P BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO i
a TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ul
THANH PHO HO CHi MINH
iy CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CÁP TRƯỜNG i
PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG CHO BÀI TOÁN E
DÀN PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐĂNG HÌNH HỌC _
Trang 2512b242 P£A4—-— H⁄4^ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHÓ HỖ CHÍ MINH
KHOA CO KHI CHE TAO MAY
BAO CAO TONG KET
DE TAI KH&CN CAP TRUONG TRONG DIEM
PHAN TICH TINH VA DAO DONG CHO BAI TOAN DAN PHANG
Trang 3TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM KỸ THUẬT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM THÀNH PHÓ HỖ CHÍ MINH
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Khoa CKM
Tp HCM, ngày 2ð tháng 02 năm2017
THÔNG TIN KÉT QUÁ NGHIÊN CỨU
1 Thông tin chung:
~ Tên đề tài:
PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG CHO BÀI TOÁN DAN PHANG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẢNG HÌNH HỌC
- Ma sé: T2016-34TD - Chủ nhiệm: Đỗ Văn Hiến
- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hỗ Chí Minh - Thời gian thực hiện: 25-03-2016 đến ngày 30-11-2016
2 Mục tiêu:
® Ápdụng phương pháp đẳng hình học trong phân tích tĩnh và dao động của dàn phẳng s - Nghiên cứu viêt chương trình giải bài toán
3 Tính mới và sáng tạo:
® - Áp dụng phương pháp đẳng hình học trong tính toán phân tích bài toán kết cấu dàn phẳng 4 Kết quả nghiên cứu:
Tìm hiểu phương pháp IA và áp dung phân tích cho kết cấu dan
"So sánh giữa kết quả của lời giải bằng phương pháp IA và lời giải FEM để đánh giá
kết quả nghiên cứu ca
" Xây dựng giao điện phân mêm giải bải toán
5 Sản phẩm:
- Dia CD chương trình tính toán
-_ 01 bài báo đăng trên tạp chí khoa học và giáo dục
- 01 bài báo hội nghị
6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: e _ Ứng dụng kết quả nghiên cứu trong việc giảng dạy môn phương pháp số nâng cao ¢ Sử dụng chương trình tính toán kết cấu dàn
e_ Kết nối dữ liệu từ phần mềm AutoCAD
Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài
(ký, ho và tên, đóng dâm) (ky, ho va tén)
Trang 4Chương 01:
MỞ ĐÀU 1.1 Tổng quan tình bình nghiên cứu
- _ Tình hình nghiên cứu trên thế giới
CAE (Computer Aided Engineering) va CAD (Computer Aided Design) dugc xây dựng và phát triển độc lập nhau, do vậy chúng không thật sự tương thích nhau trong việc
mô tả hình học Điều này dẫn đến một số lượng lớn công việc trùng lắp, đầu tiên mô hình
CAD, sau đó lại mô hình lai trong FEM (Finite Element Method) Phuong phap ding hinh hoc (1A — JsoŒGeomeitrie Analysis) ra đời trong việc kết nối giữa CAD và FEM, cho
phép mô hình CAD được sử dụng trong mô hình FEM
IA duoc giới thiệu lần đầu tiên bởi Giáo sư Hughes [7] Mô hình IA này xây dựng cho phép phân tích dùng chung cơ sở với mô hình hóa hình học Điều này trái ngược với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống NURBS được sử dụng trong các phần mềm CAD cho phép mô hình hóa hình học một cách chính xác và những hàm này được sử dụng là hàm cơ sở trong phân tích tính toán
TA được nghiên cứu rộng rãi và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích
cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn — lông[7]
Gần đây phương pháp T — Splines được phát triển làm mịn ở phạm vi địa phương
và ít điểm điều khiển hơn IA được phát triển mở rộng hơn để kết nối với FEM và Bezier
