Nhóm các phép thế bắc cầu và nhóm các phép thế nguyên thuỷ

tr-ờng đại học vinh khoa toán  nhãm phép bắc cầu nhóm phép nguyên thuỷ khoá luận tốt nghiệp đại học ngành học : cử nhân toán học chuyên Ngành: đại số Giáo viên h-ớng dẫn : Th.S Nguyễn Quốc Thơ Sinh viên thực : Bạch Tùng Lớp : 45E - Toán Linh Vinh - 2009 Môc lôc Trang Lêi nãi đầu Ch-ơng I: Nhóm phép Đ Nhóm phép Đ Sự phân tích phép Đ Phép liên hợp Đ Sự biểu diễn nhóm hữu hạn bëi nhãm phÐp thÕ Ch-¬ng II: Nhãm phÐp thÕ bắc cầu nhóm phép nguyên thủy Đ Nhóm phép bắc cầu Đ Nhóm phép nguyên thủy 18 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Lời nói đầu Tập hợp song ánh tập X nhóm phép nhân ánh xạ Ng-ời ta đà nghiên cứu nhóm từ sớm, kết phong phú Nhóm đà giữ vai trò quan trọng lý thuyết nhóm đà đ-ợc ứng dụng nhiều ngành khoa học không riêng ngành Đại số Lý thuyết nhóm hữu hạn lý thuyết quan trọng mà theo định lý Lagrange : Mỗi nhóm cấp n đẳng cấu với nhóm cđa nhãm ®èi xøng bËc n Do ®ã viƯc nghiªn cøu lý thut vỊ nhãm cđa nhãm phÐp thÕ cã ý nghÜa rÊt quan träng : NÕu ta xét đ-ợc tính chất nhóm nhóm đối xứng tức ta đà nghiên cứu đ-ợc tính chất nhóm hữu hạn Vì mà khóa luận có mục đích nghiên cứu hai lớp nhóm nhóm đối xứng lớp nhóm bắc cầu lớp nhóm nguyên thủy Nội dung khóa luận đ-ợc trình bày hai ch-ơng: Ch-ơng I : Nhóm phép Trong ch-ơng trình bày số kết nhóm đối xứng nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chất Ch-ơng II Ch-ơng II : Nhóm phép bắc cầu nhóm phép nguyên thủy Trọng tâm Ch-ơng sâu nghiên cứu tính chất lớp nhóm phép bắc cầu lớp nhóm phép nguyên thuỷ Khóa luận đ-ợc hoàn thành Khoa Toán - Tr-ờng Đại học Vinh, d-ới h-ớng dẫn giúp đỡ thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ, thầy cô Khoa Toán tập thể lớp 45E-Toán đà giúp đỡ trình học tËp vµ hoµn thµnh khãa luËn Vinh, ngµy 24 tháng năm 2009 Sinh viên : Bạch Tùng Linh Ch-ơng I Nhóm phép Trong Ch-ơng tác giả tóm tắt số kết nhóm đối xøng nh»m phơc vơ cho viƯc chøng minh c¸c kÕt Ch-ơng II Đ nhóm phép 1.1 Định nghĩa Cho tập X = { x1,x2,,xn} Mỗi song ánh từ tập X lên đ-ợc gọi phép Không tính tổng quát để đơn giản ký hiệu ta lấy tập X = {1,2,3,,n} Khi phép biểu thị d-ới dạng sau: n      1      3   n   1.2 Nhóm đối xứng Ký hiệu Sn tập tất phép tập X = {1,2,3,,n} Khi Sn với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm đ-ợc gọi nhóm đối xứng bậc n Nhóm gồm có n! phần tử với đơn vị phép đồng e n   1 n e Mỗi nhóm G nhóm đối xứng Sn đ-ợc gọi nhóm phép bậc n 1.3 Vòng xích Một