Chuyên đề lượng giác luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LUYỆN THI THPT QUỐC GIA Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác cung α   Trên đường trịn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM = α : Hình 1.1 Gọi M ( x; y ) với tung độ M y = OK , hoành độ x = OH ta có: sin α = OK cos α = OH cos α sin α cot α ; ( sin α ≠ ) = = tan α ; ( cos α ≠ ) sin α cos α Các giá trị sin α , cos α , tan α , cot α gọi giá trị lượng giác cung α Các hệ cần nắm vững Các giá trị sin α ; cos α xác định với α ∈  Và ta có: sin (α + k 2= π ) sin α , ∀k ∈ ; cos (α + k 2= π ) cos α , ∀k ∈  −1 ≤ sin α ≤ ; −1 ≤ cos α ≤ π + kπ , ( k ∈  ) cot α xác định với α ≠ kπ , ( k ∈  ) tan α xác định với α ≠  Dấu giá trị lượng giác cung α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM = α đường trịn lượng giác (hình 1.2) Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác + + cos α + + sin α tan α + + cot α + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức sin x + cos x = Cung đối sin ( − x ) = − sin x tan x + = cos x cot x + = sin x Công thức cộng ± y ) sin x cos y ± cos x sin y sin ( x= Cung bù = sin x sin (π − x ) cos ( x ± y ) = cos x cos y  sin x sin y cos x = − cos ( x − π ) tan x ± tan y tan ( x ± y ) =  tan x tan y Công thức đặc biệt π  sin x + cos = x sin  x +=  4  = tan x tan ( x − π ) π  cos  x −  4  π π   − cos  x +  sin x − cos x = sin  x −  = 4 4   Góc nhân đơi sin x = 2sin x cos x cos x = cos x − = − 2sin x = cos x − sin x Góc nhân ba Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 cos ( − x ) = cos x tan ( − x ) = − tan x Góc chia đôi sin= x (1 − cos x ) 2 cos= x (1 + cos x ) Góc chia ba Website: tailieumontoan.com ( 3sin x − sin 3x ) = cos3 x ( 3cos x + cos 3x ) = sin x = sin x 3sin x − 4sin x = cos x cos3 x − 3cos x tan x − tan x tan x = − tan x STUDY TIP Ở từ cơng thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đơi, chia ba mà khơng cần nhớ nhiều cơng thức Biến đổi tích thành tổng cos x cos = y cos ( x − y ) + cos ( x + y )  2 sin x sin = y cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2 sin x cos = y sin ( x − y ) + sin ( x + y )  2 Biến đổi tổng thành tích x+ y x− y cos x + cos y = cos cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = cos sin 2 Giá trị lượng giác cung đặc biệt α (độ) α (radian) 0 sin α cos α tan α 30 45 60 90 π 180 π 2 2 3 2 0 −1 Không xác định π 3 π π STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt: α 30 45 60 90 sin α 2 Các giá trị tử số tăng dần từ đến 2 Ngược lại giá trị cos , tử số giảm dần từ BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Hàm số y = s inx hàm số y = cos x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin , kí hiệu y = s inx Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cosin ( cos ) góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cos , kí hiệu y = cos x = y cos x  Tập xác định hàm= số y sinx; a) Hàm số y = sinx Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ hà số có tập xác định D =  đối xứng − sinx =sin ( − x ) Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π Sự biến thiên: Sự biến thiên hàm số y = sinx đoạn −  π ; π  biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: Bảng biến thiên: Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = sinx đoạn −  π ; π  sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com STUTY TIP Khái niệm: Hàm số f ( x ) xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T ≠ cho với x  x − T ∈ D; x + T ∈ D thuộc D ta có  f ( x)  f (x + T ) = Số dương T nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hoàn Đồ thị hàm số: Nhận xét: Do hàm số y = sinx hàm số lẻ  tuần hồn với chu kì 2π nên vẽ đồ thị hàm số y = sinx  ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn 0; π  , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa O , ta đồ thị hàm số y = sinx đoạn −  π ; π  , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hoành ta đoạn có độ dài 2π ; 4π , STUDY TIP  π π Hàm số y = sinx đồng biến khoảng  − ;  Do tính chất tuần hồn với chu kì 2π , hàm số  2  π π  y = sinx đồng biến khoảng  − + k2π ; + k2π  ,k ∈    Tương tự ta suy hàm số y = sinx nghịch π 3π   + k2π ; + k2π  ,k ∈    GHI NHỚ Hàm số y = sinx : - Có tập xác định  - Có tập giá trị −1;1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 biến khoảng Website: tailieumontoan.com - Là hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin - Tuần hồn với chu kì 2π  π  π - Đồng biến khoảng  − + k2π ; + k2π  ,k ∈    π  3π - Nghịch biến khoảng  + k2π ; + k2π  ,k ∈  2  b) Hàm số y = cos x  π Ta thấy = cos x sin  x +  nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái đoạn có 2  π , ta đồ thị hàm số y = cos x Bảng biến thiên hàm số y = cos x −  π ; π  độ dài Đồ thị hàm số y = cos x : STUTY TIP Hàm số y = cos x đồng biến khoảng ( −π ;0 ) Do tính chất tuần hồn với chu kì 2π , hàm số y = cos x đồng biến khoảng ( −π + k2π ; k2π ) ,k ∈  Tương tự ta suy hàm số y = cos x nghịch biến khoảng ( k2π ; π + k2π ) ,k ∈  GHI NHỚ Hàm số y = cos x : - Có tập xác định  - Là hàm số chẵn - Là đường hình sin - Đồng biến khoảng ( −π + k2π ; k2π ) ,k ∈  - Nghịch biến khoảng ( k2π ; π + k2π ) ,k ∈  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Đọc thêm Hàm= số y a.sin (ω x + b ) + c, ( a,b,c,ω ∈  ,aω ≠ ) hàm tuần hồn với chu kì sở vì: ( 2π ω ) a.sin ω ( x + T ) + b= + c a.sin (ω x + b ) + c, ∀x ∈  ⇔ a.sin (ω x + b= + ωT ) a.sin (ω x + b ) , ∀x ∈  ωT k2π , ( k ∈  ) ⇔= T k ⇔= 2π ω ,( k ∈  ) Và đồ thị đường hình sin Tương tự hàm= số y a.cos (ω x + b ) + c, ( a,b,c, ω ∈  ,aω ≠ ) hàm tuần hồn với chu kì sở 2π ω đồ thị đường hình sin Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa mơn Vật lý chương trình 12 Hàm số y = tan x hàm số y = cot x trục côtang B S M T + x A' O A trục tang B' Hình 1.7 π sin x  Với D1=  \  + kπ k ∈   , quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D1 với số thực tan x = cos x 2  gọi hàm số tang, kí hiệu y = tan x Hàm số y = tan x có tập xác định D1 Với D2  \ {kπ k ∈ } , quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D2 với số thực cot x = = gọi hàm số côtang, kí hiệu y = cot x Hàm số y = cot x có tập xác định D2 Nhận xét: - Hai hàm số y = tan x hàm số y = cot x hai hàm số lẻ - Hai hàm số hai hàm số tuần hồn với chu kì π a) Hàm số y = tan x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 cos x sin x Website: tailieumontoan.com t B H A' O A x K + M B' T Hình 1.8 Sự biến thiên: Khi cho x = ( OA, OM ) tăng từ − π đến π điểm M chạy đường tròn 2 lượng giác theo chiều dương từ B′ đến B (khơng kể B′ B ) Khi điểm T thuộc trục tang cho AT = tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ −∞ đến +∞ (qua giá trị x = ) Giải thích: tan x = AT tan x = MH AT AT = = = AT OH OA π  π  Nhận xét: Hàm số y = tan x đồng biến khoảng  − + kπ ; + kπ  , k ∈  Đồ thị hàm   π số y = tan x nhận đường thẳng x =+ kπ , ( k ∈  ) làm đường tiệm cận Đồ thị hàm số: π  Nhận xét: Do hàm số y = tan x hàm số lẻ  \  + kπ k ∈   tuần hồn với chu kì 2  π π nên vẽ đồ thị hàm số y = tan x  \  + kπ k ∈   ta cần vẽ đồ thị hàm số 2   π 0;  , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta đồ thị hàm số y = tan x  π 0;  , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh Hình 1.9 STUDY TIP Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com π Hàm số y = tan x nhận đường thẳng x =+ kπ , ( k ∈  ) làm đường tiệm cận GHI NHỚ Hàm số y = tan x : π  - Có tập xác định D1=  \  + kπ k ∈   - Là hàm số lẻ 2  - Là hàm số tuần hoàn với chu kì π - Có tập giá trị  π  π  - Đồng biến khoảng  − + kπ ; + kπ  , k ∈    π - Đồ thị nhận đường thẳng x =+ kπ , ( k ∈  ) làm đường tiệm cận b) Hàm số y = cot x Hàm số y = cot x có tập xác = định D2  \ {kπ k ∈ } hàm số tuần hoàn với chu ki π Tương tự khảo sát hàm số y = tan x ta vẽ đồ thị hàm số y = cot x sau: Hình 1.10 GHI NHỚ Hàm số y = cot x : - Có tập xác định: = D2  \ {kπ k ∈ } - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì π - Có tập giá trị  - Đồng biến khoảng ( kπ ; π + kπ ) , k ∈  = x kπ , ( k ∈  ) làm đường tiệm cận - Đồ thị nhận đường thẳng B Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng 1: Bài tốn tìm tập xác định hàm số lượng giác Cách Cách Tìm tập D x để f ( x ) có nghĩa, tức Tìm tập E x để f ( x ) khơng có nghĩa, { } tìm D = x ∈  f ( x) ∈  tập xác định hàm số D =  \ E CHÚ Ý A Với hàm số f ( x ) cho biểu thức đại số ta có: f ( x ) = f1 ( x ) , điều kiện: * f1 ( x ) có nghĩa f2 ( x ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com   cos x = −1 cos x = −1 (TM ) ⇔ x = π + k 2π ( k ∈  ) ⇔ ⇔ cos x = −2 ( l )  = −1  cos x Câu 20: Đáp án C 13 13 cos x − sin= x cos 2 x ⇔ ( cos x − sin x )( cos x + sin x.cos x + cos = x) cos 2 x 8  13 cos 2 x ⇔ cos x 1 − sin 2 x  − 13 cos 2= cos x ( sin x + cos x ) − sin x.cos x= x    cos x = ⇔ 1 − (1 − cos 2 x ) − 13 cos x =  cos x = cos x = ⇔ ⇔ cos x = cos x − 13cos x + =   π π   x= + k ⇔ (k ∈ ) π x = ± + kπ  Câu 21: Đáp án D sin x = −1 sin x + ( m − 3) sin x + m − = ⇔  sin x= − m π + Với sin x =−1 ⇔ x =− + k 2π ( k ∈  ) 3π  3π  có nghiệm = x ∈  ; 