TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN TỰ LUẬN ÔN THI GIỮA KÌ II LỚP 10 CÓ ĐÁP ÁN

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN TỰ LUẬN ƠN THI GIỮA KÌ II LỚP 10 CĨ ĐÁP ÁN Câu Câu Giải bất phương trình sau a) −3x +  b) x −  c) − x − x − 13  d) x + x +  e) 25 x + 10 x +  f) x + x −  Tìm tập nghiệm bất phương trình sau b) ( x − x − 15 ) ( − x )( − x )  a) ( x − 1)( − x + )( x − 3)  Câu Giải bất phương trình sau: a) −6 x +  ; b) x +  ; c) −3 x +  11 ; d) x + + x − − x +  ; e) x − x −  x + ; f) 3x −  x − x − x2 − 5x + 0 x2 − 5x + a) Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình sau: Câu b) 2x +1 x +  x −2 x −5 Câu a) x +  x − b) x −1  x + c) x + 16  x − d) x − x − 14  x − e) x +  2x + + x + 5x − − x −  x − f) Tìm tập nghiệm bất phương trình sau: a) x − 10 x +  ( ) b) x2 + x − x − x −  ( ) ( ) d) ( x − 5) x +  c) x2 + x + − x2 + x −  ( e) x2 − x + Câu ) x2 − x  f) x − x −  ( x − 3)( x + ) − Cho phương trình mx − ( m − 1) ) + 3m − = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có: Câu Câu a) Hai nghiệm phân biệt b) Hai nghiệm trái dấu c) Hai nghiệm dương d) Hai nghiệm âm Tìm m cho bất phương trình sau nghiệm với x  a) mx − x + 3m +  b) ( m − 1) x + ( m + 1) +  c) ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m −  d) ( m + 4m − ) x − ( m − 1) x −  Tìm m để bất phương trình vô nghiệm a) ( m + 3) x − ( m + 3) x + m +  ; b) ( m − ) x − ( m − ) x + m −  Câu 10 Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số đường thẳng d biết a) Đi qua điểm A ( 4; −3) có véc tơ phương u = ( 6; −1) b) Đi qua điểm B ( −2;5 ) có véc tơ pháp tuyến n = ( −1;7 ) c) Đi qua điểm C ( 3; −5 ) song song với đường thẳng x + y + = d) Đi qua điểm D ( −3; −8 ) vng góc với đường thẳng d ' : 3x + y − = e) Đi qua hai điểm E ( 5; ) F ( 6; −5 )  x = − 2t t Câu 11 Cho đường thẳng d có phương trình tham số   y = −3 + t a) Tìm điểm A thuộc đường thẳng cho A có hồnh độ 11 b) Tìm điểm B thuộc đường thẳng cho B có tung độ c) Tìm điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M tới đường thẳng  : 3x + y − = Câu 12 Cho ba điểm A (1;0 ) , B ( −3; − ) , C ( 0;3) a) Chứng minh A , B , C đỉnh tam giác viết phương trình cạnh  ABC b) Viết phương trình tổng quát, tham số đường cao đỉnh A  ABC c) Xác định tọa độ trực tâm  ABC d) Xác định tâm đường trịn ngoại tiếp bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC Câu 13 Cho hai đường thẳng  : x + y + = 0,  : x − y + = a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng b) Tính cosin góc hai đường thẳng c) Tìm tọa độ N điểm đối xứng điểm M (1; ) qua đường thẳng  Câu 14 Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC trường hợp sau a) Biết A (1; − 1) đường cao BD, CE thuộc đường thẳng  :2 x − y + =  ' : x + y −1 = b) Biết A (1; − 1) đường trung tuyến BM , CN thuộc đường thẳng  :2 x − y + =  ' : x + y − = c) Biết A (1; − 1) đường trung trực AB BC có phương trình x − y + = x + y − = d) Biết A (1; − 1) đường cao BE , trung tuyến CP thuộc đường thẳng  :2 x − y + =  ' : x + y − = Câu 15 Lập phương trình đường thẳng qua điểm M (1; ) , cắt trục hoành A , cắt trục tung B cho OA = 2OB Câu 16 Giải bất phương trình x2 − x −  x − + − x − Câu 17 Giải bất phương trình: Câu 18 Giải bất phương trình x2 + x − + x2 + x −  x2 + x − − − x2  x Câu 19 Cho tam giác ABC có điểm A ( 0;1) , đường phân giác BD CE có phương trình y − = 3x − y + = Viết phương trình đường thẳng BC Câu 20 Cho điểm A ( 3;1) hai đường thẳng d1 : x + y − = , d :2 x − y − = Tìm B  d1 , C  d cho tam giác ABC vuông cân A PHẦN ĐÁP ÁN Câu Giải bất phương trình sau a) −3x +  b) x −  c) − x − x − 13  d) x + x +  e) 25 x + 10 x +  f) x + x −  Lời giải a) Ta có: −3x +   3x   x  4  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =  ; +    b) Ta có: x −   x   x  5  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =  ; +  4  c) Xét dấu f ( x ) = − x − x − 13 Ta có:  = ( −7 ) − ( −1) ( −13) = −3  , hệ số a = −1  nên f ( x )  x  Do bất phương trình vơ nghiệm d) Xét dấu f ( x ) = x + x + Ta có:  = ( 3) − 1.9 = , nên f ( x )  x  −3 f ( x ) = với x = −3 Do tập nghiệm bất phương trình S = \ −3 e) 25 x + 10 x +  Xét dấu f ( x ) = 25 x + 10 x + Ta có  =  phương trình 25 x + 10 x + = có nghiệm kép x = − Bảng xét dấu:  1 Vậy S =  −   5 f) x + x −  x2 + 2x −1 =  x = −1  Ta có bảng xét dấu: ( ) Vậy S = −; −1 −   −1 + 2; +  Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình sau a) ( x − 1)( − x + )( x − 3)  b) ( x − x − 15 ) ( − x )( − x )  Lời giải a) ( x − 1)( − x + )( x − 3)  Đặt f ( x ) = ( x − 1)( − x + )( x − 3) x = Ta có : f ( x ) =  ( x − 1)( − x + )( x − 3) =   x =  x = Bảng xét dấu f ( x ) : Từ bảng xét dấu ta có bất phương trình cho có tập nghiệm S = (1; )  ( 3; +  ) b) ( x − x − 15 ) ( − x )( − x )   ( x + 3)( − x + )( x − )( − x + )  Đặt f ( x ) = ( x + 3)( − x + )( x − )( − x + )  x = −3 x = Ta có : f ( x ) =  ( x + 3)( − x + )( x − )( − x + ) =   x =  x = Bảng xét dấu f ( x ) : Từ bảng xét dấu ta có bất phương trình cho có tập nghiệm S = ( − ; − 3   −4;5  6; +  ) Câu Giải bất phương trình sau: a) −6 x +  ; b) x +  ; c) −3 x +  11 ; d) x + + x − − x +  ; e) x − x −  x + ; f) 3x −  x − x − Lời giải  −6 x +   −6 x  −6 x    a) −6 x +     −6 x +  −3  −6 x  −12 x  Vậy S = ( −;1   2; + )  5 x +  5 x  4 x   b) x +      −2  x  5 x +  −7 5 x  −10  x  −2 4  Vậy S =  −2;  5  −4  −3x +  11 −3x  −4 x   c) −3 x +  11    x    −3x +  −11 −3x  −18  x    Vậy S =  − ;6    d) Xét dấu ( x + 3) ( x − 1) Ta có x + =  x = −3 , x − =  x = Bảng xét dấu: TH1: Khi x  −3 , x + + x − − x +   − ( x + 3) − ( x − 1) − x +   −3x +   x  Suy ra, S1 =  TH2: Khi −3  x  , x + + x − − x +   ( x + 3) − ( x − 1) − x +   − x +   x  Suy ra, S =  TH3: Khi x  , x + + x − − x +   ( x + 3) + ( x − 1) − x +   x +   x  −6 Suy ra, S3 =  Vậy S = S1  S2  S3 =  x   x2 − x +  2x +  x − 3x  e) x − x −  x +      x   x − x +  −2 x −  x + x +   x  Vậy S = ( −;0 3; + ) f) 3x −  x − x −  x  +  3x −  x − x −  x − x −  x  +  x  −      3x −  − x + x + − x − x +   x  −3  x   x  −3  Vậy S = ( −; −3) Câu a) (2 + ) 5; + x2 − 5x + 0 x2 − 5x + b) 2x +1 x +  x −2 x −5 Lời giải a) x2 − 5x + 0 x2 − 5x + Ta có: f ( x ) = x2 − 5x + x2 − 5x +  x =1 ◦ x2 − 5x + =   x = x = ◦ x2 − 5x + =   x = Bảng xét dấu  x4 Dựa vào bảng xét dấu, f ( x )   3  