Chuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánh

Chuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánh Chuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánhChuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánhChuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánhChuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánhChuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánh Chuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánh Chuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánh Chuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánh

§8 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI  DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ Sau số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ + Sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ + Đặt ẩn phụ biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ Các ví dụ minh họa Loại 1: Sử dụng định nghĩa tính chất dấu giá trị tuyệt đối *Lưu ý: Sau số loại tốn phương trình, bất phương trình thức phép biến đổi tương đương ïìï g(x ) ³ ï  f (x ) = g(x ) Û ïí éê f (x ) = g(x ) ïï ïïỵ êêë f (x ) = -g(x ) é f (x ) = g(x )  f (x ) = g(x ) Û êê êë f (x ) = -g(x ) ìï g(x ) > f (x ) < g(x ) Û ïí  ïïỵ g(x ) < f (x ) < g(x ) éì ï g(x ) < ê ïí ê ï f (x ) có nghĩa ê ïỵ f (x ) > g(x ) Û êê ìïï g(x ) ³  ê ïï é f (x ) < -g(x ) ê íï ê ê ï ê f (x ) > g(x ) ïï êë êëỵ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 2x - 3x - = -x + 2x + b) x - 5x + = x - 3x + c) x - 5x + - x + = x + x Lời giải d) x - 3x + + x - = 12 ( x - ) ì x + 2x + ³ ì x - 2x - £ ïï ïï ï ïé 2 ï é Ûï a) Ta có phương trình Û í ê 2x - 3x - = -x + 2x + í ê 3x - 5x - = ïï ï ï ê ê ïỵï êë 2x - 3x - = -(-x + 2x + 1) ï ï êë x - x = î ì ï 1- £ x £ 1+ ï éx = ï ï ê éx = ï ê ï ê ï êx = - ê ï ï Ûí Û ê êx = ê ï ê ï x = ê ê ï ï ê êx = ï êë x = ï ê ï x = ê ï ï ỵ ë ü 1ï ïì Vậy nghiệm phương trình x ẻ ùớ 0;1;2; - ùý ùợù 3ù ù ỵ b) Với £ x £ Þ x - 5x + ³ ta có Phương trình Û - ( x - 5x + ) = x - 3x + Û x + x - 8x + = 259 Chun đề, giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh Áp dụng BĐT cơsi ta có x + + ³ 3 8x = 6x , x + ³ 2x ( ) Suy x + x - 8x + ³ 6x + 2x - 8x = 2 - x > Do phương trình vơ nghiệm éx > Þ x - 5x + > ta có Với êê x < êë Phương trình Û x - 5x + = x - 3x + Û x - x + 2x = Û x = (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình x = c) Bảng xét dấu x x +1 x - 5x + -¥ + -1 0 0 + + + - | + + +¥ Từ ta có trường hợp sau  Với x £ -1 , ta có phương trình Û ( x - 5x + ) + ( x + ) = x + x Û x = (loại)  Với -1 < x £ , ta có phương trình Û ( x - 5x + ) - ( x + ) = x + x x= (thỏa mãn)  Với < x £ , ta có phương trình - ( x - 5x + ) - ( x + ) = x + x Û 2x - 3x + = phương trình vơ nghiệm  Với x > , ta có phương trình Û x - 5x + - ( x + ) = x + x Û x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = (loại) ìï x ³3 d) Ta có phương trình ïí ïï x - 3x + + x - = 12 ( x - ) ỵ ìï ì x ³3 x ³3 ï Û ïí Ûï í ïï x - 3x + + x - = 12 ( x - ) ï x - 14x + 36 = ï ỵ ỵ ìï x ³3 Û ïí Û x = ± 13 ïï x = ± 13 ỵ Vậy phương trình có nghiệm x = ± 13 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau a) x - x - ³ x - b) -x + 3x + < x - 3x + c) 3x - + - 2x £ ( x - ) d) 2x - 5x + - x - > x - Lời giải a) Với x < ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình nghiệm với x < Với x ³ ta có bất phương trình tương đương với ì x ³1 x ³1 ï ïìï ï ï ï 2 ï í éê x - x - ³ x - Û ïí éê x - 2x ³ ï ï ï ïï ê x - £ ê ï ï êë x - x - £ - x ỵ ỵï êë 260 Chun đề, giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh ì x ³1 ï ï ìï x ³ ï ïï ï é éx ³ x ³ ï ï ê Û íê Û ïí éê x ³ Û êê x £0 ï ïï ê 1£x £ ê ï ëê ï ïï ê x £ ê- £ x £ ï ỵë ï ï ỵ êë Vy nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ (-Ơ; 2] È [2; +¥) b) Với x - 3x + < Û < x < ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình vơ nghiệm éx ³ Với ta có x - 3x + ³ Û êê êë x £ Bất phương trình tương đương với - ( x - 3x + ) < -x + 3x + < x - 3x + éx > Û 2x - 6x > Û êê êë x < éx ³ Đối chiếu với điều kiện êê suy nghiệm bất phương trình êë x £ Vy bt phng trỡnh cú nghim x ẻ (-Ơ; 0) È (3; +¥) éx > ê êx < êë c) Nếu x - < VT ³ 0, VP < suy bất phương trình vơ nghiệm ìï x2 - ³ Do bất phương trình Û ïí ïï 3x - + 2x - £ ( x - ) ỵ é x ³ ì ì ï x ³2 ï x2 ³ ê ï ï Ûí Û Û í ê 2 ï ï x ³ x + x £ x ( ) êë x £ - ï ï ỵ ỵ Vậy nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ (-Ơ; - 7] È [ 7; +¥) d) 2x - 5x + - x - > x - Với x < ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình nghiệm với x < Với x ³ ta có 2x - 5x + = ( x - )( 2x - ) > suy bất phương trình tương đương với 2x - 5x + - ( x - ) > x - Û 2x - 6x + > x - Û 2x - 6x + > x - (vì x ³ Þ 2x - 6x + = ( x - )(2x - 4) ³ ) éx > ê Û 2x - 7x + > Û ê êx < êë Đối chiếu với điều kiện x ³ ta có nghiệm bất phương trình x > Vậy bất phương trình có nghiệm x Î  \ { } Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt -x - x + = 4x + m Lời giải Ta có -x - x + = 4x + m Û -x - x + - 4x = m Xét hàm số f ( x ) = -x - x + - 4x ìï-x - 5x + x Ỵ é -3;2 ù ë û Ta có f ( x ) = ïí ïï x - 3x - x ẻ (-Ơ; -3 ) ẩ ( 2; +Ơ ) ợ 261 Chuyờn , bi ging đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh Bảng biến thiên x -¥ f (x ) - -3 +¥ 2 +¥ 99 12 +¥ -4 Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f cắt đường thẳng y = m bốn điểm phân biệt Û 12 < m < 99 99 giá trị cần tìm Nhận xét: Nghiệm phương trình f ( x ) = g ( m ) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số Vậy 12 < m < y = f ( x ) đường thẳng y = g ( m ) Từ suy  Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm Û đường thẳng y = g ( m ) cắt đồ thị hàm số y = f ( x )  Số nghiệm phương trình f ( x ) = g ( m ) Û số giao điểm đường thẳng y = g ( m ) đồ thị hàm số y = f ( x ) Do gặp tốn liên quan đến phương trình f ( x , m ) = mà ta lập m ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x - 3x + ³ 3x + 5x + 3m + 5m Lời giải Bất phương trình Û x - 3x + - 3x - 5x ³ 3m + 5m Xét hàm số f ( x ) = x - 3x + - 3x - 5x ìï -2x - 8x + x Ỵ (-;1] È [2; + Ta có f ( x ) = ïí ùùợ 4x - 2x - x ẻ ( 1;2 ) Bảng biến thiên x 1 -¥ -2 10 f (x ) -8 -¥ Từ ta có: max f ( x ) = f ( -2 ) = 10 +¥ -22 -¥ Do bất phương trình cho có nghiệm Û 10 ³ 3m + 5m Û 3m + 5m - 10 £ Û -5 - 145 -5 + 145 £m £ 6 262 Chuyên đề, giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh Vậy -5 - 145 -5 + 145 £m £ giá trị cần tìm 6 Nhận xét Cho hàm số y = f ( x ) xác định D  Bất phương trình f ( x ) ³ k ( f ( x ) £ k ) có nghiệm D Û max f ( x ) ³ k ( f ( x ) £ k ) với D điều kiện tồn max f ( x ) ( f ( x ) ) D D D  Bất phương trình f ( x ) ³ k ( f ( x ) £ k ) nghiệm với x  D Û f ( x ) ³ k ( max f ( x ) £ k ) với điều kiện tồn max f ( x ) ( f ( x ) ) D D D D Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải phương trình bất phương trình sau a) ( x - 4x ) - x - > 12 ( x + 1) b) c) x - 2x + 4x - ( 2x + ) x - + = x £3x+ -2 x Lời giải a) Đặt t = x - , t ³ Þ t = x - 4x + Bất phương trình trở thành ( t - ) - t > 12 é t>3 ê Û 3t - t - 24 > Û ê êt < - êë Kết hợp điều kiện t ³ ta có t > suy é x -2 > é x >5 x - > Û êê Û êê êë x - < -3 êë x < -1 Vậy bất phương trình có nghiệm x Ỵ ( -¥; -1 ) È ( 5; +¥ ) b) ĐKXĐ: x ¹ Bất phương trình Û x + Đặt t = x + 1 +4£3 x + x x 1 Þ t2 = x2 + + x x Ta có t = x + 1 = x + ³2 x =2Þt ³2 x x x Bất phương trình trở thành t + £ 3t Û t - 3t + £ Û £ t £ Kết hợp với t ³ suy t = é x + = 2x Û x = ±1 (thỏa mãn) Do = x + Þ x = x + Û êê x êë x + = -2x Vậy bất phương trình có nghiệm x = ±1 c) Phương trình Û ( x - ) - ( 2x + ) x - + 4x + = Đặt t = x - , t ³ Phương trình trở thành t - ( 2x + )t + 4x + = 263 Chun đề, giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh é t = 2x + Û ( t - 2x - )( t - ) = Û êê êë t = ì 2x + ³ ï ï ï Với t = 2x + ta có 2x + = x - Û ïí x - = 2x + ï ï x - = -2x - ï ï ỵ ì 2x + ³ ï ìï ï ïï x ³ - ï ï é x x = Û íê Ûí Û x = 1± ï ïï ï ê x = ± x + 2x + = ï ïỵ ï ỵ êë é x2 - = 2 Û x2 = Û x = ± Với t = ta có = x - Û êê x = êë Vậy phương trình có nghiệm x Î - 3;1 - 5;1 + 5; { } Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x - 2x + m = x - có nghiệm Lời giải Phương trình tương đương với ìï x - 2x + m = x - ( ) Û ìïï( x - 2x ) + 2m ( x - 2x ) + m = x - 2x + ) ï( í í ïï ïï x ³ x ³1 îï îï ìï x - 2x + 2m - x - 2x + m - = (*) )( ) ( ) ï( Ûí ïï x ³1 ïỵ Đặt t = x - 2x , x ³ Þ t = ( x - ) - ³ -1 Phương trình (*) trở thành t - ( 2m - )t + m - = (**) Phương trình ban đầu có nghiệm phương trình (**) có nghiệm t ³ -1 Û Đồ thị hàm số f ( t ) = t - ( 2m - )t + m - [ - 1; +¥) cắt trục hồnh Ta có b 2m - = 2a 2m - 1 > -1 Û m > - ta có + TH1: Nếu 2 Bảng biến thiên x -¥ -1 - +¥ 2m - f ( -1 ) +Ơ f (x ) ổ 2m - ửữ f ỗỗ ữ ỗố ứữ Suy phng trỡnh cho có nghiệm ỉ 2m - ÷ư ỉ 2m - ÷ư ỉ 2m - ÷ư ỗ ỗ fỗ ữữ Ê ỗ ữữ - ( 2m - )ỗỗ ữữ + m - Ê m < ỗố ứ ốỗ ứ ốỗ ứ 264 Chuyờn đề, giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh 1 suy - < m < thỏa mãn yêu cầu toán 2 2m - 1 = -1 Û m = - phương trình (**) trở thành + TH2: Nếu 2 -2 + -2 ± > -1 suy m = - thảo mãn yêu cầu t + 2t - = Û t = có t = 2 toán 2m - 1 < -1 Û m < - ta có + TH3: Nếu 2 Bảng biến thiên -¥ -1 +¥ x +¥ Kết hợp với điều kiện m > - f (x ) f ( -1 ) Suy phương trình cho có nghiệm Û f ( -1 ) £ Û + 2m - + m - £ Û m + 2m - £ Û -1 - £ m £ -1 + 1 Kết hợp với điều kiện m < - suy -1 - £ m < - thỏa mãn yêu cầu toán 2 Vậy -1 - £ m < giá trị cần tìm Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x ( x - ) - m x - + > nghiệm với x Î  Lời giải Bất phương trình tương đương với ( x - ) - m x - + > Với x = ta có bất phương trình ln với m Với x ¹ Đặt t = x - Þ t > t2 + > m (*) t Suy bất phương trình ban đầu nghiệm với x ¹ bất phương trình (*) t2 + >m nghiệm với t > Û t >0 t t + 2t ³ = , đẳng thức xảy Û t = Ta có t t t2 + = , m < thỏa mãn yêu cầu toán Suy t >0 t Vậy m < giá trị cần tìm Bài tập luyện tập Bài 4.113: Giải phương trình sau a) 3x - = x + 2x + b) | 2x - 7x + |= x + Bất phương trình trở thành t - mt + > Û c) x - 3x + - x + = x - 3x Bài 4.114: Giải bất phương trình sau 265 d) 2x 1 = + x +1 x +1 x -1 a) x - 5x + > x - b) x - x - < x c) x - x - > x + d) 2x - + 3x - £ x + e) x - 1 £3x3 x x Bài 4.115: Biện luận số nghiệm phương trình : x - - x - 3x + = 5m - Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: -2x + 10x - = m - 5x + x Bài 4.117: Tìm m để bất phương trình 2x - 3x - ³ 5m - 8x - 2x nghiệm với x Bài 4.118: Cho bất phương trình x - 4x - | x - | +2m - = a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 4.119: Cho bất phương trình x - 2mx + x - m - m + > a) Giải bất phương trình m = b) Tìm m để bất phương trình nghiệm với "x Ỵ   DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu mục đích phải khử thức Sau số phương pháp thường dùng + Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử) Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế khơng âm thu bất phương trình tương đương chiều + Đặt ẩn phụ + Đánh giá Các ví dụ minh họa Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương Lưu ý số phương trình, bất phương trình sử dụng phép biến đổi tương đương sau Phương trình: ïì f (x ) ³ ( g ( x ) ³ ) f (x ) = g(x ) Û ïí  ïï f (x ) = g(x ) ỵ ïìï g(x ) ³  f (x ) = g(x ) Û í ïï f (x ) = [ g(x ) ]2 ïỵ Bất phương trình: ìï f (x ) > g(x ) f (x ) > g(x ) Û ïí  ïï g(x ) ³ ỵ ìï f (x ) ³ ïï  f (x ) < g(x ) Û ïí g(x ) > ïï ïï f (x ) < [ g(x ) ] ỵ 266  éì ï g(x ) < ê ïí ê ï f (x ) ³ ï f (x ) > g(x ) Û êê ỵì ê ïï g(x ) ³ êí ê ïïï f (x ) > [ g(x ) ] ëỵ Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) x - x + = -2x - x + c) x + - 1-x = Lời giải - 2x b) 2x + 3x - = - x d) x- 1 + 1- = x x x ìï -2x - x + ³ a) Ta có phương trình Û ïí ïï x - x + = -2x - x + ỵ ì ï -1 - 17 -1 + 17 ï £x £ ï ì ï ï 17 + 17 4 ï ï £x £ ï é x = Ûï Û í í 4 ê ï ï ï ï ê x + x = ï ï ï ỵ ê x = -1 ± ï ï ï ỵ ëê é x = -1 ê Û ê ê x = -1 ± êë ìï -1 - ï -1 + ü ï ; -1; Vậy phương trình có nghiệm x ẻ ùớ ý ùù ù 2 ù ợ ỵ ìï 3-x ³ ï b) Phương trình Û í 2 ïï 2x + 3x - = ( - x ) ïỵ ìï ìï - 3£x £ - 3£x £ ï Û ïí Û í ïï x - 8x - 3x + 10 = ïï ( x - )( x + )( x - x - ) = ỵ ỵ ì ï - 3£x £ ï ï ï é x = -2 ï ï ê Ûï Ûx =1 í êx = ï ê ï ê ï ï ê x = ± 21 ï ï ï ỵ êë Vậy phương trình có nghiệm x = c) ĐKXĐ: -4 £ x £ Phương trình Û x + = - 2x + - x Û x + = - 2x + (1 - 2x )(1 - x ) + - x ìï 2x + ³ Û 2x + = (1 - 2x )(1 - x ) Û ïí ïï(2x + 1)2 = (1 - 2x )(1 - x ) î 267 ì ï ïx ³ - Ûï Û x = (thỏa mãn điều kiện) í ï ï 2x + 7x = ï ỵ Vậy phương trình có nghiệm x = ìï x > ïï ïï ïï x - ³ ì x ³1 ï ï x ïï ï Ûí d) Phương trình Û í 1 ïï1 - ³ ï x - = x - 1ï ïï ï x ỵ x x ïï 1 ïï x - + - = x ïỵ x x x ³1 ïìï ì x ³1 ï ï Û ïí Û í 1 ïï x - = x + - - 2x ïï x - x - x - x + = ỵ ïỵ x x x ì x ³1 ï ì ìï ï x ³1 ï x ³1 1+ ï ï Ûí Ûí Ûï Ûx = í ± ï ïï x - x - = ï ï x -x = ïx = ỵ ỵ ï ỵ Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) -5x + 8x - + 5x - = - x + b) x + ( - x ) 2x - = x 2x - 5x + - x - ( Lời giải ) ìï -5x + 8x - ³ ïï 5x - ³ Û £x £1 a) ĐKXĐ: ïí ïï 1-x ³ ïïỵ Phương trình ( 5x - )(1 - x ) + 5x - = 1-x +1 Û ( 5x - - 1)( - x + 1) = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = ìï 2x - 5x + ³ ïï Ûx ³2 b) ĐKXĐ: ïí 2x - ³ ïï ïïỵ x - ³ x - 2x - - x x - + 3x - x - 2x - + x 2x - = Phương trình Û Û Û 5x - = Û x = x -2 ( ( ) ) 2x - - x + x ( - x ) + 2x - ( x - ) = é 2x - = x Û ( 2x - - x )( x - - + x ) = Û êê êë x - = - x 268 Bài 6.36: a) 21 140 ; ; 221 221 21 (5 - 12 3) b) 220 26 c) 38 - 25 11 Bài 6.37: Từ giả thiết ta có ( cos a cos b - sin a sin b ) = - cos a cos b Þ tan b = + tan2 a + tan2 b + tan2 a + = + Khi ta có: A = tan2 a + tan2 b + tan2 a + A= + tan2 a tan2 a + 10 tan2 a + 15 + = = 2 2 tan a + ( tan a + ) ( tan a + ) Bài 6.38: a) A = m sin 2a + n cos 2a = m tan2 a +3 tan2 a tan a 1+ tan a - tan2 a + n + tan2 a + tan2 a b) Áp dụng cơng thức cộng ta có cos a cos b - sin a sin b m - tan a tan b m n -m = Û = Û tan a tan b = cos a cos b + sin a sin b n + tan a tan b n m +n tan ( a + b ) + tan ( a - b ) m +n = c) tan 2a = tan éë ( a + b ) + ( a - b ) ùû = - tan ( a + b ) tan ( a - b ) - mn Bài 6.39: Đặt t = tan 2t - t2 a , cos a = ta có sin a = từ giả thiết ta có + t2 + t2 2t - t2 + = Û 2 1+t 1+t Do < a < Ta có tan ( é êt = + t - 4t + - = Û ê ê êt = ë ) a p nên t = tan = -2 ỉa ỉa pư 2a + 2015p pử = tan ỗỗ + 504p - ữữữ = tan ỗỗ - ữữữ ỗố ỗố ø 4ø a p -2 - tan -1 = = = a p + tan tan 1+ tan -5 +1 ỉ - cos2a ư÷ - cos2a + cos2 2a - cos2a + Bi 6.40: a) sin a = ỗỗ = ữ = ỗố 4 ứữ 418 -2 -2 + cos 4a 1 = - cos2a + cos 4a 8 b) Theo câu a ta có: 1ỉ p 3p 5p 7p VT = - ỗỗ cos + cos + cos + cos ữữữ + ốỗ 8 8 ứ M cos ỗổ p 3p 5p 7p + cos + cos ữữữ ỗỗ cos + cos 8è 4 4 ø 3p 5p p 7p p 3p 5p 7p + cos = cos + cos = cos + cos = cos + cos = nên VT = = VP 8 8 4 4 Bài 6.41: sin x = sin éë ( x + y ) - y ùû = sin ( x + y ) cos y - cos (x + y ) sin y Þ sin ( x + y ) cos y - cos ( x + y ) sin y = sin (x + y ) Þ ( cos y - ) sin ( x + y ) = cos ( x + y ) sin y sin y Þ tan ( x + y ) = cos y - Bài 6.42: a) VT = sin a cos a ( cos2 a - sin2 a ) = sin 2a cos 2a = sin 4a = VP b) VP = c) VP = ( sin x cos y + sin y cos x ) cos x cos y = tan x + tan y = VT ( tan 2x + tan x )( tan 2x - tan x ) = tan ( 2x + x ) tan ( 2x - x ) = VT ( - tan 2x tan x )(1 + tan 2x tan x )  cos   cos    cot  Bài 6.44: a) A  sin   cos   1 b) Vì      sin B   0, cos   nên     1 1 cos    cos  sin  sin 2 2 2 2 5a a cos sin 2sin 4a sin  3a   2sin 4a sin 2a sin 3a  sin 2a 2   cot 5a   c) C  2sin 4a cos 3a  2sin 4a cos 2a cos 3a  cos 2a 2sin 5a sin a 2   cos a  2sin 2a sin       cos a  4sin a cos a  cos a  2sin a d) D  cos a cos a Bài 6.45: a) tan a = tan(a + b) Þ tan a = tan(a + b) - tan a Þ tan a = sin b  sin a cos(a  b)  sin b cos(a + b)cos a b) tan a = tan(a + b) Þ tan a = tan(a + b) + tan a =  3sin a cos  a  b   sin  2a  b  sin ( 2a + b ) cos(a + b)cos a Theo câu a) ta có sin b = sin a.cos(a + b) suy sin b = sin(2a + b) 419 c) tan(a + b) tan b = -3 Þ sin (a + b ) sin b = -3 cos (a + b ) cos b  cos  a  b  cos b  sin  a  b  sin b  2 cos  a  b  cos b  cos a   cos  2a  b   cos a   cos(a  2b)  cos a  d) Từ giả thiết ta có 9sin  a  b   cos  a  b   cos  a  b   cos  a  b   2  1  cos  a  b    cos  a  b   cos  a  b    16sin  a  b   cos 2a cos 2b Hay 8sin  a  b   cos 2a cos 2b ĐPCM ỉp ỉp ỉp ỉp Bài 6.46: Ta có sin 3a = sin a.sin ỗỗ - a ữữữ sin ỗỗ + a ữữữ , cos 3a = cos a.cos ỗỗ - a ữữữ cos ỗỗ + a ữữữ ốỗ ứ ốỗ ứ ốỗ ứ ốỗ ứ 7   sin cos ; cos cos  sin   cos  cos  9 18 18 18 18 sin 2x Bài 6.47: a) Ta có sin 2x = sin x cos x Þ cos x = sin x b) Áp dụng câu a ta có x x x sin sin sin n 1 x x x sin x  sin x  VP VT  cos cos cos n  2 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2n sin x 22 23 2n 2n x x x x cos sin x cos - cos x sin sin x - cos x = 2 = = = VP Bài 6.48: a) VP = cot - cot x = x sin x x x sin x sin sin x sin sin x sin 2 b) Áp dụng câu a ta có     VT   cot  cot     cot   cot 2     cot 2n  2  cot 2n 1   cot  cot 2n 1  VP 2   Suy sin  sin cos x cos 2x cos2 x - cos 2x cos2 x - cos2 x + sin2 x -2 = = = = tan x = VT sin x sin 2x sin x cos x sin x cos x sin x cos x b) Áp dụng câu a) ta có 1ỉ 1ỉ a a 1ỉ a a VT = ỗỗ cot - cot a ữữ + çç cot - cot ÷÷ + + n ỗỗ cot n - cot n -1 ữữ ữứ ốỗ ỗố 2 ữứ 2 ốỗ 2 ữứ Bi 6.49: a) VP = = 420 a cot n - cot a = VP n 2 Bài 6.50: tan 3x = = - tan x 1+ A= tan x ( - tan x tan x - tan x = tan x - tan2 x - tan x tan x ( )( + tan x ) )(1 + tan x ) ổp ổp = tan ỗỗ - x ữữữ tan x tan ỗỗ + x ữữữ ốỗ ứ ốỗ ứ - tan x + tan x -1 10 + 0 Bài 6.51: Ta có sin 10 = sin éê ( k + ) - k ùú = sin ( k + ) cos k - cos (k + ) sin k ë û sin 10 sin k sin ( k + ) Do = cot k - cot ( k + ) 0 sin 10 sin 10 sin 10 + + + sin 10 sin 20 sin 20 sin 30 sin(n - 1)0 sin n = cot10 - cot20 + cot20 - cot 30 + + cot ( n - ) - cot n 0 Suy 1 + + + = cot10 - cot n 0 0 0 sin sin sin sin sin(n - 1) sin n Bài 6.52: sin 20.sin 10 + ( sin 0.sin 10 ) + + 89 ( sin 178 0.sin 10 ) = 90 cos10 Vì sin 2k sin 10 = cos ( 2k - ) - cos ( 2k + ) nên VT = cos10 - cos 30 + ( cos 30 - cos 50 ) + + 89 ( cos177 - cos1790 ) = cos10 + cos 30 + + cos177 - 89 cos1790 = cos10 + ( cos 30 + cos177 ) + + ( cos 890 + cos 910 ) + 89 cos10 = 90 cot10 = VP Bài 6.53:  x    tan x   cot x  Theo bất đẳng thức Cơsi ta có tan x  cot x  tan x.cot x  Bài 6.54: Ta có B = cos 2x + + - cos 2x = cos 2x + - cos 2x Đặt t = - cos 2x Þ cos 2x = - t , -1 £ cos 2x £ Þ £ t £ Biểu thức trở thành B = - t + t Xét hàm số y = -t + t + với £ t £ 421 3 Bảng biến thiên t y 3 -1 Từ bảng biến thiên suy max B = t = hay cos 2x = A = - t = hay cos 2x = -1 Bài 6.55: Ta có: 3P  sin x.cos x  cos x sin x   3sin x  cos2 x 3cos2 x  sin x   3 2 Vậy: P  Bài 6.56: Ta có P = sin x + sin x cos x = sin x (1 + cos x ) Suy P = sin2 x ( + cos x ) = sin2 x ( + cos x + cos2 x ) æ 1ử Ta cú ỗỗ cos x - ữữ Þ cos2 x + ³ cos x suy ữ ỗố 2ứ ổ ổ3 P Ê sin2 x ỗỗ + cos2 x + + cos2 x ữữữ = sin2 x ỗỗ + cos2 x ữữữ ỗố ỗố 2 ứ ứ ỉ x + y ư÷ Mặt khác theo bất đẳng thc xy Ê ỗỗ ữ , "x , y ẻ R ta cú ỗố ứữ ộ ổ3 ửự sin2 x + ỗỗ + cos2 x ữữữ ỳ ỗố ổ3 27 øú ú = + cos2 x ÷÷ = sin2 x ỗỗ + cos2 x ữữ Ê ữứ ữứ ỗố ỳ 16 ê ú êë úû æ5 sin2 x çç çè Suy P £ 3 Bài 6.57: Ta có sin Vì cos A C 1ỉ A +C A - C ư÷ A -C A +C sin = - ỗỗ cos - cos - cos ữữ = cos 2 ỗố 2 ø 2 2 A C 1 B A +C B A -C = sin cos £ nên sin sin £ - sin 2 2 2 2 1ỉ Bư B Do ú P Ê ỗỗ - sin ữữữ sin ỗố 2ứ 422 p dng bt ng thc cụsi ta cú ổ ổ ửổ ỗỗ - sin B ữữ sin B = ỗỗ - sin B ữữ ỗỗ - sin B ữữ sin B ữỗ ỗố ứữ 2 ứố ứữ 2 ỗố ổ ỗỗ - sin B + - sin B + sin B ữữ ỗỗ 2 ữữữ = Ê = ỗỗ ữ ữữ ỗ 27 ữữứ ỗỗố 3 = Suy P £ 9 ìï ì A =C ïï cos A - C = ï ï ï Ûï Dấu xảy í í B ïï ï B B sin = ï ïï1 - sin = sin ï ỵ ỵ 2 Vậy max P = ỉA B C Bài 6.58: c) VT = VP = tanAd) Khai trin cos ỗỗ + + ÷÷÷ è2 2ø ỉA B C e) Khai trin sin ỗỗ + + ữữữ ố2 2ø ỉB C A B C A B C Chỳ ý: T cos ỗỗ + ữữữ = sin  cos cos = sin + sin sin è2 ø 2 2 2 A B C A A B C  sin cos cos = sin2 + sin sin sin 2 2 2 Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C BĐT Cô–si A B B C C A d) Sử dụng a + b + c ³ ab + bc + ca tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 ổ A B Cử e) Khai trin ỗỗ tan + tan + tan ÷÷÷ sử dụng câu c) è 2 2ø Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: (sin2 A + sin2 B + sin2 C )(sin A + sin B + sin C ) ³ 3 sin2 A sin2 B sin2 C 3 sin A sin B sin C hay (sin2 A + sin2 B + sin2 C )(sin A + sin B + sin C ) ³ sin A sin B sin C Mặt khác: sin A + sin B + sin C £ 3 nên 3 ³ sin A sin B sin C Mà theo ví dụ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1 + cos A cos B cosC ) (sin2 A + sin2 B + sin2 C ) 423 3 ³ sin A sin B sin C Do + cos A cos B cosC ³ sin A sin B sin C ĐPCM Cách 2: Theo ví dụ ta có sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C cos 2A + cos 2B + cos 2C = - ( sin2 A + sin2 B + sin2 C ) 2(1 + cos A cos B cosC ) = - 4(1 + cos A cos B cosC ) = -1 - cos A cos B cosC Do bất đẳng thức tương đương với - - (cos 2A + cos 2B + cos 2C ) ³ 3(sin 2A + sin 2B + sin 2C ) 3 3 sin 2A + cos 2A) + ( sin 2B + cos 2B ) + ( sin 2C + cos 2C ) £ 2 2 2 p p p Û cos(2A - ) + cos(2B - ) + cos(2C - ) £ (*) 3 ỉ pư ỉ pư ổ pử Ta cú ỗỗ 2A - ữữ + ỗỗ 2B - ữữ + ỗỗ 2C - ữữ = ( A + B + C ) - p = p nờn ỗố ữứ ỗố ữứ ỗố ữứ ổ ổ ổ ỗỗ 2A - p ữữ, ỗỗ 2B - p ữữ, ỗỗ 2C - p ÷÷ ba góc tam giác bất đẳng thức (*) theo ví dụ çè ÷ø èç ÷ø çè ÷ø Û( Þ ĐPCM Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) 1+ - (1 - cos2 A)(1 - cos2 B )(1 - cos2 C ) ³ (**) áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: ỉ - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) ư÷ - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) - ỗỗ VT(**) ữ ỗố ÷ø 3 đặt t = cos2 A + cos2 B + cos2 C dễ thấy ³ t ³ ỉ - t ÷ư ỉ1 -t - ỗỗ - t ÷÷÷ ³ từ điều kiện ³ t VT(**) ữữ = (3 - t ) ỗỗ çè ø çè ø 1 1 3 -t ³ - = Þ ĐPCM 3 A B C Cách 4: Đặt x = tan , y = tan , z = tan 2 ïì xy + yz + zx = Bài toán trở thành : cho ïí chứng minh: ïï x , y, z > ỵ - x - y2 - z 2x 2y 2z 1+ ³ (***) 2 2 1+x 1+y 1+z + x + y + z2 ta có - t ³ 0, Ta có : (4) Û (1 + x )(1 + y )(1 + z ) + (1 - x )(1 - y )(1 - z ) ³ 3xyz Khai triển rút gọn ta có: 424 (***) Û x 2y + y 2z + z 2x + ³ 3xyz áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cơsi ta có 1 x 2y + y 2z + z 2x ³ (xy + yz + zx )2 = 3 xyz = xy.yz zx £ æ xy + yz + zx ửữ ỗỗ ữữ = ỗố ø Nên x 2y + y 2z + z 2x + ³ + Þ ĐPCM 27 1 = ³ 3xyz 27 A+B A-B C cos £ cos 2 A B Tương tự ( sin B + sin C ) £ cos , ( sin C + sin A ) £ cos 2 2 A B C Cộng vế với vế ta sin A + sin B + sin C £ cos + cos + cos 2 Bài 6.72: Ta thấy VT BĐT tam thức bậc hai có hệ số a = > Do để chứng minh ta cần chứng minh: D £ Ta có: B +C B -C A D ' = (cos B + cosC )2 - 2(1 - cos A) = cos2 cos2 - sin2 2 B -C A B -C = sin2 ỗỗ cos2 - ữữữ = -4 sin2 sin2 Ê ỗố 2 ứ ỡù B - C ì ï sin B =C ï =0 ï Û Đẳng thức có Û ïí í ïï x = cos B + cosC ï x = cos B ï ỵ ïỵ sin(B + C ) Bài 6.73: VT bất đẳng thức tam thức có : a = tan B + tan C = cos B.cosC sin A sin A A = ³ = cot > (do DABC nhọn) Nên để chứng minh (1) ta cos(B + C ) + cos(B - C ) - cos A cần chứng minh D ' £ A A A Ta có: D ' = - tan (tan B + tan C ) £ - tan cot = 2 ìï cos(B - C ) = ì B =C ï ïï ï ï Ûí Đẳng thức xảy Û í ïï x = ï x = ï ïỵ ï tan B + tan C ỵ tan B 2 Bài 6.74: Ta có cos a + sin a = Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = sin 425 ỉ 3ư 16 Þ cos2a = - sin2 a = - ỗỗ - ữữữ = ỗố ữứ 25 ộ cosa = 4 Þ cos2a = Þ cosa = Þ êê 5 ê cosa = - êë 3p Vì p < a < nên cosa < sin a - = = , cot a = = Do cosa = - ; tan a = cos a 4 t ana 4 24 sin 2a = sin a.cos a = 2(- ).(- ) = 5 25 cos 2a = cos2 a - sin2 a = (- )2 - (- )2 = 5 25 tan 30  tan 450 Bài 6.75: a) tan 750  tan 300  450   tan 300.tan 450 1  1 42 =     2 3   (  1)  1 tan 450  tan 300 b) tan150  tan 450  300   tan 450.tan 300 1   42 3      2     1  2p p - cos - cos + - ổỗ cos p - cos p ửữữ c) A = ỗ 2 ỗố 18 ữứ             2p p + cos 9 - + cos p = 12 2 18 p p p = - cos cos + cos = 18 18 d) Áp dụng công thức cos 3a = cos3 a - cos a ta có cos 426 ( cos2 90 - )( cos2 27 - ) = ( cos3 90 - cos 90 )( cos2 27 - cos 27 ) cos 90 cos 27 cos 27 cos 81 = tan 90 Þ B = cos 90 cos 27 Bài 6.76: a) A = ( sin2 10 + sin2 890 ) + ( sin2 20 + sin2 88 ) + + ( sin2 44 + sin2 460 ) + sin2 450 + sin2 900 = = ( sin2 10 + cos2 10 ) + ( sin2 20 + cos2 20 ) + + ( sin2 44 + cos2 44 ) + = 1 + + + + 44 sô 91 +1 = 2 +1 b) B = sin2 450 + cos2 450 - ( sin2 500 + sin2 400 ) + tan 550.cot 550 æ ữử ổ ữử ữữ + ỗỗ ÷÷ - ( sin2 500 + cos2 400 ) + = + - + = Suy C = ỗỗỗ ỗ ỗố ữứ ỗố ữứ 2 ổ p 5p ửữ ổỗ 2p 4p ư÷ 3p 6p + cos2 + cos2 + cos2 c) C = ỗỗ cos2 ữ + ỗ cos ữ + cos2 ữ ữ ỗố ỗ 12 12 ứ è 12 12 ø 12 12 2 æ 7p 11p ửữ ỗổ 8p 10p ửữ 9p + ỗỗ cos2 + cos2 + cos2 ữ + ỗ cos ữ + cos2 ữ ữ ỗố ỗ 12 12 ứ ố 12 12 ø 12 p p 3p + cos2 + + + cos2 =5 4 d) D = -1 e) E = f) F = g) G = 256 128 6 4 Bài 6.77: a) A = cos x + sin x - sin x - cos x + sin2 x = + + cos2 = ( - sin2 x ) + sin6 x - sin2 x - ( - sin2 x ) + sin2 x = - sin2 x + sin x - sin6 