Ứng dụng Spectral Risk Measures đo lường rủi ro danh mục đầu tư

Bài nghiên cứu này kiểm tra tính phù hợp và chính xác của SRM dựa trên ba hàm biến dạng phổ biến được sử dụng để định giá bảo hiểm, cụ thể là Dual Power, Proportional Hazard và Wang’s. Mặc dù lý thuyết biến dạng được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực bảo hiểm và có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhưng lý thuyết ít được chú ý để đo lường rủi ro của tài sản hoặc danh mục theo hiểu biết của tác giả.

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH toàn quốc lần thứ IV Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD ỨNG DỤNG SPECTRAL RISK MEASURES ĐO LƯỜNG RỦI RO DANH MỤC ĐẦU TƯ APPLY SPECTRAL RISK MEASURES TO MEASURE INVESTMENT PORTFOLIO RISK Nguyễn Thị Hoa GVHD: TS Hồ Hồng Hải Đại học Ngoại Thương Hà Nội Nguyenthihoa610@gmail.com TÓM TẮT Đo lường rủi ro danh mục đầu tư trải qua nhiều bước tiến, từ mơ hình Mean-Variance, sau đến mơ hình Value-at-Risk, Expected Shortfall cuối Spectral Risk Measures Thước đo có nhiều đặc điểm hấp dẫn thước đo rủi ro liền mạch đề xuất Artzner et al (1997, 1999) cho phép tích hợp vị rủi ro nhà đầu tư cách liên tục Tuy nhiên giới, nhà nghiên cứu nghiên cứu việc áp dụng lý thuyết lợi ích vào thước đo rủi ro Vì tác giả kiểm tra việc áp dụng lý thuyết biến dạng (distortion theory) vào thước đo nhận thấy lý thuyết biến dạng áp dụng hiệu nhà đầu tư cần xem xét kỹ lưỡng tham số cho phù hợp với hành vi không ưa rủi ro họ Từ khóa: đo lường rủi ro, danh mục đầu tư, Value-at-Risk, Expected Shortfall, Spectral Risk Measures, Lý thuyết Biến dạng ABSTRACT Investment portfolio measures have achieved several breakthroughs from the development of Mean-Variance model, to Value-at-Risk, Expected Shortfall and eventually Spectral Risk Measures The latest risk measures share many desirable features with Coherent Risk Measures as proposed by Artzner et al (1997, 1999) and are able to incorporate investors’ risk aversion continuously However, existing literature has just concerned the application of utility theory to the measure The author therefore examines the application of distortion theory to the measure and finds that the distortion theory can be effectively utilized on an in-depth investigation into parameters to match risk aversion behavior of each investor Keywords: risk measure, investment portfolio, Value-at-Risk, Expected Shortfall, Spectral Risk Measures, Distortion Theory Giới thiệu Một mơ hình đo lường rủi ro cổ điển mơ hình Mean-Variance (1952) Nối tiếp mơ hình Value-at-Risk, mơ hình tiêu chuẩn ngành cơng nghiệp tài Hai mơ hình có đặc điểm khơng phù hợp để đo lường rủi ro danh mục nhà đầu tư, đặc biệt thu nhập tài sản không tuân theo phân phối elip (Grootveld Hallerbatch, 2004) Hơn nữa, mơ hình VaR không mức tổn thất vượt VaR không đồng với lý thuyết hiệu ứng đa dạng hóa danh mục thị trường biến động mạnh, tức VaR khơng có tính sub additivity Hai mơ hình đo lường rủi ro nghiên cứu nhiều gần Expected Shortfall (ES) Spectral Risk Measures (SRM) Trong ES trung bình quantiles vượt q VaR, SRM trung bình có trọng số tất quantiles phân phối tổn thất Trọng số tăng theo mức độ không ưa rủi ro nhà đầu tư Nhà đầu tư không ưa rủi ro, rủi ro mà nhà đầu tư kỳ vọng cao SRM lớn SRM sử dụng để giải nhiều vấn đề, ví dụ để xác định yêu cầu vốn cho ngân hàng hay điểm hoán đổi rủi ro – lợi nhuận tối ưu (Acerbi, 2004), để 47 Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng phân bổ vốn (Overbeck, 2004; Abad Iyengar (2015), Adam et al (2007)) để xác định yêu cầu margin cho clearing house (Cotter Dowd, 2006) Hơn nữa, SRM chứng minh đồng với lý thuyết lợi ích kỳ vọng quy tắc second order stochastic dominance (Adam et al., 2007) Tuy nhiên, khơng có hướng dẫn cách lựa chọn hàm không ưa rủi ro hợp lý Acerbi (2004) kiểm tra hàm không ưa rủi ro dựa vào lý thuyết lợi ích mũ (exponential utility theory) Dowd et al (2008) kiểm tra tính hợp lý hàm khơng ưa rủi ro mũ lũy thừa nhận thấy hàm mũ phù hợp đặc điểm SRM hàm lũy thừa không phù hợp Tuy nhiên, tác giả tin trình suy hàm không ưa rủi ro tùy lý thuyết lợi ích mũ cần xem xét lại để có kết xác Bên cạnh hàm lợi ích, hàm khơng ưa rủi ro suy từ lý thuyết biến dạng (Distortion theory), ví dụ đề xuất Gzyl Mayoral (2006) hay Sriboonchitta et al (2010) Bài nghiên cứu kiểm tra tính phù hợp xác SRM dựa ba hàm biến dạng phổ biến sử dụng để định giá bảo hiểm, cụ thể Dual Power, Proportional Hazard Wang’s Mặc dù lý thuyết biến dạng sử dụng rộng rãi lĩnh vực bảo hiểm áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, lý thuyết ý để đo lường rủi ro tài sản danh mục theo hiểu biết tác giả Đặc biệt bối cảnh kinh tế Việt Nam bước vào thời kỳ hội nhập, thị trường tài trở nên phức tạp đa dạng hơn, với xuất sản phẩm phái sinh số đầu tiên, việc đo lường rủi ro danh mục đầu tư trở nên quan trọng hết Cơ sở lý thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Thước đo Spectral Risk Measures SRM có nhiều điểm chung hấp dẫn với thước đo rủi ro liền mạch (coherent risk measures) (Artzner et al., 1999) Nếu X Y hai giá trị hai vị rủi ro, thước đo rủi ro (.) coi liền mạch thỏa mãn bốn đặc điểm sub-additivity, homogeneity, monotonicity, translational invariance Bên cạnh bốn điều kiện trên, thước đo rủi ro (.) thước đo SRM thỏa mãn thêm hai điều kiện law invariance comonitonic addivity Trong đó, mơ hình Value-at-risk khơng thỏa mãn đặc điểm sub-additivity, khiến mơ hình khơng phù hợp để đo lường rủi ro danh mục trường hợp thị trường biến động: (X) + (Y) (X+Y) SRM định nghĩa trung bình có trọng số quantile phân phối thu nhập danh mục: Mϕ= = = (1) hàm trọng số hay hàm không ưa rủi ro] hàm quantile X Hai trường hợp đặc biệt SRM VaR ES Cả VaR ES tich hợp mức độ không ưa rủi ro nhà đầu tư Xét góc độ rủi ro, VaR phù hợp với nhà đầu tư không ưa rủi ro ES phù hợp với nhà đầu tư lãnh đạm với rủi ro hàm trọng số phù hợp thỏa mãn ba yêu cầu sau: 48 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH toàn quốc lần thứ IV Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD (Khơng âm) (Chuẩn hóa) =1 1) ≥ 2), for any p1 ≥ p2 or ) (Tính tăng yếu dần – Weakly increasing) Hai điều kiện hiển nhiên với hàm trọng số Điều kiện cốt lõi điều kiện thứ ba, nghĩa trọng số phân bổ cho tổn thất cao cao trọng số phân bổ cho tổn thất thấp Tuy nhiên đặc điểm thứ ba không loại bỏ trường hợp lãnh đạm với rủi ro khỏi tập hợp SRM Ví dụ ES phân loại SRM, ES khơng tích hợp mức độ khơng ưa rủi ro nhà đầu tư Do Dowd et al (2008) thay điều kiện thứ ba với điều kiện giới hạn chút: ) Hơn nữa, kỳ vọng nhà đầu tư khơng ưa rủi ro, trọng số phân bổ cho tổn thất cao cao Do cần điều kiện để trọng số tăng mượt cho nhà đầu tư khơng ưa rủi ro Coi ү thước đo phản ánh mức độ không ưa rủi ro nhà đầu tư Điều kiện p , 1) ≥ 2), với ү ≥ ү hay nói cách khác 1) ≥ 0, với Dowd et al (2008) khơng cân nhắc điều kiện này, họ khơng thể giải thích trường hợp đường SRM “cư xử tệ” 2.1.2 Thước đo Distortion Risk Measure (DRM) Thước đo DRM xuất phát từ lý thuyết Lựa chọn Đối ngẫu (Dual Theory of Choice) (Yaari, 1987), đo lường rủi ro dựa hàm distortion f dựa hàm FX Denneberg (1994) phát triển lý thuyết tích phân để thiết lập liên kết DRM lõm SRM: (X) = Trong đó, f(p) = = = Mϕ với p [0,1] Như vậy, thước đo DRM lõm thỏa mãn sáu điều kiện SRM đề cập bên DRM sử dụng rộng rãi lĩnh vực bảo hiểm Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng ba số hàm distortion phổ biến sử dụng định giá bảo hiểm hàm Dual Power, Proportional Hazard Transform, hàm distortion Wang Để DRM lõm (X) với SRM Mϕ, hàm không ưa rủi ro với f’(p) Tương ứng với ba hàm distortion trên, tính hàm khơng ưa rủi ro sau: Thước đo Dual-power: Thước đo Proportional hazard: DRM Wang: Có thể thấy thước đo rủi ro từ hàm distortion Wang tăng nhanh so với thước đo Proportional hazard, nhà đầu tư sử dụng hàm không ưa rủi ro từ hàm distortion Wang Acerbi (2002, 2004) định nghĩa điều kiện tính giảm Tuy nhiên, ơng xem xét phân phối mà tổn thất số âm, nghiên cứu tổn thất số dương nên điều kiện tính tăng 49 Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng không ưa rủi ro nhà đầu tư sử dụng thước đo Proportional hazard Hơn nữa, dễ thấy ba thước đo thỏa mãn hai điều kiện hàm không ưa rủi ro phù hợp đề xuất Acerbi (2002) giới hạn tham số để điều kiện thứ ba ba hàm xác định Ta minh họa sau: Hình Biểu đồ hàm trọng số từ hàm Dual Power, Proportion Hazard Wang’s theo xác suất tích lũy, với hệ số khơng ưa rủi ro 1.5, 10 Hình lambda cao, nhà đầu tư không ưa rủi ro trọng số phân bổ cho tổn thất cao cao Tuy nhiên, nhà đầu tư cần phải cẩn trọng sử dụng ba thước đo trọng số gắn với tổn thất cao tăng theo hệ số khơng ưa rủi ro, nhiên điều khơng với tất hệ số, mà với khoảng hệ số, phụ thuộc vào thước đo sử dụng số lượng khoảng mà xác suất tích lũy chia Hơn nữa, cần lưu ý ba thước đo, SRM tiến đến trung bình phân phối tổn thất hệ số không ưa rủi ro tiến đến một: dp as Đây đặc điểm lạ SRM Dowd nói, nhiên loại bỏ trường hợp lamda 1, SRM không trung bình phân phối tổn thất hay nói cách khác, SRM nhạy cảm với điều kiện thị trường 2.2 Phương pháp nghiên cứu 2.2.1 Ước tính Spectral Risk Measures SRM theo công thức (1) phức tạp, ta cần phải tính tốn theo phương pháp số học Trong tác giả sử dụng quy tắc Simpson để ước lượng theo Dowd et al (2007) cho kết xác quy tắc Trapezoid, quy tắc Simpson, Niederreiter Weyl quasi Monte Carlo (Borse, 1997) Để đảm bảo tính xác để lại chỗ cho lỗi ước tính rủi ro thể giới thực, tác giả chia xác suất phân phối thành 99982 khoảng hay nói cách khác, 9999 điểm, điểm tương ứng với quantile Mỗi quantile thu nhập kỳ vọng danh mục trừ tích hàm mật độ tích lũy chuẩn hóa độ lệch chuẩn danh mục (ký hiệu qp = – zp * ) sau nhân với trọng số Chọn 9998 khoảng, 1000 khoảng Dowd et al (2007) hàm mật độ phân phối tích lũy chuẩn hóa với xác suất vô cùng, nên cần loại bỏ chúng để đo lường rủi ro 50 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH toàn quốc lần thứ IV Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD 2.2.2 Ước tính khoảng tin cậy cho Spectral Risk Measures Để ước tính xác hơn, sử dụng phương pháp bootstrap tham số phi tham số (parametric non-parametric bootstrap), đặc biệt trường hợp điều kiện thị trường biến động mạnh Bootstrap dựa liệu danh mục gần phản ánh biến động danh mục tương lai hiệu liệu lịch sử đơn liệu lịch sử xa khơng phản ánh tình trạng tương lai gần danh mục, liệu gần phản ánh tốt Tác giả chia xác suất phân phối thành 9998 khoảng sử dụng 1000 phép thử bootstrap để làm ví dụ, mơ thu nhập danh mục tuân theo phân phối chuẩn sau ước tính quantile dựa phương pháp bootstrap tham số, từ ước tính SRM Tác giả lấy ví dụ SRM a 25, 100 200 tính khoảng tin cậy SRM mức tin cậy chấp nhận được, 95 phần trăm Sau đó, tác giả lấy 14 thu nhập danh mục 14 ngày tiếp theo, ngày ứng với SRM mơ tính từ 99 thu nhập ngày trước cộng với thu nhập ngày số 13 ngày ba trường hợp a 25, 100 200 Tiếp theo, tác giả so sánh SRM với thu nhập thực tế danh mục đếm trường hợp tổn thất thực vượt SRM Tác giả làm tương tự với VaR ES độ tin cậy 95 99 phần trăm so sánh kết thu ba thước đo 2.3 Phạm vi nghiên cứu Bài nghiên cứu thực với hai danh mục đa dạng hóa S&P500 Vnindex điều kiện thị trường bình thường thị trường biến động Rủi ro danh mục đo lường dựa vào hai tập liệu Tập thứ gồm 100 thu nhập 100 ngày giao dịch liên tiếp năm 2015 Tập liệu thứ hai gồm 750 giá danh mục 750 ngày giao dịch liên tiếp, bao gồm 100 thu nhập tập liệu thứ lại thu nhập danh mục trước Tập sử dụng để minh họa đường SRM so với hệ số không ưa rủi ro để so sánh SRM với VaR ES Kết đánh giá 3.1 Kết 3.1.1 Ước tính Spectral Risk Measures  Thước đo Dual Power: Mϕ = Hình Biểu đồ đường SRM hai danh mục theo hệ số không ưa rủi ro dựa thước đo Dual Power, tính tốn Matlab 2014a 51 Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng Trong bốn trường hợp, SRM tăng dốc a chạy từ đến 30, sau tăng với tốc độ giảm dần a tăng 30  Thước đo Proportional Hazard: Mϕ = Hình Biểu đồ đường SRM hai danh mục theo hệ số không ưa rủi ro dựa thước đo Proportional Hazard, tính tốn Matlab 2014a Hình tăng dốc a tăng từ đến xấp xỉ 10 sau bắt đầu giảm không với tỷ lệ thấp  Thước đo rủi ro Wang: Mϕ = Vnindex điều kiện thị trường bình thường Vnindex điều kiện thị trường biến động S&P500 điều kiện thị trường bình thường S&P500 điều kiện thị trường biến động Hình Biểu đồ đường SRM hai danh mục theo hệ số không ưa rủi ro dựa thước đo Wang, tính tốn Matlab 2014a 52 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH toàn quốc lần thứ IV Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD Từ hàm distortion Wang, rủi ro tất trường hợp tăng mạnh giảm sau đạt đến đỉnh xấp xỉ ES độ tin cậy 95 phần trăm 3.1.2 Ước tính khoảng tin cậy cho Spectral Risk Measures Như