Bài tập môn giải tích II học viện kỹ thuật quân sự

1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH II HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, phương trình vi phân. 2012 T ạ Ngọc Ánh Bộ môn Toán - Khoa CNTT - HVKTQS (Sưu tầm và biên soạn) 2 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1. Tìm tập xác định của hàm số a) u x y   b) 2 2 1 1 u x y     c) 2 2 1 u x y    d) ln u xy  2. Tìm giới hạn của hàm số a) 2 2 2 2 x y u x y    khi ( ; ) (0;0) x y  b) 2 2 4 xy u x y   khi ( ; ) (0;0) x y  c) 2 2 x xy u x y         khi ( ; ) ( ; ) x y    d) 1 ( )sin u x y xy   khi ( ; ) (0;0) x y  . e) 2 2 2 2 ( ) x y u x y  khi ( , ) (0;0) x y  f) 2 2 ln( ) y x e u x y    khi ( , ) (0;0) x y  g) 2 2 ( ) ( ) x y u x y     khi ( ; ) ( ; ) x y    h) sin xy u x  khi ( , ) (0;3) x y  3. Xét tính liên tục của các hàm số a) 2 2 1 khi 0 0 khi 0 x y e xy u xy          b) 2 4 2 khi ( , ) (0,0) 0 khi ( , ) (0,0) x y x y u x y x y          4. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số a) 2 2 ln( ) u x x y    b) 2 y u x  c) xz u e x y   d) 2 cos x xy u e   e) 2 arctan( ) u x y   5. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại (0;0) O a) 3 3 2 2 2 khi ( ; ) (0;0) 0 khi ( ; ) (0;0) x y x y u x y x y           b) ( ) khi ( ; ) (0;0) 0 khi ( ; ) (0;0) x y x y e x y u x y         6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số a) 2 2 3 u x y xyz    b) 3 xy u x y   c) arcsin x u y  d) 2 ln( ) u x y   7. Kiểm tra xem hàm số 3 3 3 u x y   có khả vi tại (0;0) O hay không ? 8. Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng a) 3 4 ln( 1.03 0.981)  b) 1.01 arctan 0.99 c) 3 3 1.02 1.97  9. Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ẩn xác định bởi phương trình a) 0 y x xy xe ye e    b) 2 2 2 2 3 ( ) 3 x y x y y    tính '(0) y biết (0) 0 y  c) z x y z e    d) 2 0 x y z xe y e ze    e) 0 y xy xe yz ze    tại điểm (1;1) 10. Tính các đạo hàm riêng cấp hai a) 2 ln( ) u x x y    b) 3 ln( ) u x x y   c) ln sin .ln x u e y y x   d) 4 4 3 u x y xy    11. Cho 2 2 2 2 ( , ) x y f x y xy x y    khi ( , ) (0;0) x y  và (0;0) 0 f  . Tính đạo hàm riêng '' (0;0) xy f và '' (0;0) yx f . Chỉ ra rằng '' '' (0;0) (0;0) xy yx f f . 12. Tính vi phân cấp hai của hàm số 3 a) 4 2 3 3 u x xy y    b) 2 2 2 u x y z    , chứng minh 2 0 d u  . c) 2 2 3 3 3 u x y z xy xz      tại điểm (1;1;1) M , tìm ma trận của dạng toàn phương 2 ( ) d u M với các biến , , dx dy dz . 13. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba a) sin x u e y  b) ln(1 ) y x y    c) 2 2 sin( ) u x y   14. Chứng minh a) . ' . ' 0 x y y z x z   với 2 2 ( ) z f x y   và ( ) f t là hàm khả vi. b) . " . " 2 ' 0 xx xy x x z y z z    với 2 ( ) xy z x y   c) " " 0 xx yy z z   với 2 2 ln( ) z x y   d) 2 " . " ( " ) 0 xx yy xy z z z   với . ( / ) z y f x y  và ( ) f t có đạo hàm cấp hai liên tục 15. Tìm hàm ( , ) z z x y  thỏa mãn a) ' 2 4 , ' 3 4 , (0;1) 0 xy xy x y z ye z xe z      b) 2 2 2 2 ' 2 3, ' 2 3 x y z x xy z y x y       c) 2 4 5 " 12 2, ' 30 , (0;0) 1, (1;1) 2 xx y z x y z x xy z z        16. Tính đạo theo hướng của vector v  tại điểm M a) 2 2 , (1;1), (3;4) u x y M v    b) 2 3 , (1;2;3), (1;2;2 5) u