Bài giảng Xử lý số tín hiệu (Chương 4)

Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 KHÁI NIỆM 4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC (DFS) 4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.4 BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)  4.1 KHÁI NIỆM Biến đổi Fourier dãy x(n): X ( e j )   n x( n )e  j n  X(ej) có hạn chế xử lý thiết bị, máy tính: Tần số  liên tục Độ dài x(n) vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞ Khi xử lý X(ej) thiết bị, máy tính cần:  Rời rạc tần số  -> K  Độ dài x(n) hữu hạn N: n =  N -1  Biến đổi Fourier dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform)  4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC CỦA TÍN HIỆU TUẦN HỒN (DFS)  n ) tuần hồn với chu kỳ N:  Xét tín hiệu x(  n )  x(  n  lN ) x(  n ) biểu diễn tổng Khi tín hiệu tuần hồn x( hàm mũ phức  Xét hàm mũ phức ek ( n )  e ek ( n  rN )  e ek  lN ( n )  e j j 2 ( n  rN )k N 2 ( k  lN )n N j 2 nk N e e j j tuần hoàn với chu kỳ N: 2 nk N 2 nk N  ek ( n )  ek ( n )   n ) biểu diễn chuỗi  Tín hiệu tuần hồn x( Fourier dạng: N  n) x(  n )e  x(  N 1 j 2 mn N N 1  X ( k )e  n )e  x( N 1 j  N n0   n )e  x( n 0 2 nk N k 0 2 mn N j j 2 mn N N 1  X ( k )e j 2 2 nk  j mn N N k 0  N e N 1 N 1   X ( k )e j 2  k  m n N n  k 0 1   X ( k )  k 0  N N 1 N 1 e n 0 j 2  k m n N      Do:  N 1 N N 1 e 2  k  m n N k 0  n )e  x( n0 j j 2 mn N 1: k  m  0 : k  m 1    X ( k ) k 0  N N 1 N 1 e n 0 j 2  k m n N    X ( m )   n) :  Hay ta có cặp phân tích tổng hợp chuỗi x( 2 N 1   j kn  n )e N  X ( k )   x(  n0  2 N 1 j kn  N  X ( k )e  x( n )  N n 0  4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.3.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC  DFT x(n) có độ dài N định nghĩa: 2  N 1  j kn   x( n )e N :  k  N  X ( k )   n0 0 : k lại  WN  e  j  N 1 kn x( n )W  N :  k  N 1 X ( k )   n 0 0 : k lại  2 N WN tuần hoàn với độ dài N: W N( r  mN )  e j 2 ( r  mN ) N e j 2 r N  W Nr  • X(k) biểu diễn dạng modun & argument: X ( k )  X ( k ) e j ( k ) Trong đó:   IDFT: X ( k ) - phổ rời rạc biên độ  ( k )  arg[ X ( k )] - phổ rời rạc pha 1  x( n )   N  0 N 1  X ( k )e j 2 kn N k 0 :  n  N 1 : n lại Cặp biến đổi Fourier rời rạc: N 1  kn :  k  N 1  X ( k )   x( n )W N  n0  N 1  kn  x( n )  X ( k )W :  n  N 1  N  N k 0     Ví dụ 4.3.1: Tìm DFT dãy: x( n)  1,2,3,4 X ( k )   x( n )W4kn n 0 W41  e j 2    j;W42  1;W43  j X ( )   x( n )W40  x( )  x( )  x( )  x( )  10 n0 X ( )   x( n )W4n  x( )  x( )W41  x( )W42  x( )W43  2  j n0 X ( )   x( n )W42 n  x( )  x( )W42  x( )W44  x( )W46  2 n 0 X ( )   x( n )W43 n  x( )  x( )W43  x( )W46  x( )W49  2  j n 0  Ví dụ: 4.3.2: a) Tìm FT dãy x(n)=an u(n), với /a/ DFT N/2= điểm g(0) x(0) g(1) x(1) g(3) x(3) x(5) x(6) x(7) DFT N/2 điểm g(2) x(2) x(4) X(0) -1 -1 -1 -1 h(0) W0 h(1) W1 h(2) W2 h(3) W3 X(2) X(4) k chẵn X(6) X(1) DFT N/2 điểm X(3) X(5) k lẽ X(7) 40     Sau đánh lại số theo thứ tự mẫu X(k), tiếp tục phân chia DFT N/2 điểm thành DFT N/4 điểm theo số k chẵn lẽ Tiếp tục phân chia cịn DFT điểm dừng lại Dữ liệu X(k) xếp theo thứ tự đảo bít, cịn liệu vào theo thứ tự tự nhiên Số phép nhân phép cộng lưu đồ phân theo tần số với số phép nhân cộng lưu đồ phân theo thời gian 41   Lưu đồ DFT dãy x(n) sau lần phân chia với N=8 x(0) X(0) x(1) X(4) W0 x(2) -1 x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) -1 -1 -1 -1 W0 -1 W2 -1 -1 X(6) X(1) W1 W2 W3 X(2) W0 -1 -1 -1 W2 -1 Đảo bít X(5) X(3) X(7) 42  Ví dụ 4.4.2: Hãy vẽ lưu đồ tính FFT số phân theo t/s x(n)  1 , , ,   x(0) X(0) x(1) X(2) x(2) x(3) W0 -1 -1 W1 -1 -1 X(1) X(3)  k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10  k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = -  k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W 1[x(1) - x(3)] = - + j2  k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W 1[x(1) - x(3)] = - - j2.43  4.4.3 THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N1N2   Giả thiết độ dài dãy x(n) phân tích N=N1N2, độ dài khơng thể biểu diễn dạng thêm vài mẫu vào sau dãy x(n) Giả thiết liệu vào xếp vào mảng theo thứ tự cột với số cột N1 số hàng N2: n2 n1 … N1-1 x(0) x(N2) … x[N2(N1-1)] x(1) x(N2+1) … x[N2(N2-1)+1] … … … … … N2-1 x(N2-1) x(2N2-1) … x[N1N2-1] 44      Lấy ví dụ xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 N2=4 n2 n1 x(0) x(4) x(8) x(1) x(5) x(9) x(2) x(6) x(10) x(3) x(7) x(11) Các số n x(n), k X(k) xác định: n = n1N2 + n2  n1  N1  n2  N2 k = k1 + k2N1  k1  N1  k2  N2 45   DFT N điểm dãy x(n) phân tích: X( k )  X( k1  k2 N1 )   N 1 N 1  n2  n1  N 1 N1 1  n k1 1 2 N1 1 2 2 1  W Nn k ;W Nn k 1 )( n2 n1 N ) x( n2  n1 N )W N W Nn k N W Nn k N W Nn k N N   N 1  X ( k )      x( n2  n1 N )W Nn k n 0    n 0 N 1 n2 0 n1 0 Do:W Nn k N  W Nn k ;W Nn k 1 ( k k N x( n  n N )W  2 N N1 N  nk WN  1 2 1  n k W N  2 46   Đặt: F ( n2 ,k1 )  N1 1  n1  x( n2  n1 N )W Nn k 1 G( n2 ,k1 )  F ( n2 ,k1 ).W Nn k X (k )        N 1  n2  G ( n2 , k1 )W Nn22k2 Các bước tiến hành theo thuật tóan: Sắp xếp liệu vào theo thứ tự cột, mảng x Tính DFT theo hàng mảng x, F(n2,k1) Tính mảng hệ số WNn2k1 Nhân mảng F(n2,k1) với WNn2k1, G(n2,k1) Tính DFT theo cột mảng G(n2,k1), X(k) Đọc liệu theo thứ tự hàng X(k) 47  Ví dụ 4.4.3: Nêu bước tính vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy x(n) với N=N1N2=12, chọn N1=3 N2=4  Sắp xếp liệu vào theo thứ tự cột bảng: n2 n1 x(0) x(4) x(8) x(1) x(5) x(9) x(2) x(6) x(10) x(3) x(7) x(11) 48   Tính DFT theo hàng mảng x, F(n2,k1): F ( n2 ,k1 )  N1 1  n1  x( n2  n1 N )W Nn k 1 n k1 F(0,0) F(0,1) F(0,2) F(1,0) F(1,1) F(1,2) F(2,0) F(2,1) F(2,2) F(3,0) F(3,1) F(3,2) 49   Tính mảng hệ số WNn2k1 n k1 WN0 WN0 WN0 WN0 WN1 WN2 WN0 WN2 WN4 WN0 WN3 WN6 50   Nhân phần tử mảng F(n2,k1) với hệ số mảng WNn2k1 tương ứng, G(n2,k1) : Phần tử: G(ni,kj) = F(ni,kj) WNnikj n2 k1 G(0,0) G(0,1) G(0,2) G(1,0) G(1,1) G(1,2) G(2,0) G(2,1) G(2,2) G(3,0) G(3,1) G(3,2) 51   Tính DFT theo cột mảng G(n2,k1), X(k): X ( k )  X ( k1  N1k2 )   N 1 nk G( n ,k )W  N 2 n2  k2 k1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) Đọc liệu theo thứ tự hàng X(k) 52   Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N1N2, với N1=3, N2=4: x(0) x(4) x(8) x(1) x(5) x(9) x(2) x(6) x(10) x(3) x(7) x(11) DFT N1 điểm DFT N1 điểm DFT N1 điểm DFT N1 điểm W0 DFT N2 điểm W1 W2 W0 W2 DFT N2 điểm W4 W0 W3 W6 DFT N2 điểm X(0) X(3) X(6) X(9) X(1) X(4) X(7) X(10) X(2) X(5) X(8) X(11) 53  ... j n  X(ej) có hạn chế xử lý thiết bị, máy tính: Tần số  liên tục Độ dài x(n) vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞ Khi xử lý X(ej) thiết bị, máy tính cần:  Rời rạc tần số  -> K  Độ dài x(n)... vi xử lý phát triển chưa mạnh thời gian xử lý phép tóan DFT máy tương đối chậm, số phép nhân phức tương đối lớn  DFT x(n) có độ dài N: X ( k )  N 1 kn x( n )W  N : n 0  k  N 1  Để tính... W3 -1 -1 -1 -1 X (4) X(5) X(6) X(7) Với N=2M -> M lần phân chia Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log2N 35   Bảng mô tả qui luật đảo bít: Chỉ số Số nhị phân chưa đảo Số nhị phân đảo tự