Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT Hệ PT) 04 ĐỊNH LÝ VI-ÉT (Phần 1) Khi phương trình ax bx c có hai nghiệm phân biệt x1 x2 ta có hệ thức Vi-ét: b S x1 x2 a P x x c a Một số kết cần lưu ý: x12 x22 x1 x2 x1 x2 S P x13 x23 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 S 3SP x14 x24 x12 x22 x12 x22 S P P 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 S P 2 Chú ý: b 4ac b Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt S x1 x2 0 a x1 ; x2 c P x1 x2 a b 4ac b Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt S x1 x2 0 a x1 ; x2 c P x1 x2 a Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac < Phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn α b 4ac b 4ac b b x1 x2 2α S x1 x2 2α S x1 x2 2α a a x1 , x2 α x α x α b x1 x2 α x1 x2 α c a α a α Phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ α b 4ac b 4ac b b x1 x2 2α S x1 x2 2α S x1 x2 2α a a x1 , x2 α x α x α b x1 x2 α x1 x2 α c a α a α Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác α g α x1 ; x2 α aα bα c Phương trình có nghiệm nghiệm lớn α x1 x2 b α x1 x2 b α x1 x2 b α x1 x2 b α 2a 2a 2a 2a c b x1 x2 α x1 x2 α x1 α x2 α x1 α x2 α α a a Phương trình có nghiệm nghiệm nhỏ α x1 x2 b α x1 x2 b α x1 x2 b α x1 x2 b α 2a 2a 2a 2a c b x1 x2 α x1 x2 α x1 α x2 α x1 α x2 α α2 a a Ví dụ [ĐVH] Cho phương trình m 1 x 4mx 2m 0, 1 a) Giải biện luận phương trình cho b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm nhỏ 1 Lời giải: a) Giải biện luận phương trình Nếu m + = m = 1 1 4 x x Nếu m + m 1 (1) phương trình bậc hai có 4m m 1 2m 3 2m 5m +) Nếu 2m 5m m (1) vơ nghiệm m 3 b 2m +) Nếu 2m 5m (1) có nghiệm kép x m a m 1 m +) Nếu 2m 5m (1) có nghiệm phân biệt m x1;2 2m 2m 5m m 1 m b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2m 5m m Gọi hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với x2 > x1 b 4m x x a m 1 Theo định lí Vi-ét ta có x x c 2m a m 1 1 m 4m x1 x2 m m 1 vno Hai nghiệm dương m 3 x1 x2 m 0 m 2 * x1 1 x2 1 c) Hai nghiệm nhỏ 1 x1 x2 2 2m 4m m 1 m 1 m x1 x2 x1 x2 m m m m x1 x2 2 4m 2 4m m 1 m m Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn hai nghiệm phân biệt ta < m < giá trị cần tìm Ví dụ [ĐVH] Cho phương trình x x mx 2m 1 0, 1 a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, có hai nghiệm âm c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 x22 x32 Lời giải: x 2 a) Ta có 1 g ( x) x mx 2m 0, Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 m 4 2 m 1 2m g m 8m m 4 Điều xảy * m g ( 2) m m m m 4 Vậy với m 4 phương trình cho có nghiệm phân biệt m b) Do nghiệm x = 2 < nên để (1) có nghiệm nghiệm âm (2) phải có hai nghiệm trái dấu Từ ta có P 2m m Giá trị thỏa mãn điều kiện (*) nên giá trị cần tìm c) Khơng tính tổng qt, giả sử x1 = 2 Khi x2 ; x3 hai nghiệm phân biệt (2) x2 x3 m Theo định lí Vi-ét ta x2 x3 2m Khi x12 x22 x32 x2 x3 x2 x3 m 1 2m m 4m 5 m Kết hợp với điều kiện (*) ta 4 m giá trị cần tìm Ví dụ [ĐVH] Cho phương trình x x 15 có nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình, tính: A x12 x22 , B x13 x23 , C x14 x24 Lời giải: Vì a, c trái dấu nên phương trình có nghiệm x1 , x2 Ta có: b c S x1 x2 2; P x1 x2 15 nên : a a A x12 x22 x1 x2 x1 x2 30 34 B x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 90 98 C x14 x24 x12 x22 x1 x2 342 15 706 2 Ví dụ [ĐVH] Cho phương trình x x có nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình, tính: 1 E , D x1 x2 , F x1 x2 x2 x1 x1 x2 Lời giải: Ta có : S x1 x2 3; P x1 x2 7 nên D x12 x12 x1 x2 S P D S P 37 E x1 x2 S x2 x1 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 P S F x1 x2 x12 x22 x1 x2 3S P Ví dụ [ĐVH] Cho phương trình bậc hai ax bx c 0, a có nghiệm x1 , x2 Chứng minh ax bx c a x x1 x x2 Áp dụng phân tích thừa số: f x 2 x x 4, g x x2 x Lời giải: b c Ta có x1 x2 x1 x2 a a b c Do ax bx c a x x a x x1 x2 x x1 x2 a x1 x2 x x2 a a 1 Vì f x có hai nghiệm 4 nên phân tích thành f x 2 x x x 1 x 2 2 nên phân tích thành 1 x x x x Vì g x có hai nghiệm g x Ví dụ [ĐVH] x x 12 x x 20 , B a) Đơn giản A x x 12 x 10 x 24 b) Phân tích thành nhân tử P x, y x x y x y x xy x Lời giải: x x 12 x x 3 x a) A ,x3 x x 12 x4 x 3 x 2 x x 20 x x x B , x 2 x 10 x 24 x x x b) Ta viết thành tam thức bậc hai theo y P x, y x y x x y x x x Biệt số Δ' x x x x x x 1 x nên y1 x x x3 x x x3 y Vậy P x, y xy x x xy x x x2 x2 Ví dụ [ĐVH] Tìm giá trị m để phương trình : a) x x m có nghiệm x1, x2 mà x13 x23 40 b) x 4m 1 x , 4 có nghiệm hiệu số nghiệm lớn nghiệm bé 17 Lời giải: a) Điều kiện có nghiệm Δ m 1 m hay m Khi x1 x2 x1 x2 m Ta có : x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 43 12 m 1 76 12m nên x13 x23 40 76 12m 40 12m 36 m (thỏa mãn) b) Δ 4m 1 m 16m 33 0, m, Ta có x1 x2 4m 1 , x1 x2 m Giả sử x1 x2 x1 x2 17 x1 x2 289 x1 x2 x1 x2 289 16m 33 289 m 16 m 4 2 Ví dụ [ĐVH] Cho phương trình bậc hai m x m 1 m a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x12 x22 x1 x2 b) Tìm hệt thức x1 , x2 không phụ thuộc vào m x 1 x 1 c) Lập phương trình bậc hai có nghiệm: X , X x1 x2 a) x x x1 x2 x1 x2 2 2 Lời giải: x1 x2 x1 x2 hay S P S Điều kiện phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x12 x22 x1 x2 : 2m 3m m 1 hay m Δ' m hay m m 2 2 m m 1 S P S 4 m 3m m 13 2 m2 m2 m2 2 m 1 m 3 3 m 5 2 m 2 ;P 1 b) S m2 m2 m2 m2 m2 m2 Khử m ta có 5S P 5S P hay x1 x2 x1 x2 Đây hệ thức x1 , x2 không phụ thuộc vào m c) Để lập phương trình bậc hai có nghiệm X , X ta tính X X X X Ta có : X1 X X1 X x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 1 x2 1 x1 1 2P 2 4m x1 x2 x1 x2 x1 x2 P S 2m x1 1 x2 1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 P S 2m x1 x2 x1 x2 x1 x2 P S 2m Vậy phương trình cần tìm là: X SX P hay 2m X 4m X 2m Ví dụ [ĐVH] Cho a, b, c ba số khác nhau, c Chứng minh hai phương trình x ax bc x bx ca có nghiệm chung nghiệm cịn lại chúng thỏ mãn phương trình x cx ab Lời giải: Giả sử α nghiệm chung hai phương trình x ax bc (1) x bx ca (2) α aα bc Ta có: α a b c b a α c a b α c α bα ca Thay α c vào (1) ta có c ac bc c a b c a b c Mặt khác, theo định lý Vi-et phương trình (1) cịn có nghiệm b, phương tình (2) cịn có nghiệm a Theo định lý Vi-et đảo, a b hai nghiệm phương trình x a b x ab x cx ab (đpcm) Ví dụ 10 [ĐVH] Cho phương trình x 2(2m 1) x 4m 0, * a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tính theo m, biểu thức A x13 x23 d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 ; x22 Lời giải: a) x 2(2m 1) x 4m Δ ' 2m 1 4m 4m m Như để PT có nghiệm x1 x2 Δ ' 4m m x1 x2 2m 1 b) Theo Vi-et ta có: x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 4m Đây biểu thức x1 x2 độc lập với m c) A x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4m 4m 3 4m 64m3 48m 24m 10 3 d) Do vai trò x1 x2 nên khơng tính tổng qt giả sử x1 x2 Kết hợp với hệ thức Vi-et ta có hệ: x1 x2 x1 x2 2m 1 x m 4 x2 2m 1 3m m m 28 x1 x2 4m x 3x 3 m 4m x m 2 2 x1 x2 2m 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2m 1 4m 3 16m 8m e) Ta có: 2 2 x1 x2 4m x1 x2 4m 3 16m 24m 2 Do x12 ; x22 nghiệm PT: t 16m 8m t 16m 24m Ví dụ 11 [ĐVH] Cho phương trình x 2(m 1) x m 3m 0, * a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm cịn lại b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 x22 Lời giải: m a) PT có nghiệm x = nên 02 m 1 m 3m m x Với m x x nên nghiệm lại 2 x 2 x Với m x x nên nghiệm lại x x x m 1 x1 x2 m 1 x12 x22 x1 x2 b) Ta có 2 x1 x2 1 x1 x2 1 m 3m Đây hệ thức cần tìm c) Để PT có nghiệm Δ ' m 1 m 3m m m 1 m 2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 m 1 m 3m 2m 2m m 1 Vậy m m 1 giá trị cần tìm Ví dụ 12 [ĐVH] Cho phương trình x 2(m 2) x m(m 3) Tìm m để a) phương trình có hai nghiệm trái dấu? b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt? c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? d) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x13 