Tài liệu Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức pptx

A đặt vấn đề Trong chơng trình toán bậc trung học sở, dạng toán Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức dạng toán thờng đợc đa đề thi học kỳ, kiểm tra cuối chơng, nhằm dành cho học sinh phấn đấu đạt điểm giỏi Tuy nhiên, sách giáo khoa không dành tiết học cho riêng dạng mà đa nh tập nâng cao yêu cầu học sinh tự tìm tòi giải theo gợi ý giáo viên Chính học sinh thờng gặp khó khăn giải tập dạng nên khả giải trình bày không đợc tốt Để giúp em học sinh toán lớp làm tốt dạng toán này, đà dành thời gian nghiên cứu tài liệu biên soạn hệ thống phơng pháp tập để đa đề tài Phơng pháp tìm giá trị nhỏ giá trị lớn cđa mét biĨu thøc ” víi mơc ®Ých gióp häc sinh tiếp thu đợc dễ dàng dạng toán khó, đồng thời có dịp rèn luyện t phát huy đợc tính tích cực học tập cho häc sinh Khi häc sinh cã kiÕn thøc tèt vÒ dạng toán này, em đợc củng cố tốt toán nâng cao khác chơng trình toán THCS nh Chứng minh biểu thức nhận giá trị dơng âm , Chứng minh bất đẳng thức , Vì hiểu đợc vai trò quan trọng dạng toán thấy rõ khó khăn học sinh học tập nh giáo viên giảng dạy, đà mạnh dạn viết tài liệu Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức để trớc hết phục vụ cho công tác giảng dạy mình, sau tạo điều kiện để thân có dịp trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, nâng cao nghiệp vụ s phạm lực nghiên cứu khoa học cá nhân B Nội dung đề tài I Lý thuyết chung Xét biểu thức A(x) xác định x (a, b) Bài toán 1: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) (a, b), ta cần tiến hành bớc: a) Bớc 1: Chøng tá r»ng A(x) ≥ k (k lµ mét h»ng số) x (a, b) b) Bớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức trờng hợp để xảy dấu đẳng thức c) Kết luận: Giá trị nhỏ A(x) = k x = a Ta th−êng dïng kÝ hiÖu: A(x) = k x = a Bài toán 2: Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) (a, b), ta cần tiến hành bớc: a) B−íc 1: Chøng tá r»ng A(x) ≤ k (k lµ mét h»ng sè) ∀x∈ (a, b) b) B−íc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức trờng hợp để xảy dấu đẳng thức c) Kết luận: Giá trị lớn A(x) = k x = a Ta th−êng dïng kÝ hiÖu: max A(x) = k ⇔ x = a Chó ý a) Víi biĨu thøc chøa nhiỊu biÕn số giải tơng tự nh b) Học sinh hay mắc phải sai lầm thực bớc đà kết luận toán, dẫn đến kết sai Vì cần yêu cầu học sinh trình bày đầy đủ hai bớc cẩn thận, không đợc thiếu bớc Ví dụ Cho biÓu thøc: A = x2 + (x – 2)2 Mét học sinh đà tìm giá trị nhỏ biểu thøc A nh− sau: “Ta cã: ∀x∈ R, x2 ≥ (x 2)2 nên A Vậy giá trị nhỏ A 0. Lời giải có không ? Giải Lời giải không Học sinh đà mắc phải sai lầm chứng tỏ A nhng cha đợc trờng hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy có đồng thời : x2 = (x 2)2 = Lời giải nh sau: +) Ta cã: A = x2 + (x – 2)2 = x2 + x2 – 4x + = 2x2 – 4x + = 2(x2 – 2x + 1) + = 2(x – 1)2 + ≥ , ∀ x∈ R +) Mµ: A = ⇔ x – = ⇔ x = +) VËy: A = ⇔ x = c) Khi gi¶i toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, ta cần nhớ bất đẳng thức sau: 1) a2 (Tổng quát: a2k với k nguyên dơng) Xảy dấu đẳng thức a = 2) -a2 (Tổng quát: -a2k với k nguyên dơng) Xảy dấu đẳng thức a = 3) a Xảy dấu đẳng thức a = 4) a a Xảy dấu đẳng thøc a ≥ 5) - a ≤ a a Xảy dấu đẳng thức a = 6) a + b ≤ a + b Xảy dấu đẳng thức ab 7) a2 + b2 2ab Xảy dấu đẳng thøc a = b a+b 8) ≥ ab víi a, b (Bất đẳng thức Côsi) Xảy dấu đẳng thức a = b 1 9) a ≥ b, ab > ⇒ ≤ Xảy dấu đẳng thức a = b a b a b 10) + ≥ víi ab > Xảy dấu đẳng thức a = b b a d) Khi tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức, nhiều ta cần phải đổi biến e) Khi tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thøc A víi A > 0, hc A2 nhiều trờng hợp ta lại xét biểu thức A Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức toán không đơn giản, ta xét số dạng biểu thức đặc biệt có công thức giải bản, phù hợp với khả tiếp thu số đông học sinh lớp II Một số dạng biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn thờng gặp chơng trình toán lớp Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc cã d¹ng tam thøc bËc hai Phơng pháp giải: Xét tam thức bậc hai P = ax + bx + c * NÕu a > P có giá trị nhỏ Ta biến đổi biểu thức P dạng aX + k có kết quả: P = k X = * NÕu a < th× P có giá trị lớn Ta biến đổi biểu thức P dạng aX + k có kÕt qu¶: max P = k ⇔ X = Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: a) A = x − 4x + 1; b) B = 2x − 8x + 1; c) C = 3x − 6x + Gi¶i a) A = x − 4x + = ( x − 4x + 4) − = ( x − 2) − ≥ −3 A = -3 ⇔ x - = ⇔ x = VËy: A = -3 ⇔ x = b) B = 2x − 8x + = 2( x − 4x + 4) − = 2( x − 2) − ≥ −7 B = -7 ⇔ x - = ⇔ x = VËy: B = -7 ⇔ x = c) C = 3x − 6x + = 3( x − 2x + 1) − = 3( x − 1) − ≥ −2 C = -2 ⇔ x - = ⇔ x = VËy: C = -2 ⇔ x = VÝ dụ Tìm giá trị lớn biểu thøc: a) A = − x − x + 1; b) B = −2x + 8x − ; c) C = −3x − 6x + Gi¶i a) A = − x − 4x + = −( x + 4x + 4) + = −( x + 2) + ≤ A = ⇔ x + = ⇔ x = -2 VËy: max A = ⇔ x = -2 b) B = −2x + 8x − = −2( x − 4x + 4) + = −2( x − 2) + ≤ B = ⇔x - = ⇔ x = VËy: max B = ⇔ x = c) C = −3x − 6x + = −3( x + 2x + 1) + = −3( x + 1) + ≤ C = ⇔ x + = ⇔ x = -1 VËy: max C = ⇔ x = -1 * Bài tập tự giải Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + x + 1; b) B = x − x + ; c) C = 2x − 20x + 53 ; d) D = 2x + 3x + Bµi tËp Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = − x + x + 1; b) B = − x − x + ; c) C = −2x − 20x + 53 ; d) D = −2x + 3x + 1; e) B = −5x − 4x + Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng đa thức bậc cao Phơng pháp giải: Ta thờng tìm cách biến đổi biểu thức đà cho dạng cách đặt ẩn phụ thích hợp Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa c¸c biĨu thøc: a) A = ( x + x + 1) ; b) B = x − 4x + 5x − 4x + ; c) C = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) Giải a) Mặc dù A nhng giá trị nhỏ A x + x + ≠ 0, ∀x ∈ R 3 Ta cã: x + x + = ( x + x + ) + = ( x + ) + ≥ 4 4 Do ®ã: A ⇔ ( x + x + 1) VËy: A = ( ) = ⇔ x = − 16 b) Ta cã: B = x − 4x + 5x − 4x + = x ( x − 4x + 4) + ( x − 4x + 4) = x ( x − 2) + ( x − 2) ≥ ⎧⎡ x = ⎪ Mµ: B = ⇔ ⎨⎢ x = ⇔ x = ⎣ ⎪x=2 ⎩ Do ®ã: B = ⇔ x = c) C = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) = [( x − 1)( x + 6)].