xy z M v   17. Tìm cực trị của hàm số a) 3 2 3 30 18 u x xy x y     b) 2 2 4( ) u x y x y     c) y u x y xe    d) 3 2 3 15 12 u x xy x y     e) 4 4 2 2 2 u x y x xy y      f) 2 2 ln( ) u xy x y   g) 2 2 1 u x xy y x y       h) 4 2 2 1 8 (1 ) 4 u x x y x     i) 3 3 3 u x y xy    j) 4 4 2 3( ) u x y x y     k) 2 2 2 3 2 8 6 u x y z x y z       l) 2 2 4 3 12 8 2 u x y z y z       m) 3 2 2 12 2 u x y z xy z      18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số a) 2 2 u x y   với 2 2 1 x y   b) 2 u x y   với 3 3 0 xy y    c) 2 2 12 2 u x xy y    với 2 2 4 25 x y   d) 2 3 u x y y    với 2 2 3 x y xy    e) 2 2 cos cos u x y   với 4 x y    f) 2 1 2 khi 1 x y u x y z z xy           g) 2 2 2 u x y z    với 2 2 2 1 9 4 x y z    h) u xyz  với 2 2 2 1 0 x y z x y z          19. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng a) u x y   trong miền 2 2 25 x y   b) 2 2 u x y   trong miền 2 2 1 4 9 x y   c) 2 2 3 u x y xy xy    trong miền 0 4, 0 3 x y     d) 2 2 3 2 2 u xy x y    trong miền   2 2 ( , ) : 9 D x y x y    e) 2 2 2 u x xy y x     trong miền 2 2 0 x y   f) 2 2 u x xy y    trong miền 1 x y   f) u x y z    trong miền 2 2 1 x y z    20. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong a) 3 3 4 5 12 0 y xy y x      tại điểm (1;2) M b) 2 3 ( ) 0 x x x y e y     tại điểm (0;1) M c) 2 1 2 , 3 , t x t y t z e     tại điểm (2;3;1) M , viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện. 4 21. Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong a) 2 2 2 3 2 0 x y z    tại điểm (1;1; 2) M b) 0 xy z   tại điểm (1;1;1) M Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI 1. Tính các tích phân a. 2 ( ) D I x xy dxdy    với D giới hạn bởi , 2 , 2 y x y x x    (Đs 10 I  ) b. D I xydxdy   với D giới hạn bởi 2 4 0, 2 x y x y     (Đs 90 I  ) c. 2 2 D xy I dxdy x y    với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3), B(3,0). (Đs 9ln 2 4 I  ) d. cos( ) D I x y dxdy    với D xác định bởi   0 ,0 D x y x         . (Đs I   ) e. 2 2 D x I dxdy x y    với D giới hạn bởi 2 , 2 x y y x   (Đs ln 2 I  .) f. 2 ( ) D I x y dxdy    với D giới hạn bởi 2 2 , y x x y   (Đs 33 140 I  ) 2. Đổi thứ tự lấy tích phân a. 2 2 3 1 0 2 ( , ) y y I dy f x y dx     (Đs 2 1 2 2 1 3 3 2 1 0 0 0 0 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) x x I dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy           ) b. 2 1 2 0 2 ( , ) x x x I dx f x y dy     (Đs 2 2 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 ( , ) ( , ) y y y I dy f x y dx dy f x y dx         ) c. 2 1 1 0 1 ( , ) y y dy f x y dx      (Đs 2 0 1 1 1 1 0 0 0 ( , ) ( , ) x x I dx f x y dy dx f x y dy          ) 3. Đổi biến để tính tích phân a. D I dxdy   với D giới hạn bởi 1 , 2 , 2 1, 2 3 y x y x y x y x         (Đ/s 2 3 I  ) b. D I xdxdy   với D xác định bởi 3, 2 1 2 5 x y x x y x          (ĐS 2 I  ) c. 3 2 ( ) ( ) D I x y x y dxdy     với D giới hạn bởi 1, 1, 3, 1 x y x y x y x y          (Đs 20 3 I  ) d. 2 2 (4 3 ) D I x x y dxdy      với D giới hạn bởi 2 2 4 3 0 x y x     (Đs 2 I   ) e. 2 2 ln(1 ) D I x y dxdy     với D xác định bởi 2 2 1, . 