x23 Lời giải: a) Để PT có nghiệm trái dấu ac m m m b) Để PT có nghiệm dương phân biệt : m 2 m m 3 Δ ' m m 3, m m P m m 3 S m 2 m m 2 m m 3 Δ ' m m 3, m m c) PT có nghiệm âm phân biệt : P m m 3 S m 2 m d) Để PT có nghiệm x1 ; x2 Δ ' m m m 3 m m x1 x2 m Theo Viet ta có: x1 x2 m m 3 x13 x23 x1 x2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 m m (TM) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 13 [ĐVH] Cho phương trình x 2(m 1) x m Tìm m để a) phương trình có hai nghiệm trái dấu? b) phương trình có hai nghiệm âm phân biệt? c) phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? d) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 x22 Lời giải: Xét phương trình x 2(m 1) x m 2 Ta có Δ ' (m 1) m 2m Để phương trình có nghiệm Δ ' 2m m , giả sử phương trình cho có nghiệm là: x1 , x2 x1 x2 2(1 m) Theo định lý Vi-et, ta có: (*) x1.x2 m a) Để phương trình có nghiệm trái dấu x1.x2 m vơ lí! Với m Vậy khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm trái dấu 2(1 m) x x b) Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 1 m m x1.x2 Mặt khác kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm: m Vơ lí! Vậy khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm âm phân biệt 2(1 m) x x c) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 1 m x1.x2 m Kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm m 1 với m phương trình cho có 2 nghiệm dương phân biệt d) Từ (*), ta suy x12 x22 ( x1 x2 ) x1.x2 4(1 m) 2m 2m 8m Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 x22 14 m 2m 8m 2m 8m 14 m Kết hợp với điều kiện m 14 m 2 Ví dụ 14 [ĐVH] Cho phương trình m 1 x 2mx m a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình x x c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x2 x1 a) m 1 x 2mx m Lời giải: Δ ' m (m 1)(m 1) Phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Với m , giả sử phương trình cho có nghiệm là: x1 , x2 2m x1 x2 m Theo định lý Vi-et, ta có: (*) x x m m m 1 m 5m 4m m Phương trình có tích hai nghiệm m 1 2m m Vậy Khi x1 x2 m 1 x1 x2 x x c) Phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x2 x1 x12 x22 2(( x1 x2 ) x1.x2 ) x1 x2 x1.x2 4m (m 1) 2( x1 x2 ) x1 x2 0 (m 1) 2 4m m 1 Vơ lí! Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn điều kiện đề (m 1) Ví dụ 15 [ĐVH] Phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1, x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà khơng phụ thuộc vào m Lời giải: a) mx – 2(m + 1)x + m – = Δ ' (m 1) m(m 4) 6m 1 Để phương trình có nghiệm Δ ' 6m m Vậy với m phương trình có nghiệm b) Phương trình có nghiệm m thỏa mãn 2(m 1) x1 x2 m Theo định lý Vi-et ta có (*) x x m m m4 00m4 Phương trình có nghiệm trái dấu x1.x2 m 2(m 1) x1 x2 Với điều kiện m m Do đó, nghiệm dương phương trình có giá trị tuyệt đối lớn c) Các nghiệm x1, x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = x1 x2 2(m 1) x1 x2 x2 m Thay biểu thức vào (*), ta có: x x (3 x ) x m 2 m 3m 2m m 2(m 1) x2 x2 3m 3m 3m 4 x x m 4 (m 2) m m m 9m 3m m 1 65 m 4(m 4m 4) 9m(m 2) m(m 4) 4m 2m 16 2m m 1 65 m 1 65 Kết hợp với điều kiện m m d) Giả sử có tồn hệ thức liên hệ x1, x2 mà không phụ thuộc vào m : x1 x2 a.x1.x2 k (a,k giá trị cần phải tìm) 2(m 1) a (m 4) (2 a )m 4a m m m (2 a )m 4a 4a k m (2 a ) k m m m a 2 4a xx Vậy hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m x1 x2 2 2 a k k Từ (*), ta suy x1 x2 a.x1.x2 ... x2 1? ?? x2 1? ?? x1 1? ?? 2P 2 4m x1 x2 x1 x2 x1 x2 P S 2m x1 1? ?? x2 1? ?? x2 x1 x1 x2 x1 x2 P S 2m x1 x2 x1 x2 x1 ... x1 x2 ? ?15 nên : a a A x12 x22 x1 x2 x1 x2 30 34 B x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 90 98 C x14 x24 x12 x22 x1 x2 342 ? ?15 ... m ? ?1 x1 x2 x x c) Phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x2 x1 x12 x22 2(( x1 x2 ) x1.x2 ) x1 x2 x1.x2 4m (m 1) 2( x1 x2 ) x1 x2 0 (m 1)