương IV:
BIẾN ĐỔI Z VÀ ÁP DỤNG CHO HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN RỜI RẠC
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Trang 2Nội dung
Biến đổi trong xử lý tín hiệu
Biến đổi Z
Các tính chất của biến đổi Z
Biến đổi Z ngược
Biến đổi Z một phía
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z
Xét tính ổn định của hệ thống
Trang 3Biến đổi trong xử lý tín hiệu
Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu: biến đổi tín hiệu từ không gian tự nhiên của
nó (miền thời gian) sang không gian (miền) khác.
Ví dụ: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian
sang miền tần số
x(n) = sin 2 f0n m(f) = 1 nếu f = f0, 0 nếu f f0
Trang 4Lựa chọn biến đổi
Tín hiệu sau khi được biến đổi sẽ hội tụ
trong một vài vùng của miền biến đổi
thuận tiện cho việc khảo sát các đặc trưng.
Phải tồn tại biến đổi ngược có thể thực hiện việc chỉnh sửa tín hiệu trong miền
biến đổi và thu lại được tín hiệu đã chỉnh sửa trong không gian tự nhiên (miền thời gian) của tín hiệu.
Trang 5Định nghĩa biến đổi Z
Biến đổi Z hai phía:
z là một biến phức biến đổi Z thực hiện
việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian rời rạc vào một không gian phức (miền Z).
Biến đổi Z tồn tại nếu chuỗi biến đổi hội tụ.
n
n
z n
x z
X ( ) ( )
Trang 6Định nghĩa biến đổi Z
Biến đổi Z một phía:
Biến đổi Z một phía và hai phía của tín hiệu nhân quả là như nhau.
x z
X
Trang 7Ý nghĩa của biến đổi Z
Với tín hiệu rời rạc, biến đổi Z đơn thuần
là một cách biểu diễn khác của tín hiệu.
Vai trò của biến đổi Z đối với hệ thống rời rạc tương đương với vai trò của biến đổi Laplace đối với hệ thống liên tục.
Trang 8Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập hợp tất cả các giá trị của z mà chuỗi biến
Trang 9Miền hội tụ của biến đổi Z
Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy tiêu chuẩn hội tụ của biến đổi Z:
n
n
n x
x x
n x
R
n x
R
R z
R
1
1
| ) (
| lim 1
| ) (
| lim
|
|
Trang 10Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z là miền nằm
giữa 2 đường tròn bán kính Rx và Rx+
trong mặt phẳng z.
Miền hội tụ của biến đổi Z của một số loại tín hiệu:
Trang 11Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z một phía: là
miền nằm ngoài đường tròn bán kính Rxtrong mặt phẳng z.
Trang 12Các tính chất của biến đổi Z
Tuyến tính:
Trễ:
Co giãn trong miền z:
) ( )
( )]
( )
( [ ax1 n bx2 n aX1 z bX2 z
Z
) ( )]
(
n n
Z
x x
n
R a
z R
a ROC
z a
X n
) (
)]
(
Z
Trang 13Các tính chất của biến đổi Z
Lật:
Đạo hàm trong miền z:x x
R
z R
ROC
z X n
) (
n
nx ( )
)]
( [
Z
Trang 14Các tính chất của biến đổi Z
Biến đổi Z của tích chập:
Biến đổi Z của tương quan:
Định lý giá trị đầu:
) ( )
( )]
( )
( [ x1 n x2 n X1 z X 2 z
Z
) (
) ( )]
( [ rx1x2 n X1 z X 2 z 1
Z
) ( lim
) 0
x
z
Trang 15Biến đổi Z ngược
Định lý Cauchy
C là một chu tuyến (đường khép kín) có chiều
dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ) bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng Z
) 0 (
0
) 0 (
1 2
n
n dz
z
j C
n
Trang 16Biến đổi Z ngược
Biến đổi ngược của biến đổi Z (chứng minh được bằng cách sử dụng định lý Cauchy):
C
n dz z
z
X j
n
x ( ) 1
2
1 )
(
Trang 17Các phương pháp tính biến đổi Z
Phương pháp tính tích phân theo C (sử
dụng định lý phần dư của Cauchy):
bên trong chu tuyến C:
k
z z
n
k p
z z
X n
x ( ) Res[ ( ) 1 | ]
Trang 18Các phương pháp tính biến đổi Z
k p k
k k
k
k p
z z s
n
s p
s
k
z z n
dz
z z
X z
z
d s
z z X
1
1 1
1
) (
)
( )!