0 x y x y    (Đs   2ln 2 1 2 I    ) f. 2 2 2 2 4 (4 ) x y D I x y e dxdy       với D xác định bởi 2 2 1 4 x y    5 g. D I xydxdy   với D là nửa trên của hình tròn 2 2 ( 2) 4 x y    (Đs 32 3 I   ) h. 2 2 4 D dxdy I x y     với D xác định bởi 2 2 2 , x y y x y    (Đs 3 4 2 2 I     ) k. 2 2 D y I xy x y dxdy x            với D xác định bởi 2 2 1 2 x y x    (Đs 4 3 3 12 I    ) l. 2 2 ( 1)sin D I x x y dxdy     với D xác định bởi 2 2 2 2 4 x y      (Đs 2 6 I    ) m. 2 2 D I x y dxdy    với D là miền giới hạn bởi i) 2 2 2 2 2 2 , 0 4 x y a a x y a           (Đs 3 14 3 a I   ) ii) Đường hai cánh sin 2 , 0 r a a    (Đs 3 4 9 a I  ) n. 2 2 2 2 sin D x y I dxdy x y     với D giới hạn bởi 2 2 2 2 2 2 , 4 x y x y       4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a. 2 2 , 2 y x y x x    b. cos , cos , 0 r a r b b a       (Đs 2 2 ( ) 4 b a S    ) c. (1 cos ), 0 r a a     (Đs 2 3 2 a S   ) d. 2 2 2 cos2 , r a r a    ứng với phần r a  . (Đs 2 3 3 3 S a    ). e. 0 y  và một nhịp của đường cycloid ( sin ), (1 cos ),0 2 , 0 x a t t y a t t a         (Đs 2 3 S a   ) f. 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 x y a x y a     (Đs 2 S a  ) g. 2/3 2/3 2/3 0 x y a a    (Đs 2 3 8 a S   ) h. sin 2 0 r a a    5. Tính diện tích của phần mặt: a. 2 2 z x y   nằm trong mặt trụ 2 2 1 x y   b. 2 2 2 2 x y z a b   nằm dưới mặt 1 z  c. 2 2 x y z a b   nằm trong mặt 2 2 2 2 1 x y a b   với , 0 a b  d. 2 2 2 2 x y z a    nằm trong mặt 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 x y a x y a     e. 2 2 2 z x y   nằm trong hình trụ 2 2 1 x y   6. Tính thể tích a. Phần hình nón 2 2 2 z x y   nằm trong mặt trụ 2 2 1 x y   b.Vật thể giới hạn bởi hai mặt 2 2 2 2 2 2 2 , x y z z x y z      lấy phần 2 2 z x y   (Đs V   ) 6 c. Vật thể giới hạn bởi và 2 2 2 2 x y z a    và mặt 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 x y a x y a     7. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường a. 2 4 4 y x   và 2 2 4 y x    b. 2 2 1 25 9 x y   và 1 5 3 x y   c. 2 y x  và 2 x y  d. (1 cos ) x a    8. Tính các tích phân a. 2 2 V I x y zdxdydz    với V giới hạn bởi 2 2 , 1 x y z z    (Đs 4 21 I   ) b. V I xy zdxdydz   với V giới hạn bởi 2 0, , , 1 z z y y x y     (Đs 8 189 I  ) c. 2 V I x dxdydz   với V giới hạn bởi 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    (Đs 3 4 15 a bc I   ) d. | | V I xyz dxdydz   với V giới hạn bởi 2 2 , 4 x y z z    (Đs 32 I  ) e. 2 V I z dxdydz   với V xác định bởi 2 2 2 2 2 2 4, 4 x y z x y z z       (Đs 59 15 I   ) f. 2 2 V I x y dxdydz    với V xác định bởi 2 2 2 2 2 2 1, , 0 x y z x y z z       (Đs 2 2 16 I     ) g. V I zdxdydz   với V xác định bởi 2 2 1 0 , 2 ,0 1 4 x x y x z x y         ( 43 3072 I  ) h. 2 2 V I z x y dxdydz    với V giới hạn bởi 2 2 2 , 0, 0 x y x z z a      (Đs 2 16 9 a I  ) i. 2 2 2 V I x y z dxdydz     với V là miền 2 2 2 x y z x    (Đs 10 I   ) j. 2 2 ( ) V I x y dxdydz    với V giới hạn bởi 2 2 2 , 2 x y z z    (Đs 16 3 I   ) k. 2 2 V I x z dxdydz    với V giới hạn bởi 2 2 2 2 , 1 y x z y x z      ( 2 2 16 I     ) l. 2 2 2 ( ) V I x y z dxdydz     với V giới hạn bởi 2 2 2 2 3( ) 3 , 0 x y z a a     m. 2 2 2 V I x y z dxdydz     với V là miền 2 2 2 1 1 2 4 x y z           n. 2 2 ( ) V I x y dxdydz    