Etraction được đẻ xuất [14]
- _ Tình hình nghiên cứu trong nước
Trong nước nhóm nghiên cứu do PGS TS Nguyễn Xuân Hùng tại Đại học
HUTECHđã nghiên cứu IA và có rất nhiều bải báo xuất bản[15,16,17]
1.2 Nhiệm vụ và giới han của để tài Nhiệm vụ
- _ Nghiên cứu phương pháp đẳng hình họcáp dụng cho bài toán dan - _ Xây dựng thuật toán
- Viết code và giao diện tính toán
Trang 5- _ Áp dụng cho một số bài toán kết cấu đàn
13 Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu ứng dụng
- Phương pháp nghiên cứu thu thập tài liệu
1.4 Ý nghĩa thực tiễn của dé tai
- _ Nghiên cứu IA trong tính toán thiết kế kết cấu
- Xây dựng được một chương trình tính toán cho bài toán tĩnh và dao động
Trang 6Chuong 02:
PHUONG PHAP DANG HINH HOC 2.1 Giới thiêu
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp(H?uw 2.1) Nhà thiết kế có nhiệm vụ tạo ra các
tập tin CAD (Computer Aid Design) có định dang thích hợp Tất cả các tập tin này là tham số đầu vào cho các chương trình phân tích FEA Nhiệm vụ này tốn khá nhiều chỉ phí khoản 80% thời gian của quá trình phân tích theo nghiên cứu của Michael Hardwick và Robert Clay phòng SandiaNational Laboratories [7](Hinh 2.2) Chúng ta cũng cần chú ý rằng phân tích phần tử hữu hạn cũng chỉ là phân tích hình học xấp xĩ, kết quả sẽ tạo ra sai số nếu số lượng phần tử chưa đủ x4p xĩ hình học chính xác (#fình 2.3) &$S8H BOEING 777 FIGHTER CRAFT ae 950,000 PARTS 6.900 TONS MISSILE - 103,000 PARTS vi % 254 TONS Ea<:£-p LAND VEHICLE 14,000 PARTS 65 TONS 30.000 PARTS: automosites |\ SOO FARTS 30 Tons \ AE, _——— INCREASING COMPLEXITY ae PARTS 9 TORS N 0 20 30 40 50 60 70 80 MANUFACTURING TIME Hình 2.1: Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp 4,000,000 PARTS SSN 18.750 TONS
Đó là lý do cho chúng ta đã đến lúc thay đổi kỹ thuật thiết kế và phân tích Các nghiên cứu ban đầu đã chứng minh sự thành công của phương pháp đẳng hình học — Hình học chính xác Phương pháp này đầu tiên được giới thiệu bởi Giáo sư Thomas Hughes
năm 2005 Phân tích kỹ thuật này có thể là đòn bẩy cơ bản trong phân tích đẳng hình học
Trang 7
Design Solid Model Analysis Solid Model Geometry
Trang 8Vectơ nút (Knof) được viết dưới đạng:
==ls6 6s „aJ (0)
Độ dải của véctơ nút: n+ p+l
Với m=n+p+!: số nút véctơ (Chiều dài của véctơ nút) n=Œm-p-l): số điểm điều khiển
?: bậc của đường cong
Vectơ nút có thể tuần hoàn („zi/orm), hoặc không tuần hoan (non-uniform)
Ví dụ:
[0 0,25 0,4 0,75 1]->véctơ nút khơng tuần hồn
[0 0 0 1 1 1] véctơ nút khơng tuần hồn, mở
[0 0,5 1 1,5 2]> véeto nut tuần hoàn
[-2 -1 0 1 2]> véctơ nút tuần hoàn
Vectơ nút gọi là “mở” (open) khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp nhau (p+7) lần Vectơ nút“mở” làm dạng hàm cơ sở trong việc phát triển phương pháp đẳng hình học
Trang 91 y “10 % 1 2 3 4 5 & ' J Noo % I 2 3 4 5 & ' THN 30 oo 2 3 4 sẽ Hình 2.4 Hàm dạng Nurbs ứng với bậc p=0 - Voip=l, 2 N„(Ð= 7s Nog + fF Na ® \ 1 Ma “a % I 2 3 4 3 & % 1 2 3 4 s & No Mà Q—TÍ—7 3 cả sẾ 73 3 4 $8 e ae , Mà % ! 7 3 ss % 1 2 3 4 5 § (a) (b)
Hình 2.5 Ham dang Nurbs ung voi bade p=1, 2
Điều này có nghĩa là hàm cơ sở ở dạng tham số trái với dạng tham số trong
Trang 10
Hình 2.6: Tính chất bao lỗi của đường cong B-Spline
Các hàm cơ sở B-spline có các tính chất sau:
Tinh chat bao lồi: đường cong nằm trong đa giác điểm điều khiển Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline chuẩn hóa
>M„(@=1
Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline độc lập tuyến tính
S22,N,„(@)=0©a, =0,1,2,.,n
m
Khơng giống hàm dạng FEM, các hàm dạng B-spline ln đương N,,(¢)20 Khơng giống hàm dạng FEM, hàm dạng cúa B-Spline có (p-ƒ) đạo hàm liên
tục nếu véctơ nút khơng tuần hồn Đối với véctơ nút không tuần hoàn, hàm cơ sở của
bậc p có C7” qua các nút é, Trong đó z:, là số nút bội của giá trị nút Z,
Đạo hàm của hàm cơ sở cân thiệt cho việc xây dựng ma trận đạo hàm của hàm
dạng B trong việc xây dựng ma trận độ cứng k Đạo hàm của hàm dạng thứ ¡ cla ham co
sở bậc p xây dựng dựa trên véctơ nút [I] được xác định như sau:
Pp (04)
d
—? Nizap—1(€)
^ N;„(£) = Mi»-i(@— ——T—
deo" ©) finp—-& (6) Ê¡xp+l — Ếz+I
Trang 11Hàm dạng
0 1 2 3 44 5
Hình 2.7Hàm dang B-Spline ứng với p=2
Đạo hàm của hàm cơ sở RSI ad ih 0.6°0.0.0 1 22 3,343 4444 5,5,5,5.5 Hình 2.6Đường cong B-Spline ứng với p=4 ứng với E = {0,0,0,0,0,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5, 5, 5,5}
2.1.3 Diém diéu khién(7,8]
Để có thể sử dụng hàm cơ sở trong việc xây dựng đường cong Bspline, chúng ta cần
thêm ø điểm điều khiển Điểm điều khiển được biểu diễn dưới dạng
Pew
Trang 12Pì 110 P,|_ |2 10 [Pl= lp] =o 2 9 Py 110
2.1.4 Xây dựng đường cong B-Splines[7,§]
Đường cong B-§plines được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở
và điểm điều khiển
C= DN, (OP (05)
Control polygon — — — Control polygon
Trang 131 elements -O— controipoinis| * knols P,: (2.1) Ps Pg: (3.2) | :(.1) — Ty Ps —0-~ cantrofpaints| bì rats a —D— seetelpoirsi & knots (a)
Hình 2.12Đường cong B-Spline, điểm điều khiến, ham dang và ham dang
(a): Ung với vác tơ nút 5 ={0,0,0,1,2,3,4,5,5, 5}
(b): Ứng với véc tơ nút = = {0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5}
10
Trang 14
Đạo hàm đường cong B-Spline có dạng CO=TN OF isl B-spline surface Đ 05 1 18 2 25 3 35 x Hình 2.13Mat cong B-Spline, diém diéu khién 2.3 Nurbs[7,8]
2.1.1 Điểm điều khiến
Điểm điều khiển sử đụng cho NURBS, ngoài tọa độ các điểm sử dụng cho đường
Trang 15W@)=ŠN„(Ð (06)
2.1.2 Ham co sé
Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa như sau:
Ry@ =0 „_Nu(M_ Wee) » Nạ„Œ, (07)
Các tính chất của hàm cơ sở NURBS: -_ Chuẩn hóa Š N„(#@ =1
al
-_ Hàm cơ sở NURBS kề thừa từ hàm cơ sở của B-Spline, do vậy cũng có các
tính chất như: liên tục qua các nút, hỗ trợ trong miền và luôn đương - Hàm cơ sở NURBS có dạng hàm hữu tỉ, không phải là đa thức
- Nếu trọng số Tại các điểm đều bằng nhau, thì hàm cơ sở là đa thức Do vậy B- Spline là một trường hợp đặc biệt của NURBS
2.1.3 Xây dựng đường cong Nurbs
Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường
cong B-Spline Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng
CE)=¥R, (OP i=l (08)
2.1.4 Xây dựng mặt cong NURBS và khối NURBS
Trang 172.4 Patch va Element (phần tủ) [7,8]
- Số phần tử là số khoảng núi Ví dụ: Véctơ nút [0 0 0 0.5 1 1 1]->có 2 phần tử
- Trong hau hết các trường hợp thực tế, cần thiết phải mô tả miền thành nhiều patch Ví dụ, nếu khắc nhau về vật liệu hay mô hình vật lý khác nhau trong miễn, hay gặp
khó khăn trong mô hình hóa như lễ, góc, m : - ị ` Ne ` ¬"""-._—— NT “ JN = Noy j oS Hình 2.15Khối Solid và phân chia khối thành các Patch 2.4 Các phương pháp làm mịn:
2.4.1 Lam min bang céch tang diém mit(knot insert)
Ban đầu chúng ta có đường cong Nurbs bậc 2 (p =2), có một phần tử được tạo ra từ
tập véc tơ nút như sau: = = {0,0,0,1,1,1}
Chúng ta tiến hành thêm nút véc tơ vào tập véc tơ nút, số điểm điều khiển, hàm dang
và số phần tử lần lượt thay đổi như sau:
Trang 18E= 0.001113 == {0,0,0,.5,1, 1,1} 1 D8] 0.6] 041 03 ft Q 1
(a) ban đầu (b) sau khi chèn véc tơ nút
Hình 2.16: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiến ứng
Số phần tử trước và sau khi thay đỗi véc tơ nút 04 0.6] 044 0.4] 0 ] 62 0 0 1 0Ì Ụ +1
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi chèn véc tơ nút, có 2 phần tử
Hình 2.17: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đỗi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở
Mình 2.18: Hàm cơ sở trước và sau khi chèn nút vào tập véc tơ nút
Trang 192.4.2 Làm mịn bằng cach ting bac(k — refinement)
Làm mịn lưới IGA bằng cách tăng bậc của đường cong Nurbs được minh họa bằng
các hình sau:
E= (0.00111) Z= 0.0.0.0, L111)
9 1 0 ‡
(a) ban đầu bậc đường cong p = 2 (b) sau khi tăng bậc p = 3
Hình 2.19: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
0.6 0.6
03 03
93 02
° 0 1 ° o L
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi tăng bậc, có I phần tử Hình 2.20: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở oa asl 04) xả oa 7 92Ƒ nat a 0 ï ot a ụ 1
(a) ban dau có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở Hình 2.21: Hàm cơ sở trước và sau khi tầng bậc
Trang 202.4.3 Lưu đỗ tính toán NƯRBS trong phân tích đẳng hình học Lưới điểm điền khiển TT
Trang 212.4.4 5o sánh sự khác nhau giữa FEMI va IA
Bang 2.1: So sinh giita IA va FEM{7|
Phương pháp đằng hình học Phương pháp phần tử hữu hạn
Điêm điêu khiên Điểm nút
Biên là điểm điêu khiên Biên là nút phân tử
(giá trị chuyển vị điểm điều khiển) (giá trị chuyển vị nút) :
Knots Ludi
Hinh học chính xác Hinh học xâp xỉ
Hàm cơ sở NURBS Ham co sé Lagarange
Hàm cơ sở không nội suy điểm điều Hàm cơ sở nội suy ở nút khiến Patch (mién) Subdomain (Mién con) Compact support Partition of Unity 2.4.5 Phương pháp đẳng hình học
Phân tử trong phân tích phân tử hữu hạn được đại diện bằng cách dùng miền chủ và miền vật lý Miền hình học và bậc tự do được xác định thông qua giá trị nút Đồng thời, hàm cơ sở là hàm nội suy có giá trị âm cũng như dương Trái lại trong phương pháp đẳng hình học dùng hàm NURBS làm ham co so nội suy và hai khái niệm về lưới sô đó là
điểm điều khiển và lưới vật lý Điểm điều khiển dùng để điều khiển hình học và không
tuân theo hình bọc thực Miền hình học và bậc tự do được xác định thông qua điểm điều khiển Khái niệm đẳng tham số rất quan trọng trong phương pháp đẳng hình học bởi vì
các hàm cơ sở đặc trưng cho hình học chính xác
Lưu đồ giải thuật cho các bài toán và một số khái niệm minh họa hình 2.23
Trang 22Read global input data ¥ Build connectivities and allocate global arrays Loop through patches Read patch input data |
Loop thraugh elements on the current patch ¥v K*=0 and F-=0 K=0 and F=0 Loop through quadrature points Evaluate basis functions and derivatives Ỷ Add contributions to K* and FF ——— Solve Kd=F Write output data Assemble K'+K and F>F
Hình 2.23: Lưu đồ giải thuật bài toán [7] cho trường hợp nhiều patch 2.4.6 Trích Bezier của NURBS
Trang 23Để tính toán phần tử Bezier của Nurbs, chúng ta sử dụng kỹ thuật phân tích Bezier
Về cơ bản lặp các véctơ nút bên trong cho đến khi bằng bậc của đường cong Nurbs Giả sử có một đường cong Nurbs bậc 3 gìwh 2.24 có knot véctơ 8= {0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4}
Phân tích đường cong trên thành cdc phan tir Bezier ta thực hiện như sau: lặp các
nút phía bên trong knot vec tơ bằng số bậc đường cong bằng cách chèn các nút {1,1,2, 2,3, 3, 4, 4} vào knot véc tơ Hình 2.24 trình bày kết quả của hàm cơ sở và điểm
điều khiển khi ta chèn các nút vào theo trình tự
(b)
Hình 2.24: Đường cong Nurbs bậc 3
{a) Đường cong và điểm điều khiển (b) Hàm cơ sở của đường cong
Trang 24(e) )
Hình 2.25: Trình tự thay đỗi hàm cơ sở và điểm điều khiển khi chèn {1, 1,2, 2, 3, 3, 4,4} vào Hình (ƒ) là kết quả cuối cùng sau khi chèn và đánh số các hàm cơ sé Bezier,
~ Tính toán toán tử trích Bezier của Nurbs (Bezier extraction operator)
Trang 25Giả sử chúng ta có một đường cong B-Splines có tập hợp các điểm điều khiển
P={f} và knot veto 5 = {8.6.08 2S amrEyapn}» Cée nút {F,F,ssFq} chen vao
knot vector dé phan tich thanh Bezier Ung với mỗi giá trị nút é, với j=l, 2, , m Chúng, ta định nghĩa ø/, ¡ =l,2, m+ 7 a 1-a, 0 ae 0 0 @ Il-@ 0 0 C= 0 a Il-a, 0 0 a 0 " 0 128, 1-0
Chúng ta có thể viết (8) dưới dạng ma trận đại diện cho tập hợp các biến của các
điểm điều khiển tạo thành trong quá trình chèn điểm nút P= (CAP với P' =P (13) mm Tập hợp điểm điều khiển cuối cùng C= ceryre™ yey’ (14) Mối quan hệ giữa điểm điều khiển Bezier va điểm điều khiển của đường cong B- = P*, Dinh nghia Splines ban đầu như sau: P' =CP (15)
Chú ý: Trong trường hợp không gian 2 chiều thì ma trận P có kích thước n x 2, trong khi đó cỡ của P° là (n+m) x 2 Với n là số hàm cơ sở hoặc của điểm điều khiển
trước khi phân tích Bezier, m là số điểm nút được chèn
Phương trình đường cong B-Spline trước khi phan tich Bezier dạng ma trận
C(2)= ENR =PNE) {6
Phương trình đường cong Bezier sau khi phân tích Bezier
C(E) = FB, (OP! = PY BE) jel a7
Đường cong không thay đổi hình dáng và tính chất, đo vậy về phải của (16) và (17)
bằng nhau Thay (15) vào (17)
Trang 26(P°)" BCS) = (CTPY’ BES) = P"CB(4) = P"N(¿) (18)
€ được gọi là toán tử Bezier trích từ Nurbs Để tạo ra toán tử này, thông số đầu vào
duy nhat là véc tơ nút
Xây dựng hàm dạng cơ sở Nurbs
Hàm trọng số được viết lại như sau:
W(2)= SN, = w"N(E) = w'CB(E) = (CT wy BE) = (wy BE) = W"() (19)
Ham cơ sở Nurbs trở thành:
RE) = reo (20)
Trong đó W là trọng số của Nurbs Thay hàm cơ sở (20) vào (10), ta được
PRE) = pare PWCBE) = agg CHIE) = rer — en
Trang 27Chương 03:
PHƯƠNG PHAP DANG HiNH HOC
CHO BAI TOAN DAN
3.1 Giới thiệu
Trong chương 2 tác giả đã trình bảy cơ sở lý thuyết của phương pháp đăng hình học
cũng như sự khác nhau giữ phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn
Trong chương này sẽ trình bày cơ sở lý thuyết áp dụng phương pháp đẳng hình học cho bài toán dàn,
3.2 Chuyến vị của một phân tử dàn 1D
Khảo sát một thanh cho như hình, có trục x đọc theo phương của phan tử Với điểm
đầu của phần tử đàn 1D được đánh ở nút 01 đ QQ & hy —_ Node 1 Node 2 ——————— Hình 3.01: Phần tử dàn 1D và các nút phần tử Chúng ta có thể xây dựng hàm chuyến vị cho phân tử như sau: pel WXV= Rig + DR pla + Rupe (22) I3
Trong đó œ,„ &,„ và p”-bậc của ham dang NURBS,®, ®và “ là chuyển vị lần
lượt của các nút đầu, nút cuối và các nút giữa, n là số điểm điều khiển hoặc số hàm dạng
NURBS
Tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta thực hiện xây dựng ma trận
Trang 28Trong đó k, là ma trận độ cứng phần tử, chỉ số e ký hiệu cho phần tử thứ e B là ma trận mỗi quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng
4.43 Ma trân độ cứng toàn cục,
toán dàn 2 phẳng
Đê tìm ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử ID trong hệ tọa độ toàn
ma trần khơi lượng tồn cục và ma trận chuyển bài
cục Ta cân xác định ma trận chuyển Mỗi quan hệ giữa ma trận độ cứng địa phương và
toàn cục được xác định như sau
u,=Tu, (25)
Trong đỏ u, = [4 e, é; -4; Ï vàu, =[4, V; U,V, G ey | là vectơ chuyển vị của phần
tử biểu diễn trong hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ toàn cục Ma trận độ cứng K, và ma trận khối lượng M của phần tử trong hệ tọa độ địa phương và toàn cục có mối quan hệ
như sau:
K,=T“k,T (26)
M,=T”m,T Q7)
Đối với trường hợp phẳng (2D), nút 1 và 2 của phản tử thanh tương ứng với nút í và j
trong hệ tọa độ toàn cục được biểu diễn như hình sau
yên trong trường hợp 2D
Hình 3.02: Hệ trục tọa độ chư
Trang 29Môi quan hệ giữa chuyên vị trong hệ tọa độ địa phương và toàn cục được xác định như sau:
q, =u, cosy +u, siny
G2 =V, COSY +v,siny (28)
Trong đó ylà góc giữa đường ïj và phương của trục ox Từ mỗi quan hệ trong phương
Trang 30Đọc đữ liệu từ file dxf Ỷ Roi rac phân tử, mã hóa chỉ số phần tử ‡
Khai báo thông số vật liệu cho từng phần
tử như: diện tích mặt cắt ngang, mô đun
đàn hôi, hệ số poison và khối lượng riêng Ỷ Khởi tạo ma trận kk, ff, mm, + Tinh ma tran phan tir k, m L Lắp ráp ma trận k vào ma trân kk và ma trân m vào mm Ỷ Áp lực lên bài toán (bài toán tĩnh)
Án đăt điều kiên biên
Bài toán tĩnh: giải phương trình
Trang 31Chương 04:
GIAO DIỆN CHƯƠNG TRÌNH VÀ VÍ DỤ SỐ
41 Giới thiệu
Trong chương 2 và 3 tác giả đã trình bảy cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học cũng như sự khác nhau giữ phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu
hạn Trong chương này tác giá ứng dụng phương pháp đẳng hình học xây dựng chương
trình phân tích và tính toán cho bải toán tĩnh và dao động của kết cầu dàn
Ngôn ngữ lập trình MATLAB[5] được sử dụng để viết chương trình khảo sát các bài toán này
So sánh và đánh giá kết quả với với lời giải phần tử hữu hạn
4.2, Giao diên chương trình e Giao diện phần mềm russ Analysis Using IGA roblem {] |Select problem: Static ™ |) (Geometry 1| toAp PLOT } —PLOT AREA Properties E 2e1t (Nfm2) A ' 250-4 | (m*2) tho! gona; (kg/mm) Nodes 1 vi X Direction {gop | (N)
Y¥ Direction 0ˆ }(H) | Refined —
Trang 32° Ông dẫn sử fr dung ¢ các Kiên: trong giao dién Propestiss E 2e (H2 | HỊA - 25a <7 i82) tho tkgm3) | Boundary Conditions Nodes 4
hon nodes va danh dau
(Mối Œ điều kiện biên App 1 lần) APPLY Bước 09:Chọn view result or mode, sau đó nhân OK rrf6Sigacesseg——————————————] I Scale factor View result; Stress | | I Hình 4.2:Hướng dẫn sử dụng chương trình tính toán 43 Ví dụ số 4.3.1 Bài tốn tĩnh
Mơ hình bài tốncó cáo thơng số như sau:
Trang 33© m O% @@ ® 2 | 4m — 4m ` 41 A=0.002ãnỄ on N E=2000pœ
Hình 4.3:Mô hình bài toán
So sánh chuyển vị giữa FEM và IA tại điểm nút Bảng 01: Chuyên vị của nút
Phương pháp FEM IGA(p=1)
Nut u(m) v(m) u(m) v(m)
01 0 0 0 0
02 6.4e-6 -3.14e-5 6.4e-6 -3.14e-5 03 1.73e-5 -3.14e-5 1.73e-5 -3.14e-5
04 1.28e-5 -4,573e-5 1.28e-5 -4.573e-5 05 1.09e-5 -3.03e-5 1.09e-5 -4.03e-5
06 | 225 | 0 2.24e-5 0
Trang 34$o sánh ứng suất giữa FEM và IA trong các phần tử Bảng 02: ng suất của phần tử Phương pháp FEM IGA Phần tử Stress (N/m?) | Stress (W/m’) 01 3.2e5 3.2e5 02 -2e5 -2e5 03 0 0 04 3.265 3.265 05 205 2e5 06 -3.2e5 -3.2e5 07 3.665 3.65 08 3.65 3.65 09 -6e5 -6e5 4.3.2 Bài tốn dao đơng 1 Dàn phẳng có 7 thanh
Mô hình bài tốncó các thơng số như sau:
