BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện công nghệ bưu viễn thơng BÀI TẬP ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Bài 1: Tính đạo hàm riêng hàm số sau theo biến: z  x3  y x y 2 z  ln( x  x  y ); z  arctan ; z  x x ; z   x  3sin xy  e x2 y   x  x 3 x y  ; 12 z  3 z  x y  y x  e y z  (1  xy ) y ; y ; x x 3 y   x 1  10 z  ln  sin  ;  y    ; z  x y ; u  x  y  z 11 z   x  sin y  x3  y x  yz 13 u   e x arctan ; yx x  z2 e3 x ln xy 14.z = tan  x+y  e Bài 2: Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau: z  23 (x  y ) ; z  x  y e x y  z  arctan x+y ; 1-xy z  e x y  cos  x + y  ; ; x y x y x u  ln x  y  yz z z    Bài 3: a Cho hàm số u  ln x  y2 tính A   2u  2u   x2  y x b Cho hàm số z  x ln( y  x ) Tính B  z x'  ' z zy  y x Bài 4: Tính đạo hàm hàm số hợp sau: x  2y a) z  ln[(u  1)2  (v  1)2 ] , u  , v  xy ; y Bài 5: Tính đạo hàm hàm số ẩn sau: b) z  y  x , x  e2t , y  te2t x a Cho hàm số x  x( y, z ) hàm ẩn xác định y   z  x Tính dx( y, z ) b) ln x  y  arc cot x tính y ' ; b) xy3 z  sin(2 x  y  5z)  ln( x  y  z)  31 tính y 'x , y 'z y 2z c) Cho hàm số ẩn z  f ( x, y) xác định hệ thức z  xe y tính gần f (0,04;0,96)  x  y  z  d) Tính đạo hàm hàm số ẩn x  x( y), z  z ( y) xác định hệ  2  x  y  z  Bài 6: Tìm vi phân tồn phần hàm số sau: Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín x y  Giảng viên: Lê Văn Ngọc  Học viện công nghệ bưu viễn thơng  z  sin x  y  ; y z  ln cot ; x x y z  arctan ; x- y u   z z  e x  cos y  x sin y  v xy (2 x ) y z   et dt , u  x  y, v  x  cos y 2 ; u Cho u( x, y ), v( x, y ) hàm số ẩn xác định từ hệ phương trình  u v x e x sin  y   ; u (1,1)  0, v(1,1)  Tính du(1,1), dv(1,1)  u  x v y e cos  y  Bài 7: Tính gần giá trị biểu thức sau: 1) sin 1, 75  8.e0,055 3) 1, 02    0, 05  2 ; 2) ( 98  126) ;  1,97  4) arctan   1  1,02  5) 5.e0,02  (1, 03)  (0,98)3 ; ; 6) Bài 8: Tìm cực trị địa phương hàm hai biến sau: 6.z  x  xy  y  y  1 z  x2  xy  y3 z = x2 +xy+y2 +x-y+2 z  y  xy  x  3x z  3x2  x2 y  y3  y 8.z  x  xy  y  21y z  x4  y  x2  y 9.z  x  xy  y  y z  y  x y  24 xy  10.z  x  xy  y  y 1, 04  1,99  ln(1, 02) 11 z  x3  y  xy  12 z  x  y   x  y   13 z  x  x  y  13 y  xy  14 z  x y   x  y   15 z  x3  y  x y  xy  12 x  12 y Bài 9: Tìm cực trị hàm số sau: 1 1 1 a) z   với điều kiện   ; b) f ( x, y )  x  xy  y với x  y  4 x y x y Bài 10: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a z  x2  xy  x  y miền  x, y  :  x  1,  y  1 ,    b z  sin x  sin y  sin( x  y) miền  x, y  :  x  ,  y   , c z  e   x2  y    2x 2  y  miền tròn: x  y  Bài 11 a) Cho u  xy z , M (1, 2, 1), M1 (0, 4, 3) Tính b) Cho u  arccos x y2  z2 A(1,1,1) Tính u ( M )  M M1 u ( A) biết B(3,2,3)  AB Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc  Học viện công nghệ bưu viễn thơng 1 y Cho u  ln  x   Xác định điểm gradu  1,  c)   16   9 d) Cho F ( x, y, z)  ( x3 y  y3 z )i  ( x z  3xy3 ) j  (2 xy z  z )k Tính divF ( x, y, z ) rot F ( x, y, z ) Bài 14 a) Tìm hàm f ( x, z ) cho trường véc tơ F   3x2  y  xy  3z ; f ( x, z ); z( y  x)  trường b) Cho trường vô hướng u  e xy (2 x  y) Tính rot ( gradu) u (1,1) ( gradu (1,1)) CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI HAI – TÍCH PHÂN BỘI BA A Tích phân kép Bài 1: Thay đổi thứ tự tích phân sau: 2y  dy  a) 1 b) f ( x, y )dx 1 1 y  dy d) 1 y  f ( x, y )dx 2 y e)  dy   1 y 2 2x f ( x, y )dx  dx  f ( x, y)dy x c)  2 f)  dx dx  f ( x, y )dy x2 6 x  f ( x, y )dy 2x Bài 2: Tính I   xy dxdy , D a) D giới hạn y  x ; x  y b) D giới hạn đường thẳng y = x - (P) y2=2x 2 Bài 3: Tính I =  (x  y )dxdy D giới hạn bởi: D a) Đường tròn x  y  2x b) Hình vành khăn x  y  1, x  y  c) I =   x  y dxdy ; D hình trịn tâm gốc O bán kính D d) J=  (2 x  x  y ) dxdy ; D hình trịn x  y  x D B Tích phân bội ba Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng Bµi 1: TÝnh I   z x  y dxdydz ; V giới hạn V x  0; y  0; z  0; z  1; x  y  x dxdydz Bài 2: Tính I   V miền xác định : V ( x  y  1) x2  y  x ;  z  Bài 3: Tính  xydxdydz, V miền xác định mặt z = 0; x2+y2 = 1; z = x2+y2 V Bài 4: Tính  (x  y )dxdydz Nếu V nửa hình cầu x2  y  z  1; z  2 V Bài 5: Tính  z dxdydz ; V miền xác định x  y  z  V CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT A Tích phân đường Bài 1: Tính tích phân đường sau: a  ( x  y )ds , AB đoạn thẳng nối điểm A(0;0), B  2;1 AB b  xyds , L biên hình chữ nhật ABCD: A(0; 0); B  4;0  ; C  4;2  ; D(0; 2) L c  yds , L: x  t, y  L t2 t3 , z  ;0  t  Bài 2: Tính tích phân đường sau:  a ( x  y )2 dx  ( x  y )2 dy , ABC đường gấp khúc A(0, 0), B(2, 2), C(4, 0) ABC b  ydx  ( y  x )dy , L cung Parabol y  x  x nằm trục hoành theo L chiều kim đồng hồ Bài 3: Tính I   ( xy  1)dx  x ydy , A(1; 0), B(0; 2) theo đường sau: AB a 2x + y = ; b 4x + y2 = 4; c x  Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín y2  theo chiều dương 4 Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng Bài 4: Tính tích phân đường sau:  y  x a  xy  ( x  )dx  ( y  )dy , L biên ABC, A(-1; 0), B(1; -2), C(1; 2) 2   L  b 2( x  y )dx  (4 y  3) xdy , ABC đường gấp khúc nối A(0; 0),B(1;1),C(0; 2) ABC c I   ( xy  x  y )dx  ( xy  x  y )dy ; J  L với L đường tròn x  y 2 x y  x ( y  )dy  y ( x  ) dx , 3 L  2x B Tích phân mặt Bài 1: Tính tích phân mặt I   ( x  y )dS S a S mặt nón z2  x  y2 ,  z  b S mặt cầu có phương trỡnh x  y2  z  c  (x  y  z)dS , S biên hình lập phương  x, y, z  S Bài 2: Tính tích phân mặt sau: a I   xyzdxdy , S mặt ngồi hình cầu x2 + y2 + z2 = S b  zdxdy , S mặt ngồi hình cầu x2  y  z  S Bài 3: Tính tích phân mặt sử dụng cụng thức Ostrogradsky a  xzdydz  yxdzdx  zydxdy , S mặt ngồi biên hình chóp  x, y, z x  y  z  S b  x dydz  y dzdx  z dxdy , S phía ngồi x 3  y2  z  S Bài 4: Tính thơng lượng trường véc tơ sau: a) F ( x, y, z )  x3 i  x3 j  z k qua mặt mặt cầu x  y  z  1 x2 y z b) F ( x, y, z )  i  j  k qua mặt mặt    x y z a b c Bài 5: Xét trường sau, trường trường Nếu trường tìm hàm vị Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng a) F ( x, y, z )  (5x y  xy)i  (3x  y) j ; b) F ( x, y, z )  yzi  zx j  xyk c) F ( x, y, z )  ( y  z )i  ( z  x) j  ( x  y)k CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải phương trình vi phân sau:  y2 3y  ' y x 1 y a) y cos x  ; b) y '  cos( x  y)  cos( x  y ); ln y c) d (x - 2).(y2 - 1)dx - (x + 4)ydy = 0; e y '  sin  x  y  2 ,  x  x  13   f  x  1 y  dx  ex y.dy  Bài 2:Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân sau: a) e1 x tan ydx  dx dy e2 x    0, y 3 dy  0, y  ; b) x 1 x0 x( y  1) y ( x  1) x 1 Bài 3: Giải phương trình vi phân đẳng cấp cấp sau: a) y '  xy x  y2 d ) y'  x y2 ; x y4 b) xy ' ln y y  x  y ln x x y y c) x sin y ' x  y sin x x e) y '  2 x  y  x  y 1 Bài 4: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp sau: a   x  y’  xy  d y’ + tany =  2  x  ; b y’  xy  xe x ; x y ; e y'   x ln x; y  e2 ; xe x ln x cos y    g 2e y  x y ' 1 ; h xy  e x dx  xdy  ; c 2ydx + (y2 - 6x)dy = f xy’ + y = ex y  x 1 1  k sin y  x cot y y ' 1 Bai 5: Giải phương trình vi phân Becnulli sau: y  x2 y ; x 4) y y '  y  x  ; 1) y ' 2) ydx  ( x  x y)dy  ; 5) y '  y  y e x ; Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín 3) y '  xy  x3 y   6)  x 1 y '  y  y Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng 9) xy '  x y  y 7) y '  y cos x  y tan x ; 8) xy y '  x  y ; 10) y '  x xy  ; y x 1  11) xy '  y  x5 y e x  ;  12) x y ln y  x y '  y Bài 6:Giải phương trình vi phân toàn phần sau: a ( x  y  1)dx  ( x  y  3)dy  ; b 3x (1  ln y )dx  (2 y  1 y c  sin 1  y y y x x x  cos  1dx   cos  sin  y x x x y y y  x x3 )dy  , y  dy   Bài Giải phương trình sau cách tìm thừa số tích phân  a (2 y  xy)dx  xdy  0,  ( x) ; b y(1  xy)dx  xdy  0,  ( y) ; d xdy  ydx  xy2 ln xdx  0,  ( xy) c xdx  (2 x  y)dy  0,  ( x  y) ; Bài 8: Giải phương trình vi phân cấp khuyết sau: y'  y'  x  x 1 ; y   1, y '     ; 3) y ''  x 1  x 4) 1 x  y ''  xy '  ; 5) 1 x  y '' 1 y '2  ; 6) 1 y '2  y y '' ; 7) y ''  y  3  y '2  1) y ''  cos2 x  sin x ; 2) xy ''  y 'ln  8) y y ''  y '2  0, y   1, y '    ; 9) y '' 1 y   y '2  y ' ; Bài 9: Giải phương trình vi phân cấp hai sau: a y ''   10 xy ' y ''  y '2 1 y' y   0; biết nghiƯm riªng y  x ; x x2  b x  x y’’   x  1 y’  y  2 biết có hai nghiệm riêng y1  x   1; y2  x   x Bài 10: Giải phương trình vi phân sau phương pháp đổi biến a y '' y '  e2 x cos e x , t  e x , b ( x  1) y '' xy ' 4y x 1  2x ( x  1) 2 , tant  x,   t   , u , y cos x x Bài 11: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Lagrangce: 5) y '' y ' y  3e x x 1 9) y '' y ' y  1) y ''  y  e x 1 c x y '' xy ' (2  x ) y  x Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín Giảng viên: Lê Văn Ngọc x2  x  2) y '' y ' y  x3 ex 3) y '' y ' y  x 4) y '' y  sin x Học viện cơng nghệ bưu viễn thông cos x 2 x 7) y '' y '  e x x 8) y '' y  tan x 6) y '' y  10) y '' y  tan x 11) y ''  y  x  x x 12) y ''  y   sin x sin x Bài 12: Giải phương trình vi phân sau: a y’’  y’  y  ( x  5)e x ; b y’’ + 6y’ + 9y = 3sinx ; c y’’  y’  y  cos x  sin x d y’’  y  2sin x  x cos x ; e y’’  y  e x  x   ; f y '' y ' 20 y  xe4 x g y '' y  e x [(4 x  4)cos x  (2 x  6)sin x] ; h y '' y  cos x  cos x i y '' y  sin x  1, y  , y'  0; x0 x0 k y '' y  x.cos2 x GOODLUCK TO YOU! Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z )  x y2 sin( yz )  3xe z  z xác định D  a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số F( x, y, z ) b) Cho z  f ( x, y) xác định phương trình F ( x, y, z)  Tính gần giá trị f (0.98;0.01) Bài 2: Cho hàm số f ( x, y)  x2  xy  y  x  y  xác định D  a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số b) Khai triển Taylor đến cấp hàm số điểm 1, 2  BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z )  x y2 sin( yz )  3xe z  z xác định D  a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số F( x, y, z ) b) Cho z  f ( x, y) xác định phương trình F ( x, y, z)  Tính gần giá trị f (0.98;0.01) Bài 2: Cho hàm số f ( x, y)  x2  xy  y  x  y  xác định D  a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số b) Khai triển Taylor đến cấp hàm số điểm 1, 2  ... 2x 2? ??  y  miền tròn: x  y  Bài 11 a) Cho u  xy z , M (1, 2, 1), M1 (0, 4, 3) Tính b) Cho u  arccos x y2  z2 A(1,1,1) Tính u ( M )  M M1 u ( A) biết B(3 ,2, 3)  AB Bài tập môn giải. .. y'  0; x0 x0 k y '' y  x.cos2 x GOODLUCK TO YOU! Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho lớp tín BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z )  x y2 sin( yz )  3xe z  z xác định... B(0; 2) theo đường sau: AB a 2x + y = ; b 4x + y2 = 4; c x  Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho lớp tín y2  theo chiều dương 4 Giảng viên: Lê Văn Ngọc Học viện công nghệ bưu viễn thơng Bài 4: