HỆ THỐNG BÀI TẬP TAM GIÁC

HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ GIẢI TAM GIÁC I Lí Thuyết Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c Ta có a  b  c  2bc.cos A b  c  a  2ca.cos B c  a  b  2ab.cos C Hệ Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma, mb, mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có Cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có +) ha, hb, hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; +) R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; +) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác; +) p = nửa chu vi tam giác; +) S diện tích tam giác Khi ta có: II Bài tập DẠNG : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC  Phương pháp Sử dụng định lí cơsin định lí sin Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến mối liên hệ yếu tố cơng thức tính diện tích tam giác  Bài tập Bài tập góc 1.1.Trắc nghiệm Câu 1: Cho ABC có Số đo góc A : A 135 B.150 C 60 Giải Ta có: Áp dụng hệ định lý cos, ta có: cos D.120 = 60 Chọn đáp án C Câu 2: Tam giác ABC có AB =5, BC = 7, CA = Số đo góc A bằng: A 30 B 45 C 60 D 90 Giải Áp dụng định lý hàm cos, ta có: cos = = = 60 Chọn đáp án C Câu 3: Cho ABC có BC = cm, AB = 30 cm, = 120 Tính A 60 B 30 C 45 D 90 Giải Áp dụng định lí sin, ta có: Chọn đáp án B Câu Cho ABC có cạnh AC=4cm, bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Tính góc B A 45 B 30 C 60 D 120 Giải: Có AC = b = 4cm Áp dụng định lý Sin, ta có: = 2R =2.2 sin B = Chọn đáp án A Câu Tính góc lớn ABC biết: có cạnh a = 3cm, b = 4cm, c = 6cm A 45 B 30 C 60 D 117 Giải Nhận xét: tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Cạnh c = 6cm lớn nên góc lớn góc C Cos C = = = Chọn đáp án D 1.2.Tự luận Bài 1: Tam giác ABC có cạnh a = cm, b =10 cm c = 13cm Tam giác có góc tù không? Bài làm Nhận xét: tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Cạnh c = 13 cm lớn nên góc lớn góc C Áp dụng định lý hàm cos, ta có: cos C = Vây tam giác ABC có góc C tù Bài 2: Cho tam giác ABC có AB= , BC= , CA= Gọi D chân đường phân giác góc A Khi góc : A 45 B 60 C.75 Bài làm: Áp dụng định lí hàm cos, ta có: cos = D.90 (phân giác) cos = Xét ABD có Bài tập cạnh 2.1,Trắc Nghiệm � Câu Tam giác ABC có AB  2, AC  A  60� Tính độ dài cạnh BC A BC  B BC  C BC  D BC  Giải: Theo định lí hàm cosin, ta có: BC  AB  AC  AB AC.cos � A  2  12  2.2.1.cos 60� � BC  Chọn D Câu Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC , cạnh AB  � ACB  60� Tính độ dài cạnh cạnh BC A BC   B BC   C BC  D BC   33 Giải: Gọi M , N trung điểm AB, BC � MN đường trung bình ABC � MN  AC Mà MN  , suy AC  � Câu Cho hình thoi ABCD cạnh cm có BAD  60� Tính độ dài cạnh AC A AC  B AC  C AC  D AC  � � Giải: Do ABCD hình thoi, có BAD  60�� ABC  120� Theo định lí hàm cosin, ta có � AC  AB  BC  AB.BC.cos ABC  12  12  2.1.1.cos120� � AC  Chọn A � Câu Cho góc xOy  30� Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB  Độ dài lớn đoạn OB bằng: A B C 2 D Giải: Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB �  sin OAB �  2sin OAB �  � OB  sin OAB � � � sin 30 � sin OAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn �  � OAB �  90� sin OAB Khi OB  Chọn D Câu Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB  70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang 0 góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30 ' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 135m B 234m C 165m D 195m � � Giải: Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có CAB  60 , ABC  105 30�và AB  70 Xét VABC có   � � C �  1800 � C �  1800  � �  1800  165030� A B A B  14030� AC AB AC 70   0 Theo định lí sin, ta có sin B sin C hay sin105 30� sin14 30� 70.sin105030� AC  �269, m sin14030� Do Gọi CH khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vng ACH có cạnh CH đối diện với góc 30 nên áp dụng định lí sin CH AC AC 269,  � CH    134,7 m o o sin 30 sin 90 2 ta có : Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A 2.2.Tự luận Bài 1: Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết a, a=109, b, a=20, b=13, Giải a, Áp