[(x + 2)( x + 3)] = ( x + 5x − 6)(x + 5x + 6) = ( x + 5x ) − 36 = [ x ( x + 5)]2 − 36 ≥ −36 ⎡ x=0 C = −36 ⇔ x ( x + 5) = ⇔ ⎢ ⎣ x = −5 ⎡ x=0 VËy: C = −36 ⇔ ⎢ ⎣ x = * Bài tập tự giải Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = x − 6x + 10x − 6x + ; b) N = x ( x − 3)( x + 1)( x + 4) ; c) P = x − 2x + 3x − 2x + 1; d) Q = ( x − x )(x + 3x + 2) Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải Dùng tính chất sau: 3) a Xảy dấu đẳng thức a = 4) a a Xảy dấu đẳng thức a 5) - a ≤ a ≤ a X¶y dấu đẳng thức a = 6) a + b ≤ a + b X¶y dÊu đẳng thức ab Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 2x + 2x − ; b) B = x − + x − ; c) C = x − + x − + x Giải a) áp dụng tính chất 4, ta cã: A = 2x + 2x − = 2x + − 2x ≥ 2x + − 2x = A = ⇔ − 2x ≥ ⇔ x ≤ VËy: A = ⇔ x ≤ b) ¸p dơng tÝnh chÊt 6, ta cã: B = x −1 + x − = x −1 + − x ≥ x −1+ − x = B = ⇔ ( x − 1)(3 − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ VËy: B = ⇔ ≤ x c) áp dụng tính chất tÝnh chÊt 3, ta cã: +) x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = DÊu b»ng x¶y ( x − 1)(3 − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ +) x − ≥ vµ dÊu b»ng x¶y x – = ⇔ x = Do ®ã: C = x − + x − + x − ≥ + = DÊu b»ng x¶y x = VËy: C = ⇔ x = * Bài tập tự giải Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: a) A = x + x − ; b) B = x + x − x + + ; c) C = x − + x − D¹ng4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức dạng phân thức có tử số mẫu tam thức bậc hai Phơng pháp gi¶i Sư dơng tÝnh chÊt 9: 1 a ≥ b, ab > ⇒ ≤ X¶y dÊu ®¼ng thøc a = b a b VÝ dụ Tìm giá trị lớn biểu thức: M = 4x − 4x + Gi¶i +) Ta cã: M = 3 = x − x + (2 x − 1) + Mµ: (2x − 1) ≥ ⇒ (2x − 1) + ≥ ⇒ M = 3 ≤ (2x − 1) + 4 ⇔x= VËy: max M = ⇔ x = * Chú ý Với biểu thức dạng này, cần lu ý học sinh tránh sai lầm sau: Lập luận M có tử số nên M lín nhÊt mÉu nhá nhÊt Ta sÏ thÊy râ sai lầm qua giải sau Để tìm giá trị lớn phân thức A = , ta lËp luËn: x −3 1 +) x ≥ ⇒ x − ≥ −3 ⇒ ≤− x −3 −1 +) A = ⇔x=0 −1 VËy: max A = ⇔ x = −1 Nh−ng ta dƠ dµng nhËn thấykết sai, với x = A = > 1 Sai lÇm chỗ: Từ -3 < 1, suy > , -3 không dấu 1 Tỉng qu¸t: Tõ a < b, chØ suy đợc > a b hai số dấu a b * Bài tập tự giải Bài tập Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc: ; a) A = 9x − 6x + b) B = ; 4x − x − c) C = ; 2x − x − 3x + x + 10 d) D = ; x + 2x + x2 −1 e) E = x +1 +) M = D¹ng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức dạng phân thức có mẫu bình phơng nhị thức bậc Phơng pháp giải: Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn cđa biĨu thøc A M(x ) , ta viÕt tư thøc M(x) d−íi d¹ng l thõa cđa ax + b, sau có dạng (ax + b) chia tử thức cho mẫu thức để viết A dới dạng tổng phân thức có tử thức số mẫu thức luỹ thừa nhị thức ax + b: n p A = m( x ) + + ax + b (ax + b) , ta đa đợc A dạng dạng Dùng phơng pháp đổi biến, đặt y = ax + b 2, từ giải đợc toán x2 + x +1 Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A = ( x + 1) Giải Viết tử thức dới dạng luỹ thừa x + 1, đổi biến, đặt y = 1 ( x + x + 1) − ( x + 1) + + = 1− A= x + ( x + 1) ( x + 1) 3 = − y + y2 = (y − )2 + ≥ 4 Min A = ⇔ y = ⇔ x = * Bµi tập tự giải Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa c¸c biĨu thøc: 2x + ; a) A = x2 4x − 2x + b) B = ; x2 x − 3x + c) C = ; x − 2x + 2x − 6x + d) D = x 2x + Bài tập 7: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x ( x + 1) ta cã: x +1 Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn phân thức khác Ví dụ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn cđa biĨu thøc: 2x + A= x +2 Giải +) Để tìm giá trị nhỏ A, ta viÕt A d−íi d¹ng: 2x + 4x + ( x + x + 4) − ( x + ) A= = = x + 2( x + ) 2( x + 2) ( x + 2) 1 = − ≥ 2( x + 2) 2 VËy: A = − ⇔ x = 2 +) Để tìm giá trị lớn nhÊt cđa A, ta viÕt A d−íi d¹ng: 2x + x + − x + 2x − ( x + 2) − ( x − 1) = A= = x +2 x2 + x2 + ( x − 1) = 1− ≤ x +2 VËy: max A = ⇔ x = VÝ dô Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn cđa biĨu thøc: 4x + B= x +1 Giải +) Để tìm giá trị nhỏ B, ta viÕt B d−íi d¹ng: x + ( x + x + 4) − ( x + 1) B= = x +1 x2 +1 ( x + 2) = − ≥ −1 x2 +1 VËy: B = −1 ⇔ x = +) Để tìm giá trị lớn cđa B, ta viÕt B d−íi d¹ng: 4x + 4x + − 4x + 4x − 4( x + 1) − ( x − 1) = B= = x +1 x2 +1 x2 +1 ( x − 1) = 4− ≤ x2 +1 VËy: max B = ⇔ x = * Bµi tËp tù giải Bài tập 4x + x2 3x + 14 Bài tập Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: N = x +2 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: M = Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thøc cã chøa hai (hc nhiỊu) biÕn VÝ dơ 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + y2 - 2(x – y) Gi¶i Ta cã: A = x2 + y2 - 2x + 2y = (x2 - 2x +1) + (y2 + 2y + 1) – = (x – 1)2 + (y + 1)2 – ≥ ⎧ x =1 VËy: A = ⇔ ⎨ ⎩ y = −1 VÝ dụ 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x y víi x > 0, y > + y x Gi¶i x + y2 x + y2 x y −2+2 = Ta cã: B = + = xy xy y x x + y − 2xy ( x − y) +2 = + ≥ (v× x > 0, y > 0) = xy xy VËy: B = x = y Ví dụ 12: Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: C = x + y biÕt x + y = Gi¶i Ta cã: C = x + y = ( x ) + ( y ) = ( x + y )(x − x y + y ) V× x + y = nªn C = x − x y + y = ( x + y ) − 3x y = − 3x y ≤ DÊu b»ng x¶y x2y2 = ⇔ x = hc y = VËy: max C = ⇔ ⎡⎧ x = ⎢⎨ ⎢ ⎩ y = ±1 ⎢⎧ y = ⎢ ⎨ x = ±1 ⎣⎩ * Bài tập tự giải Bài tập 10 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa c¸c biĨu thøc: a) A = x2 - 2x + y2 + 4y + ; b) B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 ; c) C = (x – ay)2 + 6(x – ay) + x2 + 16y2 – 8xy + 2x – 8y + 10 Bài tập 11 Tìm giá trị lớn biểu thøc: A = 4x + 6y - x2 - y2 + Bµi tËp 12 a) Cho x – y = Tìm giá trị nhỏ A = x + y3 b) Cho x – y = Tìm giá trị nhỏ B = 2x + y Bµi tËp 13 Chøng minh hai số có tổng không đổi tích cđa chóng lín nhÊt vµ chØ hai sè áp dụng mệnh đề tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = x (8 − x ) ; b) B = x (16 − x ) ; c) C = (1 − x )(2 − x ) víi < x < Bµi tËp 14 Chứng minh hai số dơng có tích không đổi tổng chúng nhỏ hai số áp dụng mệnh đề tìm giá trị nhỏ biểu thức sau (víi x > 0) : 2x + ; a) A = x 4x + b) B = ; x x + 8x + 64 ; c) C = 2x x + 15x + 16 d) D = ; 3x e) f) ( x + 1) E= ; x F=x + x C Kết luận Trên nội dung đà nghiên cứu biên soạn trớc hết nhằm củng cố xếp có hệ thống kiến thức dạng toán Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biĨu