De Toan 9 nam 20172018

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE đpcm Áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên... Do DA = DC nên DM là đường trung trực của AC.[r]

UBND HUYỆN HÒA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HỤN NĂM HỌC 2017 -2018 MƠN : TỐN LỚP : Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gờm có 01 trang) ĐỀ Câu 1: (5 điểm) a) Chứng minh: n  2013n  n chia hết cho với số dương n b)Tìm số tự nhiên n cho A n  10 n  136 có giá trị số phương Câu 2: ( điểm ) a) Giải phương trình x  + 10  x = x  12 x  40 1 1  x  y  z 2     4 b) Giải hệ phương trình sau:  xy z Câu 3: ( điểm ) a) Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ x2 y2 z2   biểu thức A = y  z z  x x  y a 1 b 1 c 1   3 b) Cho a,b,c > a + b + c = Chứng minh rằng: b  c  a  Câu 4: ( điểm ) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD -Hết - UBND HUYỆN HÒA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HỤN NĂM HỌC 2017 -2018 MƠN : TỐN LỚP : Thời gian : 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1:( 5,0 điểm) a) (2,5 điểm) Ta có n3  2013n  2n  n3  3n  2n  2010n   (0,5ñ) =n n  3n   2010n (0,5ñ) =n  n+1  n    2010n (0,5ñ) n  n+1  n   6 Vì:  2010n 6 Neân : n  n+1  n    2010n 6 (0,25đ) (0,25đ) Vậy: n3  2013n  2n chia hết cho với số dương n (0,25đ)   (0,25đ) b) ( 2,5 điểm) Vì n  N, A số phương nên: n  10n  136 k 2   n+5  111 k 2  k   n+5  111 3.37 1.111 (0,25ñ) (0,25ñ) (0,25ñ) Do: k+n+5>k-n-5>0 nên ta có hai hệ phương trình  k  n  3 (I)   k  n  37  k  n  1 hoaëc(II)   k  n  111 (0,25đ) (0,25đ)  k=20 (Giải hệ pt (I) tìm  n=12 (0,5đ)  k=56 Giải hệ phương trình (II) tìm  n=50 (0,5đ) Vậy n   12;50 A số phương (0,25đ) Câu 2: ( điểm ) a) (2,5 điểm) Giải phương trình x  + 10  x = x  12 x  40 ĐK: x 10 Ta có : 2 Vế phải: x  12 x  40 = ( x  12 x  36 )+4 = (x - 6)2 +4  (1) (0,25đ) (0,5đ) Vế trái: áp dụng BĐT Cauchy cho hai số khơng âm ta có: x + 10  x = ( x  2).4 + (10  x).4 x 24 10  x  4  + = (2) (1,0đ) Từ (1) (2) dấu xảy  x 6   x  4 10  x 4  Vậy phương trình có nghiệm x = (0,5đ) (0,25đ) a) (2,5 điểm) 1 1  x  y  z 2     4 b) Giải hệ phương trình sau:  xy z ĐK : x,y,z  1 1 1 2   2       4 x y z xy xz yz Từ pt x y z 1 1 2  2 2 2 2   x y z xy xz yz Thay vào pt thứ hai hệ ta : xy z 1 2  2 2  0 y z xz yz  x 1  1            0 xz z   y yz z  x (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ)  1  1         0  x z  y z (0,5đ)  ¿ 1 + =0 x z 1 + =0 y z ⇔ x= y =− z ¿{ ¿ (0,5đ) 1 1  ; ;  Thay vào hệ cho ta (x ; y; z) =  2  (0,25đ) Câu 3: ( điểm ) x2 yz a) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương y  z ta có: x2 yz x2 y  z 2x  2  x yz yz (0,5đ) y z  x 2y   y Tương tự ta có: z  x z2 x  y 2z   z x y 2 (0,5đ) (0,5đ) x y z x y yzzx    x  y  z y  z z  x x  y Suy ra: x2 y2 z2 x yz    1  yz zx x y Vậy A đạt GTNN x  y z  (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: Tương tự ta có: b  a  1 b  a  1 a 1 b  ab  a    a   a   2 b 1 b 1 2b a 1 c  bc b   c 1 a 1 a  ca c   a 1 (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Cộng ba đẩng thức vế theo vế ta được: a 1 b 1 c 1 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c     3    3 b 1 c 1 a 1 2 2 = (0,75đ) Dấu”=” xảy a = b = c = (0,25đ) Câu 4: ( điểm ) Vẽ hình ( 0,25đ) E M A N B D F C a) Chứng minh CM vng góc với EF (1,25đ)    Ta có: ECD BCF (cùng phụ với ECB ) (0,25đ)  EDC =  FBC (g-c-g) (0,5đ)  CE = CF   ECF cân C (0,25đ) Mà CM đường trung tuyến nên đường cao  CM  EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng (1,5đ) Vì  EDC =  FBC (câu a)  ED = FB (0,25đ) (0,25đ)  NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm) Áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên (0,25đ) CM  EF EF AM  ,  CM = AM (0,5đ) Do DA = DC nên DM đường trung trực AC (0,25đ) Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC (0,25đ)  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) (0,25đ) c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD (2,0đ) Đặt DE = x (x > 0)  BF = x AF  AE  CB  SACFE = SACF + SAEF =  (AB  BF)  AE  AD  1  (a  x).DE  (a  x)x 2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)  SACFE = 3.SABCD (0,25đ)  (2a  x)(3a  x) 0 (a  x)x 3a  6a  ax  x 0 Do x > 0; a >  3a + x >  2a  x 0  x = 2a  A trung điểm DE  AE = a AN AE  1 NB BC Vì AE //BC nên  N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) -Hết Chú ý: Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa ý ... Chứng minh: NB .DE = a2 B, D, M thẳng hàng (1,5đ) Vì  EDC =  FBC (câu a)  ED = FB (0,25đ) (0,25đ)  NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC2 = NB.BF  a2 = NB .DE (đpcm) Áp dụng... AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD (2,0đ) Đặt DE = x (x > 0)  BF = x AF  AE  CB  SACFE = SACF + SAEF =  (AB  BF)  AE  AD  1  (a  x) .DE  (a  x)x 2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)  SACFE... x) 0 (a  x)x 3a  6a  ax  x 0 Do x > 0; a >  3a + x >  2a  x 0  x = 2a  A trung điểm DE  AE = a AN AE  1 NB BC Vì AE //BC nên  N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD