Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm

I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một vấn đề đổi chương trình giáo dục phổ thơng đổi phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá Việc đổi phương pháp dạy học phương pháp kiểm tra đánh giá mơn Tốn nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh việc tiếp thu kiến thức qua khai thác vận dụng kỹ để giải toán Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, kỳ thị lớp lớp 12 năm gần thi hình thức thi trắc nghiệm nên địi hỏi kỹ giải toán phải linh hoạt, sáng tạo khơng thụ động Khi đứng trước tốn học sinh phải hình dung định hướng cách giải đáp ứng kết cao Qua trình giảng dạy trường phổ thơng nhiều năm thân trực tiếp dạy nhiều đối tượng học sinh từ yếu, trung bình đến bồi dưỡng học sinh khá; song, nhận thấy việc giải toán trắc nghiệm học sinh phương hướng, đặc biệt đối tượng học sinh có học lực yếu, trung bình để tìm đáp án đúng, đơi học sinh giải tốn theo hướng tự luận nhiều thời gian, khi, yêu cầu bình quân câu trắc nghiệm tối đa gần 2,0 phút phải cho đáp số câu hỏi dạng nhận biết Đứng trước vấn đề vậy, làm để đáp ứng nhu cầu đổi nay, cho học sinh có hứng thú học tập, khơng bị động trước tốn mức độ nhận biết, thông hiểu vận dùng hàm số; Sau tơi xin giới thiệu kinh nghiệm là: Những kỹ phát nhanh đồ thị hàm số bậc 3, hàm trùng phương thi trắc nghiệm Mục đích nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức lĩnh vực nhỏ hàm số giúp học sinh có học lực yếu, trung bình, khá… giải tập trắc nghiệm cách nhanh chóng, xác Đối tượng nghiên cứu: Những kỹ giải nhanh toán đồ thị hàm số bậc 3, bậc trùng Phương pháp nghiên cứu: Từ lý thuyết chung hàm số bậc 3, bậc bốn trùng phương, xây dựng hệ thống dấu hiệu nhận biết để giải tập có liên quan II NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1.1 Đối với hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d Một số vấn cần nhớ đồ thị hàm số bậc a0 a0 y '  có hai nghiệm phân biệt hay  y/  y '  có hai nghiệm kép hay  y  / y '  vô nghiệm hay  y/  Chú ý: y(0) = c Từ bảng tổng hợp nhận thấy: * Khi a  , từ trái qua phải đồ thịcó hướng bắt đầu lên * Khi a  , từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu xuống Từ dấu hiệu ta loại số phương án đáp số * y  0  c * Tuỳ vào PT y’=0 có nghiệm hay khơng để kết luận hàm số có hay khơng có cực trị 1.2 Đối với hàm số bậc trùng phương: y  ax  bx  c Một số vấn đề lý thuyết đồ thị cần nhớ a0 a0 y '  có nghiệm phân biệt hay ab  y '  có nghiệm hay ab �0 Ngoài dấu hiệu cực trị, từ bảng tổng hợp ta nhận thấy: �Khi a > 0, từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu lên � Khi a < 0, từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu xuống (hai điều trái ngược với hàm số bậc 3) Từ dấu hiệu ta loại số phương án đáp số �y(0) = c Thực trạng vấn đề Ta gặp dạng toán: Cho hàm số: y  f (x) (bậc bậc trùng phương) hình ảnh đồ thị, tìm đồ thị hàm số cho Cho hình ảnh đồ thị hàm số, tìm hàm số có đồ thị tương ứng Cho hình ảnh đồ thị hàm số tìm liên hệ hệ số Nếu giải nhanh toán theo bước khảo sát để tìm đồ thị thật nhiều thời gian Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Các ví dụ hàm số bậc y  ax  bx  cx  d Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = x3 + 3x2 – B y = x3 - 3x2 - C y = -x3 - 3x2 – D y = -x3 + 3x2 - Giải Nhìn đồ thị có hướng lên từ trái qua phải suy a > nên loại C D Mà đồ thị có điểm cực trị x= x = -2 suy loại B Chọn A Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = x3 – B y = x3 - 3x- C y = -x3 + 3x- D y = x3 - 3x Giải Nhìn đồ thị có hướng lên từ trái qua phải suy a > nên loại C Mà đồ thị không qua gốc tọa độ nên loại đáp án D Mặt khác đồ thị có điểm cực trị nên loại A Chọn B Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên A y  x3  3x  B y  x3  x C y  x3  3x D y   x3  3x Nhìn đồ thị có hướng lên từ trái qua phải suy a > nên D bị loại Ta thấy đáp án B C đồ thị qua gốc tọa độ, mà đồ thị không qua gốc tọa độ nên đáp án B C bị loại Chọn A Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C , D Hỏi hàm số hàm số nào? A y   x3  x  B y   x3  3x  C y  x  x D y  x  3x  Lời giải Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải nên a  suy loại A B, mặt khác đồ thị hàm số không qua gốc tọa độ, nên loại C Chọn D Ví dụ Hình vẽ sau đồ thị bốn hàm số cho đáp án A, B, C , D Hỏi hàm số nào? A B C D Lời giải Nhìn đồ thị có hướng lên từ trái qua phải suy a > nên loại D Mà đồ thị có điểm cực trị nên loại A Xét phương án B có y '  3x  x y ' đổi dấu qua điểm x  0; x  nên hàm số đạt cực tri x  x  , loại phương án B Chọn C Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C , D Hỏi hàm số hàm số nào? A y   x  x  B y   x  3x  C y  x3  D y  x  3x  Giải Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải nên a  suy loại đáp án A B, đồ thị hàm số bậc có điểm cực trị nên loại C Chọn D Ví dụ Hình vẽ sau đồ thị bốn hàm số cho đáp án A, B, C , D Hỏi hàm số nào? A y  x  3x  C y  x3  x  B y  x3  x  D y   x3  x  Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải nên a > 0, suy loại đáp án D, cực trị nằm phái trục 0y nên loại A, mặt khác hoành độ điểm cực trị khác nên loại B Chọn C Ví dụ Đường cong hình bên d i đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? y -1 x O -2 A y  x3  3x C y   x3  3x B y   x  3x  D y  x  x  Giải Vì đồ thị có hướng xuống từ trái qua phải nên a  suy loại đáp án A D, đồ thị qua gốc tọa độ nên c  nên Å loại B Chọn C Ví dụ Đồ thị hàm số y  x3  3x  hình hình đây? y y 4 -2 x O -1 O x -1 -1 Å Å A Hình B Hình y y -1 O x -1 x O -1 -2 -4 C Hình D Hình Ta thấy hàm số có hệ số a > nên đồ thị bắt đầu lên từ trái qua phải suy loại Hình Hình có điểm cực trị ; y(0) = nên loại Hình Chọn A ( Hình 1) Ví dụ 10 Đường cong hình bên d i đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? y x O A y  x  3x  C y  x3  3x  3x  B y   x3  3x  D y   x3  3x  Giải Nhìn dạng đồ thị thấy a > , suy loại B D Mặt khác đồ thị hàm số qua điểm (1;2) y ' �0, x suy loại A Chọn C Ví dụ 11 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = x3 - 3x2 + 3x + B y = x3 - 3x2 - 3x - C y = x3 - 3x2 + 3x – D y = -x3 + 3x2 - 3x – Giải Ta thấy a > suy loại D, đồ thị qua điểm ( 0; -1) nên loại A Mặt khác từ đồ thị ta thấy y ' �0, x �R � loai B Chọn C Ví dụ 12 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = -x3 + B y = -x3 + 3x + C y = -x3 - x + D y = -x3 + Giải Nhìn đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến tập xác định nên loại B đồ thị qua điểm (1;1) nên loại C D Chọn A Ví dụ 13 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A a < 0, b > 0, c > 0, d > B a < 0, b < 0, c = 0, d > C