Trang 35Kết quả phân tích dao động các mode
Bảng 03:Kêt quả dao động tw do cha din gồm 7 thanh
Mode (i) - 9, (rad/s) 01 02 03 04 05 06
FEM (7e-linear), ndof =6 1683352 127627 334137 514735 567818 831540 FEM (7e-quadtic), ndof =13 164806 1724121 311708 459786 486900 7430430 CEM (7e-2e) , ndof =20[20,2 1] 164826 17432 3113.83 456769 482970 737996 CEM (7e-Sc) , ndof =41[20,21] 1647.81 174086 311152 456256 482412 737951 GFEM (7e) , ndof =34[20,21] 1647785 1740.840 3111326 4561819 4823253 7379.482
Adaptive GFEM(7e), ndof =74 [21] 1647,784 1740839 3111322 4561817 482324§ 7379.482 1GA(7e), ndof =6 168352 177627 334137 $147.35 567818 8315-40 JGA(14e),ndof=l3,/-refned 165666 174974 316841 472601 504520 813414 IGA (Je), ndof=13, k-refined 164806 174121 311708 459786 486900 743030
IGA (Je), ndof =20, k-refined 1647785 1740840 3111403 4562.60] 4825.087 7429.357
IGA (7e), ndof=27,p-refined 164780 1714086 3111.71 456426 482676 740798
7e =7 phân tử
7e-2c = 7 phần tử and 2 nút giữa có mỗi bậc tự ở mỗi nút
ndof = Số bậc tự do sau khi khử điều kiện biên Kết quả các đạng mode Mode 4: FEM (đỏ); IGA (đen) Hình 4.5:Các dạng m 2 Dàn phẳng có 15 thanh Mô hình bài tốncó các thơng số như sau: 2.1x10"' N/m? - Mô đun đàn hỗi vật liệu # = 32
Mode 6: FEM (đỏ); IGA (đen)
Trang 36-_ Diện tích mặt cắt ngang 4= 0.001 m?
-_ Khối lượng riêng p = 8000 kg/m’
Mô hình tính toán của đàn phẳng có 15 thanh /VVW 2m l- Hình 4.6:Mơ hình bài tốn dàn 2D có 15 thanh 2m 8 m Kết quả phân tích dao động các mode m Bảng 04:Results to free vibration of fifteen bar truss 01 02 03 04 05 06
Mode (/) @, (rad/s) @, (rad/s) @, (rad/s) @, (rad/s) @, (rad/s) @, (rad/s)
FEM (15e-linear), ndof =14 68227 114929 161235 2519.86 2715.75 2968.22 FEM (15e-quadtic), ndof =29 679.78 113923 1581.99 2410.63 2602.86 2816.73
CEM (15e-2c) , ndof =44 [20,21] 679.82 1139.34 1582.18 2410.25 2601.85 2815.44
CEM (15e-5c) , ndof =74 [20,21] 679.79 113922 158183 240913 260064 2813.92
Adaptive GFEM, ndof =74 [21] 679.786 1139.200 1581771 2408.911 2600405 2813617 IGA(15e), ndof =14 68227 114929 161235 251986 271575 2968.22
IGA(15e), ndof =29, h-refined 680406 1141721 1589386 2436364 2629545 2582 oes IGA (15e), ndof =29,k-refined 679.789 1139.237 1581995 2410.634 2502865 —
IGA (15e), ndof =44,k-refined 679.786 1139.200 1581.772 2408.926 i
679.789 1139.237 1581995 2410634 2602863 2816731
IGA (15e), ndof =29,p-refined 15e = 15 phần tử
15-2c = 15 phan tử and 2 nút giữa có mỗi bậc tự ở mỗi nút
ndo Ồ tự do sau khi khử điều kiện biên
Kết quả các dạng mode
Trang 37
Mode 4: FEM (46); IGA (den) Mode 6: FEM (do); IGA (den)
Hình 4.7:Các dang mode gitta FEM va IGA
41 Kếtluận
- Ung dụng lý thuyết chương 2 và 3, xây dựng chương trình phương pháp đẳng
hình học để giải dàn phẳng
~_ Kết quả của hai bài toán so với kết quả tham khảo có sai số tương đối tốt
-_ Trong bài toán số 2- bài toán phân tích dao động tự do, phương pháp đẳng hình
học cho kết quả tốt hơn FEM với số bậc tự đo nhỏ
Trang 38Chwong 05:
KET LUAN VA KIEN NGHI
5.1 Kétluan
- _ Để tài đã hoàn thành mục tiêu đề ra:
+ Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đăng hình họccho bài toán dàn
+ Xây dựng thuật toán
+ Viết chương trình giải một số bài toán và so sánh kết quả 52 Kién nghi
- Nghién ctru IA ap dung cho cdc bai toan khác: phân tích giới hạn (limits load analysis), bài toán Composite,
= Nghiên cứu T-Spline cho bài toán LÁ
-_ Kết nối giữa CAD và IA -_ Kết nỗi FEM và IGA
Trang 39TÀI LIỆU THAM KHÁO
TIENG VIET
[Ị PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, Dan héi Ung dung, NXB DHQG Tp.HCM, 2004
[2] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính toán độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật, 2004
[3] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.§ Mai Đức Đãi, Phương
pháp Phần tử Hữu hạn trong Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008
[4] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.$ Mai Đức Đãi, Ứng
dụngPhương pháp Phần tử Hữu hạn trong Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007 [5] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phân Tử Hữu Hạn với Matlab, NXB
ĐHQG Tp.HCM, 2001
(6) GS.TS Nguyễn Văn Phái, Nguyễn Văn Khiêm, Phương pháp phân tử hữu han
thực hành trong cơ học , NXB Giáo dục, 2000
TIỀNG NƯỚC NGOÀI
[7] J.A Cottrell, T.J.R Hughes, and Y Bazilevs lsogeomeiric analysis toward
integration of CAD and FEA Wiley, 2009
[8] Piegl, L and W Tiller (1997) The NURBS Book(2 ed.) Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg
[9] Timoshenko, 8 P and J N Goodier (1970) Theory of Elasticity(3 ed.) McGraw-Hill,New York
[10] Zienkiewicz, O C., R L Taylor, and J Z Zhu (2005) The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford
[11] Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford
[12] Per Stale Larsen A comparison between the finite element method (FEM) and the isogeometric analysis ([A) Master Thesis, Norwegian University of Science and
Technology, 2010
Trang 40{13] Alessandro Reali An Isogeometric Analysis Approach for the Study of Structural
Vibrations Master Thesis, Universit'a degli Studidi Pavia, 2005
[14] Thanh Ngan Nguyen Isogeometric Finite Element Analysis based on Bézier
Extraction of NURBS and T-Splines Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, 2012
[15] H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi, Isogeometric finite element analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation theory, Composite Part B, in press, doi.org/10.1 016/j.compositesb.2013.06.044, 2013 [16] Loc V Tran, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, An isogeometric finite element
formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates, Finite
2/0 10167) finel 2013 3, 2013
[17] Loe V Tran, A J Ferreira, H Nguyen-Xuan, /sogeometric approach jor
Element in Analysis and Design, Vol 73, p 65-76, doi
analysis of functionally graded plates using higher-order shear deformation theory,
Composite Part B, Vol 51, p 368-383,doi.org/10.1016/j.composi sb.2013.02.045, 2013 [18] N Nguyen-Thanh, H Nguyen-Xuan, Š Bordas,T Rabczuk, lsogeomeirie
analysis using polynimial splines over hierarchical for two-dimensional elastic solids, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 200, p 1892-1908,
na.2011.01.018; 2011 (Top 25 hottest articles, June 2011)
[19J| Vinh Phu Nguyen, Isogeometric analysis: an overview and computer implementation aspects Elsevier September 30, 2013
[20] Zeng, P, Composite element method for vibration analysis of structures, part |:
principle and C° element (bar) Journal of Sound and Vibration 218, pp 619-658, 2009
[21] M Amdt, R.D Machado, A Seremin, An adaptive generalized finite element method
applied to free vibration analysis of straight bars and trusses, Journal of Sound and
Vibration.329, pp 659-672, 2010