Bài viết bàn về vấn đề ứng dụng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên trong xác suất - thống kê để xác định giá kỳ vọng của cổ phiếu thông qua mô hình nhị phân và trình bày cách ước lượng các tham số trong mô hình nhằm ứng dụng phương pháp học theo dự án trong giảng dạy tại Trường Đại học Tài chính - Marketing.
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 15 SỬ DỤNG MƠ HÌNH NHỊ PHÂN XÁC ĐỊNH GIÁ KỲ VỌNG CỦA CỔ PHIẾU ThS Nguyễn Trung Đơng* Tóm tắt Ngày nay, đổi phương pháp dạy học cần thiết để đáp ứng yêu cầu đổi toàn diện giáo dục Việt Nam Phương pháp dạy học tích cực nói chung phương pháp dạy học theo dự án nói riêng thể mạnh dạy học bậc đại học, đặc biệt việc dạy học môn Lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng Bài viết bàn vấn đề ứng dụng kỳ vọng biến ngẫu nhiên xác suất - thống kê để xác định giá kỳ vọng cổ phiếu thơng qua mơ hình nhị phân trình bày cách ước lượng tham số mơ hình nhằm ứng dụng phương pháp học theo dự án giảng dạy Trường Đại học Tài - Marketing Từ khóa: Biến ngẫu nhiên, kỳ vọng, mơ hình nhị phân Đặt vấn đề Nghị số 29-NQ/TW Ban Chấp hành Trung ương ban hành ngày 04/11/2013 nêu rõ nhiệm vụ giáo dục Việt Nam nói chung phải “tiếp tục đổi phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học” Việc đổi phương pháp giảng dạy bậc đại học thực phạm vi toàn quốc Trong năm vừa qua, đội ngũ giảng viên Bộ mơn Tốn - Thống kê Trường Đại học Tài - Marketing khơng ngừng nỗ lực học tập nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ đổi phương pháp giảng dạy tích cực vào việc giảng dạy mơn Lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng Bài viết giới thiệu việc ứng dụng kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc để xác định kỳ vọng giá cổ phiếu mơ hình nhị phân qua đó, trình bày cách ước tham số mơ hình nhị phân phương pháp thực nghiệm Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc Xét phép thử τ với không gian mẫu Ω Giả sử, ứng với biến số sơ cấp w ∈ Ω, ta liên kết với số thực X gọi biến số ngẫu nhiên * Bộ mơn Tốn - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài - Marketing 123 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Khi X ( Ω ) tập hợp hữu hạn {x1 , x , , x k } dãy {x1 , x , , x n , } , ta nói X biến số ngẫu nhiên rời rạc với X ( Ω ) = {x1 , x , , x n , } Giả sử Xét biến số ngẫu nhiên rời rạc x1 < x < L < x n < L, ta lập bảng giá trị tương ứng: X x1 x2 xn P p1 p2 pn với pi = P ( X = x i ) , gọi bảng phân phối xác suất X Kỳ vọng X xác định : E ( X ) = ∑ x i pi Tính chất: i (i) E ( C ) = C với C số (ii) E ( aX + bY ) = aE ( X ) + bE ( Y ) (với a, b ∈ ¡ X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên) Mơ hình nhị phân Mơ hình nhị phân (Binomial Tree Model - BT) mơ hình đơn giản mô tả động thái giá cổ phiếu Năm 1979, J.C Cox - Ross - M Rubinstein báo “Option Pricing: A Simplified Approach” (Journal of Financial Economics - 1979) đề xuất mơ hình với mục tiêu sử dụng mơ hình để định giá quyền chọn cổ phiếu Mơ hình cịn có tên gọi “mơ hình Cox - Ross - Rubinstein” (mơ hình CRR) Giả thiết mơ hình Cho S0 giá cổ phiếu thời điểm t = Chu kỳ [0,T] chia thành n khoảng thời gian với độ dài ∆t nhỏ Ký hiệu: S1 , S2 , , Sn giá cổ phiếu thời điểm ∆t, 2∆t, , n∆t Giả thiết quy luật diễn biến giá cổ phiếu: Tại thời điểm có hai khả xảy giá cổ phiếu: +) Với xác suất p ( p > ), giá tăng theo hệ số u ( u > ) +) Với xác suất (1 − p) , giá giảm theo hệ số d ( < d < ) Ta gọi quy luật “quy luật nhị phân” với xác suất p Mơ hình Với n = 1, 2, ta có mơ hình nhị phân giá cổ phiếu n - giai đoạn tương ứng 124 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 3.1 Mơ hình nhị phân giai đoạn Với giá cổ phiếu đầu kỳ S0, ta có giá cổ phiếu giai đoạn 1: Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu giai đoạn: S1 uS0 dS0 P p 1− p Giá kỳ vọng cổ phiếu giai đoạn: E ( S1 ) = puS0 + (1 − p ) dS0 3.2 Mơ hình nhị phân hai giai đoạn Với giá cổ phiếu đầu kỳ S0 , ta có giá cổ phiếu giai đoạn 1: Theo quy luật nhị phân lại, ta có giá cổ phiếu giai đoạn 2: Suy ra, động thái giá cổ phiếu theo mơ hình nhị phân hai giai đoạn: Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu giai đoạn: S2 u 2S0 udS0 d 2S0 P p2 2p (1 − p ) (1 − p )2 Giá kỳ vọng cổ phiếu hai giai đoạn: E ( S2 ) = p u 2S0 + 2udp (1 − p ) S0 + (1 − p ) d 2S0 125 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 3.3 Mơ hình nhị phân n giai đoạn Một cách tổng qt, ta có mơ hình nhị phân n giai đoạn giá cổ phiếu sau: Phân phối xác suất Sn có dạng: ( ) i n −i i i n −i P Sn = u d S0 = Cn p (1 − p) n! với i = 0, 1, 2, , n Cin = i!(n − i)! (1) Mức giá u i d n −iS0 ứng với trường hợp: n giai đoạn, giá cổ phiếu có i giai đoạn tăng (n − i) giai đoạn giảm Có thể xem phân phối xác suất Sn tương ứng với n phép thử Bernoulli với hai khả năng: giá tăng, giá giảm thuộc lớp phân bố nhị thức B(n;p) với giá trị u i d n −iS0 , i = 0, 1, 2, , n Chú ý: Với nhị phân n giai đoạn trình giá cổ phiếu có 2n quỹ đạo, chứng minh kết sau: +) Nếu n đủ lớn mơ hình nhị phân xấp xỉ q trình Random Walk (bước ngẫu nhiên) +) Nếu cho n → ∞ mơ hình nhị phân có giới hạn chuyển động Brown Ví dụ Giá cổ phiếu A 100$ với khả giá tăng 70% Nếu sau phiên giao dịch giá cổ phiếu A tăng lên 25% giảm xuống 20% so với giá Sử dụng mơ hình nhị phân ba giai đoạn tính giá kỳ vọng cổ phiếu A Giải: Ta có: S0 = 100$ ; u = 1, 25 ; d = 0,8 ; p = 0,7 Áp dụng công thức (1), ta có: Hay: P(S3 = u i d 3−iS0 ) = C3i pi (1 − p)3−i P(S3 = (1, 25)i (0,8)3−i100) = C3i (0,7)i (0,3)3−i Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu giai đoạn: S3 51,2 80 125 195,3125 P 0,027 0,189 0,441 0,343 Giá kỳ vọng cổ phiếu A qua giai đoạn: E ( S3 ) = ∑ piS3,i = 138,62$ i =0 126 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 3.4 Ước lượng tham số mơ hình nhị phân Mơ hình có tham số: u, d p Để mơ quỹ đạo giá, ta cần ước lượng tham số 3.4.1 Ước lượng đơn giản từ số liệu giá cổ phiếu thị trường Ta ước lượng tham số u, d p mơ hình nhị phân theo cách đơn giản sau: Bước Thu thập số liệu giá đóng cửa phiên giao dịch cổ phiếu chu kỳ (thường lấy số liệu năm gần nhất) Bước Chọn ngẫu nhiên chu kỳ chu kỳ Bước Tính số phiên giao dịch giá tăng tính tỷ lệ số phiên so với tổng số phiên chu kỳ Ước lượng p (xác suất giá cổ phiếu tăng sau phiên) trung bình tỷ lệ Bước Tính tỷ lệ tăng giá, tỷ lệ giảm giá trung bình ứng với chu kỳ con: g u , g d ước lượng: u = + gu , d = − gd 3.4.2 Ước lượng từ tham số lợi suất cổ phiếu Nếu ước lượng lợi suất kỳ vọng ( µ ) phương sai (σ ) cổ phiếu, ta sử dụng hai tham số để ước lượng tham số mơ hình nhị phân Kỳ vọng lợi suất cổ phiếu: u E(r) = np ln + n ln ( d ) d Phương sai lợi suất cổ phiếu: (2) u var ( r ) = np(1 − p) ln d Nếu ta ước lượng kỳ vọng (µ) phương sai (σ ) lợi suất cổ phiếu, ta ước lượng tham số u, d p từ hệ phương trình: u np ln + n ln ( d ) = µ d u np(1 − p) ln = σ2 d Cox - Ross - Rubinstein đưa lời giải xấp xỉ sau: u = eσ∆t ,d = / u p = e r∆t − d (r lãi suất phi rủi ro) u −d u = eσ∆t ,d = / u p = 1µ + 2σ n 127 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Ví dụ Giá đóng cửa cổ phiếu HAP (Cơng ty Cổ phần Tập đoàn Hapaco) ngày 13/12/2006 23.845 đồng Nếu sau phiên giao dịch, giá HAP với khả 70% - 30% tăng, giảm 5% so với giá tham chiếu lúc mở cửa a) Sử dụng mô hình nhị phân giai đoạn tính giá kỳ vọng cổ phiếu HAP b) Hãy sử dụng mơ hình nhị phân để ước lượng giá (kỳ vọng) sau phiên Giải: a) Ta có: S0 = 23845 đồng; u = 1,05 ; d = 0,95 ; p = 0,7 Áp dụng cơng thức (1), ta có: Hay: P(S5 = u i d 5−iS0 ) = Ci5pi (1 − p)5−i P S5 = (1,05)i (0,95)5−i 23845 = Ci5 (0,7)i (0,3)5−i Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu HAP: S3 18450,80645 20392,99661 22539,62783 24912,22023 27534,5592 30432,93386 P 0,00243 0,02835 0,1323 0,3087 0,36015 0,16807 Giá kỳ vọng cổ phiếu HAP: E ( S5 ) = ∑ piS5,i = 26326,80675 đồng i =0 b) Ta có S0 = 23845 đồng Theo mơ hình nhị phân ta có: p = 0,7; u = 1,05; d = 0,95 n = Ta tính lợi suất kỳ vọng cổ phiếu HAP sau phiên