x + sin6 x - sin2 x - + sin2 x - sin x + sin2 x = sin x f) B = + cos x æ + cos2 x + sin2 x ư÷ 1 + sin x + cos4 x + = Bài 6.78: a) VT = çç ÷ ÷ 2 2 2 cos x ø - sin x cos x sin x cos x - sin x cos2 x ốỗ sin x + - sin2 x cos2 x = = VP 2 2 sin x cos x - sin x cos x sin x cos2 x b) VT = sin x + sin2 x = sin x + sin x = sin x - sin x = VP (do p < x < 2p Þ sin x < ) = = sin x (0 < x < p) cot2 x - cos2 x 1 VT = = = 2 ỉ sin x + cos x cot x sin x + cos2 x çç - ÷÷÷ sin x + cos2 x çè sin x ø sin2 x c) sin x + 427 Vì < x < p Þ sin x > nên VT = sin x = sin x = VP sin x + cos2 x æ sin x ỗỗ n n + cos x ữữữ ổ sin2 x + sin x cos2 x ư÷ ỉ sin x + cos2 x ửữ ỗỗ cos x n ữ ç ç ÷ VT = = = tan x d) ữ ữ = tann x ỗỗ ỗỗ ỗỗ ữ ÷ è sin x cos x + cos x ứ ố sin x + cos x ữứ ỗỗ + cos x cos x ữữữ ỗố ứữ sin x n tann x + cosn x tann x + cosn x = tann x = tann x n n tan x + cos x 1+ cosn x n tan x Vậy VT = VP ĐPCM æ ö æ p pö sin x - cos x ữữữ Bi 6.79: a) VP = ỗỗ sin x cos - cos x sin ữữ = ỗỗỗ ỗố ữứ 6 ữứ ốỗ VP = = sin x - cos x = VT æ p pử b) VP = ỗỗ cos x cos - sin x sin ữữ = ỗố 6 ữứ = c) VP = ổ ỗỗỗ cos x - sin x ữữữ ữứ ỗố 2 cos x - sin x = VT æ p pử ỗỗ sin x cos + cos x sin ữữữ = 4ứ ốỗ = sin x + cos x = VT ỉ p pư d) VP = çç sin x cos - cos x sin ÷÷ = çè 4 ÷ø ỉ 2 ççç sin x + cos x ữữữ ữứ ỗố 2 ổ 2 ỗỗỗ sin x cos x ữữữ ữứ ốỗ = sin x - cos x = VT sin a + cos4 a - = Bài 6.80: a) 6 sin a + cos a + cos a - b) Ta biến đổi biểu thức thành tan2 a ( sin2 a - ) + ( sin2 a + cos2 a ) + cos2 a + ( sin2 a - cos2 a )( sin2 a + cos2 a ) = - tan2 a.cos2 a + + cos2 a + sin2 a - cos2 a = ổ pử tan ỗỗ x + ữữữ - tan x ỗố ộổ ự p pử 3ứ c) Ta cú tan = tan ỗỗ x + ữữữ - x ỳ = ỗ ờở ố ỳỷ ổ 3ứ pử + tan ỗỗ x + ữữữ tan x 3ứ ốỗ ộ ổ ự ổ pử pử + tan ỗỗ x + ữữữ tan x ỳ = tan ỗỗ x + ữữữ - tan x (1) ờở ỳỷ 3ứ 3ứ ốỗ ốỗ ộ ổ ổ ổ ổ 2p ÷ư p ứ 2p ư÷ pư Tương tự ta cú + tan ỗỗ x + ữữ tan ỗỗ x + ữữữ ỳ = tan ỗỗ x + ữữ - tan ỗỗ x + ữữữ (2) ỗố ờở ứ ứ ỳỷ ứ 3ứ ốỗ ốỗ ốỗ ị 428 tan ổ 2p ửữ tan ỗỗ x + ÷ - tan x ù 2p ư÷ ứữ ốỗ + ữ-xỳ = ỳỷ ổ ứữ 2p ửữ + tan ỗỗ x + ữ tan x çè ø÷ éỉ 2p = tan ê çç x ờở ỗố ộ ổ ự ộ ổ ự 2p ữử 2p ữử + tan ỗỗ x + ữữ tan x ỳ = - tan ỗỗ x + ữữ - tan x ỳ (3) ỗố ỗố êë úû êë úû ø ø Cộng vế với vế ta é æ æ æ æ ù pư pư 2p ư÷ 2p ư÷ ê + tan x tan ỗỗ x + ữữữ + tan çç x + ÷÷÷ tan çç x + ÷÷ + tan ỗỗ x + ữữ tan x ỳ = è è è è êë úû 3ø 3ø ø ø Þ D = -3 Þ Bài 6.81: a) - 119 144 Bài 6.82: a) VP = = tan x b) 2 - ; tan a = tan b = - 1, a = b = p æ cos x sin 2x sin x ư÷ cos2 x - cos 2x -2 = sin x ỗỗ ữữ = sin x ỗố cos 2x cos x ứ cos 2x cos x cos x cos 2x cos2 x - ( cos2 x - ) = tan x tan 2x sin2 x = tan2 x tan 2x = VT sin 2x cos 2x b) Áp dụng câu a) ta có ỉ ỉ ỉ a a a a ö a a ö VT = tan a - tan + ỗỗ tan - tan ữữ + 22 ỗỗ tan - tan ữữ + + 2n -1 ỗỗ tan n -1 - tan n -1 ữữ ỗố 2 ốỗ ốỗ ữứ 2 ữứ 2 ữứ = tan a - 2n tan a = VP 2n ổ ửữ x ỗ - cos2 1 ỗỗỗ ÷÷÷ = -1 = VP ÷÷ = Bài 6.83: a) VT = = ỗỗ x x x x x÷ x x x 4.cos2 sin2 cos2 4.cos2 ỗỗỗ sin2 ữữữ 4.cos2 sin2 4.sin2 ố ứ 2 2 2 2 1 b) Theo câu a) ta có suy = sin x x x 4.cos 4.sin 2 ổ ửữ ổ ửữ ổ ửữ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ữ ữữ ỗỗ 1 ữ çç 1 ÷÷÷ 1 çç ÷÷ + + n -1 ỗ ữữ = ữữ + ç VT = ç çç sin a a ÷ ỗỗ a aữ a ữ sin a n a ỗỗ a 4.sin2 ữữữ sin 4.sin2 ÷÷÷ sin n -1 4.sin2 n ÷÷÷ sin n ỗ ỗ ỗỗố ỗ ỗ ố ố 2ứ 2 ø 2 ø 2 2 Bài 6.84: VT = sin A sin ( B + C )cos ( B - C ) + sin Bsin ( A + C ) cos (C - A ) + sin C sin ( A + B ) cos ( A - B ) 1 = éë sin2 A ( sin B cos B + sin C cosC ) + sin2 A ( sin B cos B + sin C cosC ) + sin2 A ( sin B cos B + sin C cosC ) ùû = sin A sin B sin ( A + B ) + sin B sin C sin ( B + C ) + sin C sin A sin (C + A ) = sin A sin B sin C = VT 429 A-B B -C C -A cos cos 2 A-B B -C C -A cos cos  2(cos A + cos B + cosC - 1) = cos 2 A B C A-B B -C C -A cos cos  sin sin sin = cos 2 2 2  sin A.sin B.sin C = (sin A + sin B )(sin B + sin C )(sin C + sin A)  sin A = sin B = sin C (dùng BĐT Cô–si cho vế phải) A = B = C Bài 6.86: ĐT Û 4R sin B sin C (sin B cosC + sin C cos B ) = 20 (dùng định lí hàm số sin) Bài 6.85: ĐT 2(3 + cos A + cos B + cosC ) - = cos  4R sin A sin B sin C = 20 abc 8R = sin A sin B sin C = 2R sin A sin B sin C = 