Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 47 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
47
Dung lượng
2,74 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU § SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a b ab bc ca ab a b c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a b a b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 2 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c + d = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A x 4x 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) 15 b) c) 23 19 27 d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 17 và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 21 5 2x x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 2 1 1 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1998 Hãy so sánh S 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ 21 Cho S 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y 2 y x x y2 x y b) 0 x y x y a) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x y4 x y2 x y c) 2 x y x y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh : 3 y x y x x y2 z x y z 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : x y x y x 6x 17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d 2 bc cd d a a b 39 Chứng minh 2x x x 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 § HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x G 3x B x 4x C x 2x D 1 x2 5x x x 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? E x 2x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M x 4x x 6x c) Giải phương trình : 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81 43 Giải phương trình : 2x 8x x 4x 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A x2 x E B 1 3x G 2x x 45 Giải phương trình : C 2 9x x x x 4 D x 5x H x 2x x 2 x 3x 0 x 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x 1 b) 13 n+1 n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a b= c) n 2 n 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 1 50 Tính : a) 4 b) 51 Rút gọn biểu thức : M 6x 9x (3x 1) 11 d) A m 8m 16 m 8m 16 3 c) 27 10 e) B n n n n (n ≥ 1) 41 45 41 45 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y) (y 2) (x y z) 0 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 25x 20x 25x 30x 54 Giải phương trình sau : a) x x d) x b) x x x 0 x 2x 1 e) x 4x x 0 h) x 2x x 6x 1 c) x x x x 0 g) x x i) x x x 25 k) x x x x 1 l) 8x 3x 7x 2x x y2 2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 30 b) m m m m c) 57 Chứng minh 2 58 Rút gọn biểu thức : 2 2 2 d) 227 30 123 22 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU a) C 62 6 3 6 6 3 b) D 9 59 So sánh : a) 20 1+ b) 17 12 1 c) 28 16 60 Cho biểu thức : A x x 4x a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) c) 11 10 11 52 62 10 b) 14 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1 2 a b c a b c x 16x 60 x 64 Tìm x cho : x x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A 67 Cho biểu thức : A x x 2x x x 2x x 2x x x 2x x x 2x b) B 16 x x 8x 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 71 Trong hai số : n n n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( 5)( 5)( 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 5)( 5) 3 75 Hãy so sánh hai số : a 3 b=2 ; 76 So sánh 4 4 77 Rút gọn biểu thức : Q 7 ; 2 3 1 2 số 4 2 3 78 Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x y y x 1 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A x x 81 Tìm giá trị lớn : M a b với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N 18 84 Cho x y z xy yz zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : a b 2 2(a b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (x 2) 8x x x a 2 2 Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a 1 ab b 88 Rút gọn : a) A b 90 Tính : A a b B b) hai cách 5 6,9 b) 2 2 92 Tính : P 2 2 91 So sánh : a) 13 12 7 93 Giải phương trình : x 2x x 2x 2 1.3.5 (2n 1) 94 Chứng minh ta ln có : Pn ; n Z+ 2.4.6 2n 2n a2 b2 a b b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= x 4(x 1) x 4(x 1) x x 4(x 1) a b b a : a b (a, b > ; a ≠ b) ab a b 14 a a a a 15 b) c) : 1 1 a (a > 0) 1 a 1 a 1 1 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 98 Tính : a) 5 3 29 20 ; b) 13 48 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU c) 28 16 48 99 So sánh : a) 15 b) 15 12 16 c) 18 19 d) 25 48 100 Cho đẳng thức : a a2 b a a b (a, b > a2 – b > 0) 2 a b Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2 2 2 2 2 10 30 2 10 2 : 3 2 ; b) 17 12 32 17 12 2 31 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A b) B xy x y 1 2 xy x y a bx a bx a bx a bx 102 Cho biểu thức P(x) 1 a 1 2 với x a , y b với x 1 b (a > ; b > 1) 2am , m 1 b m2 2x x 3x 4x a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A x 2 x x 24 x 4 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) x b) x x (x 0) e) 3x c) x g) 2x 2x 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) x 10 10 a b a i) 2x x 3 2x , ba cách ? 