Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện công nghệ bưu viễn thơng BÀI TẬP ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Bài 1: Tính đạo hàm riêng hàm số sau theo biến: z x3 y x y 2 z ln( x x y ); z arctan ; z x x ; z x 3sin xy e x2 y x x 3 x y ; 12 z 3 z x y y x e y z (1 xy ) y ; y ; x x 3 y x 1 10 z ln sin ; y ; z x y ; u x y z 11 z x sin y x3 y x yz 13 u e x arctan ; yx x z2 e3 x ln xy 14.z = tan x+y e Bài 2: Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau: z 23 (x y ) ; z x y e x y z arctan x+y ; 1-xy z e x y cos x + y ; ; x y x y x u ln x y yz z z Bài 3: a Cho hàm số u ln x y2 tính A 2u 2u x2 y x b Cho hàm số z x ln( y x ) Tính B z x' ' z zy y x Bài 4: Tính đạo hàm hàm số hợp sau: x 2y a) z ln[(u 1)2 (v 1)2 ] , u , v xy ; y Bài 5: Tính đạo hàm hàm số ẩn sau: b) z y x , x e2t , y te2t x a Cho hàm số x x( y, z ) hàm ẩn xác định y z x Tính dx( y, z ) b) ln x y arc cot x tính y ' ; b) xy3 z sin(2 x y 5z) ln( x y z) 31 tính y 'x , y 'z y 2z c) Cho hàm số ẩn z f ( x, y) xác định hệ thức z xe y tính gần f (0,04;0,96) x y z d) Tính đạo hàm hàm số ẩn x x( y), z z ( y) xác định hệ 2 x y z Bài 6: Tìm vi phân tồn phần hàm số sau: Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín x y Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện công nghệ bưu viễn thơng z sin x y ; y z ln cot ; x x y z arctan ; x- y u z z e x cos y x sin y v xy (2 x ) y z et dt , u x y, v x cos y 2 ; u Cho u( x, y ), v( x, y ) hàm số ẩn xác định từ hệ phương trình u v x e x sin y ; u (1,1) 0, v(1,1) Tính du(1,1), dv(1,1) u x v y e cos y Bài 7: Tính gần giá trị biểu thức sau: 1) sin 1, 75 8.e0,055 3) 1, 02 0, 05 2 ; 2) ( 98 126) ; 1,97 4) arctan 1 1,02 5) 5.e0,02 (1, 03) (0,98)3 ; ; 6) Bài 8: Tìm cực trị địa phương hàm hai biến sau: 6.z x xy y y 1 z x2 xy y3 z = x2 +xy+y2 +x-y+2 z y xy x 3x z 3x2 x2 y y3 y 8.z x xy y 21y z x4 y x2 y 9.z x xy y y z y x y 24 xy 10.z x xy y y 1, 04 1,99 ln(1, 02) 11 z x3 y xy 12 z x y x y 13 z x x y 13 y xy 14 z x y x y 15 z x3 y x y xy 12 x 12 y Bài 9: Tìm cực trị hàm số sau: 1 1 1 a) z với điều kiện ; b) f ( x, y ) x xy y với x y 4 x y x y Bài 10: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a z x2 xy x y miền x, y : x 1, y 1 , b z sin x sin y sin( x y) miền x, y : x , y , c z e x2 y 2x 2 y miền tròn: x y Bài 11 a) Cho u xy z , M (1, 2, 1), M1 (0, 4, 3) Tính b) Cho u arccos x y2 z2 A(1,1,1) Tính u ( M ) M M1 u ( A) biết B(3,2,3) AB Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện công nghệ bưu viễn thơng 1 y Cho u ln x Xác định điểm gradu 1, c) 16 9 d) Cho F ( x, y, z) ( x3 y y3 z )i ( x z 3xy3 ) j (2 xy z z )k Tính divF ( x, y, z ) rot F ( x, y, z ) Bài 14 a) Tìm hàm f ( x, z ) cho trường véc tơ F 3x2 y xy 3z ; f ( x, z ); z( y x) trường b) Cho trường vô hướng u e xy (2 x y) Tính rot ( gradu) u (1,1) ( gradu (1,1)) CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI HAI – TÍCH PHÂN BỘI BA A Tích phân kép Bài 1: Thay đổi thứ tự tích phân sau: 2y dy a) 1 b) f ( x, y )dx 1 1 y dy d) 1 y f ( x, y )dx 2 y e) dy 1 y 2 2x f ( x, y )dx dx f ( x, y)dy x c) 2 f) dx dx f ( x, y )dy x2 6 x f ( x, y )dy 2x Bài 2: Tính I xy dxdy , D a) D giới hạn y x ; x y b) D giới hạn đường thẳng y = x - (P) y2=2x 2 Bài 3: Tính I = (x y )dxdy D giới