phép đ-ợc gọi vòng xích thoả mÃn điều kiện sau ®©y:  (t1) = t2 ;  (t2) = t3 ; ;  (tm-1) = tm ;  (tm) = t1  (ti) = ti ,  i > m Khi ®ã ta viÕt   (t1,t2,t3,…,tm) - Hai vòng xích đ-ợc gọi độc lập hai vòng xích không giao - Số phần tử vòng xích đ-ợc gọi độ dài vòng xích - Một vòng xích có độ dài đ-ợc gọi phép chuyển trí Đ phân tích phép 2.1 Định lý Một phép viết đ-ợc d-ới dạng tích vòng xích độc lập Chứng minh Giả sử phép thuộc vào Sn Khi với  x1  X nÕu  (x1) = x1 th× (x1) xích Trái lại (x1) x1 ta đặt x2 = (x1) ; x3 =  (x2) ; … ; xk = (xk-1) phần tử đôi khác cßn  (xk)  { x1,x2,…,xk} Ta sÏ chøng minh  (xk) = x1 ThËt vËy gi¶ sư  (xk)  x1   (xk) = xi , (i >1) mµ xi =  (xi-1)   (xk) = (xi-1) mà song ánh xk = xi-1 Điều mâu thuẫn với giả thiết x1,x2,,xk đôi khác nhau, từ ta suy (xk) = x1  ( x1,x2,…,xk) lµ mét xÝch cđa Từ cách xác định ta nhận thấy vòng xích độc lập 2.2 Định lý Mỗi vòng xích viết đ-ợc d-ới dạng tích phép chuyển trí Chứng minh Giả sử ( x1,x2,,xm) vòng xích , ta có sù ph©n tÝch sau: ( x1,x2,…,xm) = ( x1,x2,…,xm-1)( x1,xm) = ( x1,x2,…,xm-2)( x1,xm-1)( x1,xm) = = ( x1,x2) ( x1,x3) ( x1,xm) Từ định lý định lý ta có nhận xét sau: 2.3 Nhận xét Mỗi phép phân tích đ-ợc thành tích phép chuyển trí Do ta đ-a vào khái niệm phép chẵn, phép lẻ Một phép phân tích đ-ợc số chẵn lần phép chuyển trí đ-ợc gọi phép chẵn, ng-ợc lại đ-ợc gọi phép lẻ Tập tất phép chẵn lập thành nhóm nhóm đối xứng đ-ợc gọi nhóm phép chẵn, ký hiệu An Từ định nghĩa vòng xích ta chứng minh đ-ợc mệnh đề sau 2.4 Mệnh đề Cấp vòng xích độ dài vòng xích Chứng minh Giả sử = ( x1,x2,,xk) vòng xích có k phÇn tư Ta sÏ chøng minh cÊp cđa  k, nghĩa phải chứng minh k(xi) = xi víi i  {1,2, ,n} ThËt vËy, gi¶ sư ta cã :  {k+1,…,n}  j(xi) = xl ,  i  {l,…,k}  k(xi) = xi ,  i l đ-ợc xác định nh- sau : l = (i+j) - nk Khi ®ã ta cã:  j(xi) =  (xl)  xi = xl  i = l  j = nk Do ®ã cÊp cđa vòng xích ( x1,x2,,xk) k Từ mệnh đề ta cã hƯ qu¶ sau gióp chóng ta viƯc xác định cấp phép Hệ Cấp phép bội chung nhỏ độ dài vòng xích độc lập phân tích phép Đ phép liên hợp 3.1 Định nghĩa Hai phép , nhóm phép G đ-ợc gọi liên hợp G tồn phép G cho :  -1   =  Nhận xét Từ định nghĩa ta thấy quan hệ liên hợp quan hệ t-ơng đ-ơng Ví dụ: Trong S4 xÐt c¸c phÐp thÕ  = (2 3) ;  = (1 4) ;  = (1 3) ta cã : (1 4) = (1 3) (2 3)(1 3) =    -1 , liên hợp với Định lý sau cho ta dấu hiệu để nhận biết hai phép liên hợp với 3.2 Định lý Hai phép viết d-ới dạng tích vòng xích độc lập liên hợp với chúng có số vòng xích nh- vòng xích t-ơng ứng có độ dài Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử T, S hai phép viết d-ới dạng tích vòng xích độc lập liên hợp với Ta cần chứng minh T, S có số vòng xích vòng xích t-ơng ứng có độ dài Thật giả sử T = (a11a12a1k)(a21a2s)(am1amt) Khi S, T liên hợp với nên tồn Q để S = Q-1TQ Gi¶ sư  a11 a12 a1k a21 a2 s am1 amt  Q=    b11 b12 b1k b21 b2 s bm1 bmt   S = (b11b12…b1k)(b21…b2s)…(bm1…bmt)  S,T có số vòng xích vòng xích t-ơng ứng có độ dài Điều kiện đủ: Giả sử T, S hai phép viết d-ới dạng tích vòng xích độc lập có số vòng xích vòng xích t-ơng ứng có ®é dµi, nghÜa lµ: T = (a11a12…a1k)(a21…a2s)…(am1…amt) S = (b11b12…b1k)(b21…b2s)…(bm1…bmt) Khi tồn phép Q để S = Q-1TQ   a11 a12 a1k a21 a2 s am1 amt  Q=    b11 b12 b1k b21 b2 s bm1 bmt 3.3 Định nghĩa Hai nhóm phép G1, G2 đ-ợc gọi liên hợp với tån t¹i phÐp thÕ  cho G2 =  -1G1  § sù biĨu diƠn cđa nhãm hữu hạn nhóm phép 4.1 Định nghĩa Một đồng cấu từ nhóm hữu hạn G đến nhóm phép đ-ợc gọi biểu diễn nhóm G nhóm phép Nếu đồng cấu đẳng cấu biểu diễn đ-ợc gọi biểu diễn thực 4.2 Định lý Một nhãm G cÊp n bao giê cịng biĨu diƠn thùc đ-ợc nhóm phép cấp n Chứng minh Giả sử G nhóm hữu hạn cấp n với đơn vị e Với phần tử a thuộc G, ta xây dựng ánh xạ a  a : G  G x xa Khi a song ánh Thật : a đơn ánh giả sử a (x) =  a (y)  xa = ya mµ G lµ nhãm  x = y  a toàn ánh: y G, x = ya-1 cho  a (x) =  a (ya-1) = ya-1a = y Xét ánh xạ : : G  Sn a  a Khi ®ã  đồng cấu Thật : Giả sử :  (a) =  a  (b) =  b  (ab) =  ab V×  x  G :  ab (x) = xab = xa.b =  b (xa) =  b  a (x)   ab = b a đơn ánh V× víi a,b  G , a  b th×  a (e) = ea = a  b (e) = eb = b  a   a  b đơn ánh Vậy ®¬n cÊu, tõ ®ã ta cã : G =  (G) Vì với a G, a song ánh G suy (G) nhóm phép bậc n Ta có đ-ợc điều phải chứng minh Từ định lý ta thấy việc nghiên cứu tính chất nhóm hữu hạn thông qua việc nghiên cứu nhóm phép Ch-ơng II Nhóm phép bắc cầu nhãm phÐp thÕ nguyªn thủ Nhãm phÐp thÕ cã rÊt nhiều tính chất thú vị Trong phạm vi đề tài tác giả sâu nghiên cứu hai loại nhóm quan trọng nhóm phép là: nhóm phép bắc cầu nhóm phép nguyên thuỷ Đ nhóm phép bắc cầu 1.1 Nhóm phép bắc cầu quỹ đạo nhóm phép 1.1.1 Định nghĩa Nhóm phép G ký hiệu X = {x1,x2,,xn} đ-ợc gọi nhóm phép bắc cầu tập X thoả mÃn hai điều kiện sau: i, Với xi X, g G tồn x X cho g(xi) = xj ii, NÕu xi, xj  X th× tån g G để g(xi) = xj Nếu hai điều kiện không thoả mÃn G đ-ợc gọi nhóm không bắc cầu 1.1.2 Ví dụ 1) Trong S3 xÐt nhãm phÐp thÕ G = { e; g1 = (1 3); g2 = (1 2) } Khi G nhóm bắc cầu : - DƠ thÊy víi xi  X ={1,2,3}; g  G tồn xj để g(xi) = xj Chẳng h¹n : xi=1; g=g1  xj=2 xi=2; g=g2  xj=1 12 s(X ) quỹ đạo G2 = sG1s-1 Tồn song ánh s chuyển quỹ đạo G1 lên quỹ đạo G2 G1, G2 có kiểu quỹ đạo Ta mở rộng cách đầy đủ tổng quát khái niệm nhóm phép bắc cầu khái niệm nhóm phép bắc cầu bội k xét phần 1.2 nhóm phép bắc cầu bội k 1.2.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm phép tập X Uk tập tất điểm Xk = X x X x X x…x X ®ã xi  xj víi i  j Trên tập Uk ta đ-a vào quan hệ R : a = (a1,…,ak) ; b = (b1,…,bk)  Uk, aRb   g  G ®Ĩ (x1,x2,…,xk) g(ai)=bi, i = {1,2,,k} Khi R quan hệ t-ơng đ-ơng Nhóm G đ-ợc gọi nhóm bắc cầu béi k trªn X nÕu  a, b  Uk aRb 1.2.2 Ví dụ Nhóm phép chẵn An nhóm bắc cầu bội n-2 Thật :  (x1,x2,…,xn-2) ; (y1,y2,…,yn-2)  Un-2   u =  x1 x2 xn2 xn1 xn  y  y y n2 y n 1  v =  x1 x2 xn2 xn1 y  y y n2 y n y n      n 1  x y n Khi ta có v = u(yn-1yn) Vì (yn-1yn) phép lẻ nên ta suy : Nếu u chẵn v lẻ ng-ợc lại Do tồn u v An để (x1,x2,,xn-2) (y1,y2,,yn-2) Vậy An nhóm bắc cầu bội n-2 1.2.3 Mệnh đề Nhóm G bắc cầu bội k tập X đẳng cấu với nhóm phép tập Uk Chứng minh 13 : Xét ánh xạ G S(Uk) g g với g đ-ợc xác định nh- sau: a  Uk , a = (x1,…,xk) ; g (a) = (g(x1),…,g(xk)) Tr-íc hÕt ta chøng minh g song ánh *) g đơn ánh : Víi a  b  Uk gi¶ sư a = (x1,x2,…,xk) ; b = (y1,y2,…,yk) V× a  b   xi  yi : g(xi)  g(yi)  g (a) g (b) *) g toàn ánh víi b  Uk , b = (y1,y2,…,yk) Do G bắc cầu bội k suy tồn a Uk , a = (x1,x2,…,xk) ®Ĩ g (xi) = yi víi i = {1,2,…,k}  g (a) = b  g song ánh Uk g S(Uk) đồng cấu: Giả sử (g) = g ;  (g1) = g1 ;  (gg1) = gg1 Khi ®ã  a  Uk , a = (x1,x2,…,xk) ta cã: gg1 (a) = (gg1(x1),…,gg1(xk)) = g (g1(x1),…,g1(xk)) = g g 1(x1,…,xk) = g g 1(a)   (gg1) = (g) o (g1) đồng cấu đơn ánh: Ta có: Ker = {g  G  (g) = e} = {g  G g = e} = {g  G g (a) = a ,  a  Uk} = {g  G = eG (g(x1),…,g(xk)) = (x1,…,xk)} 14   lµ đơn ánh đơn cấu G = Im = G' S(Uk) Ta có điều phải chứng minh 1.3 nhóm bất động 1.3.1 Định nghĩa Cho G nhóm phép tập X, a phần tử cố định thuộc X Ta ký hiÖu Ga = Khi Ga nhóm G đ-ợc gọi nhóm bất động a 1.3.2 Định lý Giả sử X quỹ đạo G; a phần tử thuộc X , Ga nhóm bất động a Đối với ®iĨm x  X ta chän G phÇn tư gx ®Ĩ gx(a) = x Khi G a , x X phân tích nhóm G thành lớp ghép trái theo Ga G = gx Chứng minh *) Hai lớp ghép khác ThËt vËy: gxGa(a) = gx(a) = x gyGa(a) = gy(a) = y x  y  gxGa  gyGa *) Víi g bÊt kú thuéc G ta sÏ chøng minh tồn gxGa để g gxGa Thật : Vì G bắc cầu X ; a  X    x  X  : g(a) = x  x = g(a)  X Mặt khác ta có gx(a) = x g(a) = gx(a)  gx-1g(a) = a  gx-1g  Ga g Ta có đ-ợc điều phải chứng minh 1.3.3 Hệ gxGa 15 Cấp nhóm phép tập hữu hạn chia hết cho lực l-ợng quỹ đạo nhóm phép Đặc biệt cấp nhóm bắc cầu chia hết cho bậc Chứng minh Sử dụng Định lý Lagrange : Nếu H G o(G) = o(H).[G:H] Từ áp dụng vào ta cã: o(G) = o(Ga).[G:Ga] V× G =  gxGa  [G:Ga] = X  x X  o(G) = X o(Ga) o(G) X Trong tr-ờng hợp đặc biệt G nhóm bắc cầu X = X  o(G) X hay cÊp cña G chia hÕt cho bËc cđa nã 1.3.4 HƯ qu¶ CÊp cđa nhóm phép bậc n bắc cầu bội k chia hÕt cho n(n-1)…(n-k+1) Chøng minh Theo MƯnh ®Ị 1.2.3 ta cã G  G'  S(Uk)  o(G) = o(G') Mặt khác theo Hệ 1.3.3 ta có x X o(G') Uk (vì G bắc cầu bội k nên G' bắc cầu ) mà Uk = n(n-1)(n-k+1) o(G') n(n-1)(n-k+1) o(G) n(n-1)(n-k+1) 1.3.5 Định lý Giả sử X quỹ đạo nhóm G, R tập tất nhóm bất động phần tử a, với x X Khi R , nhóm Ga; a X liên hợp với Chøng minh Gi¶ sư Ga, Gb  R  ta chứng minh Ga liên hợp với Gb Thật vËy v× a, b  X  g  G : g(a) = b 16 Khi ®ã ta cã: gGag-1(b) = gGa(a) = g(a) = b  gGag-1  Gb Vì g(a) = b g-1(b) = a từ ta cã g-1Gbg(a) = g-1Gb(b) = g-1(b) = a  g-1Gbg  Ga  Gb  gGag-1  Gb = gGag-1 Ga,Gb liên hợp với Nh- R chứa Ga nhóm có dạng gGag-1 Việc chứng minh định lý cho ta số hệ sau 1.3.6 Hệ Giả sử G bắc cầu R hệ nhóm bất động G Khi R nhóm liên hợp với 1.3.7 Hệ G nhóm phép mà tất nhóm -ớc chuẩn, X quỹ đạo G a, b  X  th× Ga = Gb Chøng minh a,b X theo Định lý 1.3.5 Ga , Gb liên hợp với g  G cho Gb = gGag-1 Do Ga G, mà theo giả thiết ta có Ga G  gGag-1 = Ga  Gb = Ga 1.3.8 Định nghĩa Nhóm G đ-ợc gọi quy G nhóm phép bắc cầu G có nhóm ổn định {e} 1.3.9 Hệ Nhóm bắc cầu G mà nhóm -ớc chuẩn G nhóm quy Chứng minh Vì G bắc cầu a X Ga liên hợp với Gb, b X Vì G có nhóm -ớc chuẩn nên theo Hệ 1.3.7: Ga = Gb,  b X 17  Ga(b) = Gb(b) = b,  b  X  Ga = e,  a  X  G lµ nhãm chÝnh quy 1.3.10 HƯ G nhóm bắc cầu mà tất nhóm -ớc chuẩn G không đ-ợc chứa nhóm phép khác tập hợp mà tất nhóm -ớc chuẩn Đặc biệt nhóm Aben bắc cầu S(X) nhóm Aben cực đại nhóm Aben S(X) Chứng minh G nhóm bắc cầu mà tất nhóm -ớc chuẩn Giả sử G đ-ợc chứa nhóm phép G' mà tất nhóm G' -ớc chuẩn Khi G' phải nhóm bắc cÇu ThËt vËy: - Víi xi, xj  X ;  g  G  G' ®Ĩ g(xi) = xj - xi  X, g'  G' th× ta có xj =g'(xi) X G' nhóm bắc cầu áp dụng Hệ 1.3.9 ta thu đ-ợc G, G' nhóm quy X Ga' = e,  a  X  Ga = e,  a  o(Ga) =  o(Ga') =  o(G) = X o(Ga) = X o(G) = X o(Ga') = X  o(G) = o(G') mµ G  G' G G' Đặc biệt nhóm Aben bắc cầu S(X) nhóm Aben cực đại S(X) Vì nhóm Aben có nhóm -ớc chuẩn nên áp dụng Hệ 1.3.10 ta có đ-ợc điều ph¶i chøng minh 1.3.11 VÝ dơ Nhãm G  S3 , G = lµ nhãm Aben cực đại S3 G = {e, (1 3), (1 2)} - G nhóm bắc cầu - G lµ nhãm Xyclic  G lµ nhãm Aben 18 1.4 nhóm không bắc cầu 1.4.1 Xây dựng tÝch trùc tiÕp Gi¶ sư Si , i  I miền khác để nhóm không bắc cầu G bắc cầu miền Nếu ta xem G nh- nhóm phép S i ta ký hiệu nhóm Gi (Gi = G Si) phần tử g Si phần tử cảm sinh G Si Khi ta ký hiệu g = (g1 g2…) (1) Ta coi g   Gi = G* tích trực tiếp nhóm bắc cầu Gi , i I Định nghĩa G đ-ợc gäi lµ tÝch trùc tiÕp cđa tÝch trùc tiÕp G* nÕu : * G lµ nhãm cđa G* * §èi víi g  Gi , i  I tồn phần tử g G để thành phần thứ i gi tức phần tử Gi tham gia vào phần tử sinh G 1.4.2 Định lý Nếu G tích trùc tiÕp cđa nhãm G1, G2; H12 vµ H21 t-ơng ứng nhóm G1 G2 gồm phần tử có mặt hệ sinh G mà có thành phần đơn vị H12 =  G1 H21 =  G2 Khi ®ã H12  G1 ; H21  G2 §ång thêi tån ánh xạ đẳng cấu G1/H12 G2/H21 để cho (g1,g2) , g1  G1 , g2  G2 thuéc nhãm G vµ chØ g1,g2 cã ¶nh chung K Chøng minh H12  G1 ; H12 = - Ta ®· cã H12  G1 G1 , theo định nghĩa tích trực tiếp tồn g2 để cho (g1,g2)  G Khi ®ã  (h,1)  H12 ta cã : (g1,g2) (h,1) (g1,g2)-1  G tõ ®ã ta cã : (g1,g2) (h,1) (g1,g2)-1 = (g1hg1-1 , g2g2-1) = (g1hg1-1 , 1)  H12 -  g1 19  H12 G1 Hoàn toàn t-ơng tự ta chứng minh đ-ợc H21 G2 * Với phần tử g1 G1, tập hợp phần tử g2 G2 để (g1,g2) G tạo thành lớp ghép H21 * Với phần tử g2 G2, tập hợp phần tử g1 G1 để (g1,g2) G tạo thành lớp ghép H12 Vậy nên (g1,g2) G th× (H12g1 , H21g2)  G NÕu (g1 , g2) ; (g1 , g2')  G  (1, g2g2-1)  H21  (1, g2) ; (1, g2') thuéc cïng mét líp ghÐp T-¬ng tù nÕu (g1 , g2) ; (g1', g2)  G th× (g1,1) ; (g1',1) thuéc cïng mét líp ghÐp Nh- vËy cã sù t-¬ng øng 1-1 H12g1 H21g G1/H12 K G2/H21 Từ điều kiện (g1,g2) G H12g2 t-ơng øng víi H21g1  g1,g2 cã ¶nh chung K Ng-ợc lại H12 G1 ; H21 G2 øng víi tÝnh chÊt G1/H12  K  G2/H21 Th× tất cặp (g1,g2) có chung ảnh K ®ång cÊu G1  K , G2 K tạo thành tích trực nghĩa mô tả Đ nhóm phép nguyên thuỷ tiết tr-ớc ta đà nghiên cứu nhóm bắc cầu tiết ta tiếp tục nghiên cứu loại nhóm phép mới, không bắc cầu theo nghĩa đà biết mà bắc cầu tập phần tử tập khác phần tử X, nhãm phÐp thÕ nguyªn thủ 2.1 nhãm phÐp thÕ nguyªn thuỷ 20 2.1.1 Định nghĩa Một nhóm G bắc cầu đ-ợc gọi nhóm không nguyên thuỷ tập X ta chia đ-ợc X X , (   I) cho I >1 ; X >1 thoả mÃn: - X X =  ,     - Víi g G g(X ) = X  hc g(X  ) =X  NÕu không chia đ-ợc nhóm gọi nhóm phép thÕ nguyªn thủ 2.1.2 VÝ dơ 1) Trong S4 xÐt nhãm G =  G = {e, g1 = (1 4) ; g2 = (1 3)(2 4) ; g3 = (1 2)} ta phân chia X nh- sau: X = {1, 3}  {2, 4} ; X1 = {1, 3} ; X2 = {2, 4} Ta nhËn thÊy: e(X1) = X1 ; g1(X1) = X2 ; g2(X1) = X1 ; g3(X1) = X2 e(X2) = X2 ; g1(X2) = X1 ; g2(X2) = X2 ; g3(X2) = X1 G nhóm không nguyên thuỷ 2) Các nhóm không nguyên thuỷ S4 - A4 S4 nhóm nguyên thuỷ - Các nhóm xyclic cấp - Nhãm Kªli - Tất nhóm cấp chứa nhóm Kêli nhóm: Trong nhóm Kêli lµ -íc chn 3) Trong S3 nhãm G = nhóm phép nguyên thuỷ không thĨ ph©n tÝch X   X  , ( I) thoả mÃn điều kiện định nghĩa 2.1.3 NhËn xÐt NÕu sù ph©n chia X thùc hiƯn đ-ợc phép song ánh 21 nên tất X có lực l-ợng Từ nhận xét ta thu đ-ợc số hệ sau 2.1.4 Hệ Nhóm bắc cầu bậc p với p số nguyên tố nhóm phép nguyên thuỷ Chứng minh Giả sử G nhóm bắc cầu bậc p số nguyên tố giả sử G nhóm không nguyên thuỷ  X   X  , (   I) X có lực l-ợng  X X  mµ X    X -ớc khác X = p Điều mâu thuẫn với giả thiết p số nguyên tố Vậy G nhóm nguyên thuỷ 2.1.5 Hệ Nhóm bắc cầu bội nhóm phép nguyên thuỷ Chứng minh Giả sử ng-ợc lại G nhóm không nguyên thuỷ ta có X  X  , (   I) lµ sù phân chia X thành tập nh- định nghĩa Khi giả sử a, a1 X , b  X  , a  a1 ,  Vì G bắc cầu bội g  G cho: g(a) = a1 g(a1) = b   g(X  ) = X   g(X  ) = X   X  = X  M©u thn víi X   X  = Vậy G nhóm phép nguyên thuỷ 2.1.6 Mệnh đề Sự phân chia X X , ( I) thành miền nguyên thuỷ xác định đồng cấu : G S(I) g g tho¶ m·n nÕu g(X  ) = X  th× g (  ) =  22 Chøng minh Gi¶ sư  (g) = g ;  (g1) = g ;  (gg1) = gg1 g1(X  ) = X  Gi¶ sư g(X  ) = X   g1 (  ) =  ; g (  ) =   (gg1)( X  ) = g(X  ) = X   gg1 (  ) =  Vµ  g g (  ) = g (  ) =   gg1 = g o g VËy  đồng cấu 2.1.7 Mệnh đề Giả sử G nhóm bắc cầu không nguyên thuỷ X X , ( I) phân chia X thành miền nguyên thuỷ I H 1 = ;  S(X 1 ) Gi¶ sư (g  ),   I lµ tËp cđa G : g  ( X 1 ) = X  Khi G = g H phân chia G thành lớp ghép trái theo H 1 Chøng minh *) Hai líp ghÐp bÊt kỳ khác nhau: Nếu g  H 1  g  H 1 v×: g  H 1 (X 1 ) = g  ( X 1 ) = X  g  H 1 (X 1 ) = g  ( X 1 ) = X   X  *) Víi g bÊt kú thuéc G ta cã: g(X 1 ) = X  ,   g  -1g(X 1 ) = g  -1(X  ) = X 1  g  -1g g  H 1  g  H 1 VËy G =  g  H 1 I 23 2.2 đặc tr-ng nhóm phép nguyên thuỷ mục 2.1 ta đà làm quen với khái niệm nhóm phép nguyên thuỷ, mục 2.2 ta trình bày định lý đ-ợc coi nh- dấu hiệu để nhận biết nhóm phép nguyên thuỷ 2.2.1 Định lý Giả sử G nhóm phép bắc cầu Khi G nhóm phép nguyên thuỷ nhóm ổn định G nhóm cực đại Chứng minh Giả sử G nhóm phép bắc cầu cđa tËp X , a  