Nhóm cơ bản của đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU THỊ THU HƢỜNG NHÓM CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2016 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Đồng luân 1.2 Nhóm 1.3 Hàm tử đồng luân bậc Chương NHÓM CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ ………… 12 2.1 Phức đơn hình đồ thị … ……………………… 12 2.2 Ánh xạ đơn hình tương đương mật tiếp ……… 17 2.3 Tương đương cạnh nhóm đồ thị 21 2.4 Tính nhóm số hình 31 KẾT LUẬN ………………………………………………… 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO…… ……………………………… 43 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU THỊ THU HƢỜNG NHÓM CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Hình học – Tơ pơ Mã số:60.46.01.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN DUY BÌNH NGHỆ AN – 2016 MỞ ĐẦU Tôpô đại số ngành tốn học đại Nó đời vào năm đầu kỉ XX, gắn kết hai lĩnh vực tốn học tơpơ đại số Tôpô đại số vừa nghiên cứu với tư cách ngành độc lập, vừa xem công cụ để giải nhiều vấn đề toán học đại Phương pháp tôpô đại số nghiên cứu không gian thông qua bất biến đại số cách đặt tương ứng chúng với đối tượng đại số, ví dụ nhóm, sau xem xét cấu trúc đại số để suy tính chất tương đương đồng luân, đồng phôi không gian Điều cho phép chuyển phát biểu quan hệ không gian tôpô thành phát biểu cấu trúc đại số.Thơng qua nhóm khơng gian, hay tổng qt nhóm đơng luân ta xem xét phân loại chúng Một đồ thị vơ hướng coi phức đơn hình bao gồm đơn hình chiều (các cạnh) đơn hình chiều (các đỉnh) Với mục tiêu tập dượt nghiên cứu khoa học, sở kiến thức tôpô đại số chương trình cao học, luận văn nghiên cứu dạng khơng gian tơpơ đặc biệt, đồ thị Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài: “NHĨM CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ” Luận văn chia làm hai chương sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm đồng luân, tương đương đồng luân, cách xây dựng nhóm khơng gian tơpơ bất kỳ, vài tính chất khơng gian liên thông đường; hàm tử đồng luân bậc đưa định lý nhóm hai không gian tương đương đồng luân Trong chương 2, chúng tơi trình bày kiến thức nhóm đồ thị Cụ thể, mục 2.1, trình bày khái niệm đơn hình, phức đơn hình, phức phức đơn hình, hình đỉnh, khung r chiều, thứ phân phức đơn hình, khái niệm đồ thị, khái niệm tính chất đặc biệt cách tính số đặc trưng Eurle đồ thị liên thông đường, số đơn hình chiều lớn bỏ mà khơng làm tính liên thơng đồ thị Trong mục 2.2, chúng tơi trình bày chúng tơi trình bày khái niệm ánh xạ đơn hình, xấp xỉ đơn hình, tương đương mật tiếp định lý xấp xỉ đơn hình tương đương mật tiếp dùng để phục vụ cho chứng minh mục 2.3 Trong mục 2.3, chúng tơi trình bày quan hệ tương đương cạnh đường phức đơn hình K từ xây dựng nhóm phức đơn hình cuối đưa định lý công thức tính nhóm đồ thị liên thơng đường Trong mục 2.4, chúng tơi tiến hành tính tốn nhóm số hình quen thuộc dựa vào định lý cơng thức tính nhóm đồ thị đưa số mệnh đề giúp việc tính nhóm đồ thị trở nên đơn giản Luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm túc tận tình thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy! Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, thầy tổ mơn Hình học, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong bảo, góp ý thầy cô bạn Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, tháng 08 năm 2016 Tác giả Chƣơng Các Kiến thức 1.1 Phép đồng luân 1.1.1 Định nghĩa (Xem [1]) Cho không gian tôpô X, Y, f , g : X  Y ánh xạ liên tục, I  0,1  x  ,  x  1 , ánh xạ liên tục F : X  I  Y cho F ( x,0)  f ( x); F ( x,1)  g ( x) với x  X gọi phép đồng luân nối f g Khi f gọi đồng luân với g phép đồng luân F ký hiệu f  g 1.1.2 Các ví dụ n n Ví dụ 1: X  Y   , x0   1X : X  Y ánh xạ đồng  x : X  Y ánh xạ nhận giá trị x0 Khi 1X   x0 phép đồng luân F : X  I  Y , F ( x, t )  (1  t ) x  tx Ví dụ 2: X không gian tôpô bất kỳ, Y tập lồi  n , C ( X , Y )  { f : X  Y f liên tục} Khi đó: f , g  C ( X , Y ) f  g phép đồng luân: F : X  I  Y , F ( x, t )  (1  t ) f ( x)  tg ( x) 1.1.3 Nhận xét Quan hệ đồng luân ánh xạ quan hệ tương đương Chứng minh  f  f phép đồng luân F : X  I  Y  x, t   F  x, t   f  x  t  I  Nếu f  g g  f phép đồng luân: E : X  I Y  x, t   E  x, t   F  x,1  t   Nếu f  g phép đồng luân F1 , g  h phép đồng luân F2 f  h phép đồng luân F : X  I  Y với:  F x , t ,  t      F  x, t     F  x, 2t  1 ,  t    Vậy quan hệ đồng luân ánh xạ quan hệ tương đương  1.1.4 Bổ đề (Bổ đề dán) (Xem [7]) Cho X, Y không gian tôpô, X  A  B , với A, B tập đóng (mở) X Giả sử f1 : A  Y , f : B  Y ánh xạ liên tục cho f1 ( x)  f ( x), x  A  B Khi ánh xạ  f1 ( x), x  A g : X  Y cho bởi: g ( x)   ánh xạ liên tục  f ( x), x  B 1.1.5 Định lý (Xem [1]) Cho X, Y, Z không gian tôpô Giả sử ánh xạ f0 , f1 : X  Y , f0  f1 g0 , g1 : Y  Z , g0  g1 Khi g0 f0  g1 f1 1.1.6 Định nghĩa (Xem [1]) Hai không gian tôpô X, Y gọi tương đương đồng luân (có kiểu đồng luân) tồn hai ánh xạ liên tục f : X  Y , g : Y  X cho fg  1Y ; gf  1X 1.1.7 Nhận xét 1) Quan hệ tương đương đồng luân không gian tôpô quan hệ tương đương 2) Các không gian đồng phôi với tương đương đồng luân 1.1.8 Định nghĩa (Xem [1]) Không gian tôpô X gọi co rút ánh xạ đồng X đồng luân với ánh xạ x0  X Khi ta cịn nói X co rút điểm x0  X 1.1.9 Ví dụ X tập lồi  n , X không gian co rút điểm x0  X 1X   x0 ( x0  X ) phép đồng luân: F : X  I  Y ( x, t )  (1  t ) x  tx 1.1.10 Định lý (Xem [1]) Không gian tơpơ X co rút tương đương đồng luân với không gian điểm Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X co rút được, tức 1X   x ( x0  X ) Xét ánh xạ f   x : X  x0 ; g : x0   X , g ( x0 )  x0 Khi đó: fg  1x   1x  ; gf   x  1X 0 Suy X tương đương đồng luân với không gian điểm Điều kiện đủ: Giả sử X tương đương đồng luân với khơng gian điểm Y  a , có nghĩa tồn ánh xạ f : X  Y , g : Y  X cho fg  1Y ; gf  1X Đặt x0  g (a)  x : X  x0  ánh xạ Ta có: gf : X  X , gf ( x)  g (a)  x0 , x  X Do  x  gf  1X Vậy X co rút  1.2.Nhóm 1.2.1 Định nghĩa (Xem [2]) Cho X không gian tôpô, I  0,1 không gian đường thẳng thực  Một đường  X từ x0 đến x1 ánh xạ liên tục  :I  X cho  (0)  x0 ,  (1)  x1 Điểm x0 gọi điểm gốc, điểm x1 gọi điểm cuối đường  Nếu  (0)  (1)  x0  X  gọi đường đóng x0 1.2.2 Định nghĩa Cho  đường từ x0 đến x1 ,   đường từ x1 đến x2 ¸nh xạ liên tục    ' : I  X cho bởi:   (2t )      '(t )    '(2t  1)   nÕu  t  nÕu  t 1 gọi nối tiếp hai đường ,  ' Đường ngược  đường  1 từ x1 đến x0 cho  1 (t )   (1  t ) Chú ý đường    ' có điểm gốc    '(0)  (0)  x0 điểm cuối    '(1)   '(1)  x2  (1) x1 x.o  '(0)  (0)  '(1) x2 Hình 1.2.3 Định nghĩa (Xem [1]) Cho hai đường ,  ' có điểm gốc x0 điểm cuối x1 không gian tơpơ X Ta nói  đồng ln với  ' ký hiệu    tồn ánh xạ liên tục F : I  I  X cho: F (0, t2 )   (0)   (0)  x0 , t2  I F (1, t2 )   (1)   (1)  x1 , t2  I F (t1 , 0)   (t1 ); F (t1 ,1)   (t1 ), t1  I 1.2.4 Nhận xét - Quan hệ đồng luân đường quan hệ tương đương - Nếu 1 đồng luân với 2 11 đồng luân với 2 1 - Giả sử 1  2 ; 1  2 đường cho 1  1 xác định Khi 2  2 xác định 1  1  2  2 1.2.5 Định nghĩa Đặt     |    Tích nghịch đảo   định nghĩa sau:         ;     1  1 1.2.6 Định lý (Xem [1]) Cho X không gian tôpô, x0  X , 1  X , x0  tập hợp lớp đồng luân đường đóng x0 Khi 1  X , x0  lập thành nhóm với phép toán cho     h a  h a j11a j21 a jr1  h a j1 1 1 j2   .h a jr 1 2.3.10 Định lý (Xem [7]) Nếu K đồ thị liên thông đường, a0 đỉnh K 1  K , a0   Fn với n     K  Chứng minh Ta xây dựng đồng cấu: h: E(K, a0)  Fn h1: Fn  E(K, a0) cho hh1  1F ; h1h  1E K ,a  Khi E  K , a0   Fn , mà theo Định lý 2.3.6 n E  K , a0   1  K , a0  nên 1  K , a0   Fn Xây dựng h: Gọi (s1), , (sn) ( n     K  ) đơn hình mở chiều K cho T  K   s1    s2     sn  (xem chứng minh định lý 2.1.8) Gọi Fn nhóm tự sinh  s1  ,  s2  , ,  sn  Với j 1, 2, , n ,   đặt s j cạnh a j a j K, s j cạnh a ja j , aj aj’ đỉnh sj Khi đường  K có dạng:   1s j 2 s j k s j k 1 với i k đường T Đặt h     s j   s   s  1 1 j2 jk 1 Ta phải kiểm tra h xác định Do h   phụ thuộc vào lớp tương đương cạnh  nên ta cần chứng minh: 1 2 tương đương cạnh sơ cấp h 1   h 2  Giả sử 1   a1a2 a2a3  , 2   a1a3  ,   đường K, a1 , a2 , a3 đỉnh đơn hình K Do K đồ thị nên đơn hình chiều, xảy trường hợp: a1  a2  a3 ; a1  a2 ; a2  a3 ; a1  a3 Trong trường hợp đầu đơn hình  a1 , a2  ,  a2 , a3  đơn hình chiều, nên trường hợp đầu ta có h 1   h 2  29 Trường hợp 4: 1   a1a2 a2 a1  , 2   a1a1  Nếu  a1 , a2  không (sj) h 1   h 2  Nếu  a1 , a2  (sj) với j : 1   s j s j   h 1   h    s j   s j  h    h   eh    h   h    h 2    Vậy trường hợp ta ln có h 1   h 2   h xác định h đồng cấu nhóm Xây dựng h1: Do Fn nhóm tự do, ta định nghĩa h1 theo phần tử sinh (sj) = (aj, aj’) Gọi  j đường T từ a0 đến aj , j đường T từ a0 đến a j h1   s j   lớp tương đương cạnh đường  j s j  j   h1  s j  xác định độc lập với  j (vì T nên liên thơng, theo định lý 2.1.6 đường từ a0 đến aj tương đương cạnh với  j ) Khi đó, h1 mở rộng đồng cấu từ Fn  E(K, a0) Vì với phần tử sinh  s j  Fn ta có: h.h1   s j    h  j s j  j    s j  nên h.h1 đồng Nếu   1s j  s j  k s j  k 1 đường K thì: k  h1.h    h1 s j1    s   s  1   j1 s j1 j1 1 j2   1 jk 1 j2 s j2 j2    1 jk s jk  jk   j1 s j1 j1 j2 s j2  j2  jk s jk  jk  đó: j  i  j s ji xuất s ji i   j s ji xuất s ji i   j s ji xuất s ji i  j  i   j s ji xuất s ji i 30  1  Nhưng 1 ,  j đường T từ a0 đến điểm gốc s ji Do T liên thông nên 1 ,  j tương đương cạnh Tương tự  ,  j  j tương đương cạnh 1 E Tiếp tục trình nên ta h1 h     hay h1.h đồng  2.4 Tính nhóm số hình Trong mục chúng tơi tính số nhóm số hình có dạng đồ thị nhóm số hình đưa dạng đồ thị cách sử dụng Định lý 2.3.10 Ngoài ra, dựa vào Định lý 2.3.10, chúng tơi cịn chứng minh số mệnh đề nhóm đồ thị 2.4.1 Tính nhóm số hình quen thuộc  Xét K khơng gian điểm, K đồ thị chiều với số cạnh số đỉnh Ta có:  K   1  n    Vậy   K , x0      Xét K đoạn thẳng đóng k đồ thị liên thơng đường A B Hình 11 Ta có:   K   1  n    Vậy   K , x0      Xét K nửa đường trịn, K đồng phôi với đoạn thẳng nên   K , x0     A 31 Hình 12 B  Xét K đường gấp khúc n cạnh, số đỉnh n+1 nên ta có   K    n  1  n  n    Vậy   K , x0     Hình 13  Xét K đa giác lồi n – cạnh, K đồ thị liên thông đường với số cạnh số đỉnh Ta có  K   n  n  n    Vậy   K , x0    Hình 14  Xét K đường trịn elip Ta có đường trịn elip đồng phơi với tam giác mà nhóm tam giác tương đương đồng luân Hình 15 với nhóm số ngun Z nên   K , x0     K bó gồm m đường trịn, K tương ứng đồng phơi với K’ bó m biên tam giác, số đỉnh K’ 2m+1, số cạnh K’ 3m Ta có:   K   2m   3m   m n     K    1  m   m Vậy   K , x0   Fm Hình 16  Xét K mặt phẳng bỏ điểm, ta chứng minh K co rút biến dạng đường tròn Thật vậy, cho S đường tròn đơn vị  Xét phép biến dạng: 32 F :  R \ 0   I  R \ 0 F  x, t   1  t  x  t x x Ta có F  x,   x F  x,1  Hình 17 x  S1, x F  x, t   x, x  S Vậy S co rút biến dạng mạnh 2 \ 0 Chọn điểm bỏ mặt phẳng trùng với K co rút biến dạng mạnh S Từ suy K S có kiểu đồng luân Vậy   K , x0     Tương tự ta có bó hai đường trịn co rút biến dạng mặt phẳng bỏ điểm, bó có m đường tròn co rút biến dạng mặt phẳng bỏ m điểm nên nhóm mặt phẳng bỏ hai điểm đẳng cấu với nhóm F2 nhóm mặt phẳng bỏ m điểm đẳng cấu với nhóm Fm  Xét K hình biểu diễn chữ số hệ thập phân: - K=0 có hình dạng đường tròn nên   K , x0    Hình 18 - K=1;7;2;3;5   K , x0     Tính tốn cụ thể sau : A A B B B A C C D D C D E 33 E Hình 19 K=1, K đồ thị liên thơng đường cạnh đỉnh Ta có:  K    1 n    Vậy   K , x0     Tương tự với K=7, ta có:   K , x0     K=2, K đồng phơi với đường gấp khúc ABCD nên   K , x0     Tương tự với K=3 K=5, K đồng phôi với đường gấp khúc ABCDE nên   K , x0     - K= 4; 6; ta có   K , x0    Tính tốn cụ thể sau: Hình 20 K=4, K đồ thị liên thơng đường với số cạnh số đỉnh Ta có:  K     n    Vậy   K , x0    K=6, K đồng phơi với đồ thị liên thơng đường gồm đỉnh cạnh nên ta có:  K     n    Vậy   K , x0    K=9, tương tự K=6 ta kết   K , x0   Z - K=8, Ta xem K bó đường trịn nên   K , x0   F2 34 Hình 21  Nhóm chữ in hoa bảng chữ Với cách làm tương tự số ta tính nhóm chữ in hoa sau: - Nhóm chữ C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y, Z đẳng cấu với nhóm tầm thường - Nhóm chữ O, P, Q, A, D đẳng cấu với tập số nguyên Z - Nhóm chữ B tương đẳng cấu với nhóm F2  Nhóm đường thắt nút Đường thắt nút đồng phôi với đồ thị liên thông đường gồm đỉnh cạnh Ta có:  K     Hình 22 n     K     Vậy nhóm đường thắt nút đẳng cấu với nhóm số nguyên Z  Nhóm sợi dây có hình nơ Dây hình nơ đồng phơi với đồ thị liên thông đường gồm đỉnh cạnh Ta có:   K     1 Hình 23 n     K     1  Vậy nhóm sợi dây hình nơ đẳng cấu với nhóm F2 2.4.2 Mệnh đề Cho K khung chiều hình đa diện lồi m mặt,   K , x0   Fm1 35 Chứng minh Gọi đ, c, m số đỉnh , số cạnh , số mặt hình đa diện lồi; Áp dụng cơng thức Euler ta có: đ – c + m = nên  K    m n     K      m   m  Vậy   K , x0   Fm1  Ví dụ - Hình tứ diện có mặt nên nhóm khung hình tứ diện đẳng cấu với F3 - Hình lập phương có mặt nên nhóm khung hình lập phương đẳng cấu với F5 Hình 23 2.4.3 Hệ Các khung chiều hình đa diện lồi có số mặt khác khơng tương đương đồng ln Ta đơn giản cách tính nhóm đồ thị liên thông đường nhờ mệnh đề sau: 2.4.4 Mệnh đề Giả sử K1 đồ thị liên thông đường có   K1   Fn , K cây, K hình dán K vào K1 cách đồng đỉnh K với đỉnh K1 ,   K     K1   Fn Chứng minh.Giả sử K1 đồ thị liên thông đường với K Do K có số đỉnh nhiều số cạnh nên   K     K1  Vậy   K     K1   Fn  Hình 24 36 Tổng qt: Cho đồ thị liên thơng đường K1 có   K1   Fn r , K hình dán r vào K1 cách đồng đỉnh với đỉnh K1 ,   K     K1   Fn Nhận xét Giả sử K1 đồ thị liên thơng đường có   K1   Fn , K cây, K hình dán K vào K1 cách đồng cạnh K với cạnh K1 ,   K     K1   Fn 2.4.5 Mệnh đề Giả sử K1 đồ thị liên thơng đường có   K1   Fn , K khung chiều hình đa diện lồi m mặt, K hình dán K vào K1 cách đồng đỉnh K với đỉnh K1 ,   K   Fnm1 Chứng minh Gọi đ1, đ2 số đỉnh K1 , K c1 , c2 số cạnh K1 , K ta có:   K   ( đ1 + đ2 – ) – ( c1 + c2 ) = ( đ1 – c1 ) + ( đ2 – c2 ) – =   K1  + ( đ2 – c2 ) – ( theo cơng thức tính số Euler ) =   K1  + – m – (theo công thức Euler) =   K1  – m + (*) Do   K1   Fn nên n = –   K1  hay   K1   – n , thay vào (*) ta   K   – n – m Suy ra: –   K   – (2 – n – m ) = n + m – Vậy   K   Fnm1  37 2.4.6 Hệ Giả sử K1 khung chiều hình đa diện lồi m mặt , K khung chiều hình đa diện lồi m’ mặt , K hình dán K vào K1 cách đồng đỉnh K với đỉnh K1 ,   K   Fmm '2 Ví dụ Giả sử K1 , K khung chiều hình tứ diện, K hình dán K vào K1 cách đồng đỉnh K với đỉnh K1 , theo hệ 2.4.5 ta có Hình 25   K , x0   F442  F6 Tổng qt: Cho đồ thị liên thơng đường K1 có   K1   Fn r khung chiều hình đa diện lồi: khung chiều hình đa diện lồi m1 mặt, khung chiều hình đa diện lồi m2 mặt, , khung chiều hình đa diện lồi mr mặt K hình dán r khung hình đa diện vào K1 cách đồng đỉnh khung hình đa diện với đỉnh K1 ,   K   Fnm1 m2  mr r Thay dán đỉnh khung chiều hình đa diện lồi vào đồ thị liên thơng đường ta dán đỉnh đồ thị liên thông phẳng sử dụng công thức Euler đ – c + m = với đ, c, m tương ứng số đỉnh , số cạnh số miền tạo thành đồ thị liên thơng phẳng ta có kết sau: 2.4.7 Mệnh đề Giả sử K1 đồ thị liên thơng đường có   K1   Fn , K đồ thị liên thông phẳng với m số miền liên thông tạo thành, K hình dán K vào K1 cách đồng đỉnh K với đỉnh K1 ,   K   Fn m1 Chứng minh (Tương tự chứng minh mệnh đề 2.4.5) 38 Ví dụ K1 khung chiều hình tứ diện, K tam giác, K hình dán K vào K1 cách đồng Hình 26 đỉnh K với đỉnh K1 ,   K   F321  F4 Tổng quát: Cho đồ thị liên thơng đường K1 có   K1   Fn r đồ thị liên thông phẳng với số miền liên thông tạo thành là: m1, m2, , mr K hình dán r đồ thị vào K1 cách đồng đỉnh đồ thị với đỉnh K1 ,   K   Fnm1 m2  mr r 2.4.8 Mệnh đề Giả sử K1 đồ thị liên thơng đường có   K1   Fn , K khung chiều hình đa diện lồi m mặt, K hình dán K vào K1 cách đồng cạnh K với cạnh K1 ,   K   Fnm1 Chứng minh Gọi đ1, đ2 số đỉnh K1 , K c1 , c2 số cạnh K1 , K ta có   K   ( đ1 + đ2 – ) – ( c1 + c2 – 1) = ( đ1 – c1 ) + ( đ2 – c2 ) – =   K1  + ( đ2 – c2 ) – ( theo cơng thức tính số Euler ) =   K1  + – m – (theo công thức Euler) =   K1  – m + (*) Do   K1   Fn nên n = –   K1  hay   K1   – n , thay vào (*) ta   K   – n – m 39 Suy ra: –   K   – (2 – n – m ) = n + m – Vậy   K   Fnm1  Ví dụ K1 , K khung chiều hình lăng trụ tam giác, K hình dán K vào K1 cách đồng cạnh K với cạnh K1 , theo mệnh đề 2.4.8 ta có   K   Fnm1  F451  F8 Hình 27 Tổng quát: Cho đồ thị liên thơng đường K1 có   K1   Fn r khung chiều hình đa diện lồi: khung chiều hình đa diện lồi m1 mặt, khung chiều hình đa diện lồi m2 mặt, , khung chiều hình đa diện lồi mr mặt K hình dán r khung hình đa diện vào K1 cách đồng cạnh khung hình đa diện với đỉnh K1 ,   K   Fnm1 m2  mr r Thay dán cạnh khung chiều hình đa diện lồi vào đồ thị liên thông đường ta dán cạnh đồ thị liên thông phẳng sử dụng công thức Euler đ – c + m = với đ, c, m tương ứng số đỉnh , số cạnh số miền tạo thành đồ thị liên thơng phẳng ta có kết sau: 2.4.9 Mệnh đề Giả sử K1 đồ thị liên thông đường có   K1   Fn , K đồ thị liên thông phẳng với m số miền liên thơng tạo thành , K hình dán K vào K1 cách đồng cạnh K với cạnh 40 K1 ,   K   Fn m1 Chứng minh (tương tự mệnh đề 2.4.8) Ví dụ K1 khung chiều hình hộp có   K1   Fn , K biên hình Hình 28 chữ nhật, K hình dán K vào K1 cách đồng cạnh K với cạnh K1 ,   K   F521  F6 Tổng quát: Cho đồ thị liên thông đường K1 có   K1   Fn r đồ thị liên thông phẳng với số miền liên thông tạo thành là: m1, m2, , mr K hình dán r đồ thị vào K1 cách đồng cạnh đồ thị với cạnh K1 ,   K   Fnm1 m2  mr r 41 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đạt kết sau: Trình bày số khái niệm tính chất quan hệ đồng luân Xây dựng khái niệm tính chất nhóm khơng gian tơpơ Trình bày cách có hệ thống khái niệm đơn hình, phức đơn hình, đồ thị, đưa ví dụ minh họa Trình bày khái niệm ánh xạ đơn hình, xấp xỉ đơn hình quan hệ tương đương mật tiếp, định lý xấp xỉ đơn hình 2.2.3, 2.2.5, 2.2.9 Xây dựng khái niệm chứng minh chi tiết tính chất tương đương đương cạnh, cụ thể định lý 2.3.5, 2.3.6 Chứng minh chi tiết định lý nhóm đồ thị 2.3.10 Tính nhóm số hình quen thuộc dựa vào định lý nhóm đồ thị đưa số mệnh đề tính nhóm số đồ thị có dạng đặc biệt (các mệnh đề 2.4.4, 2.4.5, 2.4.7, 2.4.8, 2.4.9) Hướng nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu nhóm đồng luân bậc hai phức đơn hình hai chiều Nghiên cứu việc tính nhóm đồ thị có dạng phức tạp 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Duy Bình (2009), Bài giảng tôpô đại số,Trường Đại học Vinh [2] Nguyễn Văn Đồnh - Tạ Mân (2009), Nhập mơn tơpơ đại số, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Hoàng Tụy, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái (1979), Mở đầu số lý thuyết đại tôpô đại số, NXB Đại học THCN Tiếng Anh: [4] E H Spanier (1966), Algebraic Topology, McGraw-Hill [5] A Hatcher (2002), Algebraic Topology, Cambridge University press [6] S.R.Lay (1982), Convex Sets and Their Applications, Wiley - Intersciece [7] I.M.Singer and J.A.Thorpe (1967), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer, New York 43 ... Hàm tử đồng luân bậc Chương NHÓM CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ ………… 12 2.1 Phức đơn hình đồ thị … ……………………… 12 2.2 Ánh xạ đơn hình tương đương mật tiếp ……… 17 2.3 Tương đương cạnh nhóm đồ thị ... ĐẬU THỊ THU HƢỜNG NHÓM CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2016 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Đồng luân 1.2 Nhóm ... dựng nhóm phức đơn hình cuối đưa định lý cơng thức tính nhóm đồ thị liên thơng đường Trong mục 2.4, chúng tơi tiến hành tính tốn nhóm số hình quen thuộc dựa vào định lý cơng thức tính nhóm đồ thị