10 4R 4R Vậy S = 10 (đvdt) Bài 6.87: = cos 3x + cos 3y + cos 3z = ( cos3 x + cos3 y + cos3 z ) - ( cos x + cos y + cos z ) Mà S = Þ cos3 x + cos3 y + cos3 z = Ta có cos x + cos y + cos z = Þ cos3 x + cos3 y + cos x cos y ( cos x + cos y ) = - cos3 z Þ cos x cos y cos z = Khơng tính tổng quát giả sử cos x = Þ cos y + cos z = Þ cos y = - cos z Suy cos 2x cos 2y cos 2z = ( cos2 x - 1)( cos2 y - 1)( cos2 z - 1) = -( cos2 y - 1) £ ĐPCM ïì sin x + sin y = - sin z 2 Þ ( sin x + sin y ) + ( cos x + cos y ) = Bài 6.88: a) Từ giả thiết ta có ïí ïï cos x + cos y = - cos z ợ ị + ( sin x sin y + cos x cos y ) = Þ cos ( x - y ) = - (1) 1 Tương tự ta có cos ( y - z ) = - , cos ( z - x ) = - 2 Ta có ( cos x + cos y + cos z )( sin x + sin y + sin z ) = Û ( sin 2x + sin 2y + sin 2z ) + sin (x + y ) + sin (y + z ) + sin (z + x ) = (2) Mặt khác sin 2x + sin 2y = sin ( x + y ) cos ( x - y ) = - sin (x + y ) (do (1)) Tương tự sin 2y + sin 2z = - sin ( y + z ), sin 2z + sin 2x = - sin (z + x ) Thay vào (2) ta suy sin 2x + sin 2y + sin 2z = 430 Mặt khác ta có ( sin x + sin y + sin z ) - ( cos x + cos y + cos z ) = 2 Û cos 2x + cos 2y + cos 2z + éë cos ( x + y ) + cos (y + z ) + cos (z + x )ùû = Kết hợp với cos 2x + cos 2y = cos ( x + y ) cos ( x - y ) = - cos (x + y ) , tương tự cos 2y + cos 2z = - cos ( y + z ), cos 2z + cos 2x = - cos (z + x ) nên cos 2x + cos 2y + cos 2z = b) Ta có sin 3x + sin 3y + sin 3z = ( sin x + sin y + sin z ) - ( sin x + sin y + sin z ) Þ sin 3x + sin 3y + sin 3z = -4 ( sin x + sin y + sin z ) Mặt khác sin x + sin y + sin z = Þ sin x + sin y + sin z = sin x sin y sin z Þ sin 3x + sin 3y + sin 3z = -12 sin x sin y sin z Do ta cần chứng minh sin ( x + y + z ) = -4 sin x sin y sin z Ta có sin ( x + y + z ) = sin x cos ( y + z ) + cos x sin (y + z ) = sin x ( cos y cos z - sin y sin z ) + cos x ( sin y cos z - cos y sin z ) = sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y - sin x sin y sin z Ta cần chứng minh sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y - sin x sin y sin z = -4 sin x sin y sin z Û sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y + sin x sin y sin z = Û sin x ( cos y cos z + sin y sin z ) + sin y ( cos x cos z + sin x sin z ) + sin z ( cos x cos y + sin x sin y ) = Û sin x cos ( y - z ) + sin y cos ( z - x ) + sin z cos (x - y ) = Đẳng thức cuối theo câu a) ta có 1 cos ( x - y ) = - , cos ( y - z ) = - , cos ( z - x ) = - giả thiết sin x + sin y + sin z = 2 Vậy sin ( x + y + z ) = Đặt a = sin 3x + sin 3y + sin 3z p p p - x , b = - y, g = - z kết hợp với giả thiết ta có cos a + cos b + cos g = , 2 sin a + sin b + sin g = Do theo chứng minh sin ( a + b + g ) = 431 sin 3a + sin 3b + sin 3g ỉp ỉp ỉp sin çç - x ÷÷÷ + sin çç - y ÷÷ + sin ỗỗ - z ữữữ ỗố ổ 3p ốỗ ứ ứữ ốỗ ứ ị sin çç - x - y - z ÷÷÷ = çè ø Þ cos ( x + y + z ) = cos 3x + cos 3y + cos 3z Bài 6.89: cos ( x + y ) = cos ( x + y + z - z ) = cos ( x + y + z ) cos z + sin (x + y + z )sin z Tương tự cos ( y + z ) = cos ( x + y + z ) cos x + sin (x + y + z ) sin x cos ( z + x ) = cos ( x + y + z ) cos y + sin (x + y + z ) sin y Cộng vế với vế ta có cos ( x + y ) + cos ( y + z ) + cos ( z + x ) = cos (x + y + z )( cos x + cos y + cos z ) + sin ( x + y + z )( sin x + sin y + sin z ) Mặt khác theo giả thiết ta có sin x + sin y + sin z = a sin ( x + y + z ), cos x + cos y + cos z = a cos (x + y + z ) Nên cos ( x + y ) + cos ( y + z ) + cos ( z + x ) = a cos2 ( x + y + z ) + a sin2 ( x + y + z ) = a 432 ... éê x - 2x ³ ï ï ï ïï ê x - £ ê ï ï êë x - x - £ - x ỵ îï êë 260 Chuyên đề, giảng đầy đủ môn Toán lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh ì x ³1 ï ï ìï x ³ ï ïï ï é éx ³ x ³ ï ï ê Û íê Û ïí éê x... bất phương trình cho có nghiệm Û 10 ³ 3m + 5m Û 3m + 5m - 10 £ Û -5 - 145 -5 + 145 £m £ 6 262 Chuyên đề, giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh Vậy -5 - 145 -5 + 145 £m £... = x - , t ³ Phương trình trở thành t - ( 2x + )t + 4x + = 263 Chuyên đề, giảng đầy đủ môn Toán lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh é t = 2x + Û ( t - 2x - )( t - ) = Û êê êë t = ì 2x + ³