x   x  Vậy S = ( −;1)  ( 2;3)  ( 4; + ) b) 2x +1 x +  x −2 x −5 x2 − x − − x2 + x2 − x −1 2x +1 x + 2x +1 x + 0 0    − 0  x −2 x −5 x −2 x −5 ( x − )( x − 5) ( x − 2)( x − 5) Ta có: f ( x ) = x2 − x −1 ( x − )( x − 5) ◦ x2 − 9x −1 =  x =  85 ◦ x−2 =  x = ◦ x −5 =  x = Bảng xét dấu  − 85 x2  Dựa vào bảng xét dấu f ( x )     + 85 5  x    − 85   + 85  Vậy S =   ;    5;      Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình sau: a) x +  x − b) x −1  x + c) x + 16  x − d) x − x − 14  x − e) x +  2x + + x + f) 5x − − x −  x − Lời giải a) x +  x −  x −    −4  x   −4  x   x +      −4  x   x −  0 x5 x − 5x       x +  ( x − )2  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S =  −4;5 ) b)  x   x −1  x −1  x +     x 1  2   x + x + 10   x −  ( x + 3) Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = 1; + ) 2 x −  x + 16  x −    x + 16  ( x − ) c) x   x  17  x0      x 4 x − 17 x    x  17   17  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S =  ; +  4  d) x − x − 14  x −   x   2 x −        x  −2   x − x − 14         x   x  −2 2x −1        x − x − 14  ( x − 1)2 x    (VN )   3x + x + 15  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = ( −; −2 x +   x  −9   e) Điều kiện: 2 x +    x  −2  x  −1 x +1   x  −1   Với điều kiện trên, bất phương trình cho tương đương với x +  x + + x +  x +  3x + +  − 2x  ( 2x + 4)( x + 1)  − x  ( x + )( x + 1) x2 + x +   x  −1   x  −1    2 x + x +   x  −2    x  −2   −10  x  −2    2 − x   x   x    −1  x     2 ( − x )  x + x +  x + 10 x  −10  x    Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S =  −1;0 )  x−  x −     f) Điều kiện:  x −    x   x  2 x −   x     Với điều kiện trên, bất phương trình cho tương đương với 5x −1 − x −1  x −  5x −1  x −1 + x −  x −  3x − + ( x − 1)( x − )  x +  ( x − 1)( x − ) 2 x − x +    x +  x2 − x +   x +   2 ( x + )  x − x +  x   x     x   x    x  10     x  −2   x  −2   0  x   x − 10 x  0  x  10     Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S =  2;10 ) Câu Tìm tập nghiệm bất phương trình sau: ( a) x − 10 x +  ( ) ( ) ( ) d) ( x − 5) x +  c) x2 + x + − x2 + x −  e) x2 − x + ) b) x2 + x − x − x −  x2 − x  f) x − x −  ( x − 3)( x + ) − Lời giải a) x − 10 x +   ( x − 1)( x − )  Ta có: + x − =  x = 1 + x − =  x = 3 + Bảng xét dấu: Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −3; −1)  (1;3) ( ) ( ) ( ) ( )( ) b) x2 + x − x2 − x −   x2 + x − x2 + x −   x + x − x + x +  Ta có:  −1 + 13 x = 2 + x + x −3 =    −1 − 13 x =  + x + x +  0, x  Câu Tìm m cho bất phương trình sau nghiệm với x  a) mx − x + 3m +  b) ( m − 1) x + ( m + 1) +  c) ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m −  d) ( m + 4m − ) x − ( m − 1) x −  Lời giải a) mx − x + 3m +  (1) Xét TH1: m = ta có bất phương trình (1) trở thành −4 x +   x  ( không thỏa mãn với x , nên loại) Xét TH2 m  ta có bất phương trình (1) với x  m    m  m  m     m 1      = −3m − m +   = − m ( 3m + 1)  m  −   Vậy chọn m  b) ( m − 1) x + ( m + 1) +  ( 2) m =  m = −1 Xét TH1: m2 − =   Với m = ta có bất phương trình ( ) trở thành x +   x  − ( không thỏa mãn với x , nên loại) Với m = −1 ta có bất phương trình ( ) trở thành  ( với x , nên chọn) m  ta có bất phương trình ( ) với x  m  −1 Xét TH2: m −      m  −1   m  −1    m  −1  m −   m   m     2      m  −1  m  2  = ( m + 1) − ( m − 1)  −2m + 2m +    m    m  −1 Vậy kết hợp hai trường hợp ta chọn  m  c) ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m −  ( 3) Xét TH1: m = −1 ta có bất phương trình ( 3) trở thành x −   x  x , nên loại) ( không thỏa mãn với Xét TH2: m  −1 ta có bất phương trình ( 3) với x  m  −1  m  −1 m +       m   m  −2  2   = −2m − 2m +    m  −2  = ( m − 1) − ( m + 1)( 3m − 3)   Vậy chọn m  −2 d) ( m + 4m − ) x − ( m − 1) x −  ( 4) m =  m = −5 Xét TH1: m + 4m − =   Với m = −5 ta có bất phương trình ( ) trở thành 12 x −   x  (không thỏa mãn với x , nên loại) Với m = ta có bất phương trình ( ) trở thành −2  ( với x , nên chọn) m  ta có bất phương trình ( ) với x  m  −5 Xét TH2: m + 4m −     −5  m  −5  m   m + 4m −     −3  m     2  −3  m   m + 2m −    = ( m − 1) + ( m + 4m − )  Vậy kết hợp hai trường hợp ta chọn −3  m  Câu Tìm m để bất phương trình vơ nghiệm a) ( m + 3) x − ( m + 3) x + m +  ; b) ( m − ) x − ( m − ) x + m −  Lời giải a) Bất phương trình : ( m + 3) x − ( m + 3) x + m +  vô nghiệm bất phương trình ( m + 3) x − ( m + 3) x + m +  có nghiệm x    m +  m  −3    2     = ( m + 3) − ( m + 3)( m + 1)    = m + 6m + − ( m + 4m + )  m  −3 m  −3    m    = m +   m  −3 Vậy không tồn giá trị m để bất phương trình cho vơ nghiệm b) Bất phương trình : ( m − ) x − ( m − ) x + m −  vơ nghiệm bất phương trình ( m − ) x − ( m − ) x + m −  có nghiệm x    m −  m    2     = ( m − ) − ( m − )( m − 3)   = m − 4m + − ( m − 5m + )  m  m     m m    = m −  Vậy m  bất phương trình cho vơ nghiệm Câu 10 Viết phương trình tổng qt, phương trình tham số đường thẳng d biết a) Đi qua điểm A ( 4; −3) có véc tơ phương u = ( 6; −1) b) Đi qua điểm B ( −2;5 ) có véc tơ pháp tuyến n = ( −1;7 ) c) Đi qua điểm C ( 3; −5 ) song song với đường thẳng x + y + = d) Đi qua điểm D ( −3; −8 ) vng góc với đường thẳng d ' : 3x + y − = e) Đi qua hai điểm E ( 5; ) F ( 6; −5 ) Lời giải a) Đường thẳng d có véc tơ phương u = ( 6; −1) suy véc tơ pháp tuyến là: n = (1;6 ) + Phương trình tổng quát đường thẳng d là: ( x − ) + ( y + 3) =  x + y + 14 = Vây phương trình tổng quát đường thẳng d là: x + y + 14 =  x = + 6t + Phương trình tham số đường thẳng d là:   y = −3 − t b) Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n = ( −1;7 ) suy véc tơ là: u = ( 7;1) + Phương trình tổng quát đường thẳng d là: −1( x + ) + ( y − ) =  − x + y − 37 = Vây phương trình tổng quát đường thẳng d là: − x + y − 37 =  x = −2 + 7t + Phương trình tham số đường thẳng d là:  y = 5+t c) Đi qua điểm C ( 3; −5 ) song song với đường thẳng x + y + = Vì đường thẳng d qua C ( 3; −5 ) song song với đường thẳng x + y + = Suy d có vec tơ pháp tuyến n = (1; ) có vec tơ phương u = ( 2; −1) Phương trình tổng quát đường thẳng d : x − + ( y + ) =  x + y + =  x = + 2t Phương trình tham số đường thẳng d là:   y = −5 + t d) Đi qua điểm D ( −3; −8 ) vng góc với đường thẳng d ' : 3x + y − = Vì đường thẳng d qua D ( −3; −8 ) vng góc với đường thẳng d ' : 3x + y − = Suy d có vec tơ phương u = ( 3; ) có vec tơ pháp tuyến n = ( 4; −3) Phương trình tổng quát đường thẳng d : ( x + 3) − ( y + ) =  x − y − 12 =  x = −3 + 3t Phương trình tham số đường thẳng d là:   y = −8 + 4t e) Đi qua hai điểm E ( 5; ) F ( 6; −5 ) Vì đường thẳng d qua hai điểm E ( 5; ) F ( 6; −5 ) Suy d có vec tơ phương u = EF = (1; −7 ) có vec tơ pháp tuyến n = ( 7;1) Phương trình tổng quát đường thẳng d : ( x − 5) + y − =  x + y − 37 = x = + t Phương trình tham số đường thẳng d là:   y = − 7t  x = − 2t t Câu 11 Cho đường thẳng d có phương trình tham số   y = −3 + t a) Tìm điểm A thuộc đường thẳng cho A có hồnh độ 11 b) Tìm điểm B thuộc đường thẳng cho B có tung độ c) Tìm điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M tới đường thẳng  : 3x + y − = Lời giải a) Gọi A (1 − 2a; −3 + a )  d có hồnh độ 11, ta có − 2a = 11  2a = −10  a = −5 Vậy: Điểm A (11; −8) b) Gọi B (1 − 2b; −3 + b )  d có tung độ 5, ta có −3 + b =  b = Vậy : Điểm B ( −15;5 ) c) Gọi M (1 − 2m; −3 + m )  d , khoảng cách từ M tới đường thẳng  : 3x + y − = suy ra: (1 − 2m ) + ( −3 + m ) − 32 + 42  2m + 10 = 10 m = =  −2m − 10 = 10     2m + 10 = −10  m = −10 Vậy: Có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M (1; −3) M ( 21; −13) Câu 12 Cho ba điểm A (1;0 ) , B ( −3; − ) , C ( 0;3) a) Chứng minh A , B , C đỉnh tam giác viết phương trình cạnh  ABC b) Viết phương trình tổng quát, tham số đường cao đỉnh A  ABC c) Xác định tọa độ trực tâm  ABC d) Xác định tâm đường trịn ngoại tiếp bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC Lời giải a) Ta có AB = ( −4; − 5) , AC = ( −1;3)  AB  k AC, k  nên điểm A , B , C không thẳng hàng hay A , B , C đỉnh tam giác - Phương trình cạnh AB : x −1 y =  5x − y − = −3 − −5 - Phương trình cạnh AC : x −1 y =  3x + y − = −1 - Phương trình cạnh BC : x+3 y +5 =  8x − y + = 3+5 b) Gọi AH đường cao đỉnh A  ABC - Ta có BC = ( 3;8) vecto pháp tuyến AH Phương trình tổng quát đường cao AH : ( x − 1) + ( y − ) =  3x + y − = - Ta có u = (8; − 3) vecto phương AH  x = + 8t Phương trình tham số đường cao AH :  (t   y = −3t ) c) Gọi K ( a ; b ) trực tâm  ABC - Ta có AK = ( a − 1; b ) , BK = ( a + 3; b + 5) Vì K ( a ; b ) trực tâm  ABC nên 105  a =   3 ( a − 1) + 8b = 3a + 8b =  AK BC =   17     − a + b = − 12 − a + + b + = ) ( )    b = − 33  (  BK AC =  17   105 33  ;−  Vậy K   17 17  d) Gọi I ( x ; y ) tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC 2 ( x − 1)2 + y = ( x + 3)2 + ( y + )2   AI = BI −8 x − 10 y = 33  AI = BI  Ta có       2 2   AI = CI −2 x + y =  AI = CI  ( x − 1) + y = x + ( y − 3) 139   x = − 34   139  ;−  Vậy I  − 34   34 y = −  34 2 14965  139    Bán kính R = AI =  − − 1 +  − −  = 578  34   34  Câu 13 Cho hai đường thẳng  : x + y + = 0,  : x − y + = a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng b) Tính cosin góc hai đường thẳng c) Tìm tọa độ N điểm đối xứng điểm M (1; ) qua đường thẳng  Lời giải a) Gọi A giao điểm   Tọa độ giao điểm A    nghiệm hệ phương trình  2 x + y + = x = −    Vậy A  − ;0     4 x − y + =  y =  b) Đường thẳng  có VTPT n1 = ( 2;1) ,   có VTPT n2 = ( 4; −3) ( ) Vậy cos ( ,  ) = cos n1 , n2 = n1.n2 = n1 n2 2.4 + ( −3) 22 + 12 42 + ( −3) = c) Gọi d đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng  Đường thẳng  có VTPT n1 = ( 2;1) suy VTCP  u1 = (1; −2 ) Vì d ⊥  nên nd = u1 = (1; −2 ) Mà đường thẳng d qua M nên phương trình đường thẳng d ( x − 1) − ( y − ) = Hay d : x − y + = Gọi H giao điểm d  Tọa độ giao điểm H d  nghiệm hệ phương trình x − y + =  x = −1  Suy H ( −1;1)  2 x + y + = y =1 Ta có N điểm đối xứng M qua  nên H trung điểm MN   x = xH − xM = ( −1) − = −3 Khi  N   yN = yH − yM = 2.1 − = Vậy N ( −3;0 ) Câu 14 Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC trường hợp sau a) Biết A (1; − 1) đường cao BD, CE thuộc đường thẳng  :2 x − y + =  ' : x + y −1 = b) Biết A (1; − 1) đường trung tuyến BM , CN thuộc đường thẳng  :2 x − y + =  ' : x + y − = c) Biết A (1; − 1) đường trung trực AB BC có phương trình x − y + = x + y − = d) Biết A (1; − 1) đường cao BE , trung tuyến CP thuộc đường thẳng  :2 x − y + =  ' : x + y − = Lời giải a) Lập phương trình AB Vì AB ⊥ CE  n ' = u AB  u AB = (1;3) Phương trình đường thẳng AB qua A (1; −1) nhận u AB = (1;3) làm vtcp có phương trình x = 1+ t tham số là:  (t   y = −1 + 3t ) *) Lập phương trình AC Vì BD ⊥ AC  n = u AC = ( 2; −1) Phương trình đường thẳng AC qua A (1; −1) nhận u AC = ( 2; −1) làm vtcp có phương trình  x = + 2t tham số là:  (t   y = −1 − t ) *) Tìm tọa độ điểm B Điểm B giao hai đường thẳng BA  Vì B  AB nên tọa độ B có dạng B (1 + t ; − + 3t ) Do B   nên ta có: (1 + t ) − ( −1 + 3t ) + =  + 2t + − 3t + =  −t + =  t =  B ( 5;11) *) Tìm tọa độ điểm C Điểm C giao hai đường thẳng AC  ' Vì C  AC nên tọa độ C có dạng C (1 + 2t ; − − t ) Do B   ' nên ta có: + 2t + ( −1 − t ) − =  + 2t − − 3t − =  −t − =  t = −3  C ( −5; ) *) Lập phương trình BC Ta có BC = ( −10; − ) Phương trình BC qua C ( −5; ) nhận BC = ( −10; − ) làm vtcp có pt tham số  x = −5 − 10t (t    y = − 9t ) b) Tọa độ trọng tâm G ABC nghiệm hệ phương trình  x = −  2 x − y + =  3   G− ;    7 x + y −1 = y =  Gọi B ( xB ; yB ) Vì điểm B thuộc đường trung tuyến BM nên ta có: xB − yB + =  yB = xB +  B ( xB ; xB + 1) Gọi C ( xC ; yC ) Vì điểm C thuộc đường trung tuyến CM nên ta có: xC + yC − =  yC = − xC  − xC  C  xC ; 3     Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có:  + xB + xC xA + xB + xC  0 = x =  G  xB + xC = −1  xB =      − xC    xC = −2 2 xB − xC =  y = y A + yB + yC  −1 + xB + + G  1 = 3   B (1;3) , C ( −2;1) AB = ( 0; )  nAB = ( 4;0 ) AC = ( −3;2 )  nAC = ( 2;3) BC = ( −3; − )  nBC = ( 2; −3) Phương trình AB qua A (1; − 1) nhận nAB = ( 4;0 ) làm vtpt có pttq là: ( x − 1) + ( y + 1) =  x − = Phương trình AC qua A (1; − 1) nhận nAC = ( 2;3) làm vtpt có pttq là: ( x − 1) + ( y + 1) =  x + y + = Phương trình BC qua B (1;3) nhận nBC = ( 2; −3) làm vtpt có pttq là: ( x − 1) − ( y − 3) =  x − y + = c) Phương trình đường trung trực AB  : x − y + =  u AB = n = ( 2; −1) Phương trình đường thẳng AB qua A (1; −1) nhận u AB = ( 2; −1) làm vtcp có phương trình  x = + 2t tham số là:  (t   y = −1 − t ) Gọi M trung điểm AB  M thuộc AB thuộc  Vì M  AB  M (1 + 2t ; − − t ) Vì M   nên ta có: (1 + 2t ) − ( −1 − t ) + =  + 4t + + t + =  5t + = t =−  1  M − ;−   5 11  x = − B   xB = xM − xA  11    B− ;  Vì M trung điểm AB nên ta có:   5  y B = yM − y A y =  B Phương trình đường trung trực BC  ' : x + y − =  uBC = n ' = (1;3)  11  Phương trình đường thẳng BC qua B  − ;  nhận uBC = (1;3) làm vtcp có phương  5 11   x = − + t trình tham số là:  (t   y = + 3t  ) Gọi N trung điểm BC  N thuộc BC thuộc  '  11  Vì N  BC  N  − + t ; + 3t    Vì N  ' nên ta có: − t = 11 11 3  + t +  + 3t  − =  − + t + + 9t − = 5 5   103 51   N − ;  50  50 50  48  xC = −  x = x − x  C   48 36  25 N B   C− ;  Vì N trung điểm BC nên ta có:   25 25   yC = yN − yB  y = 36 C  25  73 61  AC =  − ;   25 25   73 61  Phương trình AC qua điểm A (1; −1) nhận AC =  − ;  làm vtcp có ptts  25 25  73   x = − 25 t (t   61  y = −1 + t  25 ) d) Vì BE ⊥ AC nên u AC = n = ( 2; −1) Phương trình AC qua A (1; −1) nhận u AC = ( 2; −1) làm vtcp có ptts  x = + 2t (t    y = −1 − t ) *) Tìm tọa độ điểm C Điểm C giao hai đường thẳng AC  ' Vì C  AC nên tọa độ C có dạng C (1 + 2t ; − − t ) Do B   ' nên ta có: + 2t + ( −1 − t ) − =  + 2t − − 3t − =  −t − =  t = −3  C ( −5; ) Gọi tọa độ B ( xB ; yB ) Vì B thuộc đường cao BE nên xB − yB + =  yB = xB +  B ( xB ; xB + 1) Vì P trung điểm AB nên ta có x A + xB + xB    xP =  xP =    y = y A + yB  y = −1 + xB + = x P B   P 2 Vì P thuộc đường trung tuyến CP nên ta có xP + yP − =  + xB + 3xB − =  + xB + xB − =  xB =  xB = 1 9  B ;  7 7  16   36  BC =  − ;  , AB =  − ;   7  7  36  Phương trình BC qua điểm C ( 5; ) nhận BC =  − ;  làm vtcp có ptts  7 36   x = − t (t   y = + t  )  16  Phương trình AB qua A (1; −1) nhận AB =  − ;  làm vtcp có ptts  7   x = − t (t    y = −1 + 16 t  ) Câu 15 Lập phương trình đường thẳng qua điểm M (1; ) , cắt trục hoành A , cắt trục tung B cho OA = 2OB Lời giải Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox A ( a ;0 ) , cắt Oy B ( 0; b ) Suy phương trình d : x y + = a b Vì d qua M (1; ) nên + = (1) a b  a = 2b OA = 2OB  a = b    a = −2b Trường hợp 1: a = −2b x y Kết hợp với (1) suy b = ; a = −3 Do phương trình đường thẳng d : + =1 −3 2  d : x − 2y + = Trường hợp 2: a = 2b x y Kết hợp với (1) suy b = ; a = Do phương trình đường thẳng d : + = 5 2  d : x + 2y − = Câu 16 Giải bất phương trình x2 − x −  x − + − x − Lời giải Điều kiện: x  Đặt: a = x2 − 2; b = − x − Ta có: a + b  a + b  x2 − x −  x2 − + − x − x   x   x   Dấu “=” xảy   x −    3 x 7    x  − 2 − x −    x −3  x  Do đó: x − x −  x − + − x −   x  Câu 17 Giải bất phương trình: x2 + x − + x2 + x −  x2 + x − Lời giải  x2 + x −   x  Điều kiện:  x + x −     x  −5  x2 + 4x −   x2 + x − + x2 + x −  x2 + x −  ( x − 1)( x + 2) + ( x − 1)( x + 3)  ( x − 1)( x + 5) (1) Trường hợp 1: x = Suy (1) Trường hợp 2: x  (1)  x + + x +  x +  x + +  x+2 ( x + )( x + 5)  (vơ lý ( x + )( x + 5)  x + x  ) Do bất phương trình cho vơ nghiệm Trường hợp 2: x  −5 (1)  (1 − x )( − x − 2) + (1 − x )( − x − 3)  (1 − x )( − x − 5)   −2 x − + −x − + −x −  −x − ( − x − )( − x − 3)  − x −  x  ( − x − )( − x − 3) (vơ lý x  −5 ) Do bất phương trình cho vơ nghiệm Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = 1 Câu 18 Giải bất phương trình − − x2  x