Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 toán lớp11 Nguyễn Tiến Đạt
PHẦN DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC II DÃY SỐ DẠNG 1: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TÍNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT u n THEO N DẠNG 2: TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ 10 DẠNG 3: DÃY SỐ BỊ CHẶN 11 III CẤP SỐ CỘNG 13 DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ u n LÀ CẤP SỐ CỘNG 13 DẠNG 2: TIM SỐ HẠNG ĐẦU TIEN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TIM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TINH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN 14 DẠNG 3: DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 16 IV CẤP SỐ NHÂN 17 DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY u n LÀ CẤP SỐ NHÂN 17 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG ĐẦU CÔNG BỘI, XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ K, TÍNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN 19 DẠNG 3: DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ NHÂN, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 22 PHẦN 2: GIỚI HẠN 23 I GIỚI HẠN DÃY SỐ 23 DẠNG 1: un LÀ MỘT PHÂN THỨC HỮU TỈ DẠNG un P n Q n ( TRONG ĐÓ P n , Q n LÀ HAI ĐA THỨC CỦA N) 23 DẠNG 2: un LA MỘT PHÂN THỨC HỮU TỈ DẠNG un P n Q n ( TRONG ĐÓ P n , Q n LÀ CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN CỦA N) 25 DẠNG 3: un LÀ MỘT PHÂN THỨC HỮU TỈ DẠNG un P n Q n ( TRONG ĐÓ P n , Q n LÀ CÁC BIỂU THỨC CHỨA HÀM MŨ a n , b n , c n ,… ) .26 DẠNG : NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 27 DẠNG GIỚI HẠN CỦA MỘT TỔNG DÀI DÀI 29 II GIỚI HẠN HÀM SỐ 31 DẠNG THAY TRỰC TIẾP ĐƯỢC SỐ 31 DẠNG L = lim x x0 P( x) VỚI P(X), Q(X) LÀ CÁC ĐA THỨC VÀ P(X0) = Q(X0) = 32 Q( x) P( x) VỚI P(X0) = Q(X0) = VÀ P(X), Q(X) LÀ CÁC BIỂU THỨC CHỨA Q ( x) CĂN CÙNG BẬC 33 DẠNG L = lim x x0 DẠNG 4: THÊM BỚT SỐ HẠNG HOẶC MỘT BIỂU THỨC VẮNG ĐỂ KHỬ ĐƯỢC DẠNG VÔ ĐỊNH 34 DẠNG L = lim x VƠ ĐỊNH P( x) TRONG ĐĨ P ( x ), Q ( x ) , DẠNG NÀY TA CÒN GỌI LÀ DẠNG Q( x ) 36 DẠNG 6: GIỚI HẠN MỘT BÊN 37 DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 38 DẠNG 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH: TÍNH GIỚI HẠN 39 III HÀM SỐ LIÊN TỤC .41 DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 41 DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬP HỢP 43 DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM 45 PHẦN 3: ĐẠO HÀM 48 I QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 48 II ĐẠO HÀM CẤP CAO 53 DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ 53 DẠNG 2: TÌM ĐẠO HÀM CẤP N CỦA MỘT HÀM SỐ 54 DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 55 III PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL 57 PHẦN 4: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 61 KĨ THUẬT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CASIO - VINACAL 69 PHẦN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 72 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 72 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG 74 DẠNG 3: CHỨNG MINH MẶT PHẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 75 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 78 CẤP ĐỘ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM Ở ĐÁY ĐẾN MẶT ĐỨNG 78 CẤP ĐỘ 2: KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO TỚI MẶT BÊN 81 CẤP ĐỘ 3: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM KHÔNG PHẢI CHÂN ĐƯỜNG CAO TỚI MẶT BÊN (PP ĐỔI ĐIỂM) 84 DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 87 BÀI TỐN TỔNG QT BƯỚC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ A ĐẾN B 90 DẠNG 6: GÓC TRONG KHÔNG GIAN 92 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 92 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 94 TÓM TẮT GIÁO KHOA Nguyên lý quy nạp toán học: Giả sử P n mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Nếu hai điều kiện i ii thỏa mãn P n với n m (m số tự nhiên cho trước) i P m ii Với số tự nhiên k m, P k 1 Phương pháp chứng minh dựa nguyên lý quy nạp toán học gọi phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt phương pháp quy nạp) Phương pháp: Để chứng minh mệnh đề P n phụ thuộc vào số tự nhiên n với n m (m số tự nhiên cho trước), ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh P n n m Bước 2: Với k số tự nhiên tùy ý, k m Giả sử P n n k , ta chứng minh P n n k Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận P n với số tự nhiên n m CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n, ta có: a) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 b) n n 3 1 1.2.3 2.3.4 n n 1 n n 1 n a) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 (1) Với n = 1: Vế trái (1) 1.4 ; Vế phải (1) 1(1 1) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n k Có nghĩa ta có: 1.4 2.7 k 3k 1 k k 1 Ta phải chứng minh (1) với n k Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k 1 k 2 2 Thật 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k k 1 k 1 3k k 1 k (đpcm) k k 1 2 Vậy (1) n k Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n b) n n 3 1 (1) 1.2.3 2.3.4 n n 1 n n 1 n Với n = 1: Vế trái (1) 1(1 3) 1 ; Vế phải (1) 1.2.3 4(1 1)(1 2) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n k Có nghĩa ta có: k k 3 1 1.2.3 2.3.4 k k 1 k k 1 k 2 Ta phải chứng minh (1) với n k Có nghĩa ta phải chứng minh: k 1 k 1 1 1.2.3 2.3.4 k k 1 k k 1 k k k k Thật 1 1 1.2.3 2.3.4 k k 1 k k 1 k k 2 k k 3 4 k 1 k k k 3 1 k k 3 k 1 k k 1 k k 3 k 1 k k 3 k 1 k k 1 k (đpcm) k 6k 9k k 1 k k k 1 k k 3 k k 3 Vậy (1) n k Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Ví dụ 2: Với số nguyên dương n, gọi u n n Chứng minh với số nguyên dương n un ln chia hết cho Ta có u1 91 chia hết cho (đúng) Giả sử uk k chia hết cho Ta cần chứng minh u k 1 k 1 chia hết cho Thật vậy, ta có uk 1 9k 1 9.9 k 9k 1 9uk Vì 9uk chia hết cho 8, nên uk 1 chia hết cho Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho Ví dụ 3: Chứng minh với số tự nhiên n , ta ln có: n 1 2n (*) Với n ta có 2 1 2.2 (đúng) Vậy (*) với n Giả sử với n k , k (*) đúng, có nghĩa ta có: k 1 k (1) Ta phải chứng minh (*) với n k , có nghĩa ta phải chứng minh: k 2( k 1) Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 2.2 k 1 2k k 4k 2( k 1) Vậy 2k 2( k 1) (đúng) Do theo ngun lí quy nạp, (*) với số nguyên dương n un Phương pháp: n Nếu u n có dạng u n a1 a a k a n (kí hiệu u n a k ) biến đổi ak thành hiệu hai số k 1 hạng, dựa vào thu gọn u n Nếu dãy số u n cho hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu dãy số ( chẳng hạn tính u1 , u , ), từ dự đốn cơng thức tính u n theo n, chứng minh công thức phương pháp quy nạp Ngồi tính hiệu u n 1 u n dựa vào để tìm cơng thức tính u n theo n n Ví dụ 1: Cho dãy số an Đặt un ak Tính u1 , u2 , u3 , u4 xác định cơng thức tính un theo n k 1 trường hợp ak k k 1 1 1 ; u2 a1 a2 1.2 2 2.(2 1) 3 u3 a1 a2 a3 u2 a3 3(3 1) 4 u4 a1 a2 a3 a4 u3 a4 4.5 1 Ta có ak , đó: k k 1 k k u1 a1 n 1 1 1 1 1 un ak 1 n 1 2 3 n 1 n n n 1 k 1 u1 n Ví dụ 2: Dãy số un xác định cộng thức: un 1 un n a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát b) Tính số hạng thứ 100 dãy số a) Ta có: un 1 un n3 un 1 un n Từ suy ra: u1 u u1 13 u3 u 23 u u3 33 ………… un 1 un n un un 1 n 1 3 Cộng vế n đẳng thức trên: u1 u2 u1 u3 u2 un 1 un un un 1 13 23 33 n n 1 3 un 13 23 33 n n 1 3 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 13 23 33 n 1 Vậy un b) u100 n2 n 1 1002.992 24502501 n 1 n2 ́ ̣ BÀI TOÁN GỐC SỐ 1: BÀI TỐN GỐC SỐ Cho hình chóp SABC, SA vng góc (ABC) Cho hình chóp SABC, SA vng góc (ABC) Tam giác ABC vng B (hoặc C) Tam giác ABC khơng có góc vng B C Tìm khoảng cách từ A đến (SBC) Tìm khoảng cách từ A đến (SBC) S S Phương pháp: Phương pháp: (Giả sử tam giác ABC Kẻ AM vng góc BC vng B) Kẻ AH vng góc SM Kẻ AH vng góc SB H d ( A;( SBC )) AH H d ( A; ( SBC )) AH 1 C 1 A C A Co´ 2 Co´ 2 2 AH SA AM AH SA AB M SA AM SA AB AH AH B B SA2 AM SA2 AB (Mẹo nhớ: Có góc vng, kẻ đường) (Mẹo nhớ: khơng có góc vng, kẻ đường, chất toán gốc số đưa toán gốc số 1) Chứng minh: Chứng minh: Co´ BC SA Co´ BC SA BC ( SAB) BC ( SAM) BC AB BC AM Ma` AH (SAB) BC AH Ma` AH (SAM) BC AH AH ( SBC ) AH ( SBC ) Co´ AH SB Co´ AH SM d ( A;( SBC )) AH d ( A;( SBC )) AH Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vuông cân B , AB= a Cạnh bên SA a vng góc với mặt đáy ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A a B a C a D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 1) A chân đường cao, (SBC) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ABC (đáy) có góc vng B -> BÀI TỐN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ AH vng góc SB S d ( A; ( SBC )) AH Co´ 1 2 AH SA AB AH SA AB SA AB H C A (calc x x 3; y ) 81 B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với mặt đáy ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A a 15 B a C a D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 1) A chân đường cao, (SBC) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ABC (đáy) khơng có góc vng B C -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ AM BC => M trung điểm BC (t/c tam giác đều) AM a S Kẻ AK vng góc SM suy d A, SBC AK SA AM Trong SAM , có AK K SA AM Vậy d A, SBC AK 3a a 15 15 C A M a 15 B Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với đáy ABCD Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD A a B a C a D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD 1) A chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ACD (đáy) có góc vng D -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) S Do AB CD nên d B, SCD d A, SCD Kẻ AE SD E Khi d A, SCD AE Trong tam giác vng SAD , ta có: AE SA AD SA AD Vậy d B , SCD E a A D O a AE B C 3a ; hình chiếu vng góc d H ; SCD S ABCD trùng với trung điểm H cạnh AB Khi đó, tỉ số bằng: a 3 3 A B C D 2 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SD 82 Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) 1) H chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác HCD (đáy) khơng góc vng C D -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ HI CD I CD S Kẻ HK SI K SI d H , SCD HK SH HI K SH HI A S H a I ; SH SD HD a B C d H , SCD SH HI a 2 d H , SCD a SH HI Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB BC a, HD AH AD AD a Cạnh bên SA a vng góc với mặt phẳng ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD 2a a B a C Gọi M trung điểm AD , suy ABCM hình vng AD Do CM MA nên tam gác ACD vuông C A D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ACD (đáy) có góc vng C -> BÀI TỐN GỐC SỐ (kẻ đường) S Kẻ AK SC Khi đó: d A, SCD AK SA AC SA AC a K M A B 83 C D ́ ̣ ̉ ̉ ̉ ̉ Giả sử ta ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng P mà không thực Đồng thời từ điểm B ta lại dựng trực tiếp khoảng cách tới P ta thực tính khoảng cách gián tiếp PHƯƠNG PHÁP ĐỔI ĐIỂM Bài toán Giả sử điểm A chân đường cao Điểm B chân đường cao (P) mặt bên (nghiêng) Tìm khoảng cách từ B đến (P)? Phương pháp: Bước Ta tìm khoảng cách từ điểm A đến (P) Bước Nối A B Đổi điểm dựa vào loại sau LOẠI AB P d A, P d B, P A AI d B, P BI d A, P B LOẠI AB P I d ( B;( P )) BI d ( A; ( P )) AI A P B I P Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc SD với đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBD theo a a A B 2a C a D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SCD) 1) C không chân đường cao, (SBD) mặt bên -> CẤP ĐỘ (ĐỔI ĐIỂM VỀ A) 2) Nối AC, ta thấy AC cắt (SBD) => LOẠI S Bước 1: Tìm khoảng cách từ chân đường cao đến (SBD) 600 SD , ABCD SD, AD SDA; SA AD.tan SDA a Ta có d C , SBD d A, SBD Kẻ AE BD kẻ AK SE Khi d A, SBD AK Trong tam giác vng BAD , ta có AE AB AD AB AD A 2a D E B 84 K C Trong tam giác vuông SAE , ta có AK SA AE 2 a SA AE Bước Đổi điểm C Ta nối A C thấy AC cắt B trung điểm I đường (Tính chất đường chéo) Theo công thức đổi điểm LOẠI 2: d ( A; ( P)) AI d (C ; ( P )) d ( A; ( P )) d (C ; ( P )) CI Vậy d C , SBD AK a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khi đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD A a 21 B a 21 14 C a 21 D a 21 21 Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A không chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ -> Đổi điểm H 2) Nối AH, ta thấy AH // (SCD) (Do AG//CD) -> CẤP ĐỘ 3: Loại Gọi H trung điểm AB SH a AB // SCD d A , SCD d H , SCD Vì H AB Gọi K trung điểm CD HK a Kẻ HI SK , I SK SH HK Khi đó: d H , SCD HI SH HK Nối AH, ta thấy AH // (SCD) (Do AG//CD) a 21 a 21 Chọn đáp án C Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AD=2AB=2a SA vng góc với đáy Góc (SCD) (ABCD) 30o Gọi M trung điểm SB Tìm khoảng cách từ M đến (SCD) Vậy d A , SCD d H , SCD A a 21 B a 21 14 C a D a 21 21 Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD) 1) M không chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ -> Đổi điểm 2) Nối MA, ta biết AM cắt (SCD) hay AM//(SCD) 85 Ố la la Vậy tốn tìm khoảng cách từ điểm LƠ LỬNG ta đổi điểm lần Lần 1: Ta đổi M B (Loại 2: Do BM cắt (SCD) S) d ( M ;( SCD )) MS 1 d ( M ;( SCD)) d ( B; ( SCD )) ??? d ( B;( SCD)) BS 2 Lần 2: Ta đổi B A (Loại 1: Do AB // (SCD) d ( B;( SCD )) d ( A;( SCD)) ??? => Để tìm d ( M ;( SCD)) , ta phải tìm d ( A; ( SCD)) Bước 1: Tìm khoảng cách từ chân đường cao A đến (SCD) Phân tích: Bài toán hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ACD (đáy) có góc vng D -> BÀI TỐN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ AH vng góc SD Khi d A, SBD AH SA AD SA2 AD ??? Tìm SA: Ta có Góc (SCD ; ABCD) = SDA =30o S (Nhắc lại Phương pháp tìm góc: từ chân đường cao A, kẻ đường vng góc vào H giao tuyến chung CD, sau nối lên đỉnh S) SA tan( SDA) AD tan 30 o.2 a d A, SCD AH SA AD SA2 AD M A a a B AB / /( SCD ) d B, SCD A, SCD a BM ( SCD ) S d ( M ; ( SCD )) MS 1 a d ( M ; ( SCD )) d ( B; ( SCD )) d ( B; ( SCD )) BS 2 86 D C Định nghĩa Đường thẳng d cắt hai đường thẳng chéo a b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b Nếu đường vng góc chung d cắt hai đường thẳng chéo a b M , N độ dài đoạn thẳng MN khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d M a b N Cách 1: Dựng đường vng góc chung (nếu biết a b vng góc) Bước Xác định mặt phẳng P chứa b mà P vuông góc a với a Bước Tìm giao điểm I P a Bước Kẻ IA b A b , chứng minh IA a Khi I b P A d a , b IA Ví dụ Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD A B C D Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có: ACD BCD tam giác CD AN , CD BN CD ABN CD MN A AN AB MN M 2 d AB, CD MN AN AM C B N D 87 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD 2a SA vng góc với mặt phẳng ABCD SA a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD A a C a B 2a D a AB BC BC SAB SA ABCD SA BC BC SB d SB, CD BC 2a BC CD S A D B C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy ABCD SO Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD 30 A B C 2 D Ta có BD SAC Kẻ OK SA S d SA, BD SO.OA SO OA 30 K A D O B Cách 2: Dựng đường vng góc chung (tổng qt) Bước Xác định mặt phẳng P chứa b song song với a mặt phẳng chứa a a ' , d đường thẳng qua N vng góc với P , M d a Khi d a, b MN M a Bước Gọi a ' hình chiếu a lên P , N a ' b , Q C d Q b P a' N Ví dụ Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABC Lấy điểm BAC 120 Tính M cạnh BC cho MC MB Biết khoảng cách hai đường thẳng SM AC a a A B 3 C a 88 D a 21 Kẻ AH SM H SM S SB SC AB AC BC AB AB cos120 AB SA SB AB a a H a a AM AB MB AB.MB.cos120 AM BM 3 BAM ABM 30 MAC 90 AM AC SA ABC SA AC AC SAM AC AH SA AM a d AC , SM AH 2 21 SM AH SA AM A C M B Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC 60 Hai mặt phẳng SAC SBD vng góc với đáy ABCD , góc hai mặt phẳng SAB ABCD 30 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD a a a A B C 4 Gọi O AC BD Kẻ OI AB Gọi J OI CD Kẻ JH SI CD AB CD SAB D a S d CD, SA d CD, SAB d J , SAB JH SO ABCD SO AB AB SOI OI AB SIO 30 SAB, ABCD SI , OI H A a a OI IJ 2OI D I O a a d CD, SA JH IJ sin 30 4 B 89 C J Bước 1: Dựng ( P ) chứa b a Vẽ d5 thỏa mãn điều: Qua C Thuộc đáy Song song với a Cắt đườn thẳng đáy I Chú ý: Góc vng ( P) (b, d5 ) Bước 2: M a; d (a, b) d ( M , ( P )) + Mẫu + Đối đỉnh Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD , SA ( ABCD) , SA a ABCD hình vng, AB a, AC BD O Tính d ( SO, AB) ? Bước 1: Qua O vẽ d AB, d AD I ( AMI ) AM song song với AB Bước 2: A AB, d ( SO, AB ) d ( A, ( SOI )) AH Tính AH : 1 a AH AH a a a Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD , SA ( ABCD ), SA 2a , ABCD hình vng, AB a Tính d ( SC , BD) ? Bước 1: Qua C vẽ d BD, d AB I ( AMI ) SC song song với BD Bước 2: O BD, d ( SC , DB) d (O, ( SCI )) CO d O, ( SCI ) 1 d O, ( SCI ) d A, ( SCI ) AH CA d A, ( SCI ) 2 Tính AH : 1 a AH AH 4a 2a 4a d ( SC , BD ) a 3 90 Ví dụ [Đề THPT Quốc Gia 2018] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , BC 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB A 2a B 6a a C a D Chọn B Dựng điểm E cho ACBE hình bình hành, Khi đó: AC //EB AC // SBE d AC , SB d AC , SBE d A, SBE 1 Kẻ AI EB I EB , kẻ AH SI H SI d A, SEB AH 1 1 2 2 2 AI AB AE 4a a 4a 1 1 AH a 3 Xét SAI , ta có: AH SA AI a 4a 4a 2a Từ 1 , , 3 suy h d AC , SB Tam giác ABE vuông 91 Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ta nói góc d A đường thẳng d mặt phẳng 90 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng góc d hình chiếu d ' gọi góc đường thẳng d mặt phẳng α d' H O Nhận xét Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt q 90 Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng Bước 1: Tìm điểm chung đường thẳng mặt phẳng Bước 2: Tìm hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng Bước 3: Tính góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng Từ ta có cơng thức góc theo thứ tự: ĐỈNH – GIAO ĐIỂM – CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐỈNH d A GIAO ĐIỂM d' H α O CHÂN ĐƯỜNG CAO Cách tính góc đường thẳng mặt phẳng Dựng tam giác chứa góc sử dụng định lí hàm số cơsin: a b c 2bc cos A b c a 2ac cos B c a b 2ab cos C Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông: 1 AB BH BC; AC CH BC 2 2 AB AC BC 3 AB AC BC AH 4 AH BH CH 5 AH A B C H 1 AB AC Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SAB tam giác cạnh a , ABC cân C Hình chiếu vng góc S xuống mặt ABC trung điểm AB Góc SC mặt đáy 30 Tính độ dài đoạn SC A a B a C 92 3a D a Gọi H trung điểm AB SH ABC SH HC S SC , ABC SC , CH SCH 30 SH a SH SC a sin SCH C A H B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA a vng góc với đáy Tính sin góc đường thẳng SC với mặt phẳng SAB 85 51 B 10 17 Gọi M trung điểm AB CM AB CM SAB SA ABC SA CM A C D 15 10 S SC , SAB SC , SM CSM a a ; AM AB ; SC SA2 AC a 2 CM 15 sin SC , SAB sin CSM SC 10 M CM N A C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Cạnh bên SA a vng góc với mặt đáy Tính tan góc SO mặt phẳng ABCD A 2 B C D SA ABCD SO, ABCD SO, OA SOA AC a OA a AC 2 tan SO, ABCD tan SOA S SA 2 OA A B 93 D O C Để xác định góc hai mặt phẳng P Q , ta thực theo cách sau: Cách 1: Theo định nghĩa a P b Q P , Q a, b Q P a b Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với mặt đáy ABC Tính sin góc hai mặt phẳng SBC ABC B Gọi M trung điểm BC AM BC AM BC BC SAM BC SM BC SA A C D S SMA SBC, ABC SM , AM AM a A SA sin SMA SM C M sin SBC , ABC B 2 SA AM Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB AC a ; cạnh bên SA a vng góc với đáy Tính cơsin góc hai mặt phẳng SAC SBC SA B Gọi H trung điểm SC Tam giác SAC có SA AC a AH SC A C D S Tam giác SBC có SB BC a BH SC H SAC, SBC AH , BH SC SA a BC a ; BH 2 2 2 HA HB AB cos SAC , SBC cos AHB HA.HB AH A C B Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , chiều cao hình chóp mặt bên mặt đáy là: A 30 B 45 C 60 94 D 75 a Góc Gọi O tâm hình vng ABCD E trung điểm CD OE đường trung bình ACD OE AD a OE AD 2 OE AD OE CD CD SOE CD SE CD SO ABCD SCD CD SE CD, OE CD S A D E O B C SEO ABCD , SCD SE , OE SO tan SEO ABCD , SCD SEO 60 OE Cách 2: Khi xác định P Q c ta làm sau: P Bước Tìm mặt phẳng R c p p R P Bước Tìm Khi P , Q p, q q R Q P p c P , Q p, q Đặc biệt: Q q c q Q R Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ABC , SA a Cơsin góc hai mặt phẳng SBC SAB bằng: 2 B 5 Gọi M trung điểm AB Kẻ MH SB CM AB CM SAB SA ABCD SA CM CM SB SB MHC SB CH SB MH A C S H SAB , SBC MH , CH CHM A a AB a MH d A, SB ; MC 2 CM tan BHD cos SAB , SBC cos CHM MH D 95 C M B