hạn bởi: D a) Đường tròn x y 2x b) Hình vành khăn x y 1, x y c) I = x y dxdy ; D hình trịn tâm gốc O bán kính D d) J= (2 x x y ) dxdy ; D hình trịn x y x D B Tích phân bội ba Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng Bµi 1: TÝnh I z x y dxdydz ; V giới hạn V x 0; y 0; z 0; z 1; x y x dxdydz Bài 2: Tính I V miền xác định : V ( x y 1) x2 y x ; z Bài 3: Tính xydxdydz, V miền xác định mặt z = 0; x2+y2 = 1; z = x2+y2 V Bài 4: Tính (x y )dxdydz Nếu V nửa hình cầu x2 y z 1; z 2 V Bài 5: Tính z dxdydz ; V miền xác định x y z V CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT A Tích phân đường Bài 1: Tính tích phân đường sau: a ( x y )ds , AB đoạn thẳng nối điểm A(0;0), B 2;1 AB b xyds , L biên hình chữ nhật ABCD: A(0; 0); B 4;0 ; C 4;2 ; D(0; 2) L c yds , L: x t, y L t2 t3 , z ;0 t Bài 2: Tính tích phân đường sau: a ( x y )2 dx ( x y )2 dy , ABC đường gấp khúc A(0, 0), B(2, 2), C(4, 0) ABC b ydx ( y x )dy , L cung Parabol y x x nằm trục hoành theo L chiều kim đồng hồ Bài 3: Tính I ( xy 1)dx x ydy , A(1; 0), B(0; 2) theo đường sau: AB a 2x + y = ; b 4x + y2 = 4; c x Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín y2 theo chiều dương 4 Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng Bài 4: Tính tích phân đường sau: y x a xy ( x )dx ( y )dy , L biên ABC, A(-1; 0), B(1; -2), C(1; 2) 2 L b 2( x y )dx (4 y 3) xdy , ABC đường gấp khúc nối A(0; 0),B(1;1),C(0; 2) ABC c I ( xy x y )dx ( xy x y )dy ; J L với L đường tròn x y 2 x y x ( y )dy y ( x ) dx , 3 L 2x B Tích phân mặt Bài 1: Tính tích phân mặt I ( x y )dS S a S mặt nón z2 x y2 , z b S mặt cầu có phương trỡnh x y2 z c (x y z)dS , S biên hình lập phương x, y, z S Bài 2: Tính tích phân mặt sau: a I xyzdxdy , S mặt ngồi hình cầu x2 + y2 + z2 = S b zdxdy , S mặt ngồi hình cầu x2 y z S Bài 3: Tính tích phân mặt sử dụng cụng thức Ostrogradsky a xzdydz yxdzdx zydxdy , S mặt ngồi biên hình chóp x, y, z x y z S b x dydz y dzdx z dxdy , S phía ngồi x 3 y2 z S Bài 4: Tính thơng lượng trường véc tơ sau: a) F ( x, y, z ) x3 i x3 j z k qua mặt mặt cầu x y z 1 x2 y z b) F ( x, y, z ) i j k qua mặt mặt x y z a b c Bài 5: Xét trường sau, trường trường Nếu trường tìm hàm vị Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng a) F ( x, y, z ) (5x y xy)i (3x y) j ; b) F ( x, y, z ) yzi zx j xyk c) F ( x, y, z ) ( y z )i ( z x) j ( x y)k CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình vi phân sau: y2 3y ' y x 1 y a) y cos x ; b) y ' cos( x y) cos( x y ); ln y c) d (x - 2).(y2 - 1)dx - (x + 4)ydy = 0; e y ' sin x y 2 , x x 13 f x 1 y dx ex y.dy Bài 2:Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân sau: a) e1 x tan ydx dx dy e2 x 0, y 3 dy 0, y ; b) x 1 x0 x( y 1) y ( x 1) x 1 Bài 3: Giải phương trình vi phân đẳng cấp cấp sau: a) y ' xy x y2 d ) y' x y2 ; x y4 b) xy ' ln y y x y ln x x y y c) x sin y ' x y sin x x e) y ' 2 x y x y 1 Bài 4: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp sau: a x y’ xy d y’ + tany = 2 x ; b y’ xy xe x ; x y ; e y' x ln x; y e2 ; xe x ln x cos y g 2e y x y ' 1 ; h xy e x dx xdy ; c 2ydx + (y2 - 6x)dy = f xy’ + y = ex y x 1 1 k sin y x cot y y ' 1 Bai 5: Giải phương trình vi phân Becnulli sau: y x2 y ; x 4) y y ' y x ; 1) y ' 2) ydx ( x x y)dy ; 5) y ' y y e x ; Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín 3) y ' xy x3 y 6) x 1 y ' y y Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng 9) xy ' x y y 7) y ' y cos x y tan x ; 8) xy y ' x y ; 10) y ' x xy ; y x 1 11) xy ' y x5 y e x ; 12) x y ln y x y ' y Bài 6:Giải phương trình vi phân toàn phần sau: a ( x y 1)dx ( x y 3)dy ; b 3x (1 ln y )dx (2 y 1 y c sin 1 y y y x x x cos 1dx cos sin y x x x y y y x x3 )dy , y dy Bài Giải phương trình sau cách tìm thừa số tích phân a (2 y xy)dx xdy 0, ( x) ; b y(1 xy)dx xdy 0, ( y) ; d xdy ydx xy2 ln xdx 0, ( xy) c xdx (2 x y)dy 0, ( x y) ; Bài 8: Giải phương trình vi phân cấp khuyết sau: y' y' x x 1 ; y 1, y ' ; 3) y '' x 1 x 4) 1 x y '' xy ' ; 5) 1 x y '' 1 y '2 ; 6) 1 y '2 y y '' ; 7) y '' y 3 y '2 1) y '' cos2 x sin x ; 2) xy '' y 'ln 8) y y '' y '2 0, y 1, y ' ; 9) y '' 1 y y '2 y ' ; Bài 9: Giải phương trình vi phân cấp hai sau: a y '' 10 xy ' y '' y '2 1 y' y 0; biết nghiƯm riªng y x ; x x2 b x x y’’ x 1 y’ y 2 biết có hai nghiệm riêng y1 x 1; y2 x x Bài 10: Giải phương trình vi phân sau phương pháp đổi biến a y '' y ' e2 x cos e x , t e x , b ( x 1) y '' xy ' 4y x 1 2x ( x 1) 2 , tant x, t , u , y cos x x Bài 11: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Lagrangce: 5) y '' y ' y 3e x x 1 9) y '' y ' y 1) y '' y e x 1 c x y '' xy ' (2 x ) y x Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc x2 x 2) y '' y ' y x3 ex 3) y '' y ' y x 4) y '' y sin x Học viện cơng nghệ bưu viễn thông cos x 2 x 7) y '' y ' e x x 8) y '' y tan x 6) y '' y 10) y '' y tan x 11) y '' y x x x 12) y '' y sin x sin x Bài 12: Giải phương trình vi phân sau: a y’’ y’ y ( x 5)e x ; b y’’ + 6y’ + 9y = 3sinx ; c y’’ y’ y cos x sin x d y’’ y 2sin x x cos x ; e y’’ y e x x ; f y '' y ' 20 y xe4 x g y '' y e x [(4 x 4)cos x (2 x 6)sin x] ; h y '' y cos x cos x i y '' y sin x 1, y , y' 0; x0 x0 k y '' y x.cos2 x GOODLUCK TO YOU! Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z ) x y2 sin( yz ) 3xe z z xác định D a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số F( x, y, z ) b) Cho z f ( x, y) xác định phương trình F ( x, y, z) Tính gần giá trị f (0.98;0.01) Bài 2: Cho hàm số f ( x, y) x2 xy y x y xác định D a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số b) Khai triển Taylor đến cấp hàm số điểm 1, 2 BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z ) x y2 sin( yz ) 3xe z z xác định D a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số F( x, y, z ) b) Cho z f ( x, y) xác định phương trình F ( x, y, z) Tính gần giá trị f (0.98;0.01) Bài 2: Cho hàm số f ( x, y) x2 xy y x y xác định D a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số b) Khai triển Taylor đến cấp hàm số điểm 1, 2 ... 2x 2? ?? y miền tròn: x y Bài 11 a) Cho u xy z , M (1, 2, 1), M1 (0, 4, 3) Tính b) Cho u arccos x y2 z2 A(1,1,1) Tính u ( M ) M M1 u ( A) biết B(3 ,2, 3) AB Bài tập môn giải. .. y' 0; x0 x0 k y '' y x.cos2 x GOODLUCK TO YOU! Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z ) x y2 sin( yz ) 3xe z z xác định... B(0; 2) theo đường sau: AB a 2x + y = ; b 4x + y2 = 4; c x Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín y2 theo chiều dương 4 Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện công nghệ bưu viễn thơng Bài 4: