Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng m cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?. b Trên mặt p[r]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) a 1 a a a a a a M a a a aa a Cho biểu thức: với a > 0, a a) Chứng minh M N M nhận giá trị nguyên? b) Với giá trị a biểu thức Bài (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5x , y 6 x y mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (m) Với giá trị tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hồnh độ M tung độ N; từ đó, suy 1 Q OM ON giá trị nhỏ biểu thức Bài (2,0 điểm) 17x 2y 2011 xy a) Giải hệ phương trình: x 2y 3xy x y z z x (y 3) b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (C) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AMAN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Bài (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương -HẾT Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh: Chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP Dưới sơ lược biểu điểm đề thi Học sinh giỏi lớp Các Giám khảo thảo luận thống thêm chi tiết lời giải thang điểm biểu điểm trình bày Tổ chấm phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho ý đề thi Tuy nhiên, điểm bài, câu không thay đổi Nội dung thảo luận thống chấm ghi vào biên cụ thể để việc chấm phúc khảo sau thống xác Học sinh có lời giải khác đúng, xác phải nằm chương trình học làm đến ý giám khảo cho điểm ý Việc làm trịn số điểm kiểm tra thực theo quy định Bộ Giáo dục Đào tạo Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT BÀI-Ý ĐỀ -ĐÁP ÁN ĐIỂM a 1 a a a a a a a a a a a a Cho biểu thức: với a > 0, a M a) Chứng minh N M nhận giá trị nguyên b) Với giá trị a biểu thức M Bài a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a Do a > 0, a nên: a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a aa a a (1 a) a (1 a) a 1.a a 1 M 2 (1,25đ) a Do a 0; a 1 nên: ( a 1) a a a M 4 a 0N M N nhận giá trị nguyên Ta có a 1.b 1 a a (0,75đ) Mà N = a a 0 ( a 2) 3 a 2 hay a 2 (phù hợp) Vậy, N nguyên a (2 3) Bài 2 a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5x , y 6 x y mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (m) Với giá trị tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định 2,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá Q 1 OM ON trị nhỏ biểu thức Điều kiện để (m) đồ thị hàm số bậc m 0 Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (m) là: 0,5x mx (m 0,5)x 3 Điều kiên để phương trình có nghiệm âm m 0,5 hay m 0,5 2.a (0,75đ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (m) là: x mx (m 1)x 6 Điều kiên để phương trình có nghiệm dương m hay m Vậy điều kiện cần tìm là: m 0,5; m 0 2.b (1,25đ) Bài Đặt m = xM n = yN mn m (*) Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0 am b 2 a b n b hệ thức liên hệ m n 2m n mn 1 Chia hai vế cho mn ta được: m n (**) 0,25 0,25 0,25 0,25 4 1 2 1 5 m n mn n m n m n m 1 Q ; ; m n dấu “=” xảy m n kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 (thỏa (*)) Vậy giá trị nhỏ Q 0,25 0,25 0,25 17x 2y 2011 xy x 2y 3xy a) Giải hệ phương trình: b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: 17 1 y x 2011 y (1) 3 1 y x x Nếu xy 3.a (1,25đ) 0,25 (1) x y z z x (y 3) (2) 1007 x 490 490 y 1007 (phù hợp) 17 1004 y x 2011 y (1) xy 3 1031 y x x 18 Nếu xy (loại) xy x y Nếu (1) (nhận) ; KL: Hệ có nghiệm (0;0) 490 1007 3.b Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ y ≥ z ≥ x ≥ (0,75đ) x y z z x x y z z x (2) ( x 1)2 ( y z 1)2 ( z x 1) 0 2,0 đ 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài x 1 x 1 y z 1 y 3 z 2 z x 1 (thỏa điều kiện) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính F AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) C điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AMAN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam N giác BNF NF ngắn MN BF BC NF 0,25 M A B O E (C ) A trực tâm tam giác BNF 4.a FA NB (1,00đ) Lại có AE NB Nên A, E, F thẳng hàng CAN MAB , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng AN AC 4.b (0,75đ) Suy ra: AB AM Hay AM AN AB AC 2R khơng đổi (với R bán kính đường trịn (C )) BA BC Ta có nên A tâm tam giác BNF C trung điểm NF (3) CAN CFM Mặt khác: , nên hai tam giác CNA CBF đồng dạng CN AC 4.c CN CF BC AC 3R BC CF (1,25đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R không đổi Nên: NF ngắn CN =CF C trung điểm NF (4) (3) (4) cho ta: A tâm tam giác BNF NF ngắn Bài Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương Đặt: S = 123456789101112 S 100 3467891112 (1) số nguyên hai chữ số tận S 00 (1,00đ Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải (1), để ý ) S đến chữ số tận cùng, ta thấy 100 có chữ số tận (vì 34=12; 26=12; 27=14; 48=32; 29=18; 811=88; 812=96) Vậy ba chữ số tận S 600 3,0 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,50 0,25 0,25 - Hết - 3.b (0,75đ) Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ y ≥ z ≥ x ≥ x 1 y z 1 z x 1 x ; y z ; z x 2 Theo BĐT Cauchy: VP x y z z x (y 3) VT x 1 y z 1 z x 1 Do PHÒNG GD-ĐT CẨM THỦY x 1 y 3 z 2 thỏa điều kiện 0,25 0,25 0,25 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN (ĐỀ SỐ 3) năm học : 2011 - 2012 Môn : TỐN (Thời gian làm bài: 150 phút: Vịng 2) Bài ( 3,0 điểm) 2ab Cho số dương: a; b x = b Xét biểu thức P = ax a x a x a x 3b Chứng minh P xác định Rút gọn P Khi a b thay đổi, tìm giá trị nhỏ P Bài (3,0 điểm) Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau: x 3x 2 y y 3y 4 2z z 3z 6 3x Bài ( 3,0 điểm) 3 3 Với số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = ; b = Chứng minh với n ≥ 1, ta có Sn + = (a + b)( an + + bn + 1) – ab(an + bn) Chứng minh với n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn số nguyên 1 n n Chứng minh Sn – = Tìm tất số n để S n – số phương Bài (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B cho AE < BE Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE đường trịn (O2) đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đường trịn trên, với M tiếp điểm thuộc (O 1) N tiếp điểm thuộc (O2) Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng AB 2 Với AB = 18 cm AE = cm, vẽ đường trịn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) C D, cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Bài 5: (4đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB AC trung tuyến AM theo thứ tự Là E,F,N AB AC AM AN a) Chứng minh : AE AF b) Giả sử đường thẳng d // BC Trên tia đối tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB P đường thẳng KM cắt AC Q Chứng minh PQ//BC Bài 6: (2 điểm) Cho < a, b,c a + x > a (b 1) 0 Xét a – x = b Điểm 0,25 (1) 0,25 (2) Ta có a + x > a – x ≥ a x a x 0 (3) Từ (1); (2); (3) P xác định Rút gọn: a 2ab a (b 1) a x (b 1) a b 1 b 1 b 1 Ta có: a + x = a-x= a 2ab a (b 1) b 1 b 1 a x b a b 1 Nếu b 1 , a dương tuỳ ý P = b 0,25 0,25 a a b b 1 b 1 b 1 b 3b b b 3b a a (b 1) b 1 b 1 b P= Nếu < b < P = 2b 3b 3b 3b b P= 3b 3b Nếu b 1 (1.0 điểm) Xét trường hợp: 4 Nếu < b < 1, a dương tuỳ ý P = 3b P (b 1) 0,25 b 2b 3b 3b 0,25 0,25 0,25 b Ta có: 3b , dấu xảy b = 2b Mặt khác: 3 , dấu xảy b = 2 Vậy P 3 , dấu xảy b = KL: Giá trị nhỏ P = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải Biến đổi tương đương hệ ta có (x 2)(x 1) y (y 2)(y 1) 2(2 z ) (z 2)(z 1) 3(2 x) Điểm 1,00 Nhân vế phương trình với ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) 2 (x - 2)(y - 2) (z - 2) (x 1) (y 1) (z 1) = (x - 2)(y - 2) (z - 2) = x = y = z = Với x = y = z = thay vào hệ ta có x = y = z = Vậy với x = y = z = thoả mãn hệ cho 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải (1,0 điểm) Với n ≥ Sn + = an+2 + bn+2 (1) n+1 n+1 n n n+2 n+2 Mặt khác: (a + b)( a +b ) – ab(a +b ) = a + b (2) Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh (1.0 điểm) Ta có: S1 = 3; S2 = Do a + b =3; ab =1 nên theo ta có: với n ≥ Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2 Z nên S3 Z; S2, S3 Z nên S4 Z Tiếp tục trình ta S5; S6; ; S2008 Z (1.0 điểm) n Điểm 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 n 2 2 2 2 2 Ta có Sn – = 0,25 n 1 n 1 n 2 = 1 n n = đpcm 0,25 1 Đặt a1 = ; b1 = 51 a1 + b1 = ; a1b1 = n n Xét Un= a1 b1 Với n ≥ Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n) Un+2 = Un+1 – Un Ta có U1 = Z; U2 = Z; U3 = 4 Z; U4 = Z; Tiếp tục trình ta Un nguyên n lẻ Vậy Sn – số phương n = 2k+1 với k Z k 1003 0,25 0,25 Câu (5,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm F D N I C S A M O1 E O B O2 (2,5 điểm) O1M; O2N MN O1M/ / O2N Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B Các tam giác O1ME; O2NB cân O1 O2 nên ta có: MEO1= NBO2 (1) Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + MEO1= 900 (2) MAE + NBO2 = 900 AFB = 900 Tứ giác FMEN có góc vng Tứ giác FMEN hình chữ nhật NME = FEM (3) Do MN MO1 MNE + EMO1 = 900 (4) Do tam giác O1ME cân O1 MEO1 = EMO1 (5) Từ (3); (4); (5) ta có: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (đpcm) (2,5 điểm) Ta có EB = 12 cm O1M = cm < O2N = cm MN cắt AB S với A nằm S B Gọi I trung điểm CD CD OI OI// O1M //O2N SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2 O1M SO1 O N SO 0,25 0.25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Do O1O2 = + = cm SO1= O1O2 = cm SO =SO1 + O1O = 15cm OI SO Mặt khác: O1M SO1 OI = cm Xét tam giác COI vng I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2 Ta có: CO = cm CI2 + 25 = 81 CI = 56 CD = 14 cm Câu (2,0 điểm) Điểm A E E N I M B C S a) ( I , S AM ) Kẻ BI , CS // EF AB AI AC AS , Ta có: AE AN AF AN AB AC AI AS () AE AF AN AN 1,0 BIM CSM (cgc) IM MS Vậy: AI AS AI AI IM MS 2 AM Ta có: Thay vào (*) ta (đpcm) 0,5 0,5 Khi d // BC EF // BC N trung điểm EF +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP L 0,5 Ta có: NFP NFL(cgc) EP LF A Do : K EP LF KF (1) PB PB KB E +Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt KM H Ta có BMH CMQ(cgc) BH QC 0,5 L N F Q P B M C 0,5 FQ FQ KF (2) QC BH KB Do đó: FP FQ (1) va (2) PQ // BC PB QC Từ 0,5 (đpcm) Bài 6: điểm) Do a FDC HNC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g) NHC DFC 90O => c) hay MN 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ AD Do MENF hình chữ nhật, nên MFE FEN FEN EAB sđ EB Trong đường trịn (O) có: => MFE EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) ME MF => MD MA , hay ME.MA = MF.MD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho khơng làm thay đổi tổng điểm (hoặc ý) nêu hướng dẫn này./ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu1: ( 5đ) 2√ x−9 x +1 √ x +3 + √ + x −5 √ x+6 √ x − x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z ®Ó M Z 2 Câu: 2(2đ) Cho 4a +b =5ab với 2a>b>0 ab Tính giá trị biểu thức: P= 2 a −b Câu 3(4đ) x − x +6 a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x −2 x +1 b Chứng minh với số thực a,b,c ta có a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca Câu: (4đ) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3+y3+z3-3xyz b Giải phương trình : x4+2x3-4x2-5x-6=0 Câu: (5đ) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC 1) Tứ giác BEDF hình sao? 2) Gọi CH CK đường cao tam giác ACB tam giác ACD.Chứng minh a Tam giác CHK tam giác ABC đồng dạng b AB.AH+AD.AK=AC2 Cho biÓu thøc M = ĐÁP ÁN Câu: 1(5đ) a) ĐK x 0; x 4; x 9 0,5đ x 9 Rút gọn M = Biến đổi ta có kết quả: = = x x x x3 x 0,5đ 0,5đ ( √ x+ )( √ x − ) √ x +1 = ( √ x −3 ) ( √ x − ) √ x − x −1 =5 √ x −3 ⇒ √ x=4 ⇒ x=16(TM) M = 5⇔ √ b) x 1 c) M = x x x 1 x x x Do M z nên x 34 x 1 1đ 1đ x x ước x nhận giá trị: -4;-2;-1;1;2;4 0,5đ 0,5đ x 1;4;16;25;49 x 4 x 1;16;25;49 Câu: (2đ) Phân tích 4a2+b2=5ab thành (a-b)(4a-b)=0 a=b 4a=b Lập luận a=b (nhận) 4a=b (loại) ab a P= 2 = = Tính a −b 3a Câu: (4đ) x −2 ¿2 ¿ x −1 ¿2 ¿ a Viết ¿ ¿ x2 − x+ 2+ x2 − x+ A= =2+ ¿ x −2 x+1 Lập luận A = x-2= => x= 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,5đ 0,5đ b biến đổi a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca a2-2ab+b2+b2-2bc +c2 +c2 -2ca+a2 ≥0 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ≥ Lập luận => khẳng định Câu: (4đ) a x3+y3+z3-3xyz = x3+3x2y+3xy2+y3+z3-3x2y-3xy2 -3xyz = (x+y)3+z3 –3xyz(x+y+z) = (x+y+z)(x2+2xy+y2+z2-xz-yz)-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b Giải phương trình : x4+2x3-4x2-5x-6=0 x4-2x3+4x3-8x2+4x2-8x + 3x-6=0 x3(x-2)+4x2(x-2)+4x(x-2)+3(x-2)=0 (x-2)(x3+4x2+4x+3)=0 (x-2)(x3+3x2+x2+3x+x+3) =0 (x-2)[x2(x+3)+x(x+3)+(x+3)]=0 (x-2)(x+3)(x2+x+1) =0 Câu: (5đ) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ H C B F E A Chỉ Tam giác ABE = Tam giác CDF =>BE=DF BE//DF vng góc với AC => BEDF hình bình hành 2.a Chỉ góc CBH = góc CDK => tam giác CHB đồng dạng với Tam giác CDK (g,g) CH CK ⇒ = CB CD Chỉ CB//AD,CK vng góc CB=> CK vng góc CB Chỉ góc ABC = góc HCK ( bù với BAD) 0,5đ D 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ K CH CK CH CK = = hay ⇒ AB=CD CB CD CB AB Chỉ tam giác CHK đồng dạng tam giác BCA (c-g-c) b tam giác AFD = tam giác CEB => AF=CE tam giác AFD đồng dạng với tam giác AKC => AD.AK=AF.AC => AD.AK=CE.AC (1) Chỉ tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACH => AB.AH=AE.AC (2) Công theo vế (1) (2) ta AD.AK+ AB.AH =CE.AC+ AE.AC =(CE+AE)AC=AC2 Chỉ ⇒ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) x x x a) Rút gọn biểu thức A = x x 1 x 3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = x Hãy tính giá trị biểu thức: A = (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 3 Tính f(a) a = 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x 3 b) x x 2 x Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy 1; thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh b) Cho a; b; c số thuộc đoạn rằng: a + b + c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 2 a) Chứng minh: KB CB BA AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) x x x a/ Rút gọn biểu thức A = x x 1 x 3 x ĐKXĐ: x 4; x x A= = x 2 x x 1 x x 3 x x x 1 x x x x x x x x x x x x x 1 x b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = x Hãy tính: A = (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Gợi ý: xy + yz + xz = + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z) (x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 3 Tính f(a) a = 16 16 b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải 3 a/Từ a= 16 16 a 32 3 16 16 16 16 32 12a nên a3 + 12a = 32 Vậy f(a) = k n 1 n 8 b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ) k > n (k – n)(k + n) = 17 k n 17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/ x x 3 b/ x x 2 x Giải a/ ĐK: x 1 Bình phương vế: x x (1 x)(4 x) 9 (1 x)(4 x) 2 x 0 3x x 4 x( x 3) 0 x (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x x 2 x ĐKXĐ: x 3 x x x 2 x 0 x 1 x 0 x 0 x x 1 phương trình có nghiệm x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy 1; 2 b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c Giải a/ x y y x xy x.2 y y.2 x xy Xét VP = x.2 y y.2 x theo BĐT cosi: y 4 y y 4x x ;2 x 2 2 VP xy = VT x 2 x y 8 y Dấu = xảy khi: 1; 2 b/ Do a; b; c thuộc đoạn nên a + 0; a – nên (a + 1)(a – 2) Hay: a2 – a – a2 a + ... Chỉ tam giác CHK đồng dạng tam giác BCA (c-g-c) b tam giác AFD = tam giác CEB => AF=CE tam giác AFD đồng dạng với tam giác AKC => AD.AK=AF.AC => AD.AK=CE.AC (1) Chỉ tam giác ABE đồng dạng với tam. .. 0,25đ 0,25đ H C B F E A Chỉ Tam giác ABE = Tam giác CDF =>BE=DF BE//DF vuông góc với AC => BEDF hình bình hành 2.a Chỉ góc CBH = góc CDK => tam giác CHB đồng dạng với Tam giác CDK (g,g) CH CK ⇒... xuống đường thẳng AC 1) Tứ giác BEDF hình sao? 2) Gọi CH CK đường cao tam giác ACB tam giác ACD.Chứng minh a Tam giác CHK tam giác ABC đồng dạng b AB.AH+AD.AK=AC2 Cho biÓu thøc M = ĐÁP ÁN Câu: