Bài giảng Các phương pháp số: Chương 4 - Trường ĐH Kiến Trúc Hà Nội

Bài giảng Các phương pháp số: Chương 4 Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính toán hệ thanh phẳng cung cấp cho người học những kiến thức như: Phần tử thanh chịu kéo – nén; Phần tử thanh chịu uốn ngang phẳng; Phần tử thanh chịu uốn ngang phẳng và kéo – nén; Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính hệ dầm – khung phẳng chịu tải trọng. Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG 4: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PTHH TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 4.1.Phần tử chịu kéo – nén 4.2.Phần tử chịu uốn ngang phẳng 4.3.Phần tử chịu uốn ngang phẳng và kéo – nén 4.4.Áp dụng PP PTHH tính hệ dầm – khung phẳng chịu tải trọng 4.5.Áp dụng PP PTHH tính hệ dàn phẳng chịu tải trọng 4.1.PHẦN TỬ THANH CHỊU KÉO - NÉN Xét PT thẳng i-k, chiều dài l, EF = const e  Fix  P   q e F   kx  u   i uk  Ma trận độ cứng Ma trận hàm dạng  N  1     x  x l  x  N1(x) N2 (x) l  u x     / x  x  E x  x B   N   /  x          l    Ma trận độ cứng PT HTĐR Ma trận xác định biến dạng K e   B DB dV    B DB dFdx T V T l F D  E x   1    l   l l  4.1.PHẦN TỬ THANH CHỊU KÉO - NÉN K e  1  l   1 EF  1    E  Fdx    l l  l  1  0  l  l (4.1) Phần tử lị xo tuyến tính k : độ cứng lò xo K e  1 k   1   (4.1)* 4.1.PHẦN TỬ THANH CHỊU KÉO - NÉN Ma trận độ cứng PT HTĐC  ui     e   ; uk   'e  u'i  v'     i u'k   v 'k  Tại nút i : ui = u’i cos + v’i.sin u'i  ui  cos  sin      Li . 'i  v 'i  Li   cos  cos   c  sin  xk  xi y  yi ;sin   s  k ; l l l  (xk  xi )2  (yk  yi )2 Tại nút k Lk   cos   ui  Li    uk   sin   u'i   u'i    v 'i  c s 0   v 'i      L  k  u'k  0 c s  u'k  v 'k  v 'k  Ma trận biến đổi tọa độ c s 0  T   e   0 c s  4.1.PHẦN TỬ THANH CHỊU KÉO - NÉN c s  [K’]e = [T]Te [K]e [T]e= 0  0 K 'e 0  EF  1 c s 0  c  l  1  0 c s   s  c2 cs c cs    s2 cs s2  EF  cs  l  c cs c cs   2   cs  s cs s   (4.2) Vectơ tải trọng nút {Pq}e tải trọng tác dụng Tải trọng phân bố P  q e  x l l 1   T  l   N r(x)dx     r(x)dx x 0   l  Lực tập trung  N1(l)  P   qe N (l) T   Tải trọng phân bố P  q e  x  rl       l    rdx    x 0   rl   l    l (4.3) Lực tập trung ở giữa PT P  q e T / 2   T / 2 (4.4) 4.2.PHẦN TỬ THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Vectơ chuyển vị nút vectơ tải trọng nút e  vi i vk k  T Pq  Fiy Fi Fky Fk T e Ma trận độ cứng Ma trận hàm dạng N  N1(x) N2 (x) N3 (x) N4 (x) 3x 2x 2x x N1(x)  (1   );N2 (x)  (x   ); l l l l 3x 2x x2 x3 N3 (x)  (  );N4 (x)  (   ) l l l l y d v {} = x       y D  E x  dx Ma trận xác định biến dạng u x B   N   y N1'' (x) 2     y x N''2 (x) N3'' (x) N''4 (x)   12x   6x   12x   6x    y               l  l l   l l   l l   l 4.2.PHẦN TỬ THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Ma trận độ cứng PT-HTĐR K e   B DB dV    B DBdF.dx T T V K e l F  N1''N1'' dx  l  '' ''   N2N1dx l  EJz  '' '' N   3N1dx l  N''4N1'' dx  l K e    '' '' N N dx  l 2   '' '' '' '' N N dx N N dx 3 l l   '' '' '' '' '' '' l N4N2dx l N4N3dx l N4N4dx  dx  12  l3    l2  EJ    12  l3    l l2 l 2 l l 12 l3 2 l 12 l3 2 l   l2    l   6 2 l    l  Jz   y 2dF F (4.5) 4.2.PHẦN TỬ THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Ma trận độ cứng xác định theo lý thuyết Cơ học kết cấu Phần tử kmn ma trận độ cứng có ý nghĩa phản lực tại liên kết thứ m (lực nút thứ m) riêng chuyển vị liên kết thứ n đơn vị gây 12EJ vi l3 6EJ Mi  v i l 12EJ Qk   v i l 6EJ Mk  v i l Qi  6EJ i l2 4EJ  i l 6EJ  i l 2EJ  i l  12EJ vk l3 6EJ  vk l 12EJ  vk l 6EJ  vk l  6EJ k l2 2EJ  k l 6EJ  k l 4EJ  k l  Qi , Qk - lực nút tại nút i k tương ứng với chuyển vị thẳng vi , vk; Mi , Mk - lực nút tại nút i k tương ứng với chuyển vị xoay i , k 4.2.PHẦN TỬ THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG  12  l3   Qi   M   l2  i S   EJ      Qk    12 Mk   l3    l l2 l 2 l l 12 l3 2 l 12 l3 2 l   l2     vi    l   i     vk  2 l  k    l  Se  K e e Vectơ tải trọng nút {Pq}e tải trọng tác dụng Tải trọng phân bố l 1 3 2x  3lx  l l   N1(x)   x  2lx  l2 x   l l  l2 T N2 (x) N q(x)dx     q(x)dx    N (x) 0 0  2x  3lx N4 (x)  l   x  lx 2  l P      q e             q(x)dx      4.2.PHẦN TỬ THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Tải trọng phân bố P  q e 1 3  l3 2x  3lx  l   x  2lx  l2 x l  l2   0 2x  3lx  l   x  lx 2  l       Lực tập trung mômen tập trung P  q e  ql        ql    12    qdx    ql         2 ql     12     (4.6)  N1(l)   N'1( l)  N (l) N' ( l)      P   M N3 (l) N'3 ( l)  N4 (l) N'4 ( l) Lực tập trung mômen tập trung đặt tại giữa nhịp: P  q e T  P 3M   Pl M   P 3M   Pl M            2l       2l         (4.7) 4.4 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DẦM – KHUNG PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG • Với tải trọng tác dụng đặt tại nút:  1  2 Pn     4  12 FBx       F       By   3    3  F *  F         11 Cy      3 F  2,5  12 9,5   C  Thiết lập hệ phương trình cân tồn hệ: 0  25,1875  25,1875 0,1875 0,75   10  0,1875 13,1275 0,174    0,75  0,174 6,2    uB    v     B   3     v  11 C     C  9,5  Giải hệ phương trình  uB   0,318  m v     B 5  0,085  m  *     10   v  0,866  C  m C   1,546  rad 4.4 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DẦM – KHUNG PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Xác định nội lực • PT sớ 1: NAB      Q  AB     S1  MAB   10   N    BA   QBA  • PT số 2:  '1  105 0 0 0,318 0,085 T S1  1  '1           25     2,025  kN    0,06  0,1875    kN       0,75    10 5   0,238  kNm  2,025  kN 25   0,318        0,06  kN 0,1875  0,085   '2  105 0,318 0,085 0,866 1,546 S2  2  '2  Pq2 S2 NBC   25    0,1875 QBC      NCB   105  25  Q  0,1875   CB   MCB  0,75         7,95  kN   0,318    3   1,987  0,1875 0,75  0,085   kN   5    0   10     7,95  kN   5  6,013  kN 0,1875 0,75  0,866          8,05  kNm 0,75   1,546  0 T 4.4 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DẦM – KHUNG PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG • PT sớ 3:  '3  10 0 5 0,866 1,546 0 0 T S3  3  '3  Pq3 S3 NCD   16    0,23 0,96 Q CD    MCD   0,576 3,2    10   N 16   DC   0,23 0,96 Q  DC    1,6  0,576 MDC        1,6   12,256  kN 1,2   0,483  kN    0,866          1,546  5 1,5   3,946  kNm   10          1,6  15,456     kN 1,2   2,883  kN                  1,5   4,472  kNm 4.4 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DẦM – KHUNG PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Vẽ biểu đồ (M), (Q), (N): 8,05 1,987 0,483 + - 3,946 2,474 6,013 + - 0,483 4,472 0,238 M 0,06 Q kN.m kN 12,256 - 7,95 - 12,256 - 2,125 N kN 15,456 2,833 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Ma trận độ cứng PT dàn xét HTĐC K 'e  c2 cs c cs    s2 cs s2  EF  cs  l  c cs c cs   2   cs  s cs s   Ma trận độ cứng PT dàn tương ứng với PT có thành phần chuyển vị nút xét HTĐR lấy với c = 1, s = có dạng:  1  K e  EF  0  l  1  0 Ma trận chuyển hệ toạ độ T e 0  0  0 c  s  0  0 0 c 0  c s  s c  s 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Hệ dàn phẳng, PT thanh thẳng hai đầu khớp, tải trọng tác dụng hệ lực tập trung đặt tại mắt dàn, nội lực lực dọc không đổi Vectơ tải trọng nút tổng thể gồm có {P’n} Nội lực tại điểm nút PT : {S}e = [K]e [T]e{’}e - {Pq}e = []e{’}e []e = [K]e [T]e = Se s c s  c   EF  0 0  l  c s c s   0 0    Nix  c Q   EF   iy    N l  c  kx   Qky  0   c s   ui    0   v i    s c s  uk   0  v k  s 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG EF ui cos   v i sin   uk cos   v k sin   l EF Nkx   ui cos   v i sin   uk cos   v k sin   l Nix  EF Nik  cos (uk  ui )  sin (vk  vi ) l Qiy = Qky = 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Ví dụ 4.3 Tính lực dọc dàn với EF=const A(0,0) D(4,5) 3m y' B(0,1) 6kN 4m C(2,3) x' Rời rạc hệ làm PT thanh, đánh số PT, đánh số nút, chọn hệ toạ độ chung x’y’ hình 4.14b Lập bảng sớ mã (tính tới điều kiện biên): 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Phần tử Số mã cục  Tên Số mã toàn thể 90o 0 0o 3 90o 0o 0 5 -36.87o 0 36,87o Vectơ chuyển vị nút toàn hệ kết cấu:     1   v B     u     C    3    v C     u   4  D 5   v D  4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Xác định ma trận độ cứng tồn hệ: cos 1  0;sin 1  • PT 1: l =3m; EF = const;            0,333   EF  s     EF  K1    l                       0 • PT 3: l =3 m; EF = const; cos 3  0;sin 3   c2 cs c cs  0   0 0,333 s2 cs s2  EF  cs  EF  K3   2 0 l c cs c cs     cs s2  0 0,333  cs s 2 0,333  0 4  0,333  0 • PT 2: l = 4m; EF = const HTĐR PT song song với HTĐC K2  K 2             0 0    EF  EF  0 l    0     0 0  0,25   0 0 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG • PT 4: l =4m; EF = const K4  K 4                   EF  EF   0 l     0          0,25    0 • PT 5: l = m; EF = const; cos 5  0,8;sin 5  0,6 K '5   EF   l              EF    c cs     cs s2      0      0,128 0,096    0,096 0,072  • PT 6: l = m; EF = const; cos 6  0,8;sin 6  0,6 K '6       0      0,072 0,096 0,072  cs s2  EF  s    EF   0,096 0,128 l  cs c cs  0,096     2    s cs s   0,072 0,096 0,072    5 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Dựa vào sớ mã tồn thể xếp thu ma trận độ cứng tổng thể: 0 0,096 0,072   0,405  2 0,378  0,096 0    K   EF  0,096 0,405 0,333     0,096 0 0,378 0,096  4  0,072 0,333 0,096 0,405  5 Vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu: Thiết lập hệ phương trình cân tồn 0 0,096 0,072   0,405   0,378  0,096 0   EF  0,096 0,405 0,333     0,096 0 0,378 0,096    0,072 0,333 0,096 0,405  F'By        F'  Cx    F *  F'Cy   6  F'     Dx    hệ: F'Dy       vB    u     C     v C    6  u     D    v D    4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Giải hệ phương trình xác định được:  vB  u   C   *  v C   u   D  v D   7,882  18,018    70,938  (m) EF  14,04    63,056  Xác định lực dọc dàn: EF Nik  cos (uk  ui )  sin (vk  vi ) l 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Xác định lực dọc dàn: 0  1(0  7,882)  2,627kN  1( 18,018  0)    4,505kN  0  1( 63,056  70,938)  2,627kN  1(14,04  0)    3,51kN  0,8( 18,018  0)  0,6( 70,938  0)  5,63kN  0,8(14,04  0)  0,6( 63,056  7,882)  4,37kN NBA  NBC NCD NAD NAC NBD 4.5 ÁP DỤNG PP PTHH TÍNH HỆ DÀN PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Giải hệ phương trình xác định được:  vB   7,882  u  18,018  C      *  v C   70,938  (m) u  EF   14,04 D      v D  63,056  Xác định lực dọc dàn: EF Nik  cos (uk  ui )  sin (vk  vi ) l ... 12l 4l     T 366Pl 255Pl   3024EJ 3024EJ  2  398Pl3     P  12l   3024EJ   Pl   0,306P         366Pl 4l      0,024Pl  3024EJ       12l   P 1,694P... 6l  3024EJ   P  1,306P   6l 4l2   366Pl2   Pl   1,024Pl        3024EJ    398Pl3    3024EJ QBC   24 12l M    BC  EJ  12l 8l   QCB  l   24 12l ... DẦM – KHUNG PHẲNG CHỊU TẢI TRỌNG Ví dụ 4. 2 Vẽ biểu đồ (M), (Q), (N) khung sau, EF = 107 kN; EJ = 4. 105 kN.m2 4kN 2kN/m C(0,3 ,4) B(1,2) 8kN 4m 12kN.m 4kN 4m 1,5 1,5 y' x' A(0,0,0) D(0,0,0) Rời