Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
378,39 KB
Nội dung
1
BÀI TẬPGIẢITÍCH II
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt,
phương trình vi phân.
2012
T
ạ Ngọc Ánh
Bộ môn Toán - Khoa CNTT - HVKTQS
(Sưu tầm và biên soạn)
2
Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1. Tìm tập xác định của hàm số
a)
u x y
b)
2 2
1 1
u x y
c)
2 2
1
u x y
d)
ln
u xy
2. Tìm giới hạn của hàm số
a)
2 2
2 2
x y
u
x y
khi
( ; ) (0;0)
x y
b)
2
2 4
xy
u
x y
khi
( ; ) (0;0)
x y
c)
2 2
x
xy
u
x y
khi
( ; ) ( ; )
x y
d)
1
( )sin
u x y
xy
khi
( ; ) (0;0)
x y
.
e)
2 2
2 2
( )
x y
u x y khi
( , ) (0;0)
x y
f)
2 2
ln( )
y
x e
u
x y
khi
( , ) (0;0)
x y
g)
2 2 ( )
( )
x y
u x y
khi
( ; ) ( ; )
x y
h)
sin
xy
u
x
khi
( , ) (0;3)
x y
3. Xét tính liên tục của các hàm số
a)
2 2
1
khi 0
0 khi 0
x y
e xy
u
xy
b)
2
4 2
khi ( , ) (0,0)
0 khi ( , ) (0,0)
x y
x y
u
x y
x y
4. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số
a)
2 2
ln( )
u x x y
b)
2
y
u x
c)
xz
u e x y
d)
2
cos
x xy
u e
e)
2
arctan( )
u x y
5. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại
(0;0)
O
a)
3 3
2 2
2
khi ( ; ) (0;0)
0 khi ( ; ) (0;0)
x y
x y
u
x y
x y
b)
( ) khi ( ; ) (0;0)
0 khi ( ; ) (0;0)
x y
x y e x y
u
x y
6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
a)
2
2 3
u x y xyz
b)
3
xy
u
x y
c)
arcsin
x
u
y
d)
2
ln( )
u x y
7. Kiểm tra xem hàm số
3 3
3
u x y
có khả vi tại
(0;0)
O hay không ?
8. Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
a)
3
4
ln( 1.03 0.981)
b)
1.01
arctan
0.99
c)
3 3
1.02 1.97
9. Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ẩn xác định bởi phương trình
a)
0
y x xy
xe ye e
b)
2 2 2 2 3
( ) 3
x y x y y
tính
'(0)
y biết
(0) 0
y
c)
z
x y z e
d)
2
0
x y z
xe y e ze
e)
0
y xy
xe yz ze
tại điểm (1;1)
10. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a)
2
ln( )
u x x y
b)
3
ln( )
u x x y
c)
ln sin .ln
x
u e y y x
d)
4 4 3
u x y xy
11. Cho
2 2
2 2
( , )
x y
f x y xy
x y
khi
( , ) (0;0)
x y
và
(0;0) 0
f
. Tính đạo hàm riêng
''
(0;0)
xy
f và
''
(0;0)
yx
f . Chỉ ra
rằng
'' ''
(0;0) (0;0)
xy yx
f f .
12. Tính vi phân cấp hai của hàm số
3
a)
4 2 3
3
u x xy y
b)
2 2 2
u x y z
, chứng minh
2
0
d u
.
c)
2 2 3
3 3
u x y z xy xz
tại điểm
(1;1;1)
M , tìm ma trận của dạng toàn phương
2
( )
d u M
với các
biến
, ,
dx dy dz
.
13. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba
a)
sin
x
u e y
b)
ln(1 )
y x y
c)
2 2
sin( )
u x y
14. Chứng minh
a)
. ' . ' 0
x y
y z x z
với
2 2
( )
z f x y
và
( )
f t
là hàm khả vi.
