Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là xây dựng một cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất cả các trường hợp về áp dụng hằng đẳng thức để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, thực hiện phép tính và giải phương trình chứa căn bậc hai. Có hệ thống bài tập áp dụng để học sinh hiểu đầy đủ từ dể đến khó, các trường hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để làm rỏ các dạng toán này, đồng thời có những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của bản thân. Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, chống tư tưởng ngại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái hay cái mới trong toán học
1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Để đáp ứng được u cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh, trong q trình giảng dạy mỗi giáo viên phải biết chắt lọc những nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng, ngắn gọn và đầy đủ, phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng giúp học sinh có thể nắm được nội dung chính trong bài học, đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư duy cũng như kĩ năng phân tích, trình bày bài giải một cách chặt chẽ, logíc, có hệ thống. Trong những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các em năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Chính vì vậy, mỗi giáo viên đứng lớp phải có một phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ thống, phân loại và chọn lựa các dạng bài tập phong phú, đáp ứng được u cầu tối thiểu của người học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của học sinh Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả các bài kiểm tra, bài thi của học sinh, tơi nhận thấy vẫn cịn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm khơng đáng có khi giải tốn chứa căn thức bậc hai cịn nhiều sai sót, rập khn máy móc hoặc chưa làm được do chưa nắm chắc các phương pháp giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng tốn. Trong khi đó, kỳ thi học kỳ 1 và các kỳ thi cuối cấp. Nôi dung đê thi ̣ ̀ thương r ̀ ơi vao kiên th ̀ ́ ức cơ ban không thê thiêu đo la ch ̉ ̉ ́ ́ ̀ ương căn thức bâc hai ̣ cho dươi dang rut gon biêu th ́ ̣ ́ ̣ ̉ ức, thực hiên phép tinh căn ho ̣ ́ ặc giải phương trình Để tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, tơi nhận thấy việc rèn luyện kỹ năng giải tốn có chứa căn thức bậc hai cho học sinh là rất cần thiết. Với các lí do trên, tơi xin được trình bày một số kinh nghiệm được rút ra trong q trình giảng dạy với tên đề tài: “Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng tốn có chứa căn thức bậc hai”. Đề tài này nhằm giúp học sinh lớp 9, cac hoc sinh kha, gioi mơn toan va đ ́ ̣ ́ ̉ ́ ̀ ược thực hiên trong cac ̣ ́ giờ luyên tâp, ôn tâp, ôn thi vao l ̣ ̣ ̣ ̀ ơp 10 vê giai bai tâp rut gon biêu th ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ức co ch ́ ứa căn thưc, th ́ ực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc hai 1.2. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài này đã có một số sách tham khảo cho học sinh THCS nhưng chưa tổng hợp được và chưa vận trong nhiều dạng tốn, ứng dụng các bài tốn khác nhau. Ở đề tài này tơi đã xây dựng một cách tổng qt, đầy đủ, chi tiết cho tất cả các trường hợp vê áp d ̀ ụng hằng đẳng thức để giai bai tâp rut gon biêu th ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ức co ch ́ ưa căn th ́ ưc b ́ ậc hai, thực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc hai Có hệ thống bài tập áp dụng để HS hiểu đầy đủ từ dể đến khó, các trường hợp áp dụng hằng đẳng thức khác nhau để làm rỏ các dạng tốn này, đồng thời có những bài tập nâng cao để học sinh phát triển tư duy sáng tạo của bản thân Xây dựng cho học sinh niềm tin trong học tập, ch ống t ư tưởng ng ại khó, sợ tốn, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi cái hay cái mới trong tốn học. Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong q trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy. Ngồi mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy năng lực của học sinh và đổi mới kiểm tra đánh giá trường THCS 1.3. PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài được áp dụng để giảng dạy cho hầu hết các đối tượng học sinh học lớp 9, cho đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện bậc THCS và là tài liệu cho học sinh học lên THPT vừa là tài liệu tham khảo cho giáo viên tham gia giảng dạy mơn tốn THCS và bồi dưỡng HSG tốn 9 Đề tài chỉ nghiên cứu đến dạng bài tốn về sử dụng hằng đẳng thức để giai bai tâp rut ̉ ̀ ̣ ́ gon biêu th ̣ ̉ ưc co ch ́ ́ ưa căn th ́ ức, thực hiên phep tinh và gi ̣ ́ ́ ải phương trình chứa căn bậc hai 2. PHẦN NỘI DUNG 2.1.THỰC TRẠNG KHI CHƯA ÁP DỤNG ĐỀ TÀI: 2.1.1. Số liệu thống kê: Để thực hiện đề tài tôi tiến hành khảo sát chất lượng học sinh dạng bài tập này trước khi triển khai kinh nghiệm thu được như sau: Kết quả bài kiểm tra số 1 ( Trước khi triển khai kinh nghiệm.) Lớp Sĩ số 91 92 35 34 Giỏi SL 4 % 11,4 11,7 Khá SL % 22,9 20,6 TB SL 12 13 % 34,3 38,3 Yếu – kém SL % 11 31,4 10 29,4 2.1.2. Tình hình trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài: Đối với học sinh trường THCS nơi tơi đang cơng tác phần lớn các em được học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng và nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài tốn, học sinh vẫn bị lúng túng trong định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đã học. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, cơng thức mà thầy, cơ đã hướng dẫn. Điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải tốn của học sinh, dẫn đến các em khơng ham học tốn và khơng tự tin khi giải tốn, lúng túng trong lí luận và trình bày 2.1.3. Ngun nhân dẫn đến tình hình trên: * Về giáo viên: Việc truyền tải kiến thức của căn thức bậc hai cho học sinh đang cịn hạn chế Chưa hình thành được cho học sinh kỹ năng giải, mơ hình giải, cách giải ứng với từng trường hợp, từng bài tập vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 Kỹ năng rèn luyện cho học sinh tư duy, định hướng trước một bài tốn và khả năng phân tích đề bài chưa được chú trọng * Về học sinh: Động cơ thái độ học tập của nhiều học sinh chưa thật tốt. Học sinh vẫn quen với lối học thụ động, chưa sẵn sàng tham gia một cách tích cực, chủ động vào các nội dung học tập Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã học lớp 8 nên khơng chuẩn bị tốt tâm thế cho giờ học Tốn. Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn thức ở lớp 9 chưa thành thạo. Học sinh chưa hình thành được mơ hình giải tốn, các bước để giải một bài tốn Kỹ năng phân tích đề bài và định hướng được cách làm của một bài, một dạng của học sinh cịn khiêm tốn 2.2. CÁC GIẢI PHÁP: 2.2.1. Cho học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 Đê khăc phuc vân đê đa nêu ̉ ́ ̣ ́ ̀ ̃ ở trên, ta cân cho hoc sinh n ̀ ̣ ắm chắc bay hăng ̉ ̀ đăng th ̉ ưc đa hoc ́ ̃ ̣ ở lơp 8 ́ 1) Binh ph ̀ ương môt tông : (a + b) ̣ ̉ = a2 + 2ab + b2 2) Binh ph ̀ ương môt hiêu : (a – b) ̣ ̣ = a2 – 2ab + b2 3) Hiêu hai binh ph ̣ ̀ ương : a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) Lâp ph ̣ ương môt tông : ̣ ̉ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lâp ph ̣ ương môt hiêu : (a – b) ̣ ̣ = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 6) Tông hai lâp ph ̉ ̣ ương : a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) 7) Hiêu hai lâp ph ̣ ̣ ương : a3 – b3 = ( a – b).(a2 + ab + b2) Biêt vân dung no đê đ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ưa ra nhưng hăng đăng th ̃ ̀ ̉ ức đang nh ́ ớ ở lớp 9 (theo thư t ́ ự) viêt d ́ ưới dang co dâu căn. (v ̣ ́ ́ ới a ; b > 0) 1) a + ab + b = 2) a − a + = ( ( a+ b ) a −1 ) 2 ( ) ( ) = ( a + b ) ( 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + 5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ) ( + 3) a − b = a − b a− b 3 ( ) b ) a − ab + b a +a ) ) 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) 2.2.2. Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chưng minh cac đăng th ́ ́ ̉ ức sau: a a a) 1 a a a a (với a 0; a 1) Nhân xet đê bai: ̣ ́ ̀ ̀ Bai toan cho gôm co cac h ̀ ́ ̀ ́ ́ ằng đăng th ̉ ức sau : ( a ) = ( − a ) ( + a + a ) − ( a ) = ( − a ) ( + a ) − a a = 13 − − a = 12 tương tự hăng đăng th ̀ ̉ ưc sô 3; 7 l ́ ́ ơp 8. Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vê ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́ trai: ́ Giaỉ � � � 1− a a 1− a � VT = � + a � � �1 − a � �1 − a � � � � � � ( )( ) �1 − a + a + a �� � 1− a � =� + a �� � ��1 + a − a � 1− a � �� � ( ( )( ) ) � � = + a + a � � 1+ a � � Đên đây ta lai thây xuât hiên h ́ ̣ ́ ́ ̣ ằng đẳng thức: ( + a + a ) = ( + a ) tương tự đẳng thức số lơṕ Tiêp ́ tuc̣ biên ́ đôỉ ta được kêt́ qua:̉ VT 1 a a VP b) a+b a 2b =a b2 a + 2ab + b (với a + b > 0 và b ) Nhân xet ̣ ́: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hằng đẳng thức sô 1 l ́ ơp 8. Ap dung vao ́ ́ ̣ ̀ bai toan ta biên đôi vê trai : ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ Giaỉ VT a b a 2b b2 a 2ab b 2 a b ab b2 a b a 2b a b a b b2 a b b a b2 a b (vì a + b > 0) (đpcm) a Bai 2: ̀ Chưng minh đăng th ́ ̉ ức: � 1 � a +1 + = � �: a −1�a − a + �a − a a −1 (với a > b; a voi a > ; a 1) a Nhân xet ̣ ́: bai toan đã cho k ̀ ́ ết hợp phân tích đa thức thành nhân tử và dạng hằng đẳng thức thứ 2 lớp 8 ở mẫu thức: a− a = a ( a − a +1 = ) a −1 ( ) a −1 Ap dung vao bai toan, ta biên đôi vê trai : ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ Giai ̉ VT a a a a a a : : a a a a a 1 a a a a a a a a a a a : a VP Dạng 2: Rút gọn biểu thức: � a �� � − :� + Bài 1: Cho biểu thức K = � � � � a − a − a �� a + a − � a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K 0 và a ≠ 1 � a �� � − :� + K = � � � a ( a − 1) �� a + ( a + 1)( a − 1) � � a −1 = a −1 a +1 : a ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) = a −1 a −1 ( a − 1) = a ( a − 1) a b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 Ta có: a = 3 + 2 = (1 + )2 � a = + (dạng hằng đẳng thức thứ nhất) + 2 − 2(1 + 2) = =2 1+ 1+ c) Tìm các giá trị của a sao cho K 0, x b) P x x : x � + = � � x x −1 x � ( ) 1+ x = x ( ) x −1 ( ( x x x ( ) � x −1 x � x x −1 � � ) x − 1) ( = x )( x +1 x x x 1 > � ( x 1) > x x Vậy với x > 2 thì P > c) Với x > 0, x 1 thì ) = x 1 x −1 x x > 2 Bai 4: ̀ Cho biêu th ̉ ưc: ́ ( A= a+ b ) − ab a− b − a b +b a ab a) Tim điêu kiên đê A co nghia ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ̃ b) Khi A co nghia. Ch ́ ̃ ưng to gia tri cua A không phu thuôc vao a ́ ̉ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̀ Nhân xet ̣ ́: Bai toan cho d ̀ ́ ươi dang hăng đăng th ́ ̣ ̀ ̉ ức và phân tích đa thức thành nhân tử: ( a ab + b = a ) b Ap dung vao bai toan ta co l ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ời giai: ̉ a b + b a = ab ( a + b ) Giai ̉ ( A= a+ b ) − ab a− b aĐK ) a: b; > a; b ( b) A = A= A= a+ b ) a b +b a ab − ab − a− b a − ab + b − a− b ( − ) ( a− b − ( ab a b + b a a + ab + b − ab = − ab a− b ) a+ b = ( a− b ) − a− b ) ( a+ b ( a+ b ) ab ) a + b = a − b − a − b = −2 b Biêu th ̉ ưc A không phu thuôc vao a . ́ ̣ ̣ ̀ x x x Bài 5: Cho biểu thức: A x x a) Rút gọn biểu thức A? b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A sau nhận giá trị nguyên? Nhận xét: ta thấy x3 x x x x 1 x x x x Áp dụng cho bài tốn trên ta có lời giải: Giải: a ) ĐKXĐ : x 0; x x x x A x x x x x x x ( x 1) x b) Ta có: A x x x x x x x x x x x x 1 x x x , A nhận giá trị nguyên khi x là ước của 1 Với: x 1 x Vậy x x x 1;1 (TM ) x TM 0;4 thì A nhận giá trị nguyên Bai 6: ̀ Cho biểu thức R = c c 2 c c (Điều kiện c 0; c 4) a) Rút gọn biểu thức R b) Tìm c để R = 2 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2008 2009) Nhân xet ̣ ́: bai toan đã cho sau khi quy đ ̀ ́ ồng co hăng đăng th ́ ̀ ̉ ức: a−b = ( a+ b )( a− b ) và (a b) a2 2ab b Ap dung vao bai toan ta ́ ̣ ̀ ̀ ́ co l ́ ời giải: Giải: a) Điều kiện c 0; c R c c c c c c c c c c 2(c 4) c c b) R = 2 2 c c 2(c 4) 2(c 4) c c c 2c c 12(TM ) Vậy khi R = 2 thì c =12 Bài 7: Cho biểu thức sau: b3 ab B a a3 ab b a b : a b a b a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức b) Rút gọn biểu thức B c) Với giá trị nào của a,b thì B = 0 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2009 2010) Nhân xet ̣ ́: Bài tốn sau khi tìm ĐKXĐ và phân tích đa thức thành nhân tử rồi rút gọn xuất hiện hằng đẳng thức a − b = ( a + b ) ( a − b ) Ap dung vao bai ́ ̣ ̀ ̀ toan ta co l ́ ́ ời giải: Giải: a) ĐKXĐ của biểu thức: a 0; b 0; a b b) B b b ( a b) a ( b a) ( a b) ( b a) a : ( a b) : 2( a ( a b) b )( a b) b a b a b a (KTM) Vậy khơng có giá trị nào của a,b thì B = 0 c) B Bài 8: Cho biểu thức Q x x 1 x x , với x >0 và x a) Thu gọn biểu thức Q b) Tìm các giá trị của x R sao cho x > và Q có giá trị ngun 10 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2011 2012) Nhân xet ̣ ́: Bai toan đã cho phân tích đa th ̀ ́ ức thành nhân tử: x x x x 1 rồi quy đồng và xuất hiện hằng đẳng thức, rút rọn. Ap dung vao bai toan ta co : ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ Giải: a) Với x >0 và x 1 ta có: x Q x x x x x x x x b) Ta có: Q Vì x x x x 1 x x x nên x 1 x x Suy ra : 1 hai sô đo la 3 va 1 ̀ ́ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ 12 Bươc 3 : ́ Lây căn bâc hai cua t ́ ̣ ̉ ưng sô v ̀ ́ ừa tim đ ̀ ược rôi viêt chung d ̀ ́ ́ ươí dang binh ph ̣ ̀ ương môt tông hoăc môt hiêu (Tuy theo dâu công hoăc tr ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ừ cua biêu ̉ ̉ thưc d ́ ươi dâu căn l ́ ́ ớn ) Giai ̉ ( 2+ VT = + + − = VT = ( ) +1 2 + ( ) =( −1 2 ) + 2( − 3) = ) +( ) =( +1 −1 2 + 3.1 + − 3.1 + + 2 ) ( +1 + ) =2 −1 = = VP Hai vi du lây phia trên la hai tr ́ ̣ ́ ́ ̀ ương h ̀ ợp ma chung ta th ̀ ́ ương găp. Tuy theo ̀ ̣ ̀ tưng loai bai, ta co thê giai băng nhiêu cach khac nhau, nh ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ưng cơ ban la biêt vân ̉ ̀ ́ ̣ theo ba bươc ́ ở trên la ta co thê giai quyêt đ ̀ ́ ̉ ̉ ́ ược rât nhiêu bai dang nh ́ ̀ ̀ ̣ vây. Sau ̣ đây la môt sô bai tâp trong sach bài t ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ập va môt sô bai trong cac ki thi tuyên vao ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̀ lơp 10 ma tôi chi giai d ́ ̀ ̉ ̉ ựa vao ba b ̀ ươc đa phân tich ́ ̃ ́ ở trên đê giai, không phai lam ̉ ̉ ̉ ̀ chi tiêt theo t ́ ưng muc nh ̀ ̣ ư ở trên. Bai 1 : ̀ Rut gon biêu th ́ ̣ ̉ ức 11 + − + = 11 + 2.3 − + = + 9.2 + − + ( = 9+ ) −3+ = 3+ −3+ = 2 Bai 2: ̀ Rut gon biêu th ́ ̣ ̉ ức: 15 − 6 + 33 − 12 = 15 − 2.3 + 33 − 2.6 = − 9.6 + + 33 − 36.6 = = ( 3− 6) + 24 − 24.9 + = ( 9− ( 3− 6) ) + + 33 − 216 ( 24 − ) = − + 24 − = − + = 2.2.4. Dùng phương pháp thêm bớt để có dạng hằng đẳng thức để giải một số bài tốn rút gọn nâng cao Bai 1: ̀ Chưng minh : ́ P a a 2 a a 2 4 nếu 2 a a nếu a > 6 Nhân xet ̣ ́ : Lam t ̀ ương tự như bai trên ta co l ̀ ́ ời giai sau : ̉ 13 Giai ̉ P a a a 2 a a a 22 2.2 a 2 2 a 2.2 a a a 2 a 2 a 2.2 a 2 a a 2.2 a 22 Nếu 2 a 6 , ta có: P a 2 Nếu a > 6 , ta có P a 2 a 2 a * Con rât nhiêu bai tâp ma ta co thê s ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ử dung hăng đăng th ̣ ̀ ̉ ức đê rut gon biêu ̉ ́ ̣ ̉ thưc co ch ́ ́ ưa căn th ́ ưc bâc hai hoăc th ́ ̣ ̣ ực hiên phep tinh căn th ̣ ́ ́ ức bâc hai. Nh ̣ ững bai tâp tôi đ ̀ ̣ ưa ra ở trên đa d ̃ ược chon l ̣ ọc, đê cho cac em hoc sinh nhân thây đ ̉ ́ ̣ ̣ ́ ược tâm quan trong cua hăng đăng th ̀ ̣ ̉ ̀ ̉ ưc đang nh ́ ́ ơ, qua đo cac em co thê biêt cach hoc ́ ́ ́ ́ ̉ ́ ́ ̣ va cach ap dung vao viêc ren luyên giai bai tâp rut gon biêu th ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ức co ch ́ ứa căn thức bâc hai va th ̣ ̀ ực hiên phep tinh co dâu căn. Muc đich cua nôi dung nay la nhăm gop ̣ ́ ́ ́ ́ ̣ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̀ ́ phân nâng cao chât l ̀ ́ ượng day hoc trong nha tr ̣ ̣ ̀ ương ma hiên nay co chiêu h ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ướng đi xuông b ́ ởi vi môt sô em do ch ̀ ̣ ́ ưa năm băt đ ́ ́ ược kiên th ́ ức cơ ban va ch ̉ ̀ ưa biêt́ cach vân dung kiên th ́ ̣ ̣ ́ ức vao lam bai tâp ̀ ̀ ̀ ̣ 2.2.5. Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình có chứa căn thức bậc hai a. Các ví dụ: a) x 1 b) 3x x c) x x2 d) x x x −1 x2 − − x =3 x2 − =4 x +1 b. Phương pháp chung: Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn Cụ thể : Tìm ĐKXĐ của phương trình Sử dụng HĐTđể biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. Giải phương trình vừa tìm được So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm c. Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình): 14 * Giải phương trình dạng: f ( x) g ( x) Bài 1: Giải phương trình : x x (1) ĐKXĐ : x+1 x 1 Với x 1 thì vế trái của phương trình khơng âm. Để phương trình có nghiệm x1 x 1.Khi phương trình (1) tương đương với phương trình : x+1 = (x1)2 x2 3x= 0 x x(x3) = 0 x Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 Bài 2: Giải phương trình: x x 13 x 13 x (1) ĐKXĐ : x 13 x x x 13 x 13 (2) Bình phương hai vế của (1) ta được : x (13 x) x2 Phương trình này có nghiệm x1 10 x 17 Chỉ có x1 Vậy nghiệm của phương trình là x 10 * Giải phương trình dạng: f ( x) h( x ) Bài 3: Giải phương trình: x ĐKXĐ: x x x x 2 27 x 170 10 thoã mãn (2) g ( x) x 1 x x (1) x Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: 1 x 2 x x x x Phương trình này có nghiệm x thỗ mãn (2) Vậy nghiệm của phương trình là x Bài 4: Giải phương trình: x 1 x (1) Lập phương trình hai vế của (1) ta được: x x 33 ( x 1)(7 x) (x1) (7 x) = 0 x = 1 x = 7 (đều thoả mãn (1) Vậy x 1; x là nghiệm của phương trình * Giải phương trình dạng: f ( x) h( x ) g (x) Bài 5: Giải phương trình x x = 12 x 15 x = 12 x + x (1) x ĐKXĐ: 12 x x x x 12 x 7 x 12 Bình phương hai vế ta được: x 4 = 2 (12 x)( x 7) (3) Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thỗ mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được : (x 4)2 = 4( x2 + 19x 84) 5x2 84x + 352 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm x1 = Vậy x1 = 44 và x2 = 8 đều thoả mãn (2) 44 và x2 = 8 là nghiệm của phương trình * Giải phương trình dạng: f ( x) h( x ) g (x) + q (x) Bài 6: Giải phương trình : x + x 10 = x + x (1) x x ĐKXĐ : x x 10 x x x x 10 x ≥ 1 (2) Bình phương hai vế của (1) ta được : x+1 + x+ 10 + 2 ( x 1)( x 10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x 2)( x 5) 2+ ( x 1)( x 10) = ( x 2)( x 5) (3) Với x 1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta ( x 1)( x 10) = 1 x Điều kiện ở đây là x 1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) x x x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1) Nhận xét: Phương pháp nâng lên luỹ thừa sử dụng vào giải số dạng phương trình vơ tỉ quen thuộc, song trong q trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dương a,b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1, 2, 3 ) 16 Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện cả hai vế của phương trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này Ngồi ra cịn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau * KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC : Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng, bản thân tơi nhận thấy đề tài này có tác dụng rất lớn trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, tơi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức hay giải phương trình có chứa căn thức bậc hai để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ơn tập, ơn thi các em được hệ thống lại một cách hồn chỉnh theo các dạng trên. Vì thế các em khơng cịn lúng túng khi giải các dạng bài tập này mà cịn rất hứng thú. Kết quả bài kiểm tra số 2: (Sau khi triển khai kinh nghiệm.) Lớp Sĩ số Giỏi SL 6 % 17,2 17,6 Khá SL 12 11 % 34,3 32,4 TB SL 13 14 % 37,1 41,2 Yếu kém SL % 11,4 8,8 35 92 34 Để đạt được kết quả và chất lượng học sịnh được nâng lên rõ rệt là do học sinh đã hiểu thấu đáo vấn đề ở những góc độ áp dụng từng hằng đẳng thức khác nhau. Đặc biệt là ở học sinh đã hình thành được kỹ năng giải bài tập, biết phân tích nhận dạng bài tốn. Tuy nhiên việc áp dụng từng phần trong nội dung của đề tài tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh. Đối với các lớp đại trà tơi chỉ rèn luyện cho các em dạng bài áp dụng những hằng đẳng thức đơn giản từ hằng đẳng thức thứ 1 đến hằng đẳng thức thứ 3. Đối với học sinh khá giỏi thì áp dụng tất cả hằng đẳng thức sau đó mới đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó giúp học sinh hình thành kỹ năng giải dạng bài tập này 17 3. PHẦN KẾT LUẬN: 3.1. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI: Trên đây là một số phương pháp để rèn luyện kĩ năng giải một số dạng tốn chứa căn thức bậc hai mà tơi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường cho học sinh đại trà cũng như học sinh khá giỏi và tơi đã thu được kết quả như sau: Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực trong học tập và ngày càng u thích học chương có căn thức bậc hai từ đó thích học mơn Tốn Học sinh phân loại được các dạng bài tập và từ đó tìm được các hằng đẳng thức để áp dụng cho từng dạng chứ khơng bị nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với nhau Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kĩ năng vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức để giải tốn từ đó phát huy được tính tích cực của học sinh Bên cạnh đó để đạt được kết quả như mong muốn địi hỏi giáo viên cần phải thường xun trau dồi kiến thức nâng cao kỹ năng giải tốn, kỹ năng phân loại bài tập cho học sinh Trong q trình giảng dạy trên lớp bên cạnh giảng dạy những kiến thức cơ bản trong SGK người giáo viên cần tìm tịi đưa thêm các kiến thức, kỹ năng cho học sinh để từ đó nâng cao kiến thức cho học sinh khá giỏi Hướng dẫn học sinh đọc sách báo, học hỏi mở rộng kiến thức trong thực tế Người giáo viên khơng ngừng bồi dưỡng nâng cao kiến thức để làm chủ kiến thức tự tin trước bài giảng và học sinh Kiến thức của học sinh chỉ bền vững khi kĩ năng được thiết lập mà để hình thành những kĩ năng cho học sinh thì khơng có gì khác ngồi q trình rèn luyện. Bồi dưỡng thường xun cho các em Với phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ là một mảng kiến thức tương đối hẹp so với tồn bộ chương trình hố học nhưng tơi hi vọng nó sẽ giúp ích cho các em học sinh và các thầy cơ giáo trong việc giảng dạy phần kiến thức này, giúp các em và thầy cơ có cách nhìn tổng qt hơn về dạng tốn này và là tài liệu hữu ích cho việc ơn luyện thi vào các trường THPT. Các bài tập trong đề tài ở mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, giúp các em rèn luyện được 18 kỹ năng khơng chỉ giải được dạng bài tập phần này mà cịn rèn được một số kỹ năng khác như kỹ năng tính tốn, phân dạng bài tập để giải Qua giảng dạy, nghiên cứu tơi thấy phần kiến thức này, học sinh thường lúng túng khi gặp phải. Do vậy, khi các em được học và rèn kỹ năng tơi tin chắc rằng những lúng túng đó sẽ khơng cịn mà thay vào đó là sự tự tin và u thích mơn học. 3.2. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT: * Về phía học sinh: Học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học, tự rèn luyện, kiên trì và chịu khó trong q trình học tập Học sinh phải nắm vững lý thuyết, có kỹ năng vận dụng tốt lý thuyết vào giải bài tập. Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xun trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân * Về phía giáo viên: Giáo viên phải khơng ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được khả năng tiếp thu của các em, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Giáo viên cần linh hoạt trong khi dạy các tiết học, luyện tập, ơn tập đó là cho các em phải nắm vững những hằng đẳng thức đã học đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng từng hằng đẳng thức vào từng nội dung, từng phần của bài tốn. Trong q trình giảng dạy giáo viên cần phải nghiêm khắc, chỉ ra những điểm yếu mà học sinh chưa vận dụng được, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em. Theo dõi kết quả tiến bộ của các em qua học trên lớp, qua các bài kiểm tra. Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học 19 Đối với học sinh trung bình và yếu giáo viên cần dành nhiều thời gian để bố trí các buổi phụ đạo, kèm cặp những lúc rảnh, để các em có thể tiếp cận các kiến thức đã bị hỏng * Về phía tổ chun mơn: Thơng qua các tiết dự giờ, thao giảng, thảo luận chun đề để góp ý, tư vấn chun mơn. Giúp giáo viên học hỏi được kinh nghiệm cũng như phương pháp rồi vận dụng vào cơng tác giảng dạy của mình. Ngồi ra cần nhân rộng phong trào nghiên cứu khoa học, coi việc viết sáng kiến kinh nghiệm khơng chỉ là trách nhiệm mà cịn là để tự mình nâng cao chun mơn nghiệp vụ * Về phía nhà trường: Nêu cao tinh thần việc tự học, viết sáng kiến kinh nghiệm của mỗi cá nhân một cách thường xun. Tăng cường cơng tác tập huấn nội bộ, trao đổi kinh nghiệm trong giảng dạy. Trên đây là kinh nghiệm được rút ra từ trong thực tế giảng dạy bộ mơn Tốn 9 theo suy nghĩ và hiểu biết của cá nhân xin được trình bày lại. Tuy nhiên, trong q trình thực hiện khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành từ hội đồng khoa học các cấp, các đồng chí đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú đa dạng hơn và hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn! 20 ... của đề tài tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh. Đối với các lớp đại trà tơi chỉ ? ?rèn? ? luyện? ?cho các em? ?dạng? ?bài áp? ?dụng? ?những? ?hằng? ?đẳng? ?thức? ?đơn giản từ ? ?hằng? ? đẳng? ?thức? ?thứ 1 đến? ?hằng? ?đẳng? ?thức? ?thứ 3. Đối với học sinh khá giỏi thì áp dụng? ?tất cả? ?hằng? ?đẳng? ?thức? ? sau đó mới đưa ra các? ?dạng? ?bài tập từ dễ đến khó... b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) 2.2.2.? ?Sử? ?dụng? ?hằng? ?đẳng? ?thức? ?để? ?rút gọn biểu? ?thức? ?có? ?chứa? ?căn? ?thức? ?bậc hai: Dạng? ?1: Chứng minh? ?đẳng? ?thức Bài 1: Chưng minh cac đăng th ́ ́ ̉ ức sau:... ̣ 2.2.5.? ?Sử? ?dụng? ?hằng? ?đẳng? ?thức? ?để? ?giải? ?phương trình? ?có? ?chứa? ?căn? ?thức? ?bậc? ? hai a. Các ví dụ: a) x 1 b) 3x x c) x x2 d) x x x −1 x2 − − x =3 x2 − =4 x +1 b. Phương pháp chung: Để? ?giải? ?phương trình? ?chứa? ?dấu? ?căn? ?ta tìm cách khử dấu? ?căn? ?