Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Tr-ờng đại học vinh Khoa vật lý ====***==== Khoá luận tốt nghiệp đại học Các ph-ơng pháp gần tính cấu trúc l-ợng áp dụng để tính cấu trúc vùng l-ợng số bán dẫn điển hình (Si, Ge, AIIIBV) Ngành học : Chuyên ngành: Cử nhân khoa học vật lý Vật lý chất r¾n Ng-êi hng dÉn khoa häc : Th.S Ngun ViÕt Lan Sinh viên thực : Nguyễn Thị Hà Trang Lớp : 45B-Vật lý Vinh, 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Lời cảm ơn Khoá luận tốt nghiệp đ-ợc hoàn thành Tr-ờng Đại học Vinh Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, lòng trân trọng biết ơn sâu sắc xin chân thành cảm ơn đến: Thầy giáo, Thạc sỹ Nguyễn Viết Lan đà giao đề tài, tận tình h-ớng dẫn, giúp đỡ đầy tâm huyết suốt trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý đà giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cung cấp tài liệu tham khảo đóng góp nhiều ý kiến quí báu trình làm khoá luận tốt nghiệp Xin cảm ơn tất ng-ời thân gia đình bạn bè đà động viên, giúp đỡ trình thực khoá luận Vinh, tháng năm 2008 SV: Nguyễn Thị Hà Trang Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Mục lục Mở Đầu _ Ch-ơng 1: Các ph-ơng pháp gần tính cấu trúc vùng l-ợng _ 1.1 Ph-ơng pháp gần điện tö _ 1.1.1 Néi dung ph-ơng pháp 1.1.2 Năng l-ợng gần điện tử tự _ 1.1.3 Các cách biểu diễn sơ đồ vùng Năng l-ợng 13 1.1.4 Số mức l-ợng vùng l-ợng _ 14 1.1.5 Sù phơ thc vµo h-íng cđa tranh vùng l-ợng _ 15 1.1.6 Mối liên hệ độ rộng vùng cấm hệ số tán xạ cấu trúc _ 15 1.2 Ph-ơng pháp gần liên kÕt m¹nh 16 1.2.1 Néi dung ph-ơng pháp _ 16 1.2.2 Biểu thức l-ợng không suy biến ®iƯn tư tinh thĨ 17 1.2.3 Mét sè nhËn xÐt kÕt qu¶ 23 1.3 Ph-ơng pháp sóng phẳng biến dạng 25 1.4 Ph-ơng pháp sóng phẳng đà trực giao ho¸ _ 27 1.5 Ph-ơng pháp ô Wigner-Seitz _ 29 1.6 Ph-¬ng pháp giả mô hình 30 1.7 Ph-ơng pháp K.P khối l-ợng hiƯu dơng _ 33 1.8 KÕt ln cđa ch-¬ng _ 37 Ch-ơng II: áp dụng ph-ơng pháp gần để tính cấu trúc vùng l-ợng số chất bán dẫn điển hình 39 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Nguyên tắc chung _ 39 CÊu tróc vùng l-ợng Silic 41 Cấu trúc vùng l-ợng Germani _ 46 Cấu trúc vùng l-ợng hợp chất AIIIBIV 49 Các trạng thái định xứ 52 KÕt luËn ch-¬ng 61 kÕt luËn 63 Tài liệu tham khảo _ 64 Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Mở Đầu Lý chọn đề tài Trong cách mạng khoa học, kỹ thuật, công nghệ, ngành vật lý chất rắn đóng vai trò quan trọng Vật lý chất rắn tạo vật liệu cho ngành mũi nhọn nh-: điện tử, l-ợng nguyên tử, CMT, Vật lý chất rắn môn học đà có từ lâu, nh-ng từ có lý thuyết l-ợng tử tiến khoa học kỹ thuật có đ-ợc sở vững