2π    3π  3π   3π  + Phương trình có nghiệm ∈  ; 2π  ⇔ sin x = m − có nghiệm ∈  ; 2π  khác     Câu 22 Đáp án B  ⇔ cos x = cos x − ( 2m + 1) cos x + m + = ⇔ 2cos x − ( 2m + 1) cos x + m = cos x = m   π 3π   π 3π  x ∈  ;  ⇒ cos x ∈ [ −1;0 ) ⇒ cos x = khơng có nghiệm thỏa mãn  ;  2  2   π 3π  Phương trình có nghiệm  ;  ⇔ −1 ≤ m < ⇒ a + b =1 2  Câu 23 Đáp án D π π   cos x + sin x + cos  x −  sin  x −  − = 4 4   ⇔ − 2sin x.cos x +  1  π sin  x −  + sin x  − =  2  2  ⇔ − sin 2 x − cos x + sin x − = ( ) ⇔ − sin 2 x − − 2sin 2 x + sin x − = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇔ sin 2 x + sin x − = π π sin x = −2 ( ) ⇔ ⇔ x = + k 2π ⇔ x = + kπ ( k ∈  ) sin x = 3π 7π 5π = − Vậy tổng hai nghiệm âm lớn − − 4 Câu 24 Đáp án C sin x + cos x + 3sin x.cos x − m + = 3 ⇔ − sin x + sin x − m + = (*) ⇔ 4m = −3sin 2 x + 6sin x + 12 Đặt = t sin x, t ∈ [ −1;1] Xét f ( t ) = −3t + 6t + 12 [ −1;1] Suy (*) có nghiệm ⇔ ≤ 4m ≤ 15 ⇔ Vậy ab = 15 ≤m≤ 4 75 16 Câu 25 Đáp án B { Điều kiện sin x ≠ cos x ≠ − = ⇔ tan x − 3tan x + = tan x π  tan x = ⇔  ⇔  x= + kπ (k ∈ )  tan x = 2=  x arctan + kπ  Phương trình ⇔ tan x + Vậy m = Câu 26 Đáp án D Phương trình bậc sin x,cos x Câu 27 Đáp án A Phương trình có nghiệm 12 + m ≥ 10 ⇔ m ≥ ⇔  m ≥  m ≤ −3 Câu 28 Đáp án C π  sin x + cos x = ⇔ sin  x +  = 3  π π π   − + k 2π  x + = + k 2π x = ⇔ ⇔ (k ∈ ) π 5π π x + =  x= + k 2π + k 2π   π π π ⇒ α β = − = − 12 Câu 29 Đáp án A cos x + sin= x ( cos x − sin x ) ( ⇔ sin x − cos x = − sin x + cos x ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇔   sin x − cos x = −  sin x + cos x  2   π π   −  cos sin x + sin cos x  cos x = 3 6   π π     ⇔ sin  x −  = − sin  x +      π π   ⇔ sin  x − = sin  −2 x −  6    π 2π π  π  −2 x − + k 2π +k x x − = = 18 (k ∈ ) ⇔ ⇔ π π 3π  x − =π + x + + k 2π x = − − k 2π   ⇔ cos π sin x − sin π Câu 30 Đáp án C ( sin x + cos x.sin x + cos3 x =2 cos x + sin x ( ) ) ⇔ − 2sin x sin x + cos x.sin x + cos3 x = 2cos x ⇔ sin x.cos x + cos x.sin x + cos3 x = 2cos x ⇔ sin x + cos3 x = 2cos x ⇔ sin x + cos3 x = cos x 2 ⇔ sin π sin x + cos π cos3 x = cos x 6 π  cos x ⇔ cos  x −  = 6  π π   − + k 2π x − + k 2π x= 4 x =  6 ⇔ ⇔ k ∈ ) 2π ( π π 4 x = x = + k −3 x + + k 2π 42   Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ x1= Câu 31 Đáp án C π 42 , x2= π 13π ⇒ x1 + x2= 42 x x   sin + cos  + cos x =   x x ⇔ + 2sin cos + cos x = 2 π  ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin  x +  = 3  π π π   − + k 2π  x + = + k 2π x = ⇔ ⇔ (k ∈ ) π 5π π x + =  x= + k 2π + k 2π   Nghiệm dương nhỏ π Vậy a + b = π π , nghiệm âm lớn − Phương trình đẳng cấp bậc Câu 32 Đáp án D −1 cos x − sin x = + sin x (1) ⇔ sin x + sin x.cos x − cos x = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com - Với cos x =0 ⇒ sin x =1 ⇒ (1) ⇔ =−1 vơ lí Với cos x ≠ chia hai vế cho cos x ta được: (1) ⇔ tan x + ( tan x − =− + tan x ) ⇔ tan x + t =  x = kπ  tan x = π ⇔ ⇔ (k ∈ ) − + kπ x =  tan x = − 3  Vậy số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Câu 33 Đáp án C 2cos