dụng định lí sin : a b c   sin A sin B sin C b= c= b, Áp dụng định lí sin : a b c   sin A sin B sin C � Vì b < a Bài 2: Cho tam giác ABC có AB=4, AC=5 Tính cạnh BC độ dài đường cao kẻ từ A Giải Áp dụng định lí cosin, ta có Suy Vì nên Theo cơng thức tính diện tích ta có (1) Mặt khác Từ (1) (2) suy Vậy độ đài đường cao kẻ từ A Bài 2: Cho tam giác ABC ta có BC=13, AC = Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Giải Ta có: = = � AB=15 Áp dụng định lí sin, ta có: Vậy suy Suy DẠNG : NHẬN DẠNG TAM GIÁC  Phương pháp Sử dụng định lí cơsin, định lí sin, cơng thức đường trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh (hoặc góc) từ suy dạng tam giác  Bài tập Nhận dạng tam giác cân - Các toán thuộc dạng sau : Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đó, thường dạng hệ thức Hãy chứng minh tam giác ABC cân - Phải lưu ý tính đối xứng toán để định hướng phép biến đổi Chẳng � hạn cân C tập trung vào chứng minh �A  B sin C  cos A Bài 1: Cho VABC thỏa mãn sin B Chứng minh VABC cân Giải (1) � sin C  2sin B cos A � sin C  sin( B  A)  sin( B  A) � sin C  sin C  sin( B  A) �� � sin( B  A)  � B A ( A  B   ) Vậy tam giác ABC cân C Bài : Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Biết p  a  b  c  bc  ac  ab (1) Chứng minh tam giác tam giác cân Giải (1) (1) � abc  a  b  (c  a )(c  b) � 2c  a  b  (c  a )(c  b) � (c  a )  (c  b)  (c  a )(c  b ) (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số c+a, c+b ta có (c  a)  (c  b) �2 (c  a)(c  b) (3) Dấu “=” xảy � c  a  c  b � a  b Để (2) xảy (3) xảy dấu đẳng thức Tức a = b hay tam giác cho tam giác cân Nhận dạng tam giác vuông So với loại tam giác khác tam giác vng có số tính chất đặc biệt tổng bình phương cạnh góc vng bình phương cạnh huyền Số đo góc vng số đo hai góc cịn lại Để nhận dạng tam giác vuông ta thường đưa số dấu hiệu sau đây: 1.sin A  2.cos A  4.cos A  1 5.tan 7.sin A  sin( B  C ) A 1 8.a  b  c 3.sin A  6.tan A  cot B 2 Bài 1: Chứng minh VABC thỏa mãn: sin A  sin B  sin C  VABC vng Giải : (1) sin A  sin B  sin C   2.cos A.cos B.cos C Từ (1) suy cos A  � � cos A.cos B.cos C  � � cos B  �VABC � cos C  � vuông Bài : Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn sin A  sin B  2sin C  2sin A(sin B  sin C ) (1) Chứng minh VABC vuông cân Giải sin A Áp dụng bất đẳng thức cosi cho số dương 2sin B ta có: sin A  2sin B �2 sin A.2sin B  2sin A.sin B 2 sin A  sin C �2sin A.sin C Tương tự � sin A  2sin B  2sin C �2sin A(sin B  sin C ) (2) (1) � (2) xảy dấu “=” �1 sin A  2sin B � �2 � �1 sin A  2sin C �2 �C � (3) � sin B  sin C � sin B  sin C � B � sin A  4sin B � sin A  2sin B � � �� � � sin A  sin B  sin C � Từ (3) �sin A  4sin C �sin A  2sin B Áp dụng định lý hàm Sin ta a  b  c �VABC vuông cân Nhận dạng tam giác Ta cần chứng minh tam giác ABC cân có góc a=b=c � � C � AB lấy dấu đẳng thức bất đẳng thức ta sử dụng phương pháp tổng bình phương Bài 1: Chứng minh ABC tam giác nếu: Giải : Ta có : (1) Dấu "=" xảy : Tương tự : (2) Dấu xảy Tương tự : (3) Dấu "=" xảy : Từ (1), (2), (3) ta có : Dấu "=" xảy Vậy Bài 2: Chứng minh � sin B.sin C  � � � 3 �a  a  b  c a b c � Giải 2 3 Ta có : (2) � a  a b  a c  a  b  c � a (b  c)  b3  c � a (b  c )  (b  c)(b  bc  c ) � a  b  bc  c � b  c  2bc.cos A  b  c  bc (áp dụng định lí cos) � 2bc.cos A  bc � A  60o Ta có : (1) � 4sin B.sin C  �  cos( B  C )  cos( B  C )   � cos A  �  cos( B  C )  cos A  � cos( B  C )   o ( có A  60 ) �C � � cos( B  C )  � B Vậy từ (1), (2) ta có (1) (2) ... trịn ngoại tiếp tam giác; +) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác; +) p = nửa chu vi tam giác; +) S diện tích tam giác Khi ta có: II Bài tập DẠNG : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC  Phương... thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh (hoặc góc) từ suy dạng tam giác  Bài tập Nhận dạng tam giác cân - Các toán thuộc dạng sau : Cho tam giác ABC thỏa mãn điều... � a  b Để (2) xảy (3) xảy dấu đẳng thức Tức a = b hay tam giác cho tam giác cân Nhận dạng tam giác vuông So với loại tam giác khác tam giác vng có số tính chất đặc biệt tổng bình phương cạnh