a > 0, b < 0, c > 0, d > D a < 0, b > 0, c = 0, d > 10 Bước 4: Nếu bước 2, khơng tìm đáp án ta xem xét đến hàm số có cực trị hay khơng, kiểm tra hồnh độ điểm cực trị từ cho đáp án Bước 5: Nếu yếu tố chưa tìm đáp án ta ý đến điểm uốn, tâm đối xúng đồ thị hàm số, từ cho kết luận 3.2 Các ví dụ hàm số trùng phương y  ax  bx  c Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y  x  3x  B y  x4  x2  C y   x  x  D y   x  x  Giải Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải khoảng nên a < loại đáp án A B đồ thị có điểm cực trị nên a.b < nên loại đáp án D Chọn C Ví dụ 2: Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? 16 A y = -2x  x  B y = x  x  C y =-x  x  D y = -x  x  Giải Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải khoảng nên a < loại đáp án B Do y(0) = -1 nên loại C mà y  �1  suy loại D Chọn A Ví dụ Đồ thị hàm số nào? A y = x4 - 2x2 +2 B y = x4 - 2x2 + C y = x4 - 4x2 +2 D y = -x4 + 2x2 + Giải Ta thấy đồ thị có hướng xuống từ trái qua phải nên a > suy loại đáp án D, x0 � nên loại C x  �1 � mà y(0) =2 suy loại B mặt khác y '  � � Chọn A Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? 17 A y  x4  x2  B y   x4  x2  C y  x4  x2  D y   x4  x2  Giải Khoảng từ bên trái đồ thị có hướng xuống từ trái a > nên loại B D y(0) = -1nên loại A Chọn C Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y  x  3x  B y  x  x C y  x  x D y   x  x Giải Từ đồ thị ta suy hàm số bậc trùng phương có cực trị nên a > 0, b < 0, loại B, D Mà đồ thị qua gốc tọa độ , suy loại A Chọn C Ví dụ Đồ thị hình bên hàm số ? 18 A y = -x  x  B y = -x  x  C y = x  x  D y = x  x  Nhìn vào đồ thị ta thấy a > nên loại A B Vì đồ thị có điểm cực trị nên a.b < 0, suy loại D Chọn C Ví dụ Đồ thị hàm số y   x  2x  có dạng: A B C y y y y 2 2 1 1 x -2 D -1 x -2 -1 x -2 -1 x -2 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 Từ hàm số ta có: y    1 loại A, B a.b  hàm số có cực trị suy chọn D Chọn D x4 Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y    2x  có dạng: 19 A B C y y y 3 2 2 1 x -2 y -3 D -1 -1 -2 -3 x -3 -2 -1 x -3 -2 -1 x -3 -2 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 Từ hàm số có a < nên đồ thị lên từ trái qua phải khoảng nên loại đáp án B D Hơn y    1 suy loại đáp án A Chọn C Ví dụ Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình bên Chọn khẳng định đúng: A a > 0,b > B a > 0,b < C a < 0,b > D a < 0,b < Nhìn vào đồ thị ta thấy a  nên loại A B Vì đồ thị có điểm cực trị nên a b trái dấu, suy b  Chọn B Ví dụ 10 Giả sử hàm số y  ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Khi 20 A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  Giải Vì đồ thị lên khoảng từ trái qua phải nên a < nên loại đáp án A B Hơn đồ thị có điểm cực trị nên a b trái dấu ( không cấn điều kiện c) suy loại đáp án C Chọn D Ví dụ 11 Cho hàm số y  ax  bx  c có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Giải Ta thấy đồ thị hàm số trùng phương có điểm cực trị a b trái dấu, khoảng đồ thị xuống nên a >0 a >0 y(0) < nên c < Chọn B Ví dụ 12 Cho hàm số y  ax  bx  c ( a �0 ) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng? A C a  , b  0, c  a  , b  0, c  B a  , b  , c  D a  , b  , c  Giải 21 Ta thấy đồ thị hàm số trùng phương có điểm cực trị a b trái dấu, khoảng đồ thị lên nên a > y(0) < nên c < Chọn A Ví dụ 13 Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Tìm kết luận A a + b > B bc > C ab > D ac > Lời giải Từ hình vẽ ta thấy: Đồ thị hàm số khoảng ngài bên trái có hướng xuống � a > Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm � c < Đồ thị hàm số có điểm cực trị � ab < � b < Chọn B Ví dụ 14 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y   x  x  B y  x  x  C y  x  3x  D y   x  2x  Giải Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải nên a < suy loại đáp án B C, đồ thị có cự trị nên a.b 0 loại A Chọn D 22 Qua số ví dụ trên, tuỳ vào tập khác giải cần kiểm tra nhanh dấu hiệu sau: - Kiểm tra nhanh y(0) để loại hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp - Xác định dấu hệ số a dựa vào: Khi a  , từ trái qua phải đồ thị bắt đầu xuống Khi a  , từ trái qua phải đồ thị bắt đầu lên để loại hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp - Xác định dấu a.c để loại hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp - Nếu yếu tố khơng loại hết thi nghĩ đến tương giao đồ thị hàm số với Ox hoành độ điểm cực trị 3.3 Các ví dụ tổng hợp Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong đây? A y   x  x B y  x  x C y  x3  x D y   x3  3x Lời giải Từ hình dạng đồ thị đồ thị hàm số trùng phương,ta loại phương án C D Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải khoảng đầu nên a < nên loại B Chọn A Ví dụ2 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? 23 A y  x3  3x B y   x3  x C y  x  x D y   x  x Lời giải Đường cong có dạng đồ thị hàm số bậc với hệ số a  nên có hàm số y  x  3x thỏa yêu cầu tốn Chọn A Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y  x3  3x  C y   x  x  B y   x  x  D y  x  x  Lời giải Từ hình có hình dạng đồ thị hàm bậc nên loại A B Vì đồ thị lên từ trái qua phải khoảng đầu nên a < nên loại D Chọn C Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y   x  x B y   x3  3x C y  x  x D y  x  3x Lời giải Đường cong hình đồ thị hàm trùng phương nên loại B D Vì đồ thị lên từ trái qua phải khoảng đầu nên a < nên loại C Chọn A 24 Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y  x  x  B y   x3  3x  C y  x3  3x  D y   x  x  Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên loại đáp án B C Vì đồ thị có hướng xuống từ trái qua phải khoảng đầu nên a > nên loại D Chọn A Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên A y  x4  2x2  B y  x3  2x2  C y  x3  3x2  D y  x4  2x2  Lời giải Qua đồ thị hàm bậc nên loại A, D Vì đồ thị có hướng xuống từ trái qua phải khoảng nên hệ số a a < � loại đáp án C Chọn B Ví dụ Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y   x  3x  B y  x  x  C y  x  x  D y  x3  3x  Lời giải Đồ thị hình vẽ đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a  nên có hàm số y  x  x  thỏa mãn điều kiện Chọn D Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? 25 A y   x  x  B y  x  x  C y  x3  3x  Lời giải D y   x  x  Chọn D Dựa vào đồ thị có dạng đồ thị hàm số bậc có hệ số a  nên đáp án D Ví dụ Đồ thị hàm số có dạng đường cong bên? A y  x3  3x  C y   x  x  B y  x  x  D y   x  3x  Lời giải Vì đồ thị hàm số bậc với hệ số a > Chọn A Ví dụ 10 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y  x  x B y   x3  3x C y  x3  3x Lời giải 26 D y   x  x Đây đồ thị hàm số bậc ba với hệ số a  nên chọn C Chọn C Ví dụ 11 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y   x  x  B y  x3  3x  C y   x  x  D y  x  x  Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy hình ảnh đồ thị hàm số bậc ba nên loại đáp án B C; Mặt khác dựa vào đồ thị ta có nên hệ số x3 dương nên ta chọn đáp án B Ví dụ 11 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y  x  3x  C y   x  3x  B y  x  x  D y   x  x  Lời giải Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y  ax  bx  c  a   Chọn B Ví dụ 12 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C , D Hỏi hàm số hàm số nào? A y  x  3x  B y   x3  3x  C y  x  x  27 D y   x  3x  Lời giải Dễ thấy đồ thị hàm bậc ba với a >0 nên loại đáp án B C; D Chọn A Ví dụ 13 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y  x  3x  C y  x  x  B y  x  3x  D y  x  x  Lời giải Dạng đồ thị hàm số bậc ba nên loại C D Từ đồ thị ta có a  Do loại B, Chọn A Ví dụ 14 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây? A y  x3  3x  B y   x3  x  C y   x  3x  D y  x  3x  Lời giải + Nhìn đồ thị khẳng định đồ thị hàm trùng phương loại A B + Vì đồ thi có hướng lên từ trái qua phải khoảng đầu cho có a < suy loại D Chọn C Ví dụ 15 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây? 28 D y   x  x  A y  x3  3x  B y  x  x  C y   x  x  Vì đồ thị có hướng xuống từ trái qua phải nên a  suy loại A , mặt khác đồ thị hàm số bậc nên loại B C Chọn D Ví dụ 16 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y  x3  3x  B y  x  x  C y  x  x  D y   x3  3x  Vì đồ thị có hướng lên từ trái qua phải nên a  suy loại đáp án D, đồ thị hàm số bậc nên loại C, mà đồ thị tiếp xúc trục hồnh khơng có điểm cực trị x = suy loại B Chọn A Ví dụ 17 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y  x3  3x2  B y   x4  2x2  C y  x4  2x2  D y   x3  3x2  Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy hình ảnh đồ thị hàm số bậc ba nên loại đáp án B C mặt khác đồ thị lên từ trái qua phải nên a > nên loại D Chọn A 29 Thông qua tập tổng hợp giáo viến nhận mạnh cho học sinh biết Ngoài lượng kiến thức tách riêng có nhiều tập cho dạng tổng hợp em cần sử dụng dấu hiệu dấu hiệu để loại đáp án không phù hợp với đề Hiệu sáng kiến Trong trình giảng dạy, hướng dẫn học sinh làm tập theo bước em tự phân tích dấu hiệu đưa đáp án cho tất tập III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Qua hệ thống lí thuyết số tập lĩnh vực nhỏ hàm số bậc 3, hàm số bậc dạng trùng phương; tìm hàm số biết đồ thị ngược lại Cũng cho đồ thị hàm số học sinh giải tập liên quan đến hệ số hàm số Đối với học sinh nắm dấu hiệu giải tốt dạng tập Trên kinh nghiệm nhỏ tơi mà q trình giảng dạy xây dựng nên, mong nhận đóng góp anh chị bạn đồng nghiệp để tơi dạy cho học sinh chun đề có hiệu Tơi xin chân thành cảm ơn 30 ... toán: Cho hàm số: y  f (x) (bậc bậc trùng phương) hình ảnh đồ thị, tìm đồ thị hàm số cho Cho hình ảnh đồ thị hàm số, tìm hàm số có đồ thị tương ứng Cho hình ảnh đồ thị hàm số tìm liên hệ hệ số Nếu... hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y  x  3x  B y  x  x C y  x  x D y   x  x Giải Từ đồ thị ta suy hàm số bậc trùng phương có... vực nhỏ hàm số giúp học sinh có học lực yếu, trung bình, khá… giải tập trắc nghiệm cách nhanh chóng, xác Đối tượng nghiên cứu: Những kỹ giải nhanh toán đồ thị hàm số bậc 3, bậc trùng Phương pháp