x + 5sin x.cos x + cos x − m − = − cos x ⇔ 2cos x − + 5sin x.cos x + =m 5 ⇔ cos x + sin x + − 3cos x = m ⇔ sin x − 2cos x = m − 2 2 5 Phương trình có nghiệm ⇔   + ( −2 ) ≥ ( m − 3) 2 41 41 ⇔ m−3 ≤ 41 41 41 41 ⇔− ≤ m−3≤ ⇔− +3≤ m≤ +3 2 2 Mà m ∈  ⇒ m ∈ {0;1;2;3;4;5;6} ⇔ ( m − 3) ≤ Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 34 Đáp án B Phương trình sin x + cos x − 4sin x = ( *) -Với cos x = ⇒ sin x = ±1 không thỏa mãn phương trình -Với cos x ≠ , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta (*) ⇔ tan x (1 + tan x ) + + tan x − tan x =0 ⇔ 3tan x − tan x − tan x − = ⇔ tan x = ⇔ sin x − cos x = Câu 35 Chọn đáp án B Điều kiện cos x ≠ Phương trình ⇔ tan x + = + tan x ⇔ tan x − tan x =  x = kπ  tan x = π ⇔ ⇔ (k ∈ ) + kπ  x=  tan x =  Vây só nghiệm ( 0;2π ) Câu 36 Đáp án C 2sin x − sin x.cos x − m cos x = 1(1)  π π Trên  − ;  ⇒ cos x ≠  4 (1) ⇔ tan x − tan x − m = tan x + ⇔ m = tan x − tan x − Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  π π Đặt tan x = t ⇒ t ∈ [ −1;1] ∀x ∈  − ;   4 Yêu cầu tốn tìm m để phương trình m = f ( t ) = t − t − có nghiệm [ −1;1]   ⇒ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ∈  − ;1   Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Phương trình đối xứng phương trình lượng giác khơng mẫu mực Câu 37 Đáp án C sin x + cos x + sin x = (1) ⇔ sin x + cos x + 2 sin x.cos x = π  t sin x + cos= x sin  x +  ⇒ t ∈  − 2;  Đặt= 4  ( ) t = + 2sin x.cos x ⇒ 2sin x.cos x = t − ⇒ (1) ⇔ t + t − =  t=  ⇔ 2t + t − = ⇔  t = − 2 π π   ⇒ sin  x +  = ⇔ sin  x +  = 4 4 2   π π π   − + k 2π  x + = + k 2π x = 12 ⇔ ⇔ (k ∈ ) 7π π 5π x + =  x= + k 2π + k 2π 6   π π π π    − ⇔ sin  x +  = −1 ⇔ x + = − + k 2π + Với t = − ⇒ sin  x +  = 4 4   3π ⇔x= − + k 2π ( k ∈  ) + Với t = Vậy có điểm biểu diễn nghiệm Câu 38 Đáp án D π  sin x + sin  x −  − m − = ⇔ 2sin x.cos x + sin x − cos x − m − = 4  π  t sin x − cos= x sin  x −  ⇒ t ∈  − 2;  Đặt= 4  2sin x.cos x = −t + Phương trình ⇔ m =−t + t (*) có nghiệm  − 2;  Xét hàm số f ( t ) =−t + t  − 2;  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  1 Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m ∈  − − 2;  4  Vậy giá trị m ∈ {−3; −2; −1;0} thỏa mãn Câu 39 Đáp án A π Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ k ( k ∈  ) { cos x ≠ cos x sin x Phương trình ⇔ − =sin x + cos x sin x cos x ⇔ cos x= − sin x sin x.cos x ( sin x + cos x ) ⇔ ( sin x + cos x )( sin x.cos x + sin x − cos x ) = sin x + cos x = (1) ⇔ ( 2) sin x.cos x + sin x − cos x =   π π 0⇔ x= − + kπ ( k ∈  ) = 4 π 1− t2  t sin x − cos= x sin  x −  ⇒ t ∈  − 2;  , sin x.cos x = Giải ( ) Đặt= 4  t = − ( tm ) 1− t2 + t = ⇔ t − 2t − = ⇔  ( 2) ⇔ t = + ( l ) π  1− 1−  Vậy t = sin  x −  = 4 2  Giải (1) ⇔ sin  x + Câu 40 Chọn đáp án B Cách 1: Điều kiện để phương tình tan x + cot x = t có nghiệm: t = tan x + cot x = tan x + cot x ≥ tan x.cot x = ⇒ t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) Cách 2: Phương trình tan x + = t ( tan x ≠ ) có nghiệm tan x ⇔ tan x − t.tan x + = có nghiệm ∆ ≥ ⇔ ⇔ t2 − ≥ ⇔ t ≥ t − + ≠  Câu 41 Đáp án C 3tan x + tan x + 4cot x + 3cot x + = 2 ⇔ ( tan x + cot x ) + tan x + cot x + = ( ( ) ) ⇔ 4t + t − + = ⇔ 3t + 4t − = Câu 42 Đáp án A cos x + cos3 x + 2cos5 x = ⇔ ( cos5 x + cos x ) + ( cos5 x + cos3 x ) = ⇔ 2cos3 x.cos x + 2cos x.cos x = ⇔ 4cos x − 3cos x cos x + cos x.cos x = ( ) ( ) ⇔ cos x  4cos x − 3cos x cos x + cos x  = ⇔ cos x ( 2cos x − 1) cos x + 2cos 2 x − 1 = ( ) ⇔ cos x 4cos 2 x − cos x − = cos x = ⇔ ± 17 cos x =  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com π   x= + kπ ⇔ (k ∈ ) 1 ± 17 x = ± arccos + k 2π  Vậy m = ± 17 Câu 43 Đáp án C sin x − sin x + sin x = ⇔ 2cos x.sin x + 2sin x.cos x = ⇔ sin x 2cos x + cos x − = ( )    x kπ  = sin x 0=  ⇔ cos x =−1 ⇔  x =π + k 2π ( k ∈  )   π x = cos x = ± + k 2π   Vậy có điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Câu 44 Đáp án A  π   + cos  x +    π   − cos x      = sin x + cos  x +  = ⇔   + 4 2           π  ⇔ (1 − cos x ) + 1 + cos  − ( −2 x )   =1 2   ⇔ (1 − cos x ) + (1 − sin x ) = 2 ⇔ − 2cos x + cos 2 x + − 2sin x + sin 2 x = ⇔ − 2cos x − 2sin x = π π π   ⇔ sin  x +  = sin ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin  x +  = 4 4    x = kπ π ⇔ (k ∈ ) + kπ  x=  Vậy phương trình có nghiệm thuộc ( 2π ;3π ) Câu 45 Đáp án B cos3 x.sin x + sin x.cos3 x = sin x cos3 x + 3cos x 3sin x − sin x ⇔ sin x + cos3 x = sin x 4 ⇔ ( sin x.cos x + sin x.cos3 x ) = sin x π ⇔ sin x = sin x ⇔ sin12 x = ⇔ x = k ( k ∈  ) 12 Vậy phương trình có 24 nghiệm [ 0;2π ] Câu 46 Đáp án B x 3x x 3x cos x.cos cos − sin x.sin sin = 2 2 1 ⇔ cos x ( cos x + cos x ) − sin x ( cos x − cos x ) = 2 ⇔ cos x ( cos x + cos x ) + − sin x − sin x.cos x = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇔ cos x ( sin x + cos x ) − sin x ( sin x + cos x ) = ( ) ⇔ ( sin x + cos x ) − 2sin x − sin x = π  − + kπ x =   π  tan x = −1 − + k 2π x = sin x + cos x =   ⇔ sin x = − ⇔ ⇔ (k ∈ ) π    2sin x + sin x − = x = + k π sin x =    5π x + k 2π =  Suy có hai nghiệm thuộc ( −π ;0 ) − Vậy tích hai nghiệm π2 Câu 47 Đáp án A π − π sin x.cos3 x = sin x.cos5 x ⇔ sin x + sin x = sin12 x + sin x kπ  x=  12= x x + k 2π k ∈ ) ⇔ sin x = sin12 x ⇔  ⇔ π π ( 12 x =π − x + k 2π  x= +k 20 `10  Câu 48 Đáp án D sin x ≠  x ≠ kπ  3π Điều kiện   3π  ⇔ (k ∈ ) sin  x − ≠0 x≠ + kπ        Ta có 3π  π π    π  − sin  x −  = sin  x − sin  x − π −  = sin  − x  = cos x =  2 2    2  π  7π    π  − x = − sin  + x  = − sin  sin  2π − − x  = ( sin x + cos x )     4  1 + = −2 ( sin x + cos x ) Phương trình ⇔ sin x cos x   ⇔ ( sin x + cos x )  +2 2= x x sin cos   π  − + kπ  π x =  0 sin x + cos x =  sin  x +  =  π   ⇔ ⇔ ⇔ x = − + kπ ( k ∈  ) sin x.cos x = −   2 = − sin x  π =  x + kπ  Vậy tổng nghiệm âm liên tiếp lớn − Câu 49 Đáp án A π − π − 3π 3π = −  Ta có sin x8 ≤ ∀x ∈  ⇒ sin x − cos8 x ≤ , mà > − cos x ≤ Vậy phương tình cho vơ nghiệm Câu 50 Đáp án A tan x + 2sin x − tan x − 2 sin x + = ( ) ( ) ⇔ tan x − tan x + + 2sin x − 2 sin x + = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇔ ( tan x − 1) + ( ) 2 sin x − =  tan x = π  ⇔ ⇔ x = + k 2π ( k ∈  ) sin x = Vậy phương trình có nghiệm ( 0;2π ) Câu 51 Đáp án C 3π x x 3π 3x 9π − ⇒ = −t ⇔ = − 3t Đặt t= 10 2 10 10 t sin (π − 3t ) ⇔ 2sin t = Phương trình ⇔ sin= sin 3t ⇔ 2sin= t 3sin t − 4sin t ⇔ sin t ( 2cos 2t − 1= ) 3π  − k 2π x = t = kπ sin t =  14π π 1⇔ ⇔ ⇔  x= + k 2π ( k ∈  ) π = ± + t k cos = t       x 4π + k 2π =  Vậy phương trình có nghiệm thuộc ( 0;2π ) Câu 52 Đáp án B ( sin x − 2cos x ) = − sin x ⇔ sin x − 2 cos x = − 2sin x.cos x ⇔ ( sin x − )( ) cos x + = sin x = ( ) 3π ⇔ ⇔x= ± + k 2π ( k ∈  ) cos x = −  Câu 53 Đáp án B sin x ≠ Điều kiện cos x ≠  tan x ≠ −1 cos x − sin x cos x − sin x = + sin x ( sin x − cos x ) Phương trình ⇔ cos x + sin x sin x cos x ⇔ cos = x − sin x sin x.cos x ( cos x − sin x ) + sin x ( cos x − sin x ) ( ) ⇔ ( cos x − sin x ) − sin x cos x + sin x = 0 sin x − cos x = − cos x ⇔ = 1 − sin x +   tan x = 1( tm ) π ⇔ ⇔ x = + kπ ( k ∈  ) x x sin cos + = ( )  Câu 54 Đáp án B { Điều kiện sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 cos x ≠ cos x sin x − + 4sin x = sin x cos x sin x 2 ⇔ 2cos x + 4sin x = ⇔ 2cos x − cos x − = Phương trình ⇔ Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com cos x = 1( l ) ⇔ cos x = −  π 2π + k 2π ⇔ x = ± + kπ ( k ∈  ) 3 Vậy phương trình có nghiệm ( 0; 2π ) ⇔ 2x = ± Câu 55 Đáp án C 2sin 2 x + sin x − =sin x ⇔ 2sin 2 x − + sin x − sin x =0 ⇔ cos x + cos x.sin x = ⇔ cos x (1 + sin x ) = cos x = ⇔ 1 + sin x = Vậy ta chọn đáp án C Câu 56 Đáp án D 2sin x (1 + cos x ) + sin x = + cos x ⇔ 2sin x (1 + cos x − 1) + sin x =1 + cos x ⇔ 4sin x.cos x + sin x = + cos x ⇔ 2sin x.cos x + sin x = + cos x ⇔ ( cos x + 1)( sin x − 1) = 0  cos x + = ⇔ sin x − =0 Vậy ta chọn đáp án D Câu 57 Đáp án A Điều kiện: cos 2x ≠ ⇔ x ≠ π +k π 5sin 2x.cos x Phương trình ⇔ 6sin x − cos x = 3 ⇔ 3sin x − cos x − 5sin x.cos x = ( *) - Với cos x = : Không thỏa mãn phương trình (*) - Với cos x ≠ : Chia hai vế cho cos3 x ta được: (*) ⇔ tan x (1 + tan x ) − − tan x =0 ⇔ tan x − tan x − =0 π ⇔ tan x =1 ⇔ x = + kπ Kết hợp với điều kiện ⇒ Phương trình vơ nghiệm Câu 58 Đáp án A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com π + kπ ; k ∈  Phương trình ⇔ sin x.cos x = sin x ⇔ 2sin x.cos x.cos x − sin x = Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x = ⇔ 4sin x.cos x.cos x − sin x = ⇔ ( cos x.cos x − 1) sin x =  sin x =  sin x = −1 + ⇔ ⇔ cos x = 2  cos x + cos x − =0  cos x = −1 − VN ( )   x = kπ ⇔ (k ∈ ) −1 + x = ± arccos + kπ  2 ⇒ m+n = −1 + 3 + = 2 Câu 59 Đáp án B Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ; k ∈  PT: ⇔ cos 2x − tan x =1 − cos x − (1 + tan x ) cos x = −1 ⇔ cos x + cos x − = ⇔  cos x =   x= π + k 2π π 2π ⇔ ⇔ x = +k (k ∈ ) π x = 3 ± + k 2π  2π π Mà x ∈ [1;70] ⇔ ≤ + k ≤ 70 3 105 ⇔ − ≤k≤ − 2π π ⇒ k ∈ {0;1; 2; ;32} Vậy PT có 33 nghiệm [1;70] Phương trình lượng giác chứa tham số Câu 60 Đáp án C (*) có nghiệm thuộc ( 0; π ) ( 2sin x + 1)( sin x − m ) =  sin x = − (1)  ⇔  sin x = m ( ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  π Giải (1) ⇒ sin x =sin  −   6 π  − + k 2π x = ⇔ (k ∈ ) π = x + k 2π  ⇒ PT (1) khơng có nghiệm thuộc ( 0; π ) ⇒ (*) có nghiệm ∈ ( 0; π ) ⇔ sin x = m có nghiệm ∈ ( 0; π ) ⇔ m ∈ ( 0;1] Chú ý: Độc giả giải cách khác sau: Có sin x ∈ ( 0;1] ∀x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x = m ⇔ m ∈ ( 0;1] Câu 61 Đáp án A  π π PT ( cos x − 1)( cos 2x + cos x − m ) =3 − 4sin x có hai nghiệm ∈  − ;   2 ⇔ ( cos x − 1) ( cos x − + cos x − m ) = ( cos x − 1)( cos x + 1) ⇔ ( cos x − 1) ( cos x − − m ) =  = x cos (1)   cos x − =0 ⇔ ⇔ cos x = m + (2)  cos x − −3 − m =   π π Giải (1): cos x = có hai nghiệm thuộc  − ;   2  π π => Phương trình có hai nghiệm thuộc  − ;   2 ⇔ (2) vô nghiệm (2) ⇔ cos x = ±  m+3 − > m >  m+3  ⇔ < ⇔  m < −3  m +3  m =  =  4 Vậy có giá trị m thỏa mãn Chú ý: cos x ∈ [ 0;1] ∀x ∈ R Câu 62 Đáp án C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com cos x + sin x + 3cos x − m = 5(*) ⇔ cos x − + − cos x + 3cos x − m − =0 ⇔ cos x + 3cos x = m+5 Đặt cos x = t ∈ [ −1;1] , phương trình ⇔ t + 3t = m + Bảng biến thiên: => Phương trình (*) có nghiệm ⇔ −2 ≤ m + ≤ ⇔ −7 ≤ m ≤ −1 Vậy a + b = -8 Câu 63 Đáp án B m m sin x + ( m + 1) cos x = (*) cos x Điều kiện: cos x ≠ m (*) ⇔ m sin x cos x + ( m + 1) cos x = m m +1 m sin x + (1 + cos x ) = 2 ⇔ m sin x + ( m + 1) cos x =m − 1(1) ⇔ phương trình (*) vô nghiệm + Từ m = (*) ⇔ cos x = loại điều kiện ⇒ m = + Với m ≠ => (*) có nghiệm (1) ⇔ m + ( m + 1) ≥ ( m − 1) 2  m ≤ −4 ⇔ m + 4m ≥ ⇔  m ≥ Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 64 Đáp án B cos x + ( 2m + 1) s in − m − =0 ⇔ − 2sin x + 2m sin x + sin x − m − =0 ⇔ 2sin x ( m − s inx ) − ( m − s inx ) =  s inx = (1)  ⇔ ( s inx-m )( 2sin x − 1) = ⇔  s inx = m(2)  π  Giải (1): s inx = ln có nghiệm ∈  − ; π    ⇒ ∀m phương trình có nghiệm Câu 65 Đáp án D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com + tan x + tanx + cot x = m sin x ⇔ (1 + cot x ) + tan x + tan x + cot x + − m = Đặt ⇔ ( tan x + cot x ) + tan x + cot x + − m = = t tan x + cot x ⇒ t −= tan x + cot x t ≥ => Yêu cầu tốn trở thành tìm m để phương trình ( t − ) + t + − m =0 có ⇒ ≤ − t  nghiệm t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) ⇔ m= 3t + t − có nghiệm t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) Bảng biến thiên: => Phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018 = = x cos x sin x 2sin + Với cos x= ⇒  (1) ⇒ −m − = m − ⇔ m = cos x =2 cos x − =−1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ... tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác cung α   Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1)... (hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác *x = α + k 2π , k ∈  biểu diễn điểm đường tròn lượng giác *x = α + kπ , k ∈  biểu diễn hai điểm đối xứng qua O đường tròn lượng giác k... Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác + + cos α + + sin α tan α + + cot α + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức sin x + cos x = Cung