CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN

Giaovienvietnam.com CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN I KIẾN THỨC CƠ BÀN: * Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn: 1/ Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối tứ giác nội tiếp đường trịn 2/: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường trịn 3/: Tứ giác có đỉnh cách điểm ( mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác 4/: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc (an-pha) nội tiếp đường trịn II Một số tốn luyện tập: 1/ Dạng áp dụng dấu hiệu & * Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A ( AB< AC ) nội tiếp đường tròn tâm I; bán kính r Gọi P trung điểm AC; AH đường cao tam giác ABC a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp đường tròn tâm K Xác định tâm K đường tròn b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) ( K ) tiếp xúc *Gợi ý: a/ Dựa vào dấu hiệu để chứng minh APIH nội tiếp đường tròn: - Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI góc vng nên P thuộc đường trịn đường kính AI Chứng minh tương tự điểm H Từ xác định tâm K ( trung điểm đoạn AI ) ( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vng đường trịn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập trang 85) b/ Nhắc lại kiến thức hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Hai đường tròn qua có điểm chúng tiếp xúc với nhau; TX trong, TX - Tiếp xúc khoảng cách hai tâm tổng hai bán kính OO’ = R + r - Tiếp xúc khoảng cách hai tâm hiệu hai bán kính OO’ = R – r> - Tính IK để kết luận đường tròn (I) ( K ) tiếp xúc A Giaovienvietnam.com Bài 2: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB cố định Điểm nằm A O cho AI = IO I Kẻ dây MN AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC, cắt MN E a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Gợi ý: a/ Chứng minh tương tự câu a (Góc ACB chắn đườngkính AB; MIAB) Tâm đường nội tiép IECB nằm trung điểm EB Câu b/ Hai TG có chung góc A, góc AME ACM chắn cung AM = cung AN * Bài 3: Cho tam giác ABC cân A ( ) Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN AC Gọi M trung điểm BC Hai đường thẳng AM EN cắt F a/ Chứng minh tứ giác MCNF AMNE nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ Chứng minh EB phân giác góc AEF Gợi ý: a/ Dựa vào dấu hiệu để ch.minh MCNF dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMNE nội tiếp - Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvng - Góc M góc N chắn AB  Trung điểmAB tâm ĐT ngoại tiếp b/ Chứng minh tamgiác vuông AME FME EM chung, chứng minh thêm AM = MF  Bài 4: Cho đường tròn ( O;R) đường thẳng xy cách tâm O khoảng OK= a ( < a < R ) Từ điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) ( B, C tiếp điểm; O B nằm phía với xy) a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) hai điểm D E b/ Chứng minh điểm O, A, B, C, K nằm đường tròn Xác định tâm Giaovienvietnam.com đường tròn c/ BC cắt OA OK theo thứ tự M S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp đường trịn Gợi ý: * Câu a: Hiển nhiên OK < R *Câu b: dựa vào dấu hiệu để chứng minh điểm thuộc đường tròn - Biết OB OC bán kính đường trịn giao với tiếp tuyến nên OB AB; OC AC - OKAK theo cách dựng GT * Câu c: dựa vào dấu hiệu để chứng minh: Góc AKS vng góc AMS vng ( theo cách dựng) nhìn cạnh AS tứ giác AMKS  tứgiác nội tiếp  Bài 5: Từ điểm A đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC, lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường trịn (O), có tiếp điểm M; tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, M thuộc đường tròn b/ Chứng minh D, B, O, M, K thuộc đường tròn Gợi ý: Đọc kĩ đề vẽ hình  * Câu a/ - So sánh góc MOE góc MBC - So sánh góc MOD góc MBD - Hai điểm O B nhìn đoạn thẳng DM góc nhau. tứ giác DBOM? * Câub/ Chứng minh B, O, M, K thuộc đường tròn ( dấu hiệu 1) bán kính OMMKvà OBBK kết luận điểm B, O, M, K, D thuộc đường tròn Bài tập vận dụng dấu hiệu (Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường tròn.)  Bài 6: Giaovienvietnam.com Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O; đường kính AI Gọi E trung điểm AB ;K trung điểm OI; H trung điểm EB a/Chứng minh HK EB b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn Gợi ý: * Câu a/ - B chắn đường kính AI  B vng - OE AB  HK đường trung bình hình thang EBOI, từ kết luận HK EB *Câu b/ - Chứng minh ∆EKB cân K  BEK = EBK (1) - Chứng minh EBK = KCA ∆KCB cân (2) - Từ (1) (2)  BEK góc đỉnh E tứ giác AEKC ACK ( góc đỉnh đối đỉnh E) AEKC nội tiếp đường tròn  Bài 7: Cho nửa đường trịn tâm I, đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường trịn Trên cung PN, lấy điểm Q ( khơng trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự S T a/ Chứng minh NS = MN b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường trịn Gợi ý: a/ Điểm P nằm nửa đường trịn   MPN vng  PMN = 450  PNS = 450 ∆MNS tam giác vuông cân  MN = N S (điều cần chứng minh) b/ Vì NQT vng nên tam giác MNT NTQ tam giác vng đồng dạng ( góc - góc) c/ Kẻ tiếp tuyến PH , PH NS ta có tam giác vng cân góc = 45o hình vẽ Chứng minh T1 = S + M2 = S + P2 + P2  ( dựa vào dấu hiệu 2)  ĐPCM Giaovienvietnam.com  Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp Gợi ý: * Cách 1: Chứng minh tương tự Phần b * Cách 2: Để dễ theo dõi ta đánh số góc 1,2,3 bơi màu góc hình bên  A1 = B1 (góc ∆ vng đồng dạng); A2 = B2 (vì chắn cung ED); B1 = D1 ( chán cung AE)  B1 =A1 = D1; F2 B1 phụ  F2 D1 phụ nhau; mà D2 D1 phụ  Do F2 = D2  F1 + D2 = 2v (ĐPCM) 3/Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:  Bài 9: Cho đường tròn tâm O Kẻ đường kính AB CD vng góc với Gọi E điểm cung nhỏ CB EA cắt CD F; ED cắt AB M a/ Các tam giác CEF EMB tam giác gì? b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường trịn tâm E Gợi ý: Câu a: Góc CEF góc có đỉnh nằm bên đường trịn; góc FCE góc nội tiếp chắn cung ED Lập biểu thức số đo góc đó, so sánh để thấy góc Kết luận tam giác CEF tam giác Cân - Chứng minh tương tự tam giác EMB * Câu b: Từ câu suy EC = EB = EF = EM Dựa vào dấu hiểu kết luận điều phải chứng minh ... giác IECB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Gợi ý: a/ Chứng minh tương tự câu a (Góc ACB chắn đườngkính AB; MIAB) Tâm đường nội tiép... Giaovienvietnam.com đường tròn c/ BC cắt OA OK theo thứ tự M S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp đường tròn Gợi ý: * Câu a: Hiển nhiên OK < R *Câu b: dựa vào dấu hiệu để chứng minh điểm thuộc đường tròn -... vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) ( B, C tiếp điểm; O B nằm phía với xy) a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) hai điểm D E b/ Chứng minh điểm O, A, B, C, K nằm đường tròn Xác