1 (
1
]
| )
( Res[
Trang 19Các phương pháp tính biến đổi Z
Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa:
X ( )
Trang 20Các phương pháp tính biến đổi Z
Phương pháp khai triển phân thức tối
giản:
biểu diễn dưới dạng X(z) = N(z)/D(z), ở đó
N(z) và D(z) là 2 đa thức với bậc của N(z)
bậc của D(z).
Trang 21Các phương pháp tính biến đổi Z
đơn: X(z) khai triển được thành tổng của các
phân thức ở dạng tối giản
k
k
z z
A z
X ) (
k p
p
A ( ) ( ) |
Trang 22Các phương pháp tính biến đổi Z
A z
X
) (
k
k k
k
s p
s s
k
dz
z X
z z
d s
Trang 23Các phương pháp tính biến đổi Z
|)
|
| (|
) (
|)
|
| (|
) 1 (
1
|)
|
| (|
) 1 (
|)
|
| (|
) (
1
1 1
1
a z
n u
a
a z
n u
a a
z
a z
n u
a
a z
n u
a a
z z
Trang 24Các phương pháp tính biến đổi Z
|)
|
| (|
) 1
(
!
) 1 ) (
1 (
|)
|
| (|
)
(
!
) 1 ) (
1 (
)
1
a z
n u
a m
m n
n n
a z
n u
a m
m n
n n
a z
z
m n
m n
m
Z
Chú ý: thường dễ dàng tính biến đổi ngược hơn
nếu khai triển X(z)/z thay vì khai triển X(z).
Trang 25Biến đổi Z một phía
k m
z k
k n
x
Z
) ( )
1 (
lim )
( lim x n z X 1 z
Trang 26Biến đổi Z một phía
Ứng dụng để giải phương trình sai phân
tuyến tính bất biến:
phân tuyến tính bất biến
điều kiện đầu khác không phải sử dụng
biến đổi Z một phía
Trang 27Biểu diễn hệ thống rời rạc trong
( )
( n x n h n y
)
( )
( z Y z H
Trang 28Biểu diễn hệ thống rời rạc trong
miền Z
Mối quan hệ giữa hàm chuyển và phương trình sai phân tuyến tính bất biến của hệ thống:
biểu diễn bằng phương trình:
) (
) (
Trang 29Biểu diễn hệ thống rời rạc trong
M
r
r
M r
M
N N
k
k k
M
r
r r
z a
z
b z
z a
z
b z
(
Trang 30Biểu diễn hệ thống rời rạc trong
N N
z
z z
a
b z
z
z z a
b z
H
1
0 0
1
1 1
1 0
0
0
) (
) (
) 1
(
) 1
( )
(
Trang 31Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z
trình đặc trưng:
00
Trang 32Biểu diễn hệ thống rời rạc trong
( 1
)
( )
(
2 1
1
z H
z H
z
H z
H
)
( )
z H
Trang 33Xét tính ổn định của hệ thống
Xét tính ổn định dựa trên hàm chuyển của
hệ thống:
chuyển H(z) hội tụ với |z| = 1 miền hội tụ
của H(z) phải chứa đường tròn đơn vị:
R h < 1 < R h+
Trang 34Xét tính ổn định của hệ thống
Tiêu chuẩn ổn định Jury:
(a0 > 0):
0 )
D
Trang 363 phần tử.
i N N
i i
a a
c 0 0
Trang 37Xét tính ổn định của hệ thống
khi cả 3 điều kiện sau được thỏa mãn
1 D(1) > 0
2 D( 1) > 0 nếu N chẵn và < 0 nếu N lẻ
|c N 1 | < |c0| …