giao dịch: Áp dụng cơng thức (2), ta có: 1,05 u rHAP = np ln + n ln(d) = ⋅ 0,7 ⋅ ln + ⋅ ln(0,95) ≈ 0,09383 d 0,95 Giá kỳ vọng sau phiên giao dịch cổ phiếu HAP: E ( S5 ) = S0 (1 + rHAP ) = 23845(1 + 0,09383) ≈ 26082, 27 đồng Ngày 20/12/2006 (sau phiên) cổ phiếu HAP có giá 25720 đồng, so sánh với giá ước lượng sai lệch 1,44% Như vậy, mơ hình nhị phân mơ tả tương đối xác (trong ngắn hạn) giá cổ phiếu HAP Ví dụ Chuỗi giá cổ phiếu FPT từ ngày 04/01/2021 đến ngày 08/09/2021 có 167 phiên giao dịch (xem Phụ lục) Giá đóng cửa cổ phiếu FPT ngày 04/01/2021 51,2682 nghìn đồng Hãy ước lượng tham số p, u, d sử dụng mô hình nhị phân để ước lượng giá (kỳ vọng) sau phiên 128 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Giải: Từ 167 quan sát chuỗi giá FPT, ta tính số liệu: Mẫu Tỷ lệ phiên giá tăng Tỷ lệ tăng giá trung bình Tỷ lệ giảm giá trung bình 50 phiên đầu 0,54 2,315% 1,778% 100 phiên đầu 0,54 2,018% 1,447% Trung bình 0,54 2,167% 1,613% Với tỷ lệ trên, ta ước lượng: p ≈ 0,54; u ≈ + 0,02167 = 1,02167; d ≈ − 0,01613 = 0,9839 Áp dụng công thức (2), ta có: 1,02167 u rFPT = np ln + n ln(d) = ⋅ 0,54 ⋅ ln + ⋅ ln(0,9839) ≈ 0,0206 d 0,9839 Giá kỳ vọng sau phiên giao dịch cổ phiếu FPT: E ( S5 ) = S0 (1 + rFPT ) = 51, 2682(1 + 0,0206) = 52,3244 nghìn đồng Ngày 11/01/2021 (sau phiên), cổ phiếu FPT có giá 55,1006 nghìn đồng So với thực tế sai lệch 5,04% Kết luận Lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng mơn có nhiều ứng dụng cho chuyên ngành Kinh tế đặc biệt chuyên ngành Tài - Ngân hàng Để nâng cao hiệu việc giảng dạy môn Lý thuyết xác suất thống kê ứng dụng nói riêng mơn khoa học nói chung, viết trình bày ứng dụng kỳ vọng biến ngẫu nhiên có liên quan tới mơn học nhằm tạo động lực cho sinh viên tích cực nghiên cứu học tập mơn chương trình đào tạo trường đáp ứng chuẩn đầu TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Hữu Phước, Lê Thị Lanh, Phan Thị Hiếu (2014), Tài doanh nghiệp, NXB Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh David Blake (2000), Financial Market Analysis, John-Wiley & Sons Ltd Hoàng Đình T́n (2010), Mơ hình phân tích định giá tài sản tài chính, Tập Tập 2, NXB Khoa học và Kỹ thuật Jean - Paul Chavas (2004), Risk Analysis in Theory and Practice, Elsevier Academic Pres Nguyễn Bá Kim (2015), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Huy Hồng, Nguyễn Trung Đơng (2017), Bài giảng mơ hình định giá tài sản tài 129 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN PHỤ LỤC Giá đóng cửa cổ phiếu FPT từ ngày 04/01/2021 đến 08/9/2021 TG Giá TG Giá TG Giá TG Giá TG Giá TG Giá 08/9 93.1 28/7 91.035 18/6 82.921 11/5 72.559 29/3 66.0866 17/2 66.3421 07/9 