48 10 c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) x 2x h) 105 Rút gọn biểu thức : A x 2x d) x b a a2 b b) 94 42 94 42 b a a2 b a a2 b a b 2 108 Rút gọn biểu thức : A x 2x x 2x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 109 Tìm x y cho : xy x y 2 b d 110 Chứng minh bất đẳng thức : a b2 c2 d 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a b c bc ca a b a c 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a b c 3,5 113 CM : a c2 b2 c2 b) a a b b c c a d b d (a b)(c d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A x x 115 Tìm giá trị nhỏ : A (x a)(x b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + x 118 Giải phương trình : x 1 119 Giải phương trình : x x x x 2 5x 3x 120 Giải phương trình : 3x 21x 18 x 7x 2 121 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : ; 2 123 Chứng minh x x 2 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a b b c b(a c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a b) a b a b b a với a, b ≥ a b c 128 Chứng minh với a, b, c > bc a c a b 127 Chứng minh 129 Cho x y y x 1 Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A x x x x 131 Tìm GTNN, GTLN A x x 132 Tìm giá trị nhỏ A x x 2x 133 Tìm giá trị nhỏ A x 4x 12 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A 2x x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn x 2x b) A x 99 101 x a b 1 (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137 Tìm GTNN A xy yz zx với x, y, z > , x + y + z = z x y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 138 Tìm GTNN A x2 y2 z2 biết x, y, z > , x y yz zx 139 Tìm giá trị lớn : a) A b) B a b a c a b a d xy yz zx 1 với a, b > , a + b ≤ b c b d c d với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A b c với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ cd a b 142 Giải phương trình sau : a) x 5x 3x 12 0 d) x x 2 b) x 4x 8 x e) x x x 1 h) x x x x 1 k) 3x 1 g) x 2x x 2x i) x x x 1 x2 x x l) 2x 8x x 2x m) x x x n) x x 10 x x x 1 x 3x 4 o) x x c) 4x p) 2x x 2x 2x x 1 x q) 2x 9x 2x 2x 21x 11 § BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI 143 Rút gọn biểu thức : A 2 3 144 Chứng minh rằng, n Z+ , ta ln có : 145 Trục thức mẫu : a) 1 18 20 2 1 n 1 n b) x x 1 146 Tính : a) 5 3 29 20 147 Cho a 148 Cho b 3 2 17 12 b) 13 48 10 32 17 12 c) 5 3 29 12 Chứng minh a số tự nhiên b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) c) x x 4 x 0 x x 3 x 5 x x b) 2 x 2 1 x 3 d) x x 5 150 Tính giá trị biểu thức : M 12 29 25 21 12 29 25 21 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 1 1 1 2 3 n 1 n 1 1 152 Cho biểu thức : P 2 3 4 2n 2n 151 Rút gọn : A a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1 1 100 99 99 100 1 n 154 Chứng minh : n 155 Cho a 17 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a a a a (a ≥ 3) 157 Chứng minh : x x (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S x y , biết x + y = 153 Tính : A 159 Tính giá trị biểu thức sau với a 2a 2a : A 2a 2a 160 Chứng minh đẳng thức sau : 10 15 2 10 8 d) a) 15 c) b) 48 2 1 e) 17 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5 5 10 5 5 1 c) 0, 1,01 1 1 2 3 2 3 3 d) 3 2 6 2 2 a) 27 48 e) h) 2 3 b) 21 5 2 1,9 3 3 g) i) 17 12 3 2 0,8 n n Từ suy ra: n 1 2004 2005 1006009 2 3 b) 163 Trục thức mẫu : a) 4 2 3 3 y= 164 Cho x Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3 3 162 Chứng minh : n n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 2002 2003 2002 2003 2003 2002 x 3xy y 166 Tính giá trị biểu thức : A với x 3 y 3 x y2 6x 3 x x 167 Giải phương trình : x 1 x b) 10x 14 1 c) 2 2x 4 168 Giải bất pt : a) 3 5x 72 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A c) C 3 29 12 x x2 2x x 1 E 1 2 3 b) B a a(a 1) a d) D a1 a x 5x x x 3x x (x 2) x 24 25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A x2 171 Tìm giá trị nhỏ A với < x < 1 x x 172 Tìm GTLN : a) A x y biết x + y = ; b) B y x x y 173 Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ? b) B x 2x 174 Tìm GTNN, GTLN : a) A 52 6 x 175 Tìm giá trị lớn 176 Tìm giá trị lớn 177 Tìm GTNN, GTLN 178 Tìm GTNN, GTLN 179 Giải phương trình : A x x A = | x – y | biết x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A x x y y biết x y 1 x x 3x (x 2) x 3 x § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 180 Giải phương trình : x 2x 4x 2x 1 1 2 (n 1) n 1 1 182 Cho A Hãy so sánh A 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 183 Cho số x, y x y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n Z+ , ta có : 184 Cho a 3 ; b 2 CMR : a, b số hữu tỉ 3 ... 1999.1 183 Cho số x, y x y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n Z+ , ta có : 184 Cho a 3 ; b 2 CMR : a, b số hữu tỉ 3 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU... 3x 120 Giải phương trình : 3x 21x 18 x 7x 2 121 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : ; 2 123 Chứng minh x x 2 124 ... : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x y4 x y2 x y c) 2 x y x y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số