b)
. " . " 2 ' 0
xx xy x
x z y z z
với
2
( )
xy
z
x y
c)
" " 0
xx yy
z z
với
2 2
ln( )
z x y
d)
2
" . " ( " ) 0
xx yy xy
z z z
với
. ( / )
z y f x y
và
( )
f t
có đạo hàm cấp hai liên tục
15. Tìm hàm
( , )
z z x y
thỏa mãn
a)
' 2 4 , ' 3 4 , (0;1) 0
xy xy
x y
z ye z xe z
b)
2 2 2 2
' 2 3, ' 2 3
x y
z x xy z y x y
c)
2 4 5
" 12 2, ' 30 , (0;0) 1, (1;1) 2
xx y
z x y z x xy z z
16. Tính đạo theo hướng của vector
v
tại điểm
M
a)
2 2
, (1;1), (3;4)
u x y M v
b)
2 3
, (1;2;3), (1;2;2 5)
u xy z M v
17. Tìm cực trị của hàm số
a)
3 2
3 30 18
u x xy x y
b)
2 2
4( )
u x y x y
c)
y
u x y xe
d)
3 2
3 15 12
u x xy x y
e)
4 4 2 2
2
u x y x xy y
f)
2 2
ln( )
u xy x y
g)
2 2
1
u x xy y x y
h)
4 2 2
1
8 (1 )
4
u x x y x
i)
3 3
3
u x y xy
j)
4 4 2
3( )
u x y x y
k)
2 2 2
3 2 8 6
u x y z x y z
l)
2 2 4
3 12 8 2
u x y z y z
m)
3 2 2
12 2
u x y z xy z
18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số
a)
2 2
u x y
với
2 2
1
x y
b)
2
u x y
với
3
3 0
xy y
c)
2 2
12 2
u x xy y
với
2 2
4 25
x y
d)
2
3
u x y y
với
2 2
3
x y xy
e)
2 2
cos cos
u x y
với
4
x y
f)
2
1
2 khi
1
x y
u x y z
z xy
g)
2 2 2
u x y z
với
2 2
2
1
9 4
x y
z
h)
u xyz
với
2 2 2
1
0
x y z
x y z
19. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng
a)
u x y
trong miền
2 2
25
x y
b)
2 2
u x y
trong miền
2 2
1
4 9
x y
c)
2 2
3
u x y xy xy
trong miền
0 4, 0 3
x y
d)
2 2
3 2 2
u xy x y
trong miền
2 2
( , ) : 9
D x y x y
e)
2 2
2
u x xy y x
trong miền
2 2
0
x y
f)
2 2
u x xy y
trong miền
1
x y
f)
u x y z
trong miền
2 2
1
x y z
20. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
a)
3 3
4 5 12 0
y xy y x
tại điểm
(1;2)
M b)
2
3
( ) 0
x
x x y e y
tại điểm
(0;1)
M
c)
2 1
2 , 3 ,
t
x t y t z e
tại điểm
(2;3;1)
M , viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện.
4
21. Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong
a)
2 2 2
3 2 0
x y z
tại điểm
(1;1; 2)
M b)
0
xy z
tại điểm
(1;1;1)
M
Chương 2
TÍCH PHÂN BỘI
1. Tính các tích phân
a.
2
( )
D
I x xy dxdy
với D giới hạn bởi
, 2 , 2
y x y x x
(Đs
10
I
)
b.
D
I xydxdy
với D giới hạn bởi
2
4 0, 2
x y x y
(Đs
90
I
)
c.
2 2
D
xy
I dxdy
x y
với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3), B(3,0). (Đs
9ln 2
4
I )
d. cos( )
D
I x y dxdy
với D xác định bởi
0 ,0
D x y x
. (Đs
I
)
e.
2 2
D
x
I dxdy
x y
với D giới hạn bởi
2
,
2
x
y y x
(Đs
ln 2
I
.)
f.
2
( )
D
I x y dxdy
với D giới hạn bởi
2 2
,
y x x y
(Đs
33
140
I )
2. Đổi thứ tự lấy tích phân
a.
2
2
3
1
0
2
( , )
y
y
I dy f x y dx
(Đs
2
1
2 2 1 3 3
2
1
0 0 0 0
2
2
( , ) ( , ) ( , )
x x
I dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy
)
b.
2
1 2
0
2
( , )
x
x x
I dx f x y dy
(Đs
2
2 2
1 1
1 2 1
0 1
2 2
( , ) ( , )
y
y y
I dy f x y dx dy f x y dx
)
c.
2
1
1
0
1
( , )
y
y
dy f x y dx
(Đs
2
0 1 1 1
1 0 0 0
( , ) ( , )
x x
I dx f x y dy dx f x y dy
)
3. Đổi biến để tính tích phân
a.
D
I dxdy
với D giới hạn bởi
1 , 2 , 2 1, 2 3
y x y x y x y x
(Đ/s
2
3
I
)
b.
D
I xdxdy
với D xác định bởi
3, 2 1 2 5
x y x x y x
(ĐS
2
I
)
c.
3 2
( ) ( )
D
I x y x y dxdy
với D giới hạn bởi
1, 1, 3, 1
x y x y x y x y
(Đs
20
3
I )
d.
2 2
(4 3 )
D
I x x y dxdy
với D giới hạn bởi
2 2
4 3 0
x y x
(Đs
2
I
)
e.
2 2
ln(1 )
D
I x y dxdy
với D xác định bởi
2 2
1, . 0
x y x y
(Đs
2ln 2 1
2
I
)
f.
2 2
2 2 4
(4 )
x y
D
I x y e dxdy
với D xác định bởi
2 2
1 4
x y
5
g.
D
I xydxdy
với D là nửa trên của hình tròn
2 2
( 2) 4
x y
(Đs
32
3
I
)
h.
2 2
4
D
dxdy
I
x y
với D xác định bởi
2 2
2 ,
x y y x y
(Đs
3
4 2
2
I
)
k.
2
2
D
y
I xy x y dxdy
x
với D xác định bởi
2 2
1 2
x y x
(Đs
4 3
3 12
I
)
l.
2 2
( 1)sin
D
I x x y dxdy
với D xác định bởi
2 2 2 2
4
x y
(Đs
2
6
I
)
m.
2 2
D
I x y dxdy
với D là miền giới hạn bởi
i)
2 2 2
2 2 2
, 0
4
x y a
a
x y a
(Đs
3
14
3
a
I
)
ii) Đường hai cánh
sin 2 , 0
r a a
(Đs
3
4
9
a
I )
n.
2 2
2 2
sin
D
x y
I dxdy
x y
với D giới hạn bởi
2
2 2 2 2 2
,
4
x y x y
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a.
2 2
, 2
y x y x x
b.
cos , cos , 0
r a r b b a
(Đs
2 2
( )
4
b a
S
)
c.
(1 cos ), 0
r a a
(Đs
2
3
2
a
S
)
d.
2 2
2 cos2 ,
r a r a
ứng với phần
r a
. (Đs
2
3 3
3
S a
).
e.
0
y
và một nhịp của đường cycloid
( sin ), (1 cos ),0 2 , 0
x a t t y a t t a
(Đs
2
3
S a
)
f.
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
(Đs
2
S a
)
g.
2/3 2/3 2/3
0
x y a a
(Đs
2
3
8
a
S
)
h.
sin 2 0
r a a
5. Tính diện tích của phần mặt:
a.
2 2
z x y
nằm trong mặt trụ
2 2
1
x y
b.
2 2
2 2
x y
z
a b
nằm dưới mặt
1
z
c.
2 2
x y
z
a b
nằm trong mặt
2 2
2 2
1
x y
a b
với
, 0
a b
d.
2 2 2 2
x y z a
nằm trong mặt
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
e.
2 2 2
z x y
nằm trong hình trụ
2 2
1
x y
6. Tính thể tích
a. Phần hình nón
2 2 2
z x y
nằm trong mặt trụ
2 2
1
x y
b.Vật thể giới hạn bởi hai mặt
2 2 2 2 2 2
2 ,
x y z z x y z
lấy phần
2 2
z
x y
(Đs
V
)
6
c. Vật thể giới hạn bởi và
2 2 2 2
x y z a
và mặt
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
7. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường
a.
2
4 4
y x
và
2
2 4
y x
b.
2 2
1
25 9
x y
và
1
5 3
x y
c.
2
y x
và
2
x y
d.
(1 cos )
x a
8. Tính các tích phân
a.
2 2
V
I x y zdxdydz
với V giới hạn bởi
2 2
, 1
x y z z
(Đs
4
21
I
)
b.
V
I xy zdxdydz
với V giới hạn bởi
2
0, , , 1
z z y y x y
(Đs
8
189
I )
c.
2
V
I x dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
(Đs
3
4
15
a bc
I
)
d. | |
V
I xyz dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2
, 4
x y z z
(Đs
32
I
)
e.
2
V
I z dxdydz
với V xác định bởi
2 2 2 2 2 2
4, 4
x y z x y z z
(Đs
59
15
I
)
f.
2 2
V
I x y dxdydz
với V xác định bởi
2 2 2 2 2 2
1, , 0
x y z x y z z
(Đs
2
2
16
I
)
g.
V
I zdxdydz
với V xác định bởi
2 2
1
0 , 2 ,0 1
4
x x y x z x y
(
43
3072
I )
h.
2 2
V
I z x y dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2
2 , 0, 0
x y x z z a
(Đs
2
16
9
a
I )
i.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
với V là miền
2 2 2
x y z x
(Đs
10
I
)
j.
2 2
( )
V
I x y dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2
2 , 2
x y z z
(Đs
16
3
I
)
k.
2 2
V
I x z dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2 2 2
, 1
y x z y x z
(
2
2
16
I
)
l.
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2 2 2
3( ) 3 , 0
x y z a a
m.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
với V là miền
2
2 2
1 1
2 4
x y z
n.
2 2
( )
V
I x y dxdydz
với V là miền
2 2 2 2 2
, 0
a x y z b z
(Đs
5 5
4
( )
15
I b a
)
o.
2 2
1
V
I x y dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2
, ,0 1
z x y z a a
p.
2 2 2
V
I x y z dxdydz
với V giới hạn bởi
2 2 2
x y z z
(Đs
10
I
)
7
q.
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
với V là miền
2 2 2
2 2
1
3
x y z
a a
r.
2
V
I z dxdydz
với V là miền
2 2 2
4
x y z
(Đs
128
15
I
)
s. ( )
V
I xy yz xz dxdydz
với V là miền
2 2 2
4
x y z
t.
V
I ydxdydz
với V giới hạn bởi
2 2
, 0
y x z y a
9. Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang
a.
2
2 2
2 2
0 0 0
x x a
I dx dy z x y dz
hệ tọa độ trụ (Đ/s
2
8
9
a
I )
b.
2 2
2
2 2
2
1 1
2
0 0
x y
x
x y
I dx dy z dz
hệ tọa độ cầu
10. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a.
2 2
2 2 2
1
x y y
x y z
b.
2 2
2 2
2 2
2( )
2 0
z x y
z x y
x y x
c.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
4
, 0
x y z
x y z
x y z z
d.
3
2 1
4 2
x y z
x y z
x y z
11. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi
a.
2 2 2 2 2 2
2 , 3 , 0, 0
x y az x y z a z a
b.
2 2
1, , 0, 0, 0
x y z x y x y z
Chương3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
1. Tính các tích phân đường loại I
a)
I xyd
với
2 2
2 2
: 1
x y
a b
b)
2
I x d
và
2
2
3
2
y
J x d
với
2 2 2 2
:
0
x y z a
x y z
c)
( 2 )
I x y d
với
2 2 2 2
:
0
x y z a
x y z
d) 2
C
I yd
với C là đường cong
2 3
, , ,0 1
2 3
t t
x t y z t
e)
C
I xyd
với C là cung elip
2 2
2 2
1
x y
a b
nằm trong góc
, 0
x y
f)
C
I xyd
với C là đường cong cos , sin , ,0
2
x a t y b t z ct t
2. Tính khối lượng đường cong
8
a)
,0
2
x x
a a
a
y e e x a
biết khối lượng riêng là
1
( , )x y
y
b)
cos , sin , ,0 2
x a t y a t z bt t
biết khối lượng riêng là
2
( , , )
x y z z
3. Tìm chiều dài và trọng tâm của các đường đồng chất
a)
( sin ), (1 cos ),0 2
x a t t y a t t
b) cos , sin , ,0x a t y b t z ct t
4. Tính tích phân đường loại II
a)
2 2
( 2 ) ( 2 )
I x xy dx y xy dy
với
là đường
2
y x
nối
( 1;1)
A
và
(1;1)
B .
b)
( ) ( )
I x y dx x y dy
với
là đường elip
2 2
2 2
1
x y
a b
, lấy hướng dương.
c)
(2;3)
( 1;3)
I xdy ydx
d)
(2;3)
2 2
( 1;3)
xdx ydy
I
x y
e)
2
( 1)
AB
I xy dx x ydy
AB là đường
2
2
1
4
y
x
nối
(1;0)
A và
(0;2)
B
f)
( ) ( )
C
I xy x y dx xy x y dy
với C:
2 2
2
x y x
. Tính trực tiếp và sử dụng công thức Green
g)
2 2
AB
I x dx y dy
với AB là đường tròn
2 2
2
x y x
nối
(0;0)
A và
(2;0)
B .
h)
2 2 2
2( ) ( )
I x y dx x y dy
với
là tam giác
ABC
trong đó
(1;1), (2;2), (1;3)
A B C .
i)
3
2 2
( cos ) ( cos )
3
AB
x
I x y xy dx xy x x xy dy
với AB là cung tròn
2 2
4
x y
và
( 2;0), (2;0)
A B
.
j)
2 2
2 2 2 2
( 1) ( 1) 1
ln
x y
I x y dx y xy x x y dy
k)
2 2
3
4 2 2
1
( cos ) cos
3
x y
x
I xy x y xy dx xy x x xy dy
l)
2 2
2
4
( 3 2 ) 2
2
x y
x
I xy x y dx y x dy
m)
2 2
4
( ) ( )
x y x
I xy x y dx xy x y dy
n)
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
I x y dx xy dy
n’)
2 2
C
xdy ydx
x y
với C là đường cong kín đơn không qua
(0;0)
O
o)
( 2;0)
(2;0)
(1 ) (1 )
x y
I e x y dx x y dy
p)
2 2 2
C
I xy dx yz dy zx dz
trong đó C là đoạn thẳng nối
(0;0), ( 2;4;5)
O B
.
9
q) Vẫn tính tích phân trong p) với C là đường tròn trong không gian cho bởi
2 2 2
45
2 0
x y z
x y
.
r)
C
I zdx xdy ydz
trong đó C là đường
2 2 2
1
1
x y z
x z
s)
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
C
I y z dx z x dy x y dz
với C là giao tuyến của các mặt
2 2 2
4
x y z y
và
2 2
2 , 0
x y y z
. Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía
0
z
.
t)
( ) ( ) ( )
C
I y z dx z x dy x y dz
với C là giao tuyến của các mặt
2 2 2
9
0
x y z
x y z
. Tích phân
lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía
0
x
u) 3 3
C
I ydx dy zdz
với C là đường tròn
2 2
1
1
x y
z
. Tích phân lấy theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ nếu nhìn từ phía
0
z
.
v)
2 2 2
C
i x dx y dy z dz
với C là đường cong
2 2 2
2
4
x y z
z y
. Tích phân lấy theo chiều ngược
chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O.
5. Tính tích phân mặt loại I
a)
4
( 2 )
3
S
y
I z x ds
trong đó S là mặt
1
2 3 4
x y z
với
, , 0
x y z
.
b)
S
I yds
trong đó S là mặt
2
z x y
với.
0 1,0 2
x y
c)
2 2
( )
S
I x y ds
trong đó S là mặt
2 2 2
z x y
với.
0 1
z
.
d)
( )
S
I x y z ds
với S là phần mặt
2 2 2
x y z
nằm trong góc
, , 0
x y z
e)
2
1
S
I x y ds
với S là phần mặt
2
4 16
y z
cắt bởi
0, 1, 0
x x z
6. Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt
2 2
, 1
z x y z
nếu khối lượng riêng là ( , , )
x y z z
.
7. Tính tích phân mặt loại II
a)
S
I xyzdxdy
trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
1; , 0
x y z x y
.
b)
2
S
I xdydz dzdx xz dxdy
trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
1; , , 0
x y z x y z
.
c)
2 2 2
S
I x dydz y dzdx z dxdy
trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
4
x y z
.
d) Tính tích phân như trong c) với S là phía ngoài của mặt nón
2 2 2
,0 4
z x y z
.
e)
S
I xdydz ydzdx zdxdy
với S là phía ngoài mặt paraboloid
2 2
, 1
z x y z
f)
S
I xzdydz yzdzdx dxdy
với S là phía ngoài của chỏm cầu
2 2 2
25
x y z
cắt bởi
3
z
10
g)
S
I xdydz ydzdx zdxdy
trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
4
x y z
.
h)
3 3 3
S
I x dydz y dzdx z dxdy
trong đó S là phía ngoài của mặt cầu
2 2 2
9
x y z
.
i)
2 2
S
I xzdydz yx dzdx zy dxdy
trong đó S là phía ngoài của mặt
2 2
9, 0, 9
x y z z
.
k) ( ) ( ) ( )
S
I y z dydz z x dzdx x y dxdy
trong đó S là phía ngoài của mặt
2 2
,0 1
4 9
y z
x x
.
Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.
2 2 2 2
(1 ) (1 ) 0
x y dx y x dy
2.
'cos2 sin 0
y y y
3.
1
' 1
y
x y
4.
' cos( )
y x y
5.
2 2
1 1 0, (0) 1
x y dx y x dy y
6.
2 2
( 1) ' 4, (1) 2
x y y y
7.
2
sin cos2 2
'
1
x x
y
y
8.
3
' ( ')
x y y
9.
( ) ( ) 0
y x dx x y dy
10.
2
2
' 2
1
y
y
x y
11.