93.5 27/7 92.2224 17/6 81.7336 10/5 73.07 26/3 64.8092 09/2 63.5317 06/9 94.9 26/7 92.7172 16/6 82.2284 07/5 70.6855 25/3 65.235 08/2 60.7214 01/9 92.4 23/7 89.5508 15/6 82.3273 06/5 70.43 24/3 65.5757 05/2 62.084 31/8 92.4 22/7 88.4623 14/6 82.921 05/5 70.6003 23/3 67.1086 04/2 61.7433 30/8 92.2 21/7 85.6917 11/6 82.6242 04/5 70.6003 22/3 67.0234 03/2 59.6142 27/8 92 20/7 85.8896 10/6 81.041 29/4 68.897 19/3 67.9602 02/2 56.2077 26/8 91.4 19/7 83.8116 09/6 80.8431 28/4 68.8119 18/3 68.9822 01/2 54.0786 25/8 91.9 16/7 85.8896 08/6 79.9525 27/4 68.7267 17/3 68.8119 29/1 53.3973 24/8 91.9 15/7 84.5043 07/6 81.8326 26/4 68.9822 16/3 68.9822 28/1 49.9056 23/8 91 14/7 84.3064 04/6 83.8116 23/4 70.6855 15/3 65.1498 27/1 53.6528 20/8 92.8 13/7 86.0875 03/6 84.3064 22/4 68.1306 12/3 65.1498 26/1 56.2077 19/8 94.5 12/7 85.1969 02/6 84.6032 20/4 70.6003 11/3 65.3202 25/1 57.0593 18/8 94 09/7 88.7592 01/6 86.1864 19/4 69.408 10/3 64.9795 22/1 56.9742 17/8 93.8 08/7 88.8581 31/5 83.3748 16/4 67.8751 09/3 63.8724 21/1 55.8671 16/8 94.6 07/7 89.5508 28/5 80.7347 15/4 68.1306 08/3 64.5537 20/1 53.9083 13/8 94.0036 06/7 86.0875 27/5 79.8831 14/4 68.9822 05/3 64.6389 19/1 52.8012 12/8 92.8161 05/7 91.7277 26/5 81.1605 13/4 68.7267 04/3 64.6389 18/1 56.4632 11/8 95.092 02/7 90.9361 25/5 79.8831 12/4 69.919 03/3 66.1718 15/1 56.7187 10/8 96.7742 01/7 87.9675 18/6 82.921 09/4 69.919 02/3 66.3421 14/1 56.5484 09/8 96.4773 30/6 87.077 24/5 79.6276 08/4 67.7899 01/3 66.3421 13/1 56.6335 06/8 95.5868 29/6 87.6707 21/5 79.8831 07/4 67.7899 26/2 64.8944 12/1 56.0374 05/8 95.5868 28/6 84.8011 20/5 81.3309 06/4 67.6196 25/2 64.8944 11/1 55.1006 04/8 94.5973 25/6 84.3064 19/5 77.3282 05/4 67.7899 24/2 64.2131 08/1 53.9083 03/8 94.7952 24/6 83.8116 18/5 74.092 02/4 67.9602 23/2 64.2982 07/1 53.227 02/8 94.5973 23/6 84.0095 17/5 72.9849 01/4 67.8751 22/2 65.4053 06/1 53.1418 30/7 93.0141 22/6 84.5043 14/5 72.2184 31/3 66.1718 19/2 65.235 05/1 53.3973 29/7 92.4203 21/6 84.7022 13/5 71.5371 30/3 65.6608 18/2 66.5976 04/1 51.2682 130 ... QUAN 3.1 Mơ hình nhị phân giai đoạn Với giá cổ phiếu đầu kỳ S0, ta có giá cổ phiếu giai đoạn 1: Bảng phân phối xác suất cho giá cổ phiếu giai đoạn: S1 uS0 dS0 P p 1− p Giá kỳ vọng cổ phiếu giai... dS0 3.2 Mô hình nhị phân hai giai đoạn Với giá cổ phiếu đầu kỳ S0 , ta có giá cổ phiếu giai đoạn 1: Theo quy luật nhị phân lại, ta có giá cổ phiếu giai đoạn 2: Suy ra, động thái giá cổ phiếu theo... dịch, giá HAP với khả 70% - 30% tăng, giảm 5% so với giá tham chiếu lúc mở cửa a) Sử dụng mơ hình nhị phân giai đoạn tính giá kỳ vọng cổ phiếu HAP b) Hãy sử dụng mơ hình nhị phân để ước lượng giá