Donn´ees : La structure plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de deux poutres de mˆeme section droite.. L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee mo
Trang 1Manuel d’exercices
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du MansD´epartement G´enie M´ecanique et Productiquehttp://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
26 juin 2006 – 29 mars 2011
Trang 31 Exemples 1
Exemple 1 : Portique plan 1
Exemple 2 : Treillis plan `a nœuds articul´es 3
Exemple 3 : Anneau plan 5
Exemple 4 : Plancher 8
Exemple 5 : Ossature spatiale 10
Exemple 6 : Modes propres d’un anneau plan 12
Exemple 7 : Ossature plane 14
2 Analyse statique 16 E1 : Treillis plan `a noeuds articul´es 16
E2 : Ossature plane 18
E3 : Ossature plane 19
E4 : Ossature plane 20
E5 : Ossature plane 21
E6 : Poutre droite 23
E7 : Poutre courbe 24
E8 : Ossature plane 25
E9 : Poutre `a section droite variable soumise `a son poids propre 26
E10 : Treillis spatial `a nœuds articul´es 27
E11 : Portique plan – poutre soumise `a une variation de temp´erature 29
E12 : Treillis plan – poutre soumise `a une variation de temp´erature 30
E13 : Ossature plane – appui inclin´e 31
3 Sections droites : caract´eristiques et contraintes 32 S1 : Caract´eristiques d’une section droite 32
S2 : Torsion d’une poutre rectangulaire 34
S3 : Caract´eristiques d’une section droite 35
S4 : Caract´eristiques d’une section droite 37
S5 : Caract´eristiques d’une section droite 39
S6 : Caract´eristiques d’une section droite 40
S7 : Caract´eristiques d’une section droite 41
S8 : Caract´eristiques d’une section droite 42
S9 : Caract´eristiques d’une section droite 43
S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion d´evi´ee 45
S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion 46
S12 : Cisaillement du `a l’effort tranchant 48
S13 : Contrainte normale dans une poutre `a section droite variable 49
S14 : Contrainte normale dans une section droite : flexion d´evi´ee 50
S15 : Section droite `a parois minces 51
S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire 53
3
Trang 4S19 : Contraintes normales dans une poutre `a section droite variable 59
4 Flambement eul´erien 60 F1 : Ossature plane 60
F2 : Poutre droite 62
F3 : Poutre droite `a section variable 63
F4 : Poutre console – flexion-torsion 64
F5 : Lame ´equerre – flexion-torsion 66
F6 : Lame ´equerre – flexion-torsion 68
F7 : Flambement d’un mˆat vertical sous son poids propre 71
F8 : Flambement d’une poutre droite 72
F9 : Flambement d’un cadre 73
5 Modes propres 75 D1 : Treillis plan `a nœuds articul´es 75
D2 : Poutre droite `a section variable 76
D3 : Vibrations transversales d’une poutre droite bi-encastr´ee 77
D4 : Portique plan 78
D5 : Ossature spatiale 79
D6 : Ossature plancher 80
D7 : Vibrations transversales d’une poutre droite libre 81
D8 : Premier mode propre d’une poutre console avec masses 82
Trang 5Exemple 1 : Portique plan
R´ef´erence : A Giet, L G´eminard, R´esistance des mat´eriaux, tome 2, 1968, pages 148-156.
Donn´ees :
La structure plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de deux poutres de mˆeme section droite
Soient A l’aire des sections droites et I Z leur moment quadratique par rapport `a l’axe Z L’ossature est encastr´ee en 1 et articul´ee en 4 Les poutres sont en acier de module de Young E.
Le nœud 2 porte une force de composantes (P, 0, 0).
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
Trang 6Mod´elisation et calcul :
Les ´etapes de la mod´elisation sont :
Trang 7Exemple 2 : Treillis plan ` a nœuds articul´ es
R´ef´erence : A Giet, L G´eminard, Probl`emes de r´esistance des mat´eriaux, tome 1, 1973, page 52.
Probl`eme :
La structure repr´esent´ee sur la figure est compos´ee de trois barres articul´ees entre elles L’ensembleest reli´e `a l’ext´erieur par trois rotules en 2, 3 et 4
Les trois barres ont la mˆeme section droite : carr´e plein de cˆot´e 10 mm
Les poutres 1 − 2 et 1 − 4 sont en acier :
module de Young = 200000 MPa
coefficient de dilatation = 11 10−6 K−1
La poutre 1 − 3 est en laiton :
module de Young = 100000 MPa
coefficient de dilatation = 18 10−6 K−1
Le nœud 1 porte une charge ~ P de composantes (0, −10000, 0) N.
L’ossature subit une augmentation de temp´erature de 50 K
Mod´elisation :
Les ´etapes de la mod´elisation sont :
Nouvelle ´etude
D´efinir le type de l’ossature : Plane
D´efinir l’unit´e de longueur : m
Entrer les coordonn´ees des nœuds : (0, −0.8) , (−0.6, 0) , (0, 0) , (0.6, 0)
Trang 8Section droite param´etr´ee
Carr´e plein de cˆot´e 10 mm
Mat´eriaux
Modifier la couleur courante
Attribuer la couleur courante `a la poutre 1 − 3 (bouton ´El´ement)
Entrer les caract´eristiques de la poutre en laiton (bouton D´efinir)
module de Young = 100000 MPa , coefficient de dilatation = 18E−6 K −1
Entrer les caract´eristiques des poutres en acier ( bouton D´efinir)
module de Young = 200000 MPa , coefficient de dilatation = 11E−6 K −1
Trang 9Exemple 3 : Anneau plan
R´ef´erence : solution analytique.
Donn´ees :
L’anneau de plan moyen {O, xy} et de section droite constante (carr´e plein de cot´e c) repr´esent´e sur
la figure est r´ealis´e en acier de module de Young E et de coefficient de Poisson ν.
Le tron¸con 6 − 2 porte une force uniform´ement r´epartie d’intensit´e lin´eique (0, p, 0).
Le tron¸con 5 − 4 porte une force uniform´ement r´epartie d’intensit´e lin´eique (0, −p, 0).
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est prise en compte (mod`ele de Timoshenko)
Trang 10D´efinir
E = 200000 MPa , ν = 0.3
Sections droites
Section droite param´etr´ee
Carr´e plein de cˆot´e c = 10 mm
Liaisons/Sym´etries
La structure est sym´etrique par rapport au plan x = 0 : d´esigner le nœud 1
La structure est sym´etrique par rapport au plan y = 0 : d´esigner le nœud 3
Trang 11Solution ´el´ements finis :
σ a = 113.96 MPa , σ b = −113.96 MPa , σ c = 99.66 MPa , σ d = −124.20 MPa
La th´eorie des poutres courbes [3] donne :
σ c = 99.10 MPa , σ d = −124.00 MPa
Trang 12Exemple 4 : Plancher
R´ef´erence : W Weawer, J Gere, Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,
1990, pages 342-345
Probl`eme :
L’ossature plancher repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de cinq poutres de mˆeme section droite
Les sections 1 , 3 , 5 et 6 sont encastr´ees
Le nœud 2 porte une force de composantes (0, 0, 50) kN et un couple de comosantes (0, 100, 0) kN.m.
La poutre 1 − 2 porte en son milieu une force ponctuelle de composantes (0, 0, −150) kN.
La poutre (5 − 4) porte sur toute sa longueur une charge uniform´ement r´epartie d’intensit´e lin´eique (0, 0, −75) kN/m.
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
On donne :
L = 2 m
module de Young = 200000 MPa , coefficient de Poisson = 0.25
aire = 102 cm2 , constante de torsion de Saint Venant J = 2 105 cm4 , I Z= 105 cm4
P = 5000 daN
Mod´elisation et calcul :
Les ´etapes de la mod´elisation sont :
Nouvelle ´etude
Trang 13D´efinir le type de l’ossature : Plancher
Entrer les coordonn´ees des nœuds
Constante de torsion de Saint Venant : J = 2E5 cm4
Moment quadratique : I Z= 1E5 cm4
Liaisons
L’ossature est encastr´ee en 1 , 3 , 5 et 6
Cas de charges
Le nœud 2 porte une force F z = 50 kN
Le nœud 2 porte un couple M y = 100 kN.m
La poutre 1 − 2 porte une force ponctuelle F z = −150 kN situ´ee `a 3 m du nœud origine
La poutre 5 − 4 porte une force uniform´ement r´epartie f z = −75 kN/m
Trang 14Exemple 5 : Ossature spatiale
R´ef´erence : J.-J Barrau, S Laroze, Calcul de structures par ´el´ements finis, ENSAE, 1984.
Les caract´eristiques ´elastiques du mat´eriau sont : E = 100000 MPa et ν = 0.2987.
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est prise en compte (mod`ele de Timoshenko).Les sections 1 et 6 sont encastr´ees
Le nœud 4 porte une force ~ F de composantes (0, 0, −1000) daN
Mod´elisation et calcul :
Les ´etapes de la mod´elisation sont :
Nouvelle ´etude
D´efinir le type de l’ossature : Spatiale
D´efinir l’unit´e de longueur : m
Entrer les coordonn´ees des nœuds
Trang 15Rep`ere local
Modifier le rep`ere local de la poutre 1 − 2 (angle = 90˚)
Trang 16Exemple 6 : Modes propres d’un anneau plan
R´ef´erence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 208.
Probl`eme :
L’ossature plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee d’un anneau (centre O, rayon moyen R) et d’une patte 1 − 2 de longueur L L’ensemble est encastr´e en 1.
L’anneau et la patte ont des sections droites rectangulaires pleines
Soient E le module de Young du mat´eriau et ρ sa masse volumique.
On recherche les six premiers modes propres de cet anneau
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
On donne :
R = 0.1 m , L = 0.0275 m
E = 72000 MPa , ρ = 2700 kg/m3
Section droite de l’anneau : H a= 5 mm , B a= 10 mm
Section droite de la patte : H p= 3 mm , B p = 10 mm
Mod´elisation :
Les ´etapes de la mod´elisation sont :
Biblioth`eque (une partie de la g´eom´etrie existe dans la biblioth`eque d’ossatures param´etr´ees)D´efinir le type d’ossature : Plane
Entrer le num´ero de l’ossature param´etr´ee : 30
Rayon = 0.1 m , angles : 0 et 360 degr´es , le cercle est discr´etis´e en 60 ´el´ements
Poutres (cr´eation de la patte)
Trang 17Ajouter une poutre verticale
Origine : nœud 1 , longueur = 0.0275 m
6 premiers modes propres
Enregistrer les donn´ees et lancer le calcul
R´esultats :
Fr´equences en Hz :Mode R´ef´erence RDM – Ossatures
Trang 18Exemple 7 : Ossature plane
R´ef´erence : W Weawer, J Gere, Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,
Aire de la section droite A
Les nœuds 1 et 2 sont articul´es et le nœud 4 repose sur un appui simple (u4= 0)
Le nœud 3 porte une force (P, −2 P ).
La poutre 1 − 2 porte en son milieu une force de composantes (0, 2 P ).
La poutre 2 − 4 porte en son milieu une force de composantes (0, −2 P ).
La poutre 3 − 4 porte sur toute sa longueur une charge triangulaire dont l’intensit´e `a l’extr´emit´e 4 a pour composantes (0, −6 P/L).
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
On donne :
L = 1.5 m
module de Young = 200000 MPa
section droite param´etr´ee : carr´e creux, cˆot´e ext´erieur c = 100 mm , t = 5 mm
P = 1000 daN
Mod´elisation :
Les ´etapes de la mod´elisation sont :
Trang 19Nouvelle ´etude
D´efinir le type de l’ossature : Plane
Entrer les coordonn´ees des nœuds 1 et 2 : 0, 0 , 1.5, 0
Nœuds
Cr´eer un nœud d´efini par un nœud de r´ef´erence et ses coordonn´ees polaires :
nœud 3 : nœud de r´ef´erence = 1 , coordonn´ees = (60˚, 1.5 m)
nœud 4 : nœud de r´ef´erence = 2 , coordonn´ees = (60˚, 1.5 m)
Afficher ⇒ ´Echelle maximale
L’ossature est articul´ee en 1 et 2
L’ossature repose sur un appui simple (u = 0) en 4
Charges
Le nœud 3 porte une force de composantes (1000, −2000) daN
La poutre 1 − 2 porte en son milieu une force de composantes (0, 2000) daN
La poutre 3 − 4 porte sur toute sa longueur une charge triangulaire dont l’intensit´e en 4 est
– Efforts int´erieurs sur la poutre 3 − 4 :
N3= N4= −667 daN , T Y 3 = −1000 daN , T Y 4= 2000 daN
Trang 20Analyse statique
E1 : Treillis plan ` a noeuds articul´ es
R´ef´erence : F Frey – Analyse des structures et milieux continus, Presses Polytechniques et
Uni-versitaires Romandes, 1985, page 108
Probl`eme :
L’ossature plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de 9 poutres droites articul´ees entre elles.L’ensemble est li´e `a l’ext´erieur par un appui simple en 4 et une rotule en 1
La structure est en acier de module de Young E = 210000 MPa.
Les poutres sont des carr´es creux de cˆot´e 70 mm et d’´epaisseur 5 mm (biblioth`eque)
Le nœud 1 porte une force :
{Q} =
½0
−1800
¾daNLes nœuds 2 et 3 portent une force :
{P } =
½0
−3600
¾daN
Trang 21R´esultats :
Actions de liaison :
R 1x = 0 , R 1y = 5400 daN
R 4y= 3600 daNEfforts normaux :
Trang 22La structure est en acier.
Les trois poutres sont des HEA 600
La poutre 1 − 2 porte en son milieu A une force : ~ P A = (0, −2000) daN.
La poutre 3 − 4 porte en son milieu C une force : ~ P C = (−1000, 0) daN.
La poutre 2 − 3 porte en son milieu B une force : ~ P B = (0, −2000) daN et sur le tron¸con 2 − B une charge uniform´ement r´epartie ~q = (0, −1000) daN/m.
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
¾daN
~
R4 =
½10002321
¾daN
Le moment fl´echissant maximal est ´egal `a 18301 daN.m et situ´e sur la poutre 2 − 3 `a X = 2.66 m.
Trang 23E3 : Ossature plane
R´ef´erence : A Jalil – Calcul pratique des structures, Eyrolles, 1985, page 57.
Probl`eme :
L’ossature plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de quatre poutres droites L’ensemble est li´e
`a l’ext´erieur par deux rotules en 1 et 5 Les poutres 2 − 3 et 3 − 4 sont li´ees entre elles par une rotule.
La structure est en acier
Les quatre poutres sont des HEA 600
Le noeud 2 porte une force ~ P =
½40000
¾daN
La poutre 1 − 2 porte une charge uniform´ement r´epartie ~q1 =
½10000
¾daN/m
Les poutres 2 − 3 et 3 − 4 portent une charge uniform´ement r´epartie ~q2 =
½0
−5000
¾daN/m
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
Le moment fl´echissant est maximal en 4 et Mfmax= 38750 daN.m
Trang 24E4 : Ossature plane
R´ef´erence : A Jalil – Calcul pratique des structures, Eyrolles, 1985, page 6.
Probl`eme : l’ossature plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de quatre poutres droites
L’en-semble est li´e `a l’ext´erieur par deux articulations en 1 et 5 Les poutres 2 − 3 et 3 − 4 sont li´ees entre
elles par une rotule
La structure est en acier de module de Young 210000 MPa
Les quatre poutres sont des HEA 600
Le noeud 2 porte une force ~ F = (2000, −5000, 0) daN et un couple ~ C = (0, 0, −3000) daN.m
Les poutres 2 − 3 et 3 − 4 portent une charge uniform´ement r´epartie ~q = (0, −1000, 0) daN/m projet´e.
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
daN
Trang 25L’ossature est en acier de module de Young E.
Les caract´eristiques des poutres sont :
– poutres 1 − 4 et 3 − 2 : aire = A
– poutres 1 − 2 et 3 − 4 : aire = 0.6 A
– poutres 3 − 1 et 4 − 2 : aire = 0.8 A
La structure porte les charges suivantes :
– le noeud 2 porte une force ~ P1 de composantes (2P, P, 0).
– la poutre 2 − 4 porte en son milieu une force ~ P2 de composantes (P, −P, 0).
– la poutre 1 − 2 porte en son milieu un couple ~ C de composantes (0, 0, −1.2 P L).
– la poutre 3 − 1 porte sur toute sa longueur une charge uniform´ement r´epartie La charge par unit´e de longueur ~q a pour composantes : (2.5 P/L, 0, 0).
– la poutre 3 − 4 porte en son milieu une force ~ P3 de composantes (0, −2 P, 0).
Trang 26L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli).
Donn´ees num´eriques :
module de Young : E = 200000 MPa
L = 1.25 m
poutres 1 − 4 et 3 − 2 : carr´e plein de cˆot´e 50 mm
poutres 3 − 1 et 4 − 2 : rectangle plein de dimensions 40 × 50 mm
poutres 1 − 2 et 3 − 4 : rectangle plein de dimensions 30 × 50 mm
0
mmActions de liaison :
poutre N `a l’origine T Y `a l’origine N `a l’extr´emit´e T Y `a l’extr´emit´e
Trang 27E6 : Poutre droite
R´ef´erence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 20.
Probl`eme : la poutre droite d’axe x repr´esent´ee sur la figure est encastr´ee `a ses deux extr´emit´es.
Les caract´eristiques de la section droite sont :
Trang 28E7 : Poutre courbe
R´ef´erence : Solution analytique.
Probl`eme :
L’ossature plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee
d’une poutre courbe 1−2 de centre O et de rayon moyen R.
La section droite est un carr´e plein de cˆot´e c La poutre
est encastr´ee en 1
Elle porte en 1 une force de composante (0, P, 0).
Les caract´eristiques ´elastiques du mat´eriau sont E et ν.
est le module d’´elasticit´e transversal Le dernier terme repr´esente l’influence du cisaillement transverse
k Z = 5/6 est le coefficient d’aire cisaill´ee.
On obtient pour v2 (en mm) :
nombre d’´el´ements Timoshenko Bernoulli
r´ef´erence 0.8474 0.8336
Trang 29E8 : Ossature plane
R´ef´erence : solution analytique.
Probl`eme : l’ossature plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de trois poutres droites articul´eesentre elles
Elle est en acier de module de Young E L’ensemble est li´e `a l’ext´erieur par trois articulations en 1 et
2 et 3
Les caract´eristiques des poutres sont :
poutre 1 − 4 : rectangle plein 2.5 a × 2 a
poutre 2 − 4 : rectangle plein 1.5 a × 2 a
poutre 3 − 4 : carr´e plein de cˆot´e 2 a
La poutre 1 − 4 porte une charge d’intensit´e lin´eique ~q qui lui est perpendiculaire.
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
N 1−4 = 0 , N 2−4 = −2 q L = −1600 N , N 4−3 = −3
2q L = −1200 N
Trang 30E9 : Poutre ` a section droite variable soumise ` a son poids propre
R´ef´erence : solution analytique.
Probl`eme : la poutre droite de longueur L repr´esent´ee sur la figure est encastr´ee en 1.
Soient E et ρ respectivement le module de Young et la masse volumique du mat´eriau La section
droite est un rond plein dont le diam`etre varie lin´eairement entre les sections 1 et 2 La poutre est
soumise son poids propre Soit g l’acc´el´eration de la pesanteur.
Trang 31E10 : Treillis spatial ` a nœuds articul´ es
R´ef´erence : W Weawer, J Gere – Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,
Soient E = 80000 MPa et ν = 0.3 les caract´eristiques ´elastiques du mat´eriau.
Les caract´eristiques (section quelconque) des poutres sont :
4 − 5 , 4 − 6 et 5 − 6 : A = 100 cm2 , J = I Y = I Z = 10000 cm4
1 − 4 , 1 − 6 , 3 − 5 , 3 − 6 , 2 − 4 et 2 − 5 : A = 200 cm2 , J = I Y = I Z = 20000 cm4
L’ ensemble est fix´e au mur par 3 rotules en 1, 2 et 3
Le nœud 6 porte une force de composantes (48, 24, −24) kN La poutre 1 − 4 porte en son milieu une force de composantes (0, 0, −24) kN La poutre 4 − 5 porte sur toute sa longueur une force uniform´ement r´epartie d’intensit´e lin´eique (0, 0, 24) kN/m.
Trang 33E11 : Portique plan – poutre soumise ` a une variation de temp´ erature
R´ef´erence : solution analytique.
Probl`eme : la structure plane repr´esent´ee sur la figure est constitu´ee de 3 poutres de mˆeme mat´eriau
et de mˆeme section droite (rond creux de diam`etre ext´erieur d et d’´epaisseur t).
La poutre 2 − 3 est articul´ee en 2 et 3 L’ensemble est encastr´e en 1 et 4 Soient E et α respectivement
le module de Young et le coefficient de dilatation du mat´eriau
La poutre 2 − 3 subit une variation de temp´erature ´egale `a ∆T
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
Soient A et I z respectivement l’aire et le moment quadratique de la section droite
L’allongement de la poutre 2 − 3 est ´egal `a :
δ = α ∆T L + N L
EA
o`u N est l’effort normal dans la poutre 2 − 3.
L’effort normal N est solution de l’´equation :
Trang 34E12 : Treillis plan – poutre soumise ` a une variation de temp´ erature
R´ef´erence : solution analytique.
Probl`eme :
Le treillis plan `a nœuds articul´es repr´esent´e sur la figure
ci-contre est constitu´ee de 5 poutres de mˆeme mat´eriau
et de mˆeme section droite (carr´e creux de cˆot´e ext´erieur c
et d’´epaisseur t) Les poutres 1 − 2, 1 − 3 et 1 − 4 ont
la mˆeme longueur L Le triangle 2 − 3 − 4 est
´equilat´e-ral
L’ensemble est articul´e en 2 et 4
Soient E et α respectivement le module de Young et le
coefficient de dilatation du mat´eriau
La poutre 1 − 3 subit une variation de temp´erature ´egale `a ∆T
Soit A l’aire de la section droite.
L’effort normal dans les poutres 1 − 2, 1 − 3 et 1 − 4 est ´egal `a :
Trang 35E13 : Ossature plane – appui inclin´ e
R´ef´erence : solution analytique.
Probl`eme : la structure plane repr´esent´ee sur la figure ci-dessous est constitu´ee de 2 poutres de mˆeme
mat´eriau et de mˆeme section droite (rond creux de diam`etre ext´erieur d et d’´epaisseur t).
Elle est articul´ee en 1 et repose en 3 sur un appui inclin´e `a 45˚par rapport `a l’axe x Soit E le module
de Young du mat´eriau
La poutre (2 − 3) porte une charge uniform´ement r´epartie d’intensit´e (0, q, 0).
On donne :
L = 0.3 m , d = 30 mm , t = 5 mm , E = 210000 MPa , q = −1000 N/m
L’´energie de d´eformation due `a l’effort tranchant est n´eglig´ee (mod`ele de Bernoulli)
Mod´elisation : ajouter un changement de rep`ere {x 0 , y 0 } en 3, puis d´efinir la liaison dans ce rep`ere
¾
N , R ~3=
½
−X X
Le moment fl´echissant en 2 est ´egal `a : −XL = −60 N.m
Soient A et I z respectivement l’aire et le moment quadratique de la section droite Le d´eplacement
horizontal du nœud 3 dans le rep`ere {x, y} est ´egal `a :
u3 = 6 qL4
27 EI z +
12 qL2
9 EA = −0.27009 mm
Trang 36Sections droites : caract´ eristiques et
contraintes
S1 : Caract´ eristiques d’une section droite
Probl`eme : consid´erons la section droite repr´esent´ee sur la figure ci-dessous Soient G le centre de gravit´e et C le centre de torsion.
1 Premi`ere ´etude :
On donne : L = H = 100 mm , t = 20 mm.
Calculer les caract´eristiques de la section droite pour plusieurs maillages
2 Deuxi`eme ´etude :
Pour t = 5, 10, 20, 30, 40 mm, calculer les caract´eristiques de la section et comparer avec les
solutions analytiques valables pour les profils minces
Mod´elisation :
Prendre une ossature spatiale quelconque, mod´eliser la section (section param´etr´ee) puis entrer dans
le menu Calculer section droite
Trang 37R´esultats :
Pour ´editer les caract´eristiques, s´electionner la commande Caract´eristiques du menu Fichier
1 Premi`ere ´etude :
On obtient (la valeur en % repr´esente l’´ecart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) :
2 Deuxi`eme ´etude :
Les formules de r´esistance des mat´eriaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donn´es
dans les r´ef´erences [1, 2, 4] :
Trang 38S2 : Torsion d’une poutre rectangulaire
R´ef´erence : S Laroze, M´ecanique des structures – Tome 2 : Poutres, C´epadu`es, 2005, page 93.
Probl`eme : la poutre console repr´esent´ee sur la figure est en acier de caract´eristiques ´elastiques E
et ν Son extr´emit´e libre est soumise `a un couple de composantes (0, C, 0).
On donne :
E = 200000 MPa , ν = 0.3 , L = 1 m , a = 100 mm , C = 100 kN.m
Calculer la constante de torsion de la section droite, la rotation θ de l’extr´emit´e libre de la poutre et
le cisaillement maximal τ max pour plusieurs maillages de la section
Mod´elisation : activer le menu Calculer section droite du menu Mod´eliser
On obtient (activer le menu Contraintes sur section droite du menu R´esultats) :
maillage J (cm4) θ (rad) τmax (MPa)
Remarque : le cisaillement est maximal en A et B.
Trang 39S3 : Caract´ eristiques d’une section droite
Probl`eme :
Consid´erons la section droite repr´esent´ee sur la figure ci-dessous :
1 Premi`ere ´etude :
On donne : H = 120 mm , L = 100 mm , t = 20 mm
Calculer les caract´eristiques de la section droite pour plusieurs maillages
2 Deuxi`eme ´etude :
Pour t = 5, 10, 20, 30, 40 mm, calculer les caract´eristiques de la section et comparer avec les
solutions analytiques valables pour les profils minces
Mod´elisation :
Prendre une ossature spatiale quelconque, mod´eliser la section (section param´etr´ee) puis activer lemenu Calculer section droite
Trang 40R´esultats :
Pour ´editer les caract´eristiques, s´electionner la commande Caract´eristiques du menu Fichier
1 Premi`ere ´etude :
On obtient (la valeur en % repr´esente l’´ecart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) :
2 Deuxi`eme ´etude :
Les formules de r´esistance des mat´eriaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donn´es
dans les r´ef´erences [1, 2, 4] :