thøc ” víi mét sè d¹ng biĨu thøc th−êng gặp chơng trình đại số lớp cho thân, sau đà dùng làm tài liệu để giảng dạy cho em học sinh lớp với mục đích bồi dỡng thêm kiến thức cho em học sinh giỏi dạng toán nâng cao thờng gặp đề thi kiểm tra Tôi mừng nhờ xếp rõ ràng, đa kiến thức từ đơn giản đến phức tạp dần tài liệu nên em học sinh từ lúc cảm giác sợ nghĩ dạng toán khó, đến tham gia học lại cảm thấy hào hứng làm tập tốt Tôi mạnh dạn trình bày tài liệu nh sáng kiến kinh nghiệm nhỏ nhng cần cho giáo viên trực tiếp giảng dạy toán THCS nh mong đợc giúp đỡ, đóng góp ý kiến Thầy Cô giáo giàu kinh nghiệm, chuyên môn giỏi Tỉ Tù nhiªn I Tr−êng THCS Ngun Tr−êng Té để có điều kiện học tập nâng cao lực s phạm trình độ chuyên môn giúp cho công tác giảng dạy đợc ngày tốt Tôi xin trân trọng cám ơn! Hà Nội, tháng năm 2009 Ng−êi viÕt Ngun Th H»ng D Tµi liƯu tham khảo 1) Một số vấn đề phát triển Đại số 8, Vũ Hữu Bình, Nhà xuất giáo dục 2) Ôn luyện toán trung học sở, Vũ Hữu Bình, Nhà xuất Hà Nội 3) Sách tập toán 8, Tôn Thân (chủ biên), Nhà xuất giáo dục 4) Sách giáo khoa toán 8, Tôn Thân (chủ biên), Nhà xuất giáo dục 5) Toán bồi dỡng học sinh lớp 8, Vũ Hữu Bình Tôn Thân - đỗ Quang Thiều, Nhà xuất giáo dục 6) Toán nâng cao chuyên đề Dại số 8, Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Việt Hải Vũ Dơng Thụy, Nhà xuất giáo dục Mục lục Nội dung A Đặt vấn đề B Nội dung đề tài I Lý thuyết chung II Một số dạng biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn thờng gặp chơng trình toán lớp Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng tam thức bậc hai Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng đa thức bậc cao Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức dạng phân thức có tử h»ng sè vµ mÉu lµ tam thøc bËc hai Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức dạng phân thức có mẫu bình phơng nhị thức bậc Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn phân thức khác Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có chứa hai (hoặc nhiều) biến C Kết luận D Tài liệu tham kh¶o Trang 2 3 10 12 13 ý kiÕn nhËn xÐt tổ trởng chuyên môn ban giám hiệu Phòng giáo dục đào tạo quận đống đa Trờng trung học sở nguyễn trờng tộ Sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài: Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Họ tªn: Chøc vơ : Tỉ : Tr−êng : Ngun Th Hằng Giáo viên Tự nhiên I THCS Nguyễn Trờng Tộ Hà Nội, tháng - 2009 ... tập Tìm giá trị lớn biểu thức: N = x +2 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: M = Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc cã chøa hai (hc nhiỊu) biến Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ. .. trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc cã d¹ng tam thøc bËc hai Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có dạng đa thức bậc cao Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có... đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức dạng phân thøc cã tư lµ h»ng sè vµ mÉu lµ tam thức bậc hai Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức