Đang tải... (xem toàn văn)
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.. – [r]
CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung a ab < Một số bất đẳng thức thông dụng a) 1 a>b a b 1 a>b a b (1) (2a) (2b) (3) (4) (5a) (5b) (6a) (6b) a2 0, a Dấu "=" xảy a = a b 2ab Dấu "=" xảy a = b b) Bất đẳng thức Cô–si: ab ab Với a, b 0, ta có: Dấu "=" xảy a = b Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y – Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x 0, x x , x x x a a x a a>0 x a x a x a a b ab a b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + a b c ab ; b c a bc ; c a b ca Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng: – Tính chất quan hệ thứ tự số – Tính chất bất đẳng thức – Một số BĐT thông dụng VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh Một số BĐT thường dùng: + A 0 2 + A B 0 2 + A B 2 AB + A.B 0 với A, B Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 a) a b c ab bc ca 2 b) a b ab a b 2 c) a b c 2(a b c) 4 2 e) a b c 2a(ab a c 1) 2 d) a b c 2(ab bc ca) a2 b2 c2 ab ac 2bc f) 2 2 2 g) a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc 2 2 h) a b c d e a(b c d e) 2 HD: a) (a b) (b c) (c a) 0 2 b) (a b) (a 1) (b 1) 0 2 c) (a 1) (b 1) (c 1) 0 d) (a b c) 0 2 2 e) (a b ) (a c) (a 1) 0 a (b c) 0 f) 2 2 g) (a bc) (b ca) (c ab) 0 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 h) Bài Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: ab a b2 ab a) a b3 a b ; với a, b b) 4 3 c) a b a b ab d) a 4a a4 b4 a6 b6 3 b2 a2 ; với a, b e) a b c 3abc , với a, b, c > f) 1 2 ab ; với ab h) (a5 b5 )(a b) (a b )(a b2 ) ; với ab > g) a b 2 ab (a b)2 a b2 a b (a b)2 0 0 ab HD: a) ; (a b)(a b)2 0 b) 3 c) (a b )(a b) 0 2 d) (a 1) (a 2a 3) 0 3 2 e) Chú ý: a b (a b) 3a b 3ab (a b c) a2 b2 c (ab bc ca) 0 BĐT (b a)2 (ab 1) 2 2 f) (a b ) (a a b b ) 0 2 g) (1 ab)(1 a )(1 b ) 0 3 h) ab(a b)(a b ) 0 Bài 2 Cho a, b, c, d R Chứng minh a b 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: 4 4 a) a b c d 4abcd 2 b) (a 1)(b 1)(c 1) 8abc 2 2 c) (a 4)(b 4)(c 4)(d 4) 256abcd 4 2 2 2 2 2 HD: a) a b 2a b ; c d 2c d ; a b c d 2abcd 2 b) a 2 a ; b 2 b ; c 2 c 2 2 c) a 4 a ; b 4 b ; c 4 c ; d 4 d a a ac 1 Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh b b b c (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a b c d a b c 1 2 1 2 ab bc ca a b c b c d c d a d a b a) b) ab b c cd d a 2 3 a b c b c d c d a d a b c) HD: BĐT (1) (a – b)c < a a ac b b ba a) Sử dụng (1), ta được: a b c a b a b c ; a b c b c a b c ; c c cb abc c a abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a b c d a b c a c b b b Tương tự: a b c d b c d b d ; d d d abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Bài c c c a b c d c d a a c ; ab ab abd abcd abc abcd 2 Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 a) (a b c) 3(a b c ) a2 b2 c2 a b c b) c) (a b c) 3(ab bc ca) 4 d) a b c abc(a b c ) 2 HD: (a b) (b c) (c a) 0 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) 3 d) Sử dụng (1) hai lần Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 3 3 3 a) a b abc b c abc c a abc abc ; với a, b, c > 1 1 3 3 3 a b b c c a b) ; với a, b, c > abc = 1 1 1 c) a b b c c a ; với a, b, c > abc = Bài 2 HD: (1) (a b )(a b) 0 3 ab(a b c) a) Từ (1) a b abc ab(a b c ) a b abc Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 3 2 a) ab bc ca a +b c c a c a c a Tương tự, chứng minh BĐT lại 1 b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: x y x y 1 Ta có: a b c b c a (a b c) (b c a) b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 u2 u n u Ta biến đổi số hạng tổng quát k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: S = a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 u k ak ak 1 P = u1u2 un Phương pháp chung tính tích hữu hạn: uk Ta biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: a1 a2 a a n an 1 an 1 Khi đó: P = a2 a3 Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 1 1 1 1 n 1 n nn a) n n b) 1 1 1 1 2 + + + .+ có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b)(b c)(c a) 8abc bc ca ab a b c b c b) a ; với a, b, c > Bài ab bc ca abc c) a b b c c a ; với a, b, c > a b c d) b c c a a b ; với a, b, c > HD: a) a b 2 ab ; b c 2 bc ; c a 2 ca đpcm bc ca abc ca ab a2 bc ab bc 2 2c 2 2a 2 b ab c bc a b) a , b , c ab ab ab bc Tương tự: b c c) Vì a b 2 ab nên a b ab ab bc ca ab bc ca a b c 2 ab bc ca (vì ab ab2 c 2b ac đpcm bc ca ca ; ca bc ca a b c ) a b c 1 1 1 d) VT = b c c a a b (a b) (b c) (c a) b c c a a b = Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b x y z x z y 3 (2 3) y x x z y z Khi đó, VT = Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c a) 3 2 3 3 b) 3(a b c ) (a b c )(a b c ) c) 9(a b c ) ( a b c) a b b c c a3 a b2 c a c b a c b HD: a) VT = a3 b3 2 a2 b2 2ab b a Chú ý: Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm 3 3 2 2 2 b) 2(a b c ) a b b a b c bc c a ca 3 Chú ý: a b ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm 3 2 c) Áp dụng b) ta có: 9(a b c ) 3(a b c)(a b c ) Bài 2 2 Dễ chứng minh được: 3(a b c ) (a b c) đpcm 1 Cho a, b > Chứng minh a b a b (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1 1 1 2 a b b c c a ; với a, b, c > a) a b c 1 1 1 2 2a b c a 2b c a b 2c ; với a, b, c > b) a b b c c a 1 1 1 4 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: 2a b c a 2b c a b 2c ab bc ca a b c d) a b b c c a ; với a, b, c > xy 8yz xz 6 e) Cho x, y, z > thoả x y z 12 Chứng minh: x y y z z x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 p a p b p c a b c 1 1 (a b) 4 a b HD: (1) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si 1 1 1 ; ; a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 4 2a b c a 2b c a b 2c c) Áp dụng a) b) ta được: a b c 1 1 ab (a b) a b a b ab d) Theo (1): Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a) ( p b) c Bài Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Cho a, b, c > Chứng minh a b c a b c (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1 (a b2 c2 ) (a b c) ab bc c a a) x y z b) Cho x, y, z > thoả x y z 1 Tìm GTLN biểu thức: P = x y z c) Cho a, b, c > thoả a b c 1 Tìm GTNN biểu thức: 1 2 P = a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 30 2 ab bc ca d) Cho a, b, c > thoả a b c 1 Chứng minh: a b c 1 1 (a b c) 9 a b c HD: Ta có: (1) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si 1 a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) 9(a2 b2 c ) 3(a2 b2 c ) ( a b c) 2( a b c ) a b c VT 2 2 Chú ý: (a b c) 3(a b c ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: 1 x 1 y 1 z 1 3 y 1 z 1 = x 1 y 1 z 1 P = x 1 1 9 3 4 Ta có: x y z x y z Suy ra: P Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho x, y, z > thoả x y z 1 k số dương cho trước Tìm GTLN x y z biểu thức: P = kx ky kz 2 c) Ta có: P a 2bc b 2ca c 2ab 2 ab bc ca d) VT a b c (a b c)2 9 1 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca = a b c 9 30 ab bc ca 1 (a b c ) 1 ab bc ca (a b c )2 3 Chú ý: Bài Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x y ; x 0 y ; x 1 x x a) b) 3x x y ; x 1 y ;x x 1 2x c) d) x3 x y ; x 1 1 x x e) x2 4x y ; x 0 x g) h) HD: a) Miny = x = 6 1 6 x = c) Miny = b) Miny = x = 30 d) Miny = x = e) Miny = y f) y x x 5 g) Miny = x = ; x 0 ; x 0 30 x3 x2 f) Miny = h) Miny = 27 x = x = Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: y ( x 3)(5 x ); x 5 a) b) y x (6 x ); x 6 5 y ( x 3)(5 x ); x y (2 x 5)(5 x ); x 5 2 c) d) Bài x 2 e) HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = y (6 x 3)(5 x ); x ; x 0 x f) b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = y e) Maxy = x = f) Maxy = 2 x = ( x 2 x ) II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình dạng ax b (hoặc ax b 0, ax b 0, ax b 0 ), a, b hai số cho, a 0, đgl bất phương trình bậc ẩn Hai qui tắc biến đổi bất phương trình Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương – Đổi chiều bất phương trình số âm Giải bất phương trình sau: 3(2 x 3) 4(2 x ) 13 a) c) 8x 17 3(2 x 3) 10( x 2) Bài e) 4(2 x ) (5 x ) 11 x b) x (3 x+9) 8 x (2 x 1) d) 17( x 5) 41x 15( x 4) f) 2(3 x ) 1,5( x 4) x 83 x x x 73 e) ĐS: a) x 3 b) c) d) Bài Giải bất phương trình sau: 2x x 5( x 1) 2( x 1) 1 a) b) 3( x 1) x 3x x 2 2 3 1 x c) d) x f) x 18 1 x 2x x 5 33 5 e) x 22 x x 5x x 4 f) 14 x x x 19 ĐS: a) x 20 b) x 15 c) d) x e) f) Bài Giải bất phương trình sau: b) 5( x 1) x (7 x ) x a) (2 x 3)(2 x 1) x ( x 2) (2 x 1)2 (3 x )2 c) ( x 1) ( x 3) x ( x 1) d) ( x 2)2 3( x 1)2 x x (1,5 x 1) (2 x )2 x 2 10 e) f) x x x x x b) 10 ĐS: a) c) d) e) f) x 2 Bài Giải bất phương trình sau: 8x 2x 1 8x 3 2x 3x a) b) x 5 x x 3 5x x x 1 x 3 6 c) d) x 2x x 15 e) 15 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Bài Với giá trị x thì: a) Giá trị biểu thức 3( x 1) không nhỏ giá trị biểu thức 2( x 3) 2 2 x 2 x 1 b) Giá trị biểu thức lớn giá trị biểu thức x 2 c) Giá trị biểu thức ( x 1) không lớn giá trị biểu thức ( x 3) 1 x 2 x 2 x d) Giá trị biểu thức nhỏ giá trị biểu thức 14 x x ĐS: a) b) x c) d) x Bài Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 x x x x x x 2003 2004 2005 97 95 98 96 94 a) 2002 b) 99 x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x x x x x 97 95 98 96 94 2003 2004 2005 c) 2002 d) 99 ĐS: a) x 15 b) x 100 Bài a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5, ĐS: a) 31 b) 301 ( x chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x chia hết cho 5, 8, 10) Bài Giải bất phương trình sau: a) III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa giá trị tuyệt đối a a 0 a a a Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối C1 C A 0 A B 0 B 0 hay hay A B A B A B A B Dạng A B Dạng A B A B hay A B Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối – Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ – Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định – Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho Giải phương trình sau: a) x x b) x 2 x 5x 6 x d) x x x e) Bài 2 S ; 3 ĐS: a) b) S 0 Bài Giải phương trình sau: a) x x x 9 S 7 c) c) x 5 x x 2 x 1 x 3 f) d) S 19 1 S S 20 f) 8 e) 2 2 b) x 5x x c) x x x 2 d) x x x 5x 1 S 1; c) S 3;1 d) S 2 ĐS: a) S 0;1;3 b) Bài Giải phương trình sau: x6 3x x2 6x 2 x 2x x x x 36 a) b) c) x2 4x 2x2 7x 4 x 2x 1 d) x x e) f) 13 3 S ; 4 S S ;3 d) c) 5 ĐS: a) S 2 b) Bài Giải phương trình sau: a) x x b) x 3x c) x x2 5x x 3x x e) S 4 f) S 4 x x 0 2 d) x 5x 10 2 x 2 e) x 6 f) x x x 1 1 9 1 S ; S ;1 S ;1; S 1; 11 d) 2 c) e) S 1;5 f) ĐS: a) S 2; b) Bài Giải phương trình sau: a) x x 3 b) x x 0 c) x x 1 d) x x x e) x x x 0 f) x x 0 ĐS: a) S b) S 4 c) x 3 1 3 1 S ; S 2 e) f) S d) BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Giải bất phương trình sau: a) 3x 5 x+12 b) x 15 24 x c) x 7 x x 1 x x 3 2x x x x 1 x (2 x 1) x 4 d) e) f) 11 x x ĐS: a) x 10 b) x c) x 2 d) e) f) x Bài Bài a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình: 11x 8x b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình: x2 2x x2 x 1 x2 x x 1 4(2 x ) (5 x ) 11 x c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 x ) 1,5( x 4) x 1;2 ĐS: a) b) 3; 2; 1 Bài Giải bất phương trình sau: x x 15 x 2005 x 1995 15 a) 2005 1995 1987 x 1988 x 27 x 28 x 4 15 16 1999 2000 b) 1 1 x 10.110 1.11 2.12 100.110 c) 1.101 2.102 ĐS: a) x 2010 Trừ vế cho b) x 1972 Trừ vế cho 1 1 1 1 c) x 10 Biến đổi k (100 k ) 100 k 100 k , k (k 10) 10 k k 10 Bài Giải phương trình sau: a) x x 7 b) x x c) x 11 x 8 x 8x 15 4x 7x2 9x 3 x 4x 9 2 x 4x 5x d) e) f) x x 5 14 15 2 S S 4; S ; S ; 4 e) b) 3 f) ĐS: a) c) S 1;19 d) S 3 Bài Giải phương trình sau: a) ... 1 987 x 1 988 x 1 989 x 1990 x x x x x x 2003 2004 2005 97 95 98 96 94 a) 2002 b) 99 x-1 987 x 1 988 x 1 989 x 1990 x 1 x x x x x 97 95 98. .. an an 1 a1 an 1 u k ak ak 1 P = u1u2 un Phương pháp chung tính tích hữu hạn: uk Ta biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: a1 a2 a a n an 1 an 1 Khi... Bài Giải bất phương trình sau: x x 15 x 2005 x 1995 15 a) 2005 1995 1 987 x 1 988 x 27 x 28 x 4 15 16 1999 2000 b) 1 1 x 10.110 1.11 2.12 100.110