Lời giải  1 − x  −  x   Điều kiện:  x   x  Xét hai trường hợp: ● Trường hợp 1: −  x  Khi đó, ta có:  −  x     1− 1− 4x −  x  −  x  3    1 − 3x  x 13x − x   − x  − 3x  2    1− 4x  (1 − 3x )  (  −  x     x   −  x    x  13  ● Trường hợp 2:  x  Khi đó, ta có: )  1 − 3x    0  x    1    1− 1− 4x 0  x  0  x    0  x   3   x  1 − − x  3x  − x  − 3x    1 − 3x    1 − x  (1 − x )2      x   1  0  x  x    1  x   1     0  x  0 x   0  x    0  x      0  x    x      13  13 x − x        1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  − ;0    0;     2 Câu 19 Cho tam giác ABC có điểm A ( 0;1) , đường phân giác BD CE có phương trình y − = 3x − y + = Viết phương trình đường thẳng BC Lời giải ● Gọi A điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng CE Suy điểm A  BC AA ⊥ CE Khi đó, phương trình đường thẳng AA có dạng: x + y + c = Điểm A ( 0;1)  AA  + + c =  c = −1 Do đó, phương trình đường thẳng AA là: x + y − = Gọi H giao điểm AA CE Suy tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  x=  x − y + =   1 2  hay H  ;   3 3 x + y −1 = y =  Vì điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng CE nên H trung điểm đoạn thẳng  1 A A Suy A  ;   3 ● Gọi F điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng BD Suy điểm F  BC AF ⊥ BD Khi đó, phương trình đường thẳng AF có dạng: x + m = Điểm A ( 0;1)  AF  m = Do đó, phương trình đường thẳng AF là: x = Gọi K giao điểm AF BD Suy tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình: x = x =   3   hay K  0;   5 5 y − =  y = Vì điểm F đối xứng với điểm A qua đường thẳng BD nên K trung điểm đoạn thẳng  1 A F Suy F  0;   5  1  1 ● Viết phương trình đường thẳng BC qua hai điểm A  ;  F  0;   5  3 2  Ta có AF =  − ; −  Chọn uBC = ( 5;1) vectơ phương đường thẳng BC  15  Suy vectơ pháp tuyến đường thẳng BC là: nBC = (1; − 5) 1  Phương trình đường thẳng BC là: ( x − ) −  y −  =  x − y + = 5  Câu 20 Cho điểm A ( 3;1) hai đường thẳng d1 : x + y − = , d :2 x − y − = Tìm B  d1 , C  d cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải Vì B  d1 , C  d nên B ( − 2b; b ) ; C ( c; 2c − ) Ta có AB = ( −1 − 2b; b − 1) ; AC = ( c − 3; 2c − 3) Theo u cầu tốn, ta có: ABC vng cân A ( −1 − 2b )( c − 3) + ( b − 1)( 2c − 3) =  AB AC =    2 2  AB = AC  ( −1 − 2b ) + ( b − 1) = ( c − 3) + ( 2c − 3)  b − c + =  2 2  ( −1 − 2b ) + ( b − 1) = ( c − 3) + ( 2c − 3)  c = b + c = b +  c = b+  2 2   b = b − − b + b − = b + − + b + − ( ) ( ) ( ) ( )    Vậy tập hợp điểm B ( − 2b; b )  d1 ; C ( c; 2c − )  d với c = b + 2, c  tam giác ABC vuông cân A tạo thành ... khoảng cách từ M tới đường thẳng  : 3x + y − = suy ra: (1 − 2m ) + ( −3 + m ) − 32 + 42  2m + 10 = 10 m = =  −2m − 10 = 10     2m + 10 = ? ?10  m = ? ?10 Vậy: Có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán. .. x   x    x  10     x  −2   x  −2   0  x   x − 10 x  0  x  10     Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S =  2 ;10 ) Câu Tìm tập nghiệm bất phương...  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S =  −4;5 ) b)  x   x −1  x −1  x +     x 1  2   x + x + 10   x −  ( x + 3) Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = 1; + ) 2