thu đ-ợc kết quan trọng mặt lý thuyết nh- thực nghiệm Việc nghiên cứu tính chất điện tử tinh thể nh÷ng nhiƯm vơ quan träng nhÊt cđa vËt lý chất rắn Đó điện tử có khối l-ợng bé, mang điện tích âm, hạt linh động tham gia vào nhiều t-ợng, quy định nhiều tính chất vật chất, vấn đề khó để mô tả xác tính chất điện tử tinh thể cần phải xét hệ nhiều hạt t-ơng tác với Số l-ợng hạt vô lớn, tính toán ta cần phải lập giải hệ ph-ơng trình phức tạp đến máy tính đại giải đ-ợc Do cần phải tìm cách đơn giản hoá phép tính cách sử dụng phép gần Do tính chất quan trọng ph-ơng pháp gần nghiên cứu tính chất vùng l-ợng nên chọn đề ti: Các phương pháp gần tính cấu trúc vùng l-ợng áp dụng để tính cấu trúc vùng l-ợng số chất bán dẫn điển hình Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu cách sâu ph-ơng pháp gần để đơn giản hoá phép tính toán, nghiên cứu cấu trúc vùng l-ợng chất rắn Sử dụng ph-ơng pháp gần để tìm hiểu tính chất điện tử tinh thể từ ta tính đ-ợc vùng l-ợng cụ thể nhờ phép gần với mục đích cuối tìm hiểu ph-ơng pháp tính cấu Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn trúc vùng l-ợng vật rắn, đặc biệt chất bán dẫn điển hình (Ge, Si, ) Đối t-ợng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu ph-ơng pháp gần đúng: Ph-ơng pháp gần ®óng ®iƯn tư, phÐp gÇn ®óng Hartree-Fox, phÐp gÇn liên kết mạnh, ph-ơng pháp sóng phẳng, ph-ơng pháp sóng phẳng đà trực giao hoá, ph-ơng pháp ô mạng Wigner-Seitz, ph-ơng pháp giả thế, ph-ơng pháp K P khối l-ợng hiệu dụng để tính vùng l-ợng Ph-ơng pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng ph-ơng pháp nghiên cứu ph-ơng pháp lý thuyết Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu phần kết luận nội dung đ-ợc trình bày hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Các ph-ơng pháp gần tính cấu trúc vùng l-ợng Ch-ơng 2: áp dụng ph-ơng pháp gần tính cấu trúc vùng l-ợng số chất bán dẫn điển hình (Si, Ge, AIIIBV, ) Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Ch-ơng 1: Các ph-ơng pháp gần tính cấu trúc vùng l-ợng 1.1 Ph-ơng pháp gần điện tử Bài toán tìm trạng thái l-ợng điện tử tinh thể toán vô phức tạp số l-ợng điện tử tinh thể vô lớn Do đó, ng-ời ta phải tìm ph-ơng pháp gần để giải Một ph-ơng pháp hay đ-ợc sử dụng ph-ơng pháp gần điện tử 1.1.1 Nội dung ph-ơng pháp Gần điện tử ph-ơng pháp mà tác động tất hạt nhân điện tử khác tinh thể lên điện tử ta cần xét đ-ợc tính đại diện tác động trung bình ta cần xét trạng thái l-ợng điện tử đủ để đại diện cho tất điện tử tinh thể Vậy, gần điện tử ta chia tinh thể thành: Tinh thể = hạt nhân + điện tử khác + điện tử Hoặc: Tinh thể = điện tử + phần lại Do tính chất tuần hoàn tịnh tiến cấu trúc tinh thể, V (r ) mô tả tác động trung bình tất hạt nhân điện tử khác mạng tinh thể (còn gọi tr-ờng tinh thể) lên điện tử mà ta xét tuần hoàn tịnh tiến với chu kì mạng Có nghĩa là: V ( r ) V ( r R) Trạng thái điện tử đ-ợc xác định từ ph-ơng trình Schrodinger: (1-1-1) Hˆ r E r 2 2m V r r E r V ( r ) V ( r R) (1-1-2) Trong đó: Từ ph-ơng trình (1-1-2) ta thấy rằng: muốn tìm đ-ợc giá trị l-ợng riêng E hàm sóng riêng r điện tử ta cần phải biết V (r ) Tuy nhiên thực tế ta lại V (r ) ngoµi viƯc V (r ) lµ mét hµm Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn tuần hoàn tịnh tiến với chu kì mạng R , tức phải thỏa mÃn điều kiện (1-1-1) Vậy để tìm hàm V (r ) ta sử dụng ph-ơng pháp gần tự hòa hợp Hartree Fox để giải toán Nội dung ph-ơng pháp gần tự hòa hợp Hartree - Fox: Từ suy luËn vËt lý ta chän hµm r nµo cho lời giải ph-ơng trình (1-1-2) gần điện tử gần bậc Đặt r vào ph-ơng trình (1-1-2) để tính V r Và xem gần bậc V r Đặt V r vào ph-ơng trình Schrodinger ta tìm đ-ợc hàm sóng (r ) - Hàm sóng ta tìm đ-ợc gần bậc Đặt (r ) vào ph-ơng trình (1-1-2) để tính V r gần bậc V (r ) Qúa trình đ-ợc lặp lặp lại ngày ta thu đ-ợc kết xác V (r ) vµ (r ) Vµ nã chØ kÕt thúc dựa vào mức độ gần toán yêu cầu Vấn đề đặt phải chọn hàm sóng ban đầu r nh- nào? Có cách chọn hàm sóng r : - Chän r lµ hµm sãng riêng điện tử tự do, tức coi gần bậc điện tử chuyển động hoàn toàn tự Đây ph-ơng pháp gần điện tư tù - Chän r lµ hàm sóng riêng điện tử nằm nguyên tử, tức coi gần bậc nguyên tử tạo nên tinh thể hoàn toàn độc lập với nhau, không t-ơng tác với Đây ph-ơng pháp gần điện tử liên kết mạnh (gần điện tử liên kết chặt) Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn 1.1.2 Năng l-ợng gần điện tử tự Giải ph-ơng trình Schrodinger viÕt cho chun ®éng cđa ®iƯn tư tinh thể gần điện tử: 2 V r K r E K r 2m (1-1-3) Trong ®ã: V ( r ) V ( r R) (1-1-4) Do coi tr-êng tinh thĨ u nªn ta sử dụng ph-ơng pháp gần điện tử gần tự Vì tuần hoàn V (r ) t-ơng ®èi u cã thĨ coi nã nh- mét nhiƠu lo¹n để giải toán (hay gọi ph-ơng pháp nhiễu loạn) Cụ thể là: Vì V (r ) hàm tuần hoàn nên đ-ợc khai triĨn Fourier d-íi d¹ng: V (r ) V (G).ei G r (1-1-5) G Trong đó: G véctơ mạng đảo ( G có tính chất e iG R 1) Hàm sóng phải hàm Bloch, sóng phẳng có biên độ biến điệu: K r U K r ei K r (1-1-6) U K ( r ) U K ( r R) Trong ®ã: Do ®ã U K (r ) đ-ợc khai triển Fourier theo véctơ G nh- sau: (1-1-7) (1-1-8) U K r K G ei.G.r G K r K G ei.K G .r G Ph-¬ng trình Schrodinger trở thành: G i ( K G G ') r E ( K ) ( K G) .K (G).ei ( K G ) r V (G').K (G).e (1-1-9) 2m G G BiÕn ®ỉi vÕ phải ph-ơng trình (1-1-9) cách thay G (G G') vế phải (1-1-9) đ-ợc đ-a vỊ d¹ng: V (G'). G G K (G).e i ( K G G ') r V (G'). K (G G').e i ( K G ) r G (1-1-10) G Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Ph-ơng trình Schrodinger có dạng: 2 2 E ( K ) 2m ( K G) .K (G) V (G').K (G G') G (1-1-11) Đây hệ ph-ơng trình viết cho K G Hệ ph-ơng trình có tính chất sau đây: - Đây hệ có vô số ph-ơng trình viết cho tất véctơ G có - Hệ ph-ơng trình tuyến tính (hoặc bậc nhất) K (G) - Các ph-ơng trình đồng tất số hạng ph-ơng trình chứa hàm K G Để giải ph-ơng trình (1-1-11) ta chia thành tr-ờng hợp: a Tr-ờng hợp điện tử không bị tinh thể phản xạ Bragg - Gần bậc 0: Có nghĩa tr-ờng hợp V (r ) nhỏ xem V (r ) =0 V (r ) =0 ®èi víi mäi G ' Khi đó, ph-ơng trình Schrodinger có dạng: 2 ( K G)2 .K (G) E(K ) 2m (1-1-12) - Khi G ta có: Vì V (r ) =0 nên điện tư lµ hoµn toµn tù do: 2K EK 2m (1-1-13) Nh-ng điện tử không bị tinh thể phản xạ Bragg 2K G G Nªn: 2 K 2 EK K G 2m 2m E(K ) (1-1-14) 2 ( K G) 2m Vì vậy, để ph-ơng trình (1-1-12) đ-ợc thỏa m·n ph¶i cã: G K G 0 G K G (1-1-15) Vậy gần bậc l-ợng điện tử có dạng: Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn E(K ) 2K 2m Hµm sãng K (r ) điện tử đ-ợc biểu diễn d-ới dạng: K (r ) ei K r (1-1-16) KÕt luËn: Vậy gần điện tử, tr-ờng hợp điện tử không bị phản xạ Bragg xét gần bậc biểu thức l-ợng hàm sóng điện tử có dạng (1-1-16) Có nghĩa trùng với tr-ờng hợp điện tử chuyển động hoàn toàn tự - Gần bậc 1: Trong gần ®óng bËc ta cho c¸c K (G 0) đại l-ợng nhỏ bậc 1, gần ®óng bËc 0, gièng nh- V (G' ) , chóng Nên hệ ph-ơng trình (1-1-11), tổng lấy theo G ' ta cần giữ lại thành phần G' G Khi ph-ơng trình (1-1-11) đ-ợc đ-a dạng: 2 E ( K ) 2m ( K G) .K (G) V (G).K (0) (G 0) (1-1-17) Do K (0) nªn: K (G 0) Thay giá trị E ( K ) V (G ) 2 E(K ) ( K G) 2m (1-1-18) K vào ph-ơng tr×nh (1-1-18) ta cã: 2m K G 2m VG 2K G G (1-1-19) Biểu thức (1-1-19) hiệu đính cho hàm sóng gần bậc gần bậc ta có : K (G 0) , nªn: K (r ) K (G).ei ( K G ) r G K r ei K r 2m VG ei K G r G 0 2K G G (1-1-20) B»ng cách dùng giá trị l-ợng gần bậc tính đ-ợc phần hiệu chỉnh hàm sóng gần bậc Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý 10 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Từ phân tích kết thực nghiệm lý thuyết dẫn đến sơ đồ vùng l-ợng hợp chất AIIIBV nh- hình vẽ sau: Điện tử ALP Năng l-ợng Lỗ trống Điện tử Lỗ trống Điện tử GaP InSb Lỗ trống Trục [1 1] Trục [1 0] Vectơ sóng Hình 17 Và rút đ-ợc kết luận sau: 1, Mặt đẳng lân cận đỉnh vùng hoá trị đáy vùng dẫn mặt cầu, nên khối l-ợng hiệu dụng điện tử nh- lỗ trống đại l-ợng vô h-ớng 2, Trong vùng hoá trị có nhánh ứng với lỗ trống nặng, lỗ trống nhẹ, lỗ trống trung bình, nhánh lỗ trống trung bình có cực đại tâm vùng Brilluoin, hạ thấp xuống khoảng l-ợng Es Hai nhánh lỗ trống nặng lỗ trống nhẹ bị tách tâm vùng Brilloin có thành phần phản đối xứng tr-ờng tinh thể Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý 50 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Để hiểu rõ tách nhỏ cực đại hai nhánh, cực đại đ-ợc vẽ Năng l-ợng to hình sau theo h-íng[1 1] 2 [0 0] H×nh 18: Cực đại hai lỗ trống nặng lỗ trèng nhĐ cđa c¸c chÊt AIIIBV 3, Cùc tiĨu tut ®èi cđa vïng dÉn cã thĨ n»m ë t©m vïng Brillouin nh-: GaAs, InSb n»m ë bê vïng Brillouin theo h-íng tinh thĨ [1 1] nh- GaP hc ë vïng Brillouin theo h-íng [1 0] nh- AIP Vì chất AIIIBV có vùng cấm thẳng nh-: GaAs, InSb Hoặc vùng cấm xiên nh- A.P, GaP, AISb B¶ng 1: Mét sè vïng cÊm số chất bán dẫn Loại vùng Bán dẫn I I GaSb II –VI: CdS BÒ réng vïng cÊm (eV) 0,72 2A2 2,99 I ZnO 3,35 D AlSb 1,58 I 0,41 I GaAs 1,42 D 0,31 I B¸n dÉn Si Ge IV – IV: SiC BÒ réng vïng cÊm (eV) 1,12 0,66 I: Bán dẫn vùng cấm xiên IV IV: PbS PbTe Loại vùng D D D: Bán dẫn vùng cấm thẳng 4, Khối l-ợng hiệu dụng điện tử hợp chất AIIIBV th-ờng nhỏ đại l-ợng vô h-ớng Điều chứng tỏ tăng nhanh l-ợng theo vectơ sóng K Với giá trị K ch-a lớn l-ợng hàm cao bậc Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý 51 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn hai K Vì vậy, khối l-ợng hiệu dụng xác định mẫu có nồng độ điện tử tự khác khác nhau, hay nói cách khác khối l-ợng hiệu dụng điện tử phụ thuộc vào vectơ sóng K biểu thức l-ợng có dạng: 2 K E K E K0 2m* K Bảng 2: Khối l-ợng hiệu dụng sè chÊt b¸n dÉn: ChÊt b¸n dÉn mn* m Ge ml=1,3 mt=0,083 Si ml=0,97 mt=0,19 GaAs GaSb InSb InAs InP 0,07 0,05 0,013 0,013 0,07 m*p m mh=0,34 mlight=0,04 mt.b=0,07 mh=0,5 mlight=0,16 mt.b=0,25 0,5 0,5 0,6 0,4 0,4 2.5 C¸c trạng thái định xứ Khi nghiên cứu chuyển động điện tử tinh thể, tác dụng tr-ờng tuần hoàn tinh thể lý t-ởng lên điện tử có tác dụng tr-ờng phụ nguyên nhân khác nh- tạp chất, khuyết tật, bề mặt tinh thể, lực Culong 1.Các trạng thái tạp chất Xét nguyên tử As có điện tử hoá trị nằm nút mạng tinh thể Si Bốn điện tử hoá trị As tham gia vào liên kết đồng hoá trị với 4e Si Điện tử thứ liên kết với nút mạng yếu chuyển động tr-ờng tinh thể ion As+ Ta coi gần tác dụng tinh thể lên tr-ờng Culông ion tạp chất nh- ion bị nhúng vào môi tr-ờng có số điện môi Vì tr-ờng phụ ion tạp chất gây nên: Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý 52 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chÊt r¾n V r Ze2 (2-5-1) 4 r Trong : Z