X , Ga lµ nhóm ổn định a G Giả sử G a không cực đại tức tồn nhóm U cho Ga  U  G , U  Ga , U  G Ta chia G theo c¸c líp ghÐp tr¸i cđa U, G =  g  U =  U  (   I) với U = g U (1) Đặt X = U (a) Vì X bắc cầu nên X = U X (2) Ta sÏ chøng minh (2) lµ sù chia líp, thËt vËy X   X  =  ,   Vì giả sử u(a) = v(a) , u  U  , v  U  , ®ã: u-1v(a) = a  u-1v  Ga v uGa U Trái với giả thiết Vậy (2) chia lớp Ta phải chứng minh (2) phân lớp không nguyên thuỷ g(X  ) = g U  (a) = g g  U(a) = g  U(a) = U  (a) = X  Tøc g(X  ) = X  (3) Vì U Ga nên X >1 ; U  Ga nªn I >1 VËy tõ (3) suy phân lớp không nguyên thuỷ Ng-ợc lại : Giả sử G không nguyên thuỷ , a  X  , X  lµ mét tập hệ không nguyên thuỷ G Ta ký hiệu U tập tất phép h để h(X ) = X Vì G nhóm bắc cầu X {a} , X   X nªn Ga  G 2.2.2 Hệ Nhóm quy nhóm không nguyên thuỷ trừ tr-ờng hợp cấp nhóm số nguyên tố 24 Chứng minh Giả sử G nhóm quy nhóm ổn định {e} - Nếu G có cấp số nguyên tố p nhóm G có phần tử có p phần tử Mọi nhóm ổn định G nhóm cực đại G nhóm nguyên thuỷ - Nếu G có cấp không số nguyên tố nhóm khác G chứa nhóm ổn định G nhóm không nguyên thuỷ 2.2.3 Hệ Nhóm ổn định Sn nhóm cực đại 25 Kết luận Qua trình nghiên cứu, dựa vào tài liệu tham khảo khóa luận đà thu đ-ợc số kết sau: 1- Trình bày tính chất nhóm phép bắc cầu không bắc cầu 2- Trình bày tính chất nhóm phép nguyên thủy, điều kiện để nhóm phép nhóm nguyên thủy 3- Trình bày tính chất nhóm không nguyên thủy 26 Tài liệu tham khảo [1.] Nguyễn Hữu Việt H-ng, Đại số đại c-ơng, NXB Giáo Dục 2005 [2.] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại c-ơng, NXB Giáo Dục 2003 [3.] Alexandrov L.S, Đại số tuyến tính hình học giải tích, Mos 1979 [4.] Ker Tuk - Rai nher, Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn, Nauk 1969 [5.] Ku ros A.C, Lý thuyÕt nhãm , Mos 1957 [6.] M.xoll, Lý thuyÕt nhãm , Mos 1961 [7.] Xuprunhenc«, Nhãm ma trËn , Mos 1972 ... phÐp thÕ Đ Sự phân tích phép Đ Phép liên hợp Đ Sự biểu diễn nhóm hữu hạn nhóm phép Ch-ơng II: Nhóm phép bắc cầu nhóm phép nguyên thủy Đ Nhóm phép bắc cầu Đ Nhóm phép nguyên thủy 18 Kết luận 24... thuỷ Nhóm phép có nhiều tính chất thú vị Trong phạm vi đề tài tác giả sâu nghiên cứu hai loại nhóm quan trọng nhóm phép là: nhóm phép bắc cầu nhóm phép nguyên thuỷ Đ nhóm phép bắc cầu 1.1 Nhóm phép. .. nghiên cứu nhóm bắc cầu tiết ta tiếp tục nghiên cứu loại nhóm phép mới, không bắc cầu theo nghĩa đà biết mà bắc cầu tập phần tử tập khác phần tử X, nhóm phép nguyên thuỷ 2.1 nhóm phép nguyên thuỷ 20