đề cập trên, thước đo Dual Power với tất giả thuyết đặt so sánh với VaR ES độ tin cậy 95 99 phần trăm, sử dụng để làm ví dụ ước tính trường hợp Bảng Khoảng tin cậy rủi ro hai danh mục hai điều kiện thị trường đo lường với ba thước đo SRM, VaR ES Matlab 2014a Danh mục Vnindex Điều kiện thị trường Bình thường Biến động mạnh Bình thường Biến động mạnh SRM a=25 [0.0232, 0.0233] [0.0413, 0.0414] [0.0151, 0.0152] [0.0325, 0.0326] a=100 [0.0294, 0.0295] [0.0519, 0.0520] [0.0191, 0.0192] [0.0407, 0.0408] a=200 [0.0318, 0.0319] [0.0561, 0.0562] [0.0207, 0.0208] [0.0439, 0.0440] 95% [0.0195, 0.0196] [0.0350, 0.0351] [0.0127, 0.0128] [0.0277, 0.0278] 99% [0.0277, 0.0278] [0.0491, 0.0492] [0.0180, 0.0181] [0.0385, 0.0386] 95% [0.0215, 0.0216] [0.0441, 0.0442] [0.0151, 0.0152] [0.0311, 0.0312] 99% [0.0280, 0.0282] [0.0551, 0.0552] [0.0194, 0.0195] [0.0420, 0.0422] VaR ES S&P500 Kết so sánh trường hợp tổn thật vượt SRM, VaR ES độ tin cậy 95 99 phần trăm sau: Bảng Số lần tổn thất thực danh mục vượt khoảng tin cậy rủi ro danh mục, sử dụng Matlab 2014a VaR Khoảng tin cậy/ hệ số không ưa rủi ro S&P500 Vnindex ES SRM 95% 99% 95% 99% a=25 a=100 a=200 Bình thường 0 0 0 Biến động 1 0 Bình thường 0 0 0 Biến động 3 0 Trong điều kiện thị trường bình thường, tất thước đo đo lường rủi ro xác rủi ro danh mục, số thước đo cẩn trọng 3.2 Đánh giá Có thể thấy, ba thước đo tương ứng với ba hàm distortion cho kết khác tốc độ tăng giới hạn tăng đường cong SRM Với ba thước đo, SRM tăng nhanh giai đoạn đầu tiên, sau tăng giảm dần sau giảm khơng Lý cho đường parabol tới hệ số không ưa rủi ro định, trọng số gắn với tổn thất cao từ hệ số không ưa rủi ro cao 53 Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng nhỏ so với trọng số từ hệ số không ưa rủi ro thấp < với > ( hệ số không ưa rủi ro định) Tuy nhiên, tốc độ tăng mức độ tăng đường cong khác nhau, nên tính hữu ích thước đo khác nhau, tùy thuộc vào vị rủi ro nhà đầu tư Sự tăng nhanh sau tăng giảm dần SRM theo hệ số không ưa rủi ro phù hợp với hành vi không ưa rủi ro số nhóm nhà đầu tư chỗ họ bắt đầu lo lắng rủi ro, thước đo rủi ro họ tăng nhanh, mức độ không ưa rủi ro đủ cao tiếp tục tăng, thước đo rủi ro tăng với tốc độ cẩn trọng với chi phí đắt đỏ hơn, mà làm họ khơng cịn lợi nhuận Một ưu khác SRM cho phép thay đổi liên tục mức độ không ưa rủi ro VaR ES thường dung độ tin cậy 95 hay 99 phần trăm trở lên để đảm bảo tính xác SRM linh hoạt VaR ES nhiều Tuy nhiên, điểm hạn chế SRM áp dụng lý thuyết distortion khơng phải hàm distortion sử dụng phù hợp với hành vi không ưa rủi ro nhà đầu tư Với thước đo Dual Power, tham số cut-off để SRM bắt đầu giảm lớn, nên phù hợp với nhiều nhà đầu tư với mức độ không ưa rủi ro khác Tuy nhiên với thước đo Proportional Hazard Wang’s, hệ số cut-off không lớn tốc độ tăng SRM đỉnh parabol lớn nhiều so với Dual Power Do sử dụng phần tăng đường cong SRM để đảm bảo hàm trọng số tăng theo hệ số không ưa rủi ro Tuy nhiên, bốn trường hợp, tổn thất kỳ vọng cao đo lường từ hàm Proportional Hazard Transform thấp VaR độ tin cậy 95 phần trăm, chưa nói đến VaR độ tin cậy 99 phần trăm ES độ tin cậy 95 99 phần trăm, hàm Wang, rủi ro đo lường thấp nhiều so với VaR ES độ tin cậy 99 phần trăm, VaR ES độ tin cậy 95 99 phần trăm thuộc vị rủi ro số nhóm lớn nhà đầu tư không ưa rủi ro Mặc dù hai thước đo rủi ro thỏa mãn ba điều kiện hàm không ưa rủi ro SRM, chúng có lẽ khơng hữu ích số nhà đầu tư để đo lường rủi ro danh mục Tuy nhiên ү chia thành nhiều khoảng hơn, ví dụ 99998, rủi ro đo lường tăng so với tổn thất kỳ vọng đo lường hữu ích để đo lường rủi ro Tuy nhiên việc tăng số lượng khoảng lại dẫn đến tăng thời gian đo lường nên cân nhắc kỹ lưỡng hàm sử dụng Khi sử dụng phương pháp mô phỏng, kết đo lường mơ hình SRM cho kết cẩn trọng so với trường hợp rủi ro tính liệu lịch sử đặc biệt hạn chế rủi ro xảy tốt so với VaR SRM điều kiện thị trường biến động mạnh, phù hợp với lý thuyết Kết luận Bài nghiên cứu kiểm tra tính hợp lý Spectral Risk Measures dựa ba hàm distortion Tác giả thấy ba hàm trọng số tương ứng với ba hàm distortion thỏa mãn tất điều kiện hàm không ưa rủi ro SRM, chúng không thiết phải tạo thước đo rủi ro có ý nghĩa cho nhà đầu tư khơng ưa rủi ro, nhà đầu tư cần kiểm tra kỹ lưỡng độ lớn SRM có nằm ngưỡng phù hợp độ lớn rủi ro nhà đầu tư hay không Trong khuôn khổ nghiên cứu này, Dual Power có lẽ thước đo hợp lý phù hợp với nhiều nhóm nhà đầu tư khơng ưa rủi ro linh hoạt hữu ích so với Value-at-Risk Expected Shortfall, đặc biệt kết hợp với phương pháp mô Tác giả nhận thấy kiểm tra tính hợp lý SRM, nhà đầu tư nên tìm khoảng hệ số khơng ưa rủi ro phù hợp để hàm không ưa rủi ro theo hệ số không ưa rủi ro lớn không đo lường rủi ro cách hợp lý Hơn nữa, sử 54 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH toàn quốc lần thứ IV Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD dụng quy tắc Simpson hay quy tắc khác để ước tính, nhà đầu tư nên xem xét kỹ số lượng khoảng mà xác suất phân phối tổn thất chia số lượng khoảng tăng làm rủi ro danh mục đo lường tăng theo, nhiên đồng nghĩa với việc tốn nhiều thời gian để ước tính Bên cạnh đó, tác giả nhận thấy khơng có khác biệt áp dụng thước đo SRM việc ước tính rủi ro hai danh mục hai thị trường khác Tuy nhiên, nghiên cứu cịn số thiếu sót Thứ nhất, đo lường rủi ro, tác giả tính quantile theo phương pháp tham số dựa phân phối chuẩn để vẽ đường SRM ước tính rủi ro Nếu tác giả sử dụng phương pháp phi tham số hay dựa vào phân phối khác để tính tốn quantiles, số bị thay đổi Tuy nhiên mặt chất, kết nghiên cứu khơng bị thay đổi tính SRM, VaR hay ES, sử dụng cách tiếp cận Lựa chọn cách tiếp cận phụ thuộc vào vị nhà đầu tư Thứ hai, so sánh SRM, VaR ES với tổn thất thực, 14 ngày giao dịch để kiểm định tính xác kết đo lường Tuy nhiên điều kiện hạn chế mặt thời gian, nên tác giả so sánh kết đo lường từ ba thước đo với tổn thất thực 14 ngày Để phát triển lý thuyết ứng dụng thực tiễn mơ hình SRM, nghiên cứu sau tập trung vào hàm distortion khác để mở rộng tính ứng dụng lý thuyết việc đo lường rủi ro danh mục tập trung nghiên cứu hành vi đường SRM tương ứng với hàm distortion phù hợp chúng nhóm nhà đầu tư không ưa rủi ro TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Abad, C Iyengar, G (2015) Portfolio Selection With Multiple Spectral Risk Constraints Trích từ https://arxiv.org/abs/1410.5328 [Truy cập: 5/4/2016] [2] Acerbi, C (2002) Spectral Measures of Risk: A Coherent Representation of Subjective Risk Aversion Journal of Banking and Finance, 26, 1505-1518 [3] Acerbi, C (2004) Coherent Representations of Subjective Risk Aversion, 147207 in G Szegö (Ed.) Risk Measures for the 21st Century, New York: Wiley [4] Adam, A., Houkari, M., Laurent, J P (2007) Spectral Risk Measures and Portfolio Selection Journal of Banking & Finance 32 (9), 1870 – 1882 [5] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J M Heath, D (1997) Thinking Coherently Risk, 10 (November), 68-71 [6] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J M Heath, D (1999) Coherent Measures of Risk Mathematical Finance, 9, 203-228 [7] Borse, G J (1997) Numerical Methods with MATLAB: A Resource for Scientists and Engineers Boston: PWS Publishing Company [8] Cotter, J., Dowd, K (2006) Extreme Spectral Risk Measures: An Application to Futures Clearinghouse Margin Requirements Journal of Banking and Finance, 30, 3469-3485 [9] Denneberg, D (1994) Non-Additive Measure and Integral Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Germany [10] Dowd, K Cotter, J (2007) Exponential Spectral Risk Measure Trích từ https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1103/1103.5409.pdf [Truy cập: 25/3/2016] [11] Dowd, K., Cotter, J Sorwar, G (2008) Spectral Risk Measures: Properties and Limitations Journal of Financial Services Research, 34, 61–75 [12] Grootveld, H Hallerbach, W G (2004) Upgrading Value-at-Risk From Diagnostic Metric to 55 Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng Decision Variable: A Wise Thing To Do? 33-50 in G Szegö (Ed.) Risk Measures for the 21st Century, Wiley, New York [13] Gzyl, H Mayoral, S (2006) On a Relationship Between Distorted and Spectral Risk Measures Welzia Management Trích từ http://www.unav.edu/ [Truy cập: 1/4/2016] [14] Markowitz, H (1952) Portfolio Selection The Journal of Finance 7(1), 77-91 [15] Overbeck, L (2004) Spectral Capital Allocation In A Das (ed.) Capital Allocation London: Risk Books [16] Sriboonchitta, S., Nguyen, H T Kreinovich, V (2010) How to Relate Spectral Risk Measures and Utilities Departmental Technical Reports Department of Computer Science University of Texas [17] Tasche, C Acerbi, C (2002) Portfolio Optimization With Spectral Measures of Risk Working paper, Abaxbank (Italy) [18] Wang, S S (2000) A Class of Distortion Operators For Pricing Financial and Insurance Risks Journal of Risk and Insurance 67(1), 15−36 [19] Yaari, M E (1987) The Dual Theory of Choice Under Risk Econometrica 55(1), 95−115 56 ... không ưa rủi ro phù hợp với hành vi khơng ưa rủi ro số nhóm nhà đầu tư chỗ họ bắt đầu lo lắng rủi ro, thước đo rủi ro họ tăng nhanh, mức độ không ưa rủi ro đủ cao tiếp tục tăng, thước đo rủi ro tăng... không ưa rủi ro SRM, chúng có lẽ khơng hữu ích số nhà đầu tư để đo lường rủi ro danh mục Tuy nhiên ү chia thành nhiều khoảng hơn, ví dụ 99998, rủi ro đo lường tăng so với tổn thất kỳ vọng đo lường. .. 0 0 Biến động 3 0 Trong điều kiện thị trường bình thường, tất thước đo đo lường rủi ro xác rủi ro danh mục, số thước đo cẩn trọng 3.2 Đánh giá Có thể thấy, ba thước đo tư? ?ng ứng với ba hàm distortion