Bài giảng Các phương pháp số: Chương 3 - Trường ĐH Kiến Trúc Hà Nội

Bài giảng Các phương pháp số: Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn; Nội dung phương pháp phần tử hữu hạn – mô hình chuyển vi; Rời rạc hóa sơ đồ tính; Hàm chuyển vị – hàm dạng; Xây dựng phương trình cân bằng – Ma trận độ cứng phần tử. Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN FINITE ELEMENT METHOD (FEM) 3.1 Khái niệm về phương pháp PTHH 3.2 Nội dung phương pháp PTHH – mô hình chuyển vị 3.3 Rời rạc hóa sơ đồ tính 3.4 Hàm chuyển vị – hàm dạng 3.5 Xây dựng phương trình cân bằng – Ma trận độ cứng phần tử  K e 3.6 Phép chuyển trục tọa độ 3.7 Ghép nối các phần tử – thiết lập ma trận độ cứng và vectơ tải trọng nút của toàn hệ kết cấu 3.1 KHÁI NIỆM VỀ PP PHẦN TỬ HỮU HẠN Thực chất của phương pháp PTHH là tìm cách đưa việc giải các phương trình vi phân để tìm ẩn hàm toàn bộ kết cấu về việc giải các phương trình đại số để tìm các giá trị của hàm tại một số điểm nút Z  F  v (x ) , v,(x ) , x   F(q) (1) Đưa việc giải PT vi phân (1) để tìm hàm v (x ) về việc giải PT đại số (2) để tìm giá trị của hàm v và đạo hàm  nó tại các nút : Z  f  vi , i , v k , k   f (q) của vi , i , v k , k (2) 3.1 KHÁI NIỆM VỀ PP PHẦN TỬ HỮU HẠN Trình tự giải Rời rạc hóa kết cấu liên tục thành các phần tử hữu hạn Xác định các thông số đặc trưng và phương trình giải cho từng phần tử Ghép nối các phần tử vào hệ tọa độ chung Giải hệ phương trình xác định chuyển vị tại nút Xác định trạng thái tại vị trí bất kỳ kết cấu 3.1 KHÁI NIỆM VỀ PP PHẦN TỬ HỮU HẠN Rời rạc hóa hệ thành các phần tử Mô Mô hình PTHH Loại bỏ các liên kết và tải trọng Tháo dời các PT Định vị, đưa về hệ tọa độ riêng của PT PT mẫu 3.1 KHÁI NIỆM VỀ PP PHẦN TỬ HỮU HẠN Ghép nối và giải Dạng PT Đưa về hệ tọa độ chung Ghép nối các PT vào hệ Đặt tải trọng và liên kết Giải hệ phương trình xác định chuyển vị tại nút 3.1 KHÁI NIỆM VỀ PP PHẦN TỬ HỮU HẠN Ưu điểm của PP PTHH • Phân tích kết cấu phức tạp • Hình học phức tạp • Tải trọng phức tạp • Điều kiện biên phức tạp • Áp dụng rộng rãi tốn kĩ tht • Cơ học chất rắn • Cơ học chất lỏng • Truyền nhiệt • Tĩnh điện học • Áp dụng cho loại vật liệu khác 3.1 KHÁI NIỆM VỀ PP PHẦN TỬ HỮU HẠN Nhược điểm của PP PTHH • Lời giải gần đúng • Có lỗi cớ hữu có các mô toán học không tương thích với học • Địi hỏi kĩ kĩ thuật để mô ( kiến thức toán và học) 3.2 NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PTHH • Xây dựng bài toán: xác định dạng gần đúng của mợt hàm chưa biết miền xác định V • Phương pháp PTHH khơng tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm tồn miền V mà chia miền V thành một số hữu hạn các miền Ve (phần tử thứ e), tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm miền Ve • Các miền Ve được nối với tại các đỉnh của phần tử gọi là nút • Trong phạm vi mợt PT, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ dạng một hàm đơn giản được gọi hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ được biểu diễn qua giá trị của hàm có thể cả giá trị của đạo hàm của tại điểm nút của PT Các giá trị gọi bậc tự của PT được xem ẩn số cần tìm của tốn 3.2 NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PTHH Mô hình của PP PTHH  Mô hình chuyển vị: ẩn là chuyển vị  Mô hình cân bằng: ẩn là ứng suất (nội lực)  Mô hình hỗn hợp: ẩn là chuyển vị và ứng suất 3.2 NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PTHH Trình tự thực bài toán theo PP PTHH (mô hình chuyển vị) Rời rạc hóa miền khảo sát thành các PT Chọn hàm xấp xỉ thích hợp cho các PT Xây dựng phương trình cân bằng từng PT, thiết lập ma trận độ cứng  K e , vectơ tải trọng nút  Fe Ghép nối các PT xây dựng phương trình cân bằng cho toàn hệ Giải hệ phương trình cân bằng Xác định nội lực, ứng suất, biến dạng 10 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ Với PT, lập ma trận độ cứng [K’]e vectơ tải trọng nút {F’}e HTĐC: CB K '3  c11 3   c 21 c 22 (dx) 4  8 c 31 c 32 c 33   c c c c  41 42 43 44  9 TT ;F'3  f1  f   4   2  f3  f4  46 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TỒN HỆ Ma trận đợ cứng tổng thể và ma trận tải trọng tổng thể  a11 a  21 a31  a 41 K '  a51 0 0  0  0 a22 a32 a 42 a52 dx  a33  b11  c11   a43  b21  c 21   a44  b22  c 22   a53  b31   a54  b31   a55  b33  b 41 b 42 b 43 b 44 b51 b52 b53 b54 b55 c 31 c 32 0 c 33 c 41 c 42 0 c 43 F'  d1 d2  d3  e1  f1   d4  e2  f2   d5  e3  e4 e5 f3 1  2 3  4 5  6 7  8  c 44  9 f4  T 47 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ Xử lý điều kiện biên Hệ phương trình cân bằng của hệ chưa gán điều kiện biên có dạng: K ' '  F' - Hệ phương trình suy biến, không xác định được nghiệm [K’] là ma trận đối xứng nên có det [K’] =0 - Về mặt học là hệ biến hình - Để hệ là bất biến hình cần gán cho hệ các điều kiện biên (cho một số chuyển vị nút nào đó bằng hay bằng một giá trị xác định) Lúc này phương trình cân bằng của toàn hệ không suy biến và có dạng: K * *  F * (3.13) 48 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ Các trường hợp điều kiện biên • Trường hợp 1: Thành phần chuyển vị tại một nút của PT bằng tương ứng với thành phần chuyển vị liên kết với đất • Trường hợp 2: Thành phần chuyển vị nút cho trước một giá trị xác định, thí dụ m = a (hay liên kết tương ứng với thành phần chuyển vị nút m chịu chuyển vị cưỡng bức có giá trị bằng a) Trường hợp 1: Thành phần chuyển vị tại nút của PT bằng Xử lý bằng cách: • Cách 1: Khơng cho số mã của chuyển vị nút đó, hay ghi Việc đánh sớ mã tồn thể của chủn vị nút theo thứ tự vectơ chuyển vị nút của tồn hệ bao gồm chủn vị nút cịn lại 49 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TỒN HỆ • Cách 2: Các hàng cợt tương ứng với số mã chuyển vị nút bằng không ghi số Trong ma trận độ cứng tổng thể [K’] vectơ tải trọng nút tổng thể {F’} loại bỏ hàng, cột tương ứng với số mã chuyển vị nút bằng khơng • Ví dụ 2: Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [K’] vectơ tải trọng nút {F’} của tồn hệ kết cấu (có xét tới điều kiện biên) 50 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TỒN HỆ Lập ma trận đợ cứng [K’]e vectơ tải trọng nút {F’}e của từng PT HTĐC: 51 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TỒN HỆ Căn cứ vào bảng sớ mã, thu được ma trận độ cứng vectơ tải trọng nút tổng thể (có xét tới điều kiện biên) sau:   a33  b11  c11  K *   a43  b21  c 21    a53  b31  1  2  a55  b33  3 (dx)  a44  b22  c 22   a54  b32  F *   d3  e1  f1   d4  e2  f2   d5  e3  T 52 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ Trường hợp Thành phần chuyển vị nút cho trước giá trị xác định Ví dụ m = a (hay liên kết tương ứng với thành phần chuyển vị nút m chịu chuyển vị cưỡng bức có giá trị bằng a) Có thể xử lí theo cách sau: • Cách1: Trong ma trận độ cứng tổng thể [K’] vectơ tải trọng nút tổng thể {F’} gán một số A có đợ lớn bằng vơ lần lượt vào vị trí : kmm - thay bằng (kmm +A); fm - thay bằng (kmm +A).a • Cách 2: coi chuyển vị cưỡng bức nguyên nhân gây tải trọng tại đầu nút của PT chịu trực tiếp chuyển vị cưỡng bức 53 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ - Các số mã PT, nút, chuyển vị nút vẫn chọn trước, chuyển vị nút tương ứng với chuyển vị cưỡng bức được coi = - Vectơ tải trọng nút lúc chuyển vị cưỡng bức liên kết tựa, P e  Te P e T được tổng hợp từ vectơ tải trọng nút {P’}e của PT có liên kết tựa chuyển vị cưỡng bức P e nhận được bằng phản lực liên kết nút chuyển vị cưỡng bức gối tựa với dấu ngược lại 54 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TỒN HỆ Ví dụ Thiết lập phương trình cân bằng của tồn hệ xác định chuyển vị nút của hệ, l = 4m Cách 1: Lập bảng số mã xét tới điều kiện biên: Phần tử TT Loại Số mã cục bộ  Số mã toàn thể 0o 0 2 0o 3 0o 0 Vectơ chuyển vị nút của toàn hệ kết cấu HTĐC: {*} = {1 2 3}T = {vB B C }T 55 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ   K '1      K '2      12EJ / l3  6EJ / l2  0    EJ   6EJ / l2  l2    4EJ / l   12EJ / l3 6EJ / l2  6EJ / l 4EJ / l      2EJ / l  6EJ / l     4EJ / l  K '3             0      6    6 16   6EJ / l2  3    2EJ / l  EJ 6 16     l      4EJ / l  6       EJ  16     l2              0  1     0   16  Vì 1 = a, nên ma trận đợ cứng tổng thể vectơ tải trọng nút ta gán mợt sớ A có đợ lớn bằng vơ lần lượt vào vị trí : k11 - thay bằng (k11 +A); f1 - thay bằng (k11 +A).a 56 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ Ma trận độ cứng vectơ tải trọng nút tổng thể (có xét tới điều kiện biên)   6EJ / l2  A  K *     6EJ / l F *    6EJ / l  6EJ / l2   8EJ / l   32EJ / l2   32EJ / l2 8EJ / l2   A a 0 T Phương trình cân bằng của tồn hệ kết cấu:   6EJ / l2  A    6EJ / l  Giải phương trình:  32EJ / l2 8EJ / l2 6EJ / l2     (6EJ / l2  A)a   1   8EJ / l2  2       32EJ / l2  3     a  1   vB      2   B   0,05a     0,2a  3  C 57 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ Cách 2: Hệ được chia thành PT được đánh số nút hình vẽ Lập bảng số mã xét tới điều Phần tử TT kiện biên: Loại Số mã cục bộ  Số mã toàn thể Vectơ chuyển vị nút của 0o 0 toàn hệ kết cấu HTĐC: 0o {*} = {1 2 }T = { B C }T 0o 0 Xác định ma trận đợ cứng tồn hệ kết cấu HTĐC (có xét tới điều kiện biên) Lập ma trận độ cứng [K’]e của từng PT HTĐC:   K '1         0      EJ       l2      4EJ / l     0        0    16  58 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ K '2    4EJ / l      2EJ / l K '3   0       2EJ / l  EJ  16       l          4EJ / l   16  2    4EJ / l               EJ  16       l               0 Ma trận đợ cứng (có xét tới điều kiện biên): EJ 32  l2  32  Xác định vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu HTĐC (có xét tới điều kiện biên) K *  59 3.7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ P 2 12EJ  a  l 6EJ 12EJ  l2 l3 T 6EJ   l2  Vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu HTĐC (có xét tới điều kiện biên): EJ   F *    l 6a  Phương trình cân bằng của tồn hệ kết cấu: Giải phương trình cân bằng: EJ 32   1  EJ         l  32 2  l 6a   1   B  0,05a    0,2a 2  C  60 ...  a31  a41 a51 CB K '2 b11  b21  b31  b41 b51 3 a22 a32 a 33 a42 a 43 a52 a 53 3 b22 b32 b 33 b42 b 43 b52 b 53 5 1  (dx) 2 ? ?3  a44 4 a54 a55   d1  d    ;F'1  d3 ... HTĐC: CB K '? ?3  c11 ? ?3   c 21 c 22 (dx) 4  8 c 31 c 32 c 33   c c c c  41 42 43 44  9 TT ;F'? ?3  f1  f   4   2  f3  f4  46 3. 7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ... b52 b 53 b54 b55 c 31 c 32 0 c 33 c 41 c 42 0 c 43 F'  d1 d2  d3  e1  f1   d4  e2  f2   d5  e3  e4 e5 f3 1  2 ? ?3  4 5  6 7  8  c 44  9 f4  T 47 3. 7 GHÉP NỐI CÁC PHẦN