Giaovienvietnam.com ĐỀ THI HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2019 – 2020 ĐỀ 11 Thời gian làm bài: 90 phút Họ tên:……………………………… Bài (2 điểm) Cho A = Ngày tháng 12 năm 2019 15 x − 11 x − 2 x + + − với x ≥ , x ≠ x + x − 1− x x +3 a) Rút gọn A b) Tìm GTLN A c) Tìm x để A = d) CMR: A ≤ 2 Bài (1,5 điểm) Cho đường thẳng y = – x + m (d) (Với m tham số, m > 0) a) Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) theo m b) Tìm giá trị tham số m để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) Bài (2 điểm) Cho hai đường thẳng (d1): y = x + m (d2): y = – 2x (m ≥ 0) Gọi A, B, C giao điểm (d1) với (d2), (d1) với trục hoành Ox (d2) với trục hoành Ox a) Tìm toạ độ điểm A, B, C b) Tìm giá trị tham số m để tam giác ABC có diện tích 2009 c) Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm Từ điểm A cách O 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) a) Chứng minh AO vng góc với BC; b) Kẻ đường kính BD Chứng minh DC song song với OA; c) Tính chu vi diện tích tam giác ABC d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng cắt tia DC E Đường thẳng AE OC cắt I; đường thẳng OE AC cắt G Chứng minh IG trung trực đoạn thẳng OA Giaovienvietnam.com Bài (1 điểm) Tìm giá trị lớn A = x y + y x − x− y với x, y > ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ I ĐỀ 11 TỐN 15 x − 11 x − 2 x + + − Bài (2 điểm) Cho A = với x ≥ , x ≠ x + x − 1− x x +3 − 5x + x − ( x − 1)(2 − x ) 2−5 x = a) A = = ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) x +3 − x − 15 + 17 2−5 x = −5 + = x +3 x +3 Vậy GTLN A = x = b) A = c) x = 17 x +3 ≤ −5 + 17 = 3 121 d) Xét hiệu: −17 x 2−5 x ≤ ⇒ đpcm – = 3( x + 3) x +3 Bài (1,5 điểm) a) Kẻ OH ⊥ (d) (với H ∈ (d)) Gọi A, B giao điểm đường thẳng (d) với trục toạ độ Oy Ox Ta có: Tam giác vng AOB có OA = m OB = m Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông AOB ta được: AB2 = OA2 + OB2 = ( m)2 + m2 = 4m2 ⇒ AB = 4m = 2m (Vì m > 0) Mặt khác: Áp dụng hệ thức đường cao cạnh tam giác vng ta có: b.c OA.OB 3m.m a.h = b.c ⇒ h = hay OH = = = m a AB 2m b) Để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) OH = ⇔ m=3 ⇔ 3m = ⇔ m = =2 3 Vậy với m = khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) Bài (2 điểm) Dể thấy B( ; 0) C(-m; 0) Giả sử A(x0; y0) Thay x = x0 y = y0 vào (d1) ta được: y0 = x0 + m (1) Thay x = x0 y = y0 vào (d3) ta được: y0 = – 2x0 (2) Từ (1) (2) ta được: x0 + m = – 2x0 ⇔ 3x0 = 1– m ⇔ x0 = 1− m Thay x0 = Giaovienvietnam.com 1− m + 2m vào (2) ta y0 = 3 − m + 2m ; ) 3 1 1 + 2m 1 + 2m ) b) Ta có: S∆ABC = y0.(m + ) = (m + ) = ( 2 12 + 2m ) Để S∆ABC = 2009 ( = 2009 ⇔ (1 + 2m)2 = 24108 12 14 41 − m = 1 + 2m = 14 41 (TMDK ) ⇔ (1 + 2m)2 = (14 41 )2 ⇔ ⇔ −14 41 − ( Loai ) 1 + 2m = −14 41 m = 14 41 − Vậy với m = tam giác ABC có diện tích 2009 c) Vì m ≥ ⇒ + 2m ≥ ⇒ (1 + 2m)2 ≥ ⇒ S∆ABC ≥ Dấu “=” xảy m = 12 Vậy với m = S∆ABC đạt giá trị nhỏ Và giá trị nhỏ 12 ⇒ A( Bài (3,5 điểm) Vẽ hình ý a) a) Ta có OB = OC = R = 2(cm) AB = AC (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ AO đường trung trực BC hay OA ⊥ BC BD (= R) ⇒ Tam giác BDC vuông C ⇒ DC ⊥ BC C b) Xét ∆BDC có OB = OD = OD = Vậy DC // OA (Vì vng góc với BC) c) Xét ∆ABO vng có BO ⊥ AB (tính chất tiếp tuyến) ⇒ AB = OA2 − OB = 52 − 32 = 4cm Gọi H giao điểm AO BC Vì A trung trực BC nên HB = HC = BC Tam giác ABO vng B có đường cao BH ⇒ HB.OA = OB.AB (Hệ thức lượng) Tính HB = 2,4cm; BC = 4,8cm Lại có AB2 = OA.AH ⇒ AH = 3,2cm Vậy chu vi tam giác ABC AB + AC + BC = + + 4,8 = 12,8 (cm) Diện tích tam giác ABC là: BC.OA 3, 2.4,8 = = 7, 68(cm ) 2 d) Chứng minh hai tam giác ABO tam giác EOD (g.c.g) ⇒ AB = EO Chứng minh Tứ giác ABOE hình chữ nhật ⇒ OE ⊥ AI Chứng minh tam giác AOI cân I Sử dụng tính chất đường cao tam giác IG đường cao đồng thời trung trực đoạn thẳng OA Bài (1 điểm) Tìm giá trị lớn A = x y + y x − x− y với x, y > Giaovienvietnam.com Ta có: A = A= x y + y x − x− y = ( x − y ).( x − y ) xy = x x+y y−x y−y x xy ( x − y ) ( x + y ) xy ≥0 = x( x − y ) − y ( x − y ) xy ∀x, y > ⇒ Amin = ⇔ x − y = ⇔ x = y Vậy: Amin = ⇔ x = y > ...Giaovienvietnam.com B? ?i (1 ? ?i? ??m) Tìm giá trị lớn A = x y + y x − x− y v? ?i x, y > ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ I ĐỀ 11 TỐN 15 x − 11 x − 2 x + + − B? ?i (2 ? ?i? ??m) Cho A = v? ?i x ≥ , x ≠ x +... 2 12 + 2m ) Để S∆ABC = 20 09 ( = 20 09 ⇔ (1 + 2m )2 = 24 108 12 14 41 − m = 1 + 2m = 14 41 (TMDK ) ⇔ (1 + 2m )2 = (14 41 )2 ⇔ ⇔ −14 41 − ( Loai ) 1 + 2m = −14 41 m = 14 41 − Vậy v? ?i. .. Vậy v? ?i m = tam giác ABC có diện tích 20 09 c) Vì m ≥ ⇒ + 2m ≥ ⇒ (1 + 2m )2 ≥ ⇒ S∆ABC ≥ Dấu “=” xảy m = 12 Vậy v? ?i m = S∆ABC đạt giá trị nhỏ Và giá trị nhỏ 12 ⇒ A( B? ?i (3,5 ? ?i? ??m) Vẽ hình ý a)