điện tích ion ( Z As ) Ph-ơng trình Schrodinger tr-ờng tuần hoàn tinh thể có thêm thành phần nhiễu loạn định xứ V r : 2 2m U r V r . r E. r (2-5-2) Giải ph-ơng trình (2-5-2) ph-ơng pháp khối l-ợng hiệu dụng Nội dung ph-ơng pháp khối l-ợng hiệu dụng là: Để mô tả chuyển động điện tử tinh thể có thêm tr-ờng V r ta dùng ph-ơng trình Schrodinger cã d¹ng: 2 2m* V r . r E. r đà thay toán tử: H (2-5-3) 2 U r b»ng to¸n tư cđa mét h¹t tù 2m 2 Hˆ * víi m m* 2m Khi đó, ph-ơng tình Schrodinger có dạng: e2 . a r En a 4 r 2m (2-5-4) Giải (2-5-4) theo ph-ơng pháp Born nh- nguyên tử Hydro Chọn gốc toạ độ đáy vùng dẫn trị riêng l-ợng điện tử là: En Ec m*e4 8h 2 2 02 n (n=1; 2; ) (2-5-5) Thay sè vµo biĨu thøc l-ợng tính l-ợng eV ta có: En Ec 13,52eV m* 2 mn Trị số 13,5 eV l-ợng ion hoá nguyên tử Hydro Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý 53 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn n E1 Khi 13,52eV m* 2 m E1 gäi mức l-ợng 13,52eV m* l-ợng ion hoá tạp chất Năng l-ợng Ed Ec E1 m Năng l-ợng Ed As nhỏ l-ợng ion hoá nguyên tử Hyđrô tự lần Đối với Si: 12 l-ợng ion hoá As Si nhỏ l-ợng m* ion hoá nguyên tử H tự 144 lần, Tức cỡ: (0,05-0,1)eV, coi m Năng l-ợng ion hoá tạp chất khác khác Những tạp chất cung cấp điện tử (nh- As) gọi tạp chất đono, mức l-ợng tạp chất đono nằm vùng cấm gần đáy vùng dẫn Năng l-ợng ion hoá nguyên tử đono tinh thể AIIIBIV th-ờng nhá tØ sè m* 0 nên k không thiết phải số thực Mà K số thực không thoả mÃn điều kiện liên tục hàm sóng đạo hàm x = Giả thiết vùng vectơ sóng số phức đặt: k=k1+ik2 (k1, k2 số thực) Hàm sóng vùng có dạng tổ hợp hàm Bloch: x C.ei k ik xk x D.e Chän D=0 ®Ĩ giíi néi t¹i x= i k1 ik x k x nªn ta cã: x C.ei k ik xk x Từ điều kiện liên tục x đạo hàm theo x tìm giá trị A, C Ta có: 0 A Ck 0 10 2 0 qA CiKk 0 k 0 q ik k 0 ik ln k k Sinh viên Nguyễn Thị Hà Trang lớp 45B Lý 57 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành Vật lý chất rắn Tr-ờng hợp tổng quát: k x hàm phức, ln k 0 cịng lµ hµm phøc, mµ q lµ sè thùc BiĨu diƠn ln k 0 d-íi d¹ng phøc: ln k 0 i q ik i ik1 k2 i Vì q số thực nên k1 q k2 Năng l-ợng điện tử: 2q k2 E k U U0 2m 2m XÐt hai tr-êng hỵp: a, Khi k2=0 E(k)=E(k1) (k1 lµ sè thùc) Khi k2=0 ta có phổ l-ợng trạng thái vùng l-ợng cho phép nh- phổ l-ợng tinh thể vô hạn b, Khi k20 Với giá trị cố định l-ợng hàm bậc hai cđa k2: k2 ®óng víi mäi E k U 2m VËy tinh thĨ giíi h¹n k2 xuất giá trị l-ợng phổ l-ợng điện tử tinh thể vô hạn ta nhận đ-ợc k thực, tức k2=0 Các mức l-ợng xuất điều kiện giới hạn tinh thể phải nằm vùng cấm Các trạng thái ứng với mức l-ợng là: 2 C.eik xk x e k A.eqx 2x (x>0) (x