với V là miền 2 2 2 2 2 , 0 a x y z b z      (Đs 5 5 4 ( ) 15 I b a    ) o. 2 2 1 V I x y dxdydz     với V giới hạn bởi 2 2 , ,0 1 z x y z a a      p. 2 2 2 V I x y z dxdydz     với V giới hạn bởi 2 2 2 x y z z    (Đs 10 I   ) 7 q. 2 2 2 ( ) V I x y z dxdydz     với V là miền 2 2 2 2 2 1 3 x y z a a    r. 2 V I z dxdydz   với V là miền 2 2 2 4 x y z    (Đs 128 15 I   ) s. ( ) V I xy yz xz dxdydz     với V là miền 2 2 2 4 x y z    t. V I ydxdydz   với V giới hạn bởi 2 2 , 0 y x z y a     9. Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang a. 2 2 2 2 2 0 0 0 x x a I dx dy z x y dz       hệ tọa độ trụ (Đ/s 2 8 9 a I  ) b. 2 2 2 2 2 2 1 1 2 0 0 x y x x y I dx dy z dz         hệ tọa độ cầu 10. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi a. 2 2 2 2 2 1 x y y x y z           b. 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0 z x y z x y x y x             c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 , 0 x y z x y z x y z z               d. 3 2 1 4 2 x y z x y z x y z                  11. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi a. 2 2 2 2 2 2 2 , 3 , 0, 0 x y az x y z a z a        b. 2 2 1, , 0, 0, 0 x y z x y x y z        Chương3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 1. Tính các tích phân đường loại I a) I xyd     với 2 2 2 2 : 1 x y a b    b) 2 I x d     và 2 2 3 2 y J x d            với 2 2 2 2 : 0 x y z a x y z           c) ( 2 ) I x y d      với 2 2 2 2 : 0 x y z a x y z           d) 2 C I yd    với C là đường cong 2 3 , , ,0 1 2 3 t t x t y z t      e) C I xyd    với C là cung elip 2 2 2 2 1 x y a b   nằm trong góc , 0 x y  f) C I xyd    với C là đường cong cos , sin , ,0 2 x a t y b t z ct t       2. Tính khối lượng đường cong 8 a) ,0 2 x x a a a y e e x a            biết khối lượng riêng là 1 ( , )x y y   b) cos , sin , ,0 2 x a t y a t z bt t       biết khối lượng riêng là 2 ( , , ) x y z z   3. Tìm chiều dài và trọng tâm của các đường đồng chất a) ( sin ), (1 cos ),0 2 x a t t y a t t        b) cos , sin , ,0x a t y b t z ct t       4. Tính tích phân đường loại II a) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) I x xy dx y xy dy       với  là đường 2 y x  nối ( 1;1) A  và (1;1) B . b) ( ) ( ) I x y dx x y dy       với  là đường elip 2 2 2 2 1 x y a b   , lấy hướng dương. c) (2;3) ( 1;3) I xdy ydx     d) (2;3) 2 2 ( 1;3) xdx ydy I x y      e) 2 ( 1) AB I xy dx x ydy     AB là đường 2 2 1 4 y x   nối (1;0) A và (0;2) B f) ( ) ( ) C I xy x y dx xy x y dy        với C: 2 2 2 x y x   . Tính trực tiếp và sử dụng công thức Green g) 2 2 AB I x dx y dy    với AB là đường tròn 2 2 2 x y x   nối (0;0) A và (2;0) B . h) 2 2 2 2( ) ( ) I x y dx x y dy       với  là tam giác ABC trong đó (1;1), (2;2), (1;3) A B C . i) 3 2 2 ( cos ) ( cos ) 3 AB x I x y xy dx xy x x xy dy        với AB là cung tròn 2 2 4 x y   và ( 2;0), (2;0) A B  . j)   2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 ln x y I x y dx y xy x x y dy                  k) 2 2 3 4 2 2 1 ( cos ) cos 3 x y x I xy x y xy dx xy x x xy dy                 l) 2 2 2 4 ( 3 2 ) 2 2 x y x I xy x y dx y x dy                m) 2 2 4 ( ) ( ) x y x I xy x y dx xy x y dy           n) 2 2 2 2 2 2 1 ( ) x y a b I x y dx xy dy        n’) 2 2 C xdy ydx x y    với C là đường cong kín đơn không qua (0;0) O o)   ( 2;0) (2;0) (1 ) (1 ) x y I e x y dx x y dy          p) 2 2 2 C I xy dx yz dy zx dz     trong đó C là đoạn thẳng nối (0;0), ( 2;4;5) O B  . 