1
'
3
x y
y
x y
12.
2 2
xdy ydx x y dx
13.
2
' 2
x
y xy xe
14.
2 2 3
(1 ) ' 2 (1 )
x y xy x
15.
2
(1 ) ' 1, (0) 0
x y xy y
16.
2
( 1) ( 3) 0
x y dx x y dy
17.
2 2
1
'xy y
x y
18.
2 '
( ') 0
y
y y e
19.
3 3
( ') 3 '
y y yy
20.
2 3
( ') ( ')
y x y y
21.
2
' 2
y
xy x e
22.
3
'
yy xy x
23.
"
" " 0
y
x y e y
24.
1
"y
y
[...]... ' y z 41 y ' y 3z y2 y' z 42 z ' y 2 y ' z 43 z2 z' y x y ' 2 y z 2e 44 x z ' 3 y 2 z 4e y ' y z x 45 z ' y 5z 11 BÀITẬP ÔN TẬPHỌCKỲ 1 Xét tính liên tục của hàm số 2 x2 ( x2 2 y 2 ) khi x 2 2 y 2 4 4 a) f x, y x 4 y m khi x 2 2 y 2 b) x2 sin 1 cos 21y x f x , y e 1 c) x2 4 y2... bao quanh gốc tọa độ Trong trường j) x2 y2 C hợp này có áp dụng công thức Green được không? 2 2 2 k) Tìm điều kiện của m để tích phân đường (3 x 2 y )dx (mxy 3 y 4)dy không phụ thuộc vào AB đường cong nối A(1;3) và B (2; 4) Hãy tính tích phân đó 10 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân a) y 3 y 2 y 4 xe x b) y 4 y 3 y x 1 e2 x c) y " 4 y ' y ... x sin x y sin x x w) sin 2 y x 2 dx x sin 2 ydy 0 bằng cách nhân thêm thừa số tích phân 1 x2 y với điều kiện y 1 x 2 x y) xy 2 y xy e bằng phép đổi biến z x y z) x 2 y " xy ' y x bằng phép đổi biến x et x) xy y x sin Chúc các em ngày càng tiến bộ, họctập đạt kết quả cao! 15 ... x, 0 z 4 V 7 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt a) z x 2 y 2 1 và z 3 b) x 2 y 2 z 2 2 3 xyz nằm trong góc x, y, z 0 c) z x 2 y 2 , 2 y z 8 d) ( x 2 y 2 z 2 )2 4 z ( x 2 y 2 ) nằm trong góc x, y, z 0 e) 2 z x 2 y 2 , z 8 x 2 y 2 f) ( x 2)2 y 2 4, x 2 y 2 z 2 16 g) x 2 y 2 4 và x 2 z 2 4 8 Tính diện tích a) Hình phẳng giới hạn... phẳng giới hạn bởi đường cong x 2 y 2 2 x 2 y 2 d) Mặt paraboloid z x 2 y 2 nằm trong mặt trụ x 2 y 2 4 e) Mặt cầu x 2 y 2 z 2 9 nằm trong mặt trụ x 2 y 2 3x 9 Tính tích phân đường, tích phân mặt a) ( x 2 y )ds với là nửa phía trên trục hoành của cung tròn x 2 y 2 1 AB AB b) y z dydz z x dzdx x y dxdy với S là mặt mặt nón x 2 y 2 z... định bởi hệ thức: yz e z xe y 0 Tính dz 1;0 Áp dụng tính gần đúng z 0,95;0, 05 e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức: x3 y 3 xy 1 0 Tính d 2 y tại điểm x 0 27 6 Tính tích phân bội x2 y 2 z2 4 a) ze dxdydz với V xác định bởi 2 2 V z x y b) ( x y )3 ( x y ) dxdy với D là miền được x2 y 2 giới hạn bởi các D x y 1, x y 3, x y ... y dzdx z dxdy với S là mặt nón x y z 0 z 1 có pháp tuyến hướng ra phía S ngoài d) y z dx z x dy x y dz trong đó C là đường x 2 y 2 4 , C x z 1 chiều lấy tích phân 2 3 ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz 2 2 e) xdydz ydzdx zdxdy với S là mặt ngoài của hình trụ x y 4, 0 z 2 có pháp tuyến hướng S ra phía ngoài 2 2 x . 1
BÀI TẬP GIẢI TÍCH II
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt,
phương. 0, 0, 0
x y z x y x y z
Chương3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
1. Tính các tích phân đường loại I
a)
I xyd
với
2 2
2