Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF đpcm Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và.. Hay trung trực của đoạ[r]
Phòng Giáo dục đào tạo Duy xuyấN Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - lớp (Thời gian làm 120 phót) Bài 1:(4 ®iĨm) Cho biểu thức: M = [ x + + x − x − x x +2 ] ( : x − 2+ 10− x x +2 ) a Rút gn M b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhÊt Bài 2:(3 ®iĨm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a Phân tích biểu thức A thành nhân tử b Chứng minh: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Bài 3:(3 ®iĨm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b Cho số x,y,z thỏa mãn đồng thời: 2 3 x + y + z = 1: x + y + z = x + y + z = 2009 2010 2011 Tính tổng: S = x +y + z Bµi 4:(3 điểm) a Giải phơng trình: x +9 x +20 + x +11 x+ 30 + x +13 x+ 42 = 18 b Gi¶i phơng trình với nghiệm số nguyên: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bài 5:(7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao AD,BE,CF cắt H HD HE HF a TÝnh tæng: AD BE CF b Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC c Chøng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF d Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đờng trung trực đoạn MN qua điểm cố định .Hết Họ tên thi sinh Sè b¸o danh Phòng Giáo dục đào tạo DUY XUYÊN Hớng dẫn chấm môn toán Điểm Nội dung Bµi a [ x2 + + x − x − x x +2 ] [ = x2 − + x (x − 2)( x +2) 3( x −2) x+2 ] 0,5 x 2( x 2) ( x 2) ( x 2)( x 2) = 6 = ( x 2)( x 2) ( 10− x x − 2+ x +2 ) a 0,5 ( x 2)( x 2) (10 x ) x2 = = x2 −6 x +2 M= ( x − 2)(x +2) b 0,5 0,5 = 2−x + NÕu x M nên M không đạt GTLN + VËy x 2, ®ã M cã Tử Mẫu số dơng, nên M muốn đạt GTLN Mẫu (2 x) phải GTNN, Mà (2 x) số nguyên dơng – x = x = Vậy để M đạt GTLN giá trị nguyên x lµ: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) (b c) a (b c)2 a b a b a = = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT tam giác) T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 Vậy A< A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 Do (x-y)2 ; (y - 2)2 2 Nên:(x-y) + (y - 2) + 2010 2010 ⇔ Dấu ''='' x¶y x – y = y – = ⇔ x = y = Vậy GTNN A 2010 t¹i x = y =2 3 3 Ta có: (x + y + z) = x + y + z + 3(x + y)(y + z)(z + x) kết hợp điều kiện cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = Một thừa số tích (x + y)(y + z)(z + x) phải Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = z = 1, l¹i kết 2 hợp với đ/k: x + y + z = x = y = Vậy số x,y,z phải có số số 1, Nên tổng S ln có giá trị Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) = 18 x 4; 5; 6; 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ) 0,5 0,5 1 1 1 ( x x ) + ( x x ) + ( x x ) = 18 1 x x = 18 (x + 4)(x +7) = 54 (x + 13)(x – 2) = x = -13 hc x = (Tháa m·n §KX§) 0,5 0,5 13; 2 VËy nghiệm phơng trình là: S = b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1) + Ta chøng minh (x + 1) (x + 1) nguyên tố ! V× nÕu d = UCLN (x+1, x + 1) d phải số lẻ (vì 2y+1 lỴ) 0,25 x x d x 1d x 1d x 1d x 1d x 1d x 1d d mà d lẻ nên d = 0,25 2 + Nªn muèn (x + 1)(x + 1) số phơng Thì (x+1) (x + 1) phải số phơng 0,25 x k k 1 k x t x §Ỉt: (k + x)(k – x) = hc x 0 + Víi x = th× (2y + 1) = y = hc y = -1.(Thỏa mÃn pt) 0,25 Vậy nghiệm phơng trình lµ: (x;y) = (0; 0), (0; 1) A E F H M I B K 0,5 N D C O a S ( HBC ) HD Tríc hÕt chøng minh: AD = S ( ABC ) HE S ( HCA) HF S ( HAB ) BE S ( ABC ) CF S ( ABC ) T¬ng tù cã: ; 0,5 S ( HBC ) S ( HCA) S ( HAB ) HD HE HF S ( ABC ) Nªn AD BE CF = 0,5 0,5 0,5 b c HD HE HF AD BE CF = Tríc hªt chøng minh BDH BEC BH.BE = BD.BC Vµ CDH CFB CH.CF = CD.CB BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (®pcm) AEF ABC Tríc hÕt chøng minh: AEF ABC Vµ CDE CAB CED CBA AEF CED mà EB AC nên EB phân giác gãc DEF d 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 T¬ng tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đờng phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) Gọi O giao điểm đờng trung trực hai đoạn MN vµ 0,5 HC, ta cã OMH = ONC (c.c.c) OHM OCN (1) 0,25 Mặt khác ta có OCH cân O nên: OHC OCH (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có: OHC OHB HO phân giác góc BHC Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O Chó ý: + Híng dÉn chÊm nµy cã trang, chấm theo thang điểm 20 + Điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn + Bài số phải có hình vẽ chấm + Mọi cách làm khác cho điểm tối đa tơng ứng với nội dung O,25 0,25 ... x 7) = 18 x 4; 5; 6; 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ) 0,5 0,5 1 1 1 ( x x ) + ( x x ) + ( x x ) = 18 1 x x = 18 (x... Vµ CDE CAB CED CBA AEF CED mà EB AC nên EB phân giác gãc DEF d 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 T¬ng tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đờng phân giác tam giác DEF nên... FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đờng phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) Gọi O giao điểm đờng trung trực hai đoạn MN vµ 0,5 HC, ta cã OMH = ONC (c.c.c)