9 q) Vẫn tính tích phân trong p) với C là đường tròn trong không gian cho bởi 2 2 2 45 2 0 x y z x y         . r) C I zdx xdy ydz     trong đó C là đường 2 2 2 1 1 x y z x z         s) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) C I y z dx z x dy x y dz         với C là giao tuyến của các mặt 2 2 2 4 x y z y    và 2 2 2 , 0 x y y z    . Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía 0 z  . t) ( ) ( ) ( ) C I y z dx z x dy x y dz         với C là giao tuyến của các mặt 2 2 2 9 0 x y z x y z          . Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía 0 x  u) 3 3 C I ydx dy zdz       với C là đường tròn 2 2 1 1 x y z       . Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía 0 z  . v) 2 2 2 C i x dx y dy z dz      với C là đường cong 2 2 2 2 4 x y z z y          . Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O. 5. Tính tích phân mặt loại I a) 4 ( 2 ) 3 S y I z x ds     trong đó S là mặt 1 2 3 4 x y z    với , , 0 x y z  . b) S I yds   trong đó S là mặt 2 z x y   với. 0 1,0 2 x y     c) 2 2 ( ) S I x y ds    trong đó S là mặt 2 2 2 z x y   với. 0 1 z   . d) ( ) S I x y z ds     với S là phần mặt 2 2 2 x y z    nằm trong góc , , 0 x y z  e) 2 1 S I x y ds    với S là phần mặt 2 4 16 y z   cắt bởi 0, 1, 0 x x z    6. Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt 2 2 , 1 z x y z    nếu khối lượng riêng là ( , , ) x y z z   . 7. Tính tích phân mặt loại II a) S I xyzdxdy   trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 1; , 0 x y z x y     . b) 2 S I xdydz dzdx xz dxdy     trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 1; , , 0 x y z x y z     . c) 2 2 2 S I x dydz y dzdx z dxdy     trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 4 x y z    . d) Tính tích phân như trong c) với S là phía ngoài của mặt nón 2 2 2 ,0 4 z x y z     . e) S I xdydz ydzdx zdxdy     với S là phía ngoài mặt paraboloid 2 2 , 1 z x y z    f) S I xzdydz yzdzdx dxdy     với S là phía ngoài của chỏm cầu 2 2 2 25 x y z    cắt bởi 3 z  10 g) S I xdydz ydzdx zdxdy     trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 4 x y z    . h) 3 3 3 S I x dydz y dzdx z dxdy     trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 9 x y z    . i) 2 2 S I xzdydz yx dzdx zy dxdy     trong đó S là phía ngoài của mặt 2 2 9, 0, 9 x y z z     . k) ( ) ( ) ( ) S I y z dydz z x dzdx x y dxdy        trong đó S là phía ngoài của mặt 2 2 ,0 1 4 9 y z x x     . Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 0 x y dx y x dy     2. 'cos2 sin 0 y y y   3. 1 ' 1 y x y    4. ' cos( ) y x y   5. 2 2 1 1 0, (0) 1 x y dx y x dy y      6. 2 2 ( 1) ' 4, (1) 2 x y y y     7. 2 sin cos2 2 ' 1 x x y y     8. 3 ' ( ') x y y   9. ( ) ( ) 0 y x dx x y dy     10. 2 2 ' 2 1 y y x y           11. 1 ' 3 x y y x y      12. 2 2 xdy ydx x y dx    13. 2 ' 2 x y xy xe    14. 2 2 3 (1 ) ' 2 (1 ) x y xy x     15. 2 (1 ) ' 1, (0) 0 x y xy y     16. 2 ( 1) ( 3) 0 x y dx x y dy       17. 2 2 1 'xy y x y   18. 2 ' ( ') 0 y y y e   19. 3 3 ( ') 3 ' y y yy   20. 2 3 ( ') ( ') y x y y   21. 2 ' 2 y xy x e    22. 3 ' yy xy x   23. " " " 0 y x y e y    24. 1 "y y  [...]... '  y  z 41   y '  y  3z  y2 y'   z 42  z '  y   2 y '  z  43  z2 z'   y  x   y '  2 y  z  2e 44  x  z '  3 y  2 z  4e  y '  y  z  x 45   z '   y  5z 11 BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ 1 Xét tính liên tục của hàm số  2 x2 ( x2  2 y 2 ) khi x 2  2 y 2  4 4 a) f  x, y    x  4 y  m khi x 2  2 y 2  b)  x2 sin 1 cos 21y x  f  x , y   e 1  c)  x2  4 y2... bao quanh gốc tọa độ Trong trường  j)  x2  y2 C hợp này có áp dụng công thức Green được không? 2 2 2  k) Tìm điều kiện của m để tích phân đường  (3 x  2 y )dx  (mxy  3 y  4)dy không phụ thuộc vào    AB đường cong nối A(1;3) và B (2; 4) Hãy tính tích phân đó 10 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân a) y   3 y  2 y  4 xe x b) y   4 y  3 y   x  1 e2 x c) y " 4 y ' y ...  x sin   x  y sin x x  w)  sin 2 y  x 2  dx  x sin 2 ydy  0 bằng cách nhân thêm thừa số tích phân 1 x2 y  với điều kiện y 1  x 2 x y) xy  2 y  xy  e bằng phép đổi biến z  x y z) x 2 y " xy ' y  x bằng phép đổi biến x  et x) xy  y  x sin Chúc các em ngày càng tiến bộ, học tập đạt kết quả cao! 15 ... x, 0  z  4 V 7 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt a) z  x 2  y 2  1 và z  3 b) x 2  y 2  z 2  2 3 xyz nằm trong góc x, y, z  0 c) z  x 2  y 2 , 2 y  z  8 d) ( x 2  y 2  z 2 )2  4 z ( x 2  y 2 ) nằm trong góc x, y, z  0 e) 2 z  x 2  y 2 , z  8  x 2  y 2 f) ( x  2)2  y 2  4, x 2  y 2  z 2  16 g) x 2  y 2  4 và x 2  z 2  4 8 Tính diện tích a) Hình phẳng giới hạn... phẳng giới hạn bởi đường cong  x 2  y 2   2  x 2  y 2  d) Mặt paraboloid z  x 2  y 2 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  4 e) Mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  3x 9 Tính tích phân đường, tích phân mặt a)  ( x 2  y )ds với  là nửa phía trên trục hoành của cung tròn x 2  y 2  1 AB  AB b)   y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy với S là mặt mặt nón x 2  y 2  z... định bởi hệ thức: yz  e z  xe y  0 Tính dz 1;0  Áp dụng tính gần đúng z  0,95;0, 05  e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức: x3  y 3  xy  1  0 Tính d 2 y tại điểm x  0 27 6 Tính tích phân bội x2  y 2  z2  4  a)  ze dxdydz với V xác định bởi  2 2 V z  x  y  b)  ( x  y )3 ( x  y ) dxdy với D là miền được x2  y 2 giới hạn bởi các D x  y  1, x  y  3, x  y ... y dzdx  z dxdy với S là mặt nón x  y  z  0  z  1 có pháp tuyến hướng ra phía S ngoài d)   y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz  trong đó C là đường x 2  y 2  4 , C x z   1 chiều lấy tích phân 2 3 ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz 2 2 e)  xdydz  ydzdx  zdxdy với S là mặt ngoài của hình trụ x  y  4, 0  z  2 có pháp tuyến hướng S ra phía ngoài 2 2 x . 1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH II HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, phương. 0, 0, 0 x y z x y x y z        Chương3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 1. Tính các tích phân đường loại I a) I xyd     với 2 2 2