Ôn tập giải tích 2b

NỘI DUNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH B2 Giới hạn liên tục hàm số hai biến (14.2) Tính đạo hàm riêng định nghĩa cơng thức Định lý Clairaut (14.3) Đạo hàm hàm hợp - Chain Rule (14.5) Khảo sát khả vi định nghĩa khả vi, điều kiện đủ tính khả vi Phép xấp xỉ tuyến tính hàm số hai biến (14.4) Khảo sát cực trị hàm hai biến (14.7, 14.8) Tính tích phân kép thơng qua tích phân lặp (15.2, 15.3), thơng qua định lý Green (16.4) Tích phân đường (16.2, 16.3, 16.4), trường thế, hàm (16.1, 16.3) .c om ng Về định nghĩa định lý sử dụng để chứng minh co Giới hạn: Ở đây, ta nói hàm hai biến, hàm nhiều biến hoàn toàn tương tự th an - Nếu f(x,y)  L1 (x,y)  (a,b) theo đường C1 f(x,y)  L2 (x,y)  (a,b) theo đường C2 khác Nếu L1 != L2, không tồn du o ng Thơng thường giải tốn, ta chọn hai đường cho cặp số (x,y) di chuyển, đặc biệt lấy đường thằng hay để dễ lấy hai trục tọa độ, (x,y)  (0,0) u - Trong trường hợp ngược lại, muốn chứng minh hàm số có giới hạn muốn tính giới hạn ta phải sử dụng định nghĩa epsilon - delta để đánh giá chứng minh: cu Cho f hàm hai biến miền D chứa lân cận (a,b) Khi đó, ta nói giới hạn f(x,y) (x,y) tiến tới (a,b) L, hay viết - Giới hạn hàm hai biến, tồn tại, thỏa: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sự liên tục: ng c om Hàm f hai biến liên tục (a,b) Nếu hàm f liên tục điểm thuộc miền D f liên tục D Từ đó, ta chứng minh hàm số liên tục hay không liên tục, dựa vào cách tính lim Từ đó, ta có liên tục có tính chất (i đến iv) Ngoài ra: th an - Mọi đa thức hai biến liên tục liên tục miền D = co - Nếu f liên trục miền Df g liên tục miền Dg = f(Df) g(Dg) ng Tính đạo hàm riêng: Ở nói hàm hai biến, hàm nhiều biến hồn toàn tương tự du o Cho f(x,y) miền D, g(x) = f(x,b), ta có, g’(a) tồn tại, đạo hàm riêng theo x f: Cho f ( x, y ) u ) g’(a) g '(a),Mà g ( x )  f ( x, b ) x ( a, b= fxf(a,b) g ( a  h)  g ( a ) h f (a  h, b)  f (a, b)  f x (a, b)  lim h 0 h (nếu giới hạn tồn tại) cu g '(a)  lim h 0 Vậy  f x ( x, y )  lim h 0 f y ( x, y )  lim h 0 f ( x  h, y )  f ( x, y ) h f ( x, y  h )  f ( x, y ) h (nếu giới hạn tồn tại) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Kí hiệu: c om Tương tự, ta có đạo hàm riêng bậc Đối với f(x,y), có đạo hàm riêng bậc 2: fxx , fyy , fxy , fyx (Lưu ý: fxy tức đạo hàm riêng theo x trước đạo hàm riêng theo y) Định lý Clairaut: an Đạo hàm hàm hợp – Chain Rule: co ng Cho f(x,y) lân cận (a,b) Nếu hàm fxy va fyx liên tục D f xy (a, b)  f yx (a, b) cu u du o ng th Chain Rule (Case1) Cho z  f ( x, y ) hàm kha vi cua x y, x  g (t ), y  h(t ) hàm kha vi cua t Khi dó, z hàm kha vi vcủa t dz  f dx  f dy   dt  x dt  y dt Chain Rule (Case 2) Cho z  f ( x, y ) hàm kha vi cua x y, x  g ( s, t ), y  h( s, t ) hàm kha vi cua t Khi dó, z hàm kha vi vàcủa s, t z z x z y   s x s  y s z z x z y   t  x t  y t Chain Rule (GeneralVersion) Cho u hàm kha vi n biên x1, x 2, xn.Và môi x j hàm kha vi m biên t1 , t , , t m Khi dó,  u  u  x1  u  x2  u  xn      ti  x1  ti  x2  ti  xn  ti i  1, 2, , m CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khảo sát khả vi định nghĩa định lý: Khi f khả vi với tiến tới c om - Cho z = f(x,y) lân cận (a,b) (a,b) tiến tới ng - Nếu f(x,y) khả vi (a,b) liên tục co - Định lý: (hàm nhiều biến hoàn toàn tương tự) Cho f(x,y) miền D chứa lân cận (a,b) Nếu fx , fy tồn D liên tục (a,b) f khả vi (a,b) du o ng th an Xấp xỉ tuyến tính: (hàm nhiều biến hồn tồn tương tự) Nếu f(x,y) xác định lân cận (a,b) khả vi (a,b), (x,y) gần (a,b), ta có xấp xỉ: Khảo sát cực trị hàm hai biến: cu u Các định nghĩa cực trị toàn cục địa phương tương tự với hàm biến Một số định lý sử dụng: 5.1 Nếu f có cực trị địa phương (a,b) đạo hàm riêng cấp f tồn fx (a,b) = fy (a,b) = 5.2 Giả sử f có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận (a,b), giả sử fx (a,b) = fy (a,b) = Đặt D  D(a, b)  f xx (a, b) f yy (a, b)   f xy (a, b)  (Chú ý: định lý Clairaut nên CuuDuongThanCong.com ) https://fb.com/tailieudientucntt a/ Nếu D > f xx (a, b) > f cực tiểu địa phương b/ Nếu D > f xx (a, b) < f cực đại địa phương c/ Nếu D < f khơng cực trị địa phương, mà điểm yên ngựa (saddle point) d/ Nếu D = khơng xác định , D đóng bị chặn Khi đó, f có cực tiểu tồn cục 5.3 Giả sử f liên tục miền cực đại tồn cục D Cách tìm cực trị hàm hai biến: ng c om - Tìm giá trị f điểm mà fx fy không tồn tại, fx fy D - Tìm giá trị cực trị f biên D - So sánh tập để tìm giá trị cực trị f D co Tính tích phân kép thơng qua tích phân lặp: an Định lý Fubini: th Nếu f khả tích hình chữ nhật R  ( x, y ) | a  x  b , c  y  d  a  d c f ( x, y) dydx   d  b c a f ( x, y) dxdy du o R b ng  f ( x, y)dA   R f ( x, y)dA   g ( x)h( y)dA   g ( x)dx  h( y)dy cu  u Trong số trường hợp, ta tách hàm f(x,y) thành g(x) nhân h(y) ta ln có: b d a c R Ghi chú: Hàm hai biến f khả tích miền Nếu f liên tục D f khả tích D f có tích phân kép D Tính tích phân kép thơng qua tích phân lặp: - Kiểu I: Nếu f khả tích miền kiểu I - D  ( x, y ) | a  x  b, g1 ( x)  y  g ( x ) tích - theo nghĩa hàm biến – [a,b]) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (g1 , g2 khả  D f ( x, y)dA  b a  g2 ( x ) g1 ( x ) f ( x, y)dy dx - Kiểu II: Nếu f khả tích miền kiểu II - D  ( x, y ) | h1 ( y )  x  h2 ( y ), c  y  d  (h1 , h2 khả tích - theo nghĩa hàm biến – [c,d])  f ( x, y)dA   d h2 ( y ) c h1 ( y ) D f ( x, y)dx dy an co ng c om Ghi chú: Mỗi kiểu chia nhỏ thành dạng sau: thỏa: (các tích phân giả sử tồn tại)   cu  u du o ng th - Tính chất: Tích phân kép miền Nếu Nếu D1 , D2 giao nhiều biên  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính tích phân kép thơng qua định lý Green: Định lý Green: c om Nếu C đường cong kín “bình thường” có chiều dương, D miền bao C, P Q hai hàm hai biến có đạo hàm riêng cấp liên tục miền mở , thì: ng Từ đó, thay tính tích phân kép, ta tính tích phân đường tương ứng co Ghi chú: an - Nếu C có chiều âm ta đảo dấu tích phân đường du o ng th - Nếu D thuộc hai kiểu I, II (phần tích phân kép) ta có: cu u Tích phân đường, trường thế, hàm thế: Tích phân đường: - Cho f hàm hai biến liên tục r(t) hàm vector Từ r(t) vẽ đường cong mượt C ( C qua lần t tăng từ a đến b) Khi đó, tích phân đường f dọc theo C: Tương tự, tích phân đường f theo x y: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Dạng đặc biệt: Cho P, Q hàm hai biến liên tục r(t) tương tự Ta có: Ghi chú: Đường cong C vẽ ta từ hàm vector r(t) ( ng liên tục ) gọi mượt r’(t) co - Tính chất:  Nếu C1 , … , Cn mượt rời nhau, C =  Khi t tăng từ a đến b, r(t) tạo hướng C, -C đường cong C tính theo hướng ngược lại Ta có:  Nếu C đoạn thẳng ta có cu u du o ng th an liên tục với Trường thế: trường vector (hàm nhận vào điểm không gian trả vector không gian số chiều) F thỏa: (f hàm nhiều biến số chiều, ti vector đơn vị chuẩn) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khi đó, f gọi hàm Xét R2 , ta đặt trường vector F liên tục miền D (tức F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j P, Q liên tục D) .c om a Nếu F trường có hàm f(x,y) khơng phụ thuộc vào đường cong mượt mà phụ thuộc điểm đầu điểm cuối tích phân đường (2 điểm thuộc D) Cụ thể, co ng Đây định lý tích phân đường hàm hai biến an Thêm điều kiện P, Q có đạo hàm riêng cấp liên tục D D D miền mở liên thơng “bình thường” F trường th b Nếu ng Định lý b chứng minh định lý Green cu u du o - Ghi chú: Điều kiện khả vi a thường mặc định tập CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... a c R Ghi chú: Hàm hai biến f khả tích miền Nếu f liên tục D f khả tích D f có tích phân kép D Tính tích phân kép thơng qua tích phân lặp: - Kiểu I: Nếu f khả tích miền kiểu I - D  ( x, y )... mà fx fy không tồn tại, fx fy D - Tìm giá trị cực trị f biên D - So sánh tập để tìm giá trị cực trị f D co Tính tích phân kép thơng qua tích phân lặp: an Định lý Fubini: th Nếu f khả tích hình... tính tích phân kép, ta tính tích phân đường tương ứng co Ghi chú: an - Nếu C có chiều âm ta đảo dấu tích phân đường du o ng th - Nếu D thuộc hai kiểu I, II (phần tích phân kép) ta có: cu u Tích