1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tài liệu Tuyển tập các bài toán số học bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 pptx

47 1,1K 6

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 47
Dung lượng 2,74 MB

Nội dung

CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU § SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a b  ab bc ca ab   a  b  c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 2 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c + d = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  x  4x  17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a)  15 b) c) 23  19 27 d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 17   và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  21 5  2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 2 1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  1998 Hãy so sánh S 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ 21 Cho S  23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y  2 y x  x y2   x y  b)        0 x   y x y a) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  x y4   x y2   x y  c)            2 x  y x   y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m  với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ?  x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh :   3    y x  y x x y2 z x y z 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh :      y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh :  x    y   x  y  x  6x  17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A    với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d    2 bc cd d a a b 39 Chứng minh  2x   x   x   38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 § HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  G  3x   B x  4x  C x 2x  D 1 x2  5x   x  x  42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? E x   2x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M  x  4x   x  6x  c) Giải phương trình : 4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 43 Giải phương trình : 2x  8x  x  4x  12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  E B 1  3x G 2x   x 45 Giải phương trình : C 2   9x x  x x 4 D x  5x  H  x  2x    x 2 x  3x 0 x 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x 1 b)  13  n+1  n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a   b= c) n 2  n  49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 1  50 Tính : a) 4 b) 51 Rút gọn biểu thức : M   6x  9x  (3x  1) 11  d) A  m  8m  16  m  8m  16 3 c) 27  10 e) B  n  n   n  n  (n ≥ 1) 41 45  41  45  41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x  y)  (y  2)  (x  y  z) 0 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  25x  20x   25x  30x  54 Giải phương trình sau : a) x  x   d) x  b) x   x x  0 x  2x  1 e) x  4x   x  0 h) x  2x   x  6x  1 c) x  x  x  x  0 g) x   x   i) x    x x  25 k) x   x   x   x  1 l) 8x   3x   7x   2x  x  y2 2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13  30   b) m  m   m  m  c)        57 Chứng minh 2  58 Rút gọn biểu thức :  2 2 2 d) 227  30  123  22 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU a) C  62   6 3  6  6 3  b) D  9  59 So sánh : a)  20 1+ b) 17  12 1 c) 28  16  60 Cho biểu thức : A  x  x  4x  a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) c) 11  10  11   52  62   10 b)  14 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1  2    a b c a b c x  16x  60  x  64 Tìm x cho : x   x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  67 Cho biểu thức : A  x  x  2x x x  2x  x 2x  x x  2x x  x  2x b) B  16  x  x  8x  2x  a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 71 Trong hai số : n  n  n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A     Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (   5)(   5)(  74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ;  5)(   5) 3 75 Hãy so sánh hai số : a 3  b=2  ; 76 So sánh 4  4 77 Rút gọn biểu thức : Q  7 ; 2 3  1 2 số    4 2 3 78 Cho P  14  40  56  140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x  y  y  x 1 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A   x   x  81 Tìm giá trị lớn : M  a b  với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh :  a b  2 2(a  b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (x  2)  8x x x a 2 2 Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a 1 ab  b 88 Rút gọn : a) A   b 90 Tính : A     a b B b) hai cách 5 6,9 b) 2 2  92 Tính : P   2  2 91 So sánh : a) 13  12 7 93 Giải phương trình : x   2x   x   2x  2 1.3.5 (2n  1)  94 Chứng minh ta ln có : Pn  ; n  Z+ 2.4.6 2n 2n  a2 b2 a b  b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= x 4(x  1)  x  4(x  1)      x    x  4(x  1) a b b a : a  b (a, b > ; a ≠ b) ab a b  14   a  a  a  a  15   b)    c)   :  1   1  a (a > 0) 1   a 1   a  1  1  97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 98 Tính : a) 5 3 29  20 ; b)   13  48 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  c)    28  16   48  99 So sánh : a)  15 b)  15 12  16 c) 18  19 d) 25  48  100 Cho đẳng thức : a  a2  b a  a  b (a, b > a2 – b > 0)  2 a b  Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2  2  2 2 2 10  30  2  10  2 : 3 2 ; b) 17  12  32 17  12 2 31 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A  b) B  xy  x  y  1 2 xy  x  y  a  bx  a  bx a  bx  a  bx 102 Cho biểu thức P(x)  1 a 1 2 với x   a   , y   b  với x  1  b (a > ; b > 1) 2am , m 1 b   m2  2x  x  3x  4x  a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A x 2 x   x 24 x  4   x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a)  x b) x  x (x  0) e)   3x c)   x g) 2x  2x  106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) x  10    10  a b  a  i) 2x  x 3 2x  , ba cách ?  48  10  c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a)  x  2x  h)  105 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   d) x   b  a  a2  b  b) 94  42  94  42 b a  a2  b a  a2  b a b   2 108 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 109 Tìm x y cho : xy  x  y  2   b  d 110 Chứng minh bất đẳng thức : a  b2  c2  d  111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a b c    bc ca a b  a  c 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a   b   c   3,5 113 CM : a  c2   b2  c2   b) a a b  b c  c a   d   b  d  (a  b)(c  d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A x  x 115 Tìm giá trị nhỏ : A  (x  a)(x  b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x +  x 118 Giải phương trình : x 1 119 Giải phương trình : x  x   x  x  2 5x   3x  120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x  2 121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14 4  2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ :  ; 2 123 Chứng minh x    x 2 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a  b b  c b(a  c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a  b)(c  d)  ac  bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a  b) a  b  a b  b a với a, b ≥ a b c 128 Chứng minh    với a, b, c > bc a c a b 127 Chứng minh 129 Cho x  y  y  x 1 Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A  x  x   x  x  131 Tìm GTNN, GTLN A   x   x 132 Tìm giá trị nhỏ A  x   x  2x  133 Tìm giá trị nhỏ A   x  4x  12  134 Tìm GTNN, GTLN : a) A 2x   x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn  x  2x   b) A x 99  101  x a b  1 (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137 Tìm GTNN A   xy yz zx   với x, y, z > , x + y + z = z x y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 138 Tìm GTNN A  x2 y2 z2   biết x, y, z > , x y yz zx  139 Tìm giá trị lớn : a) A   b) B  a b   a c   a b a d  xy  yz  zx 1 với a, b > , a + b ≤   b c   b d   c d  với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A  b c  với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ cd a b 142 Giải phương trình sau : a) x  5x  3x 12 0 d) x   x  2 b) x  4x 8 x  e) x  x   x  1 h) x   x   x   x  1 k)  3x  1 g) x  2x   x  2x   i) x  x   x 1 x2  x  x  l) 2x  8x   x  2x  m) x  x  x  n) x   x  10  x   x   x  1  x  3x   4  o) x   x   c) 4x   p) 2x   x   2x   2x x  1  x  q) 2x  9x   2x   2x  21x  11 § BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI  143 Rút gọn biểu thức : A  2  3  144 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta ln có :  145 Trục thức mẫu : a) 1  18   20  2 1     n 1  n b) x  x 1   146 Tính : a) 5 3 29  20 147 Cho a   148 Cho b    3 2 17  12  b)   13  48  10  32 17  12 c) 5 3 29  12  Chứng minh a số tự nhiên b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) c)    x  x 4   x 0  x   x  3 x  5 x  x  b) 2    x 2   1 x  3 d) x  x  5 150 Tính giá trị biểu thức : M  12  29  25  21  12  29  25  21 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 1 1     1 2 3 n 1 n 1 1     152 Cho biểu thức : P  2 3 4 2n  2n  151 Rút gọn : A  a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1     1   100 99  99 100 1     n 154 Chứng minh :  n 155 Cho a  17  Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a  a   a   a  (a ≥ 3) 157 Chứng minh : x  x   (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S  x   y  , biết x + y = 153 Tính : A  159 Tính giá trị biểu thức sau với a   2a  2a : A    2a   2a 160 Chứng minh đẳng thức sau :   10    15 2    10   8 d) a)  15 c)  b)    48  2    1   e) 17     161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5 5   10  5 5   1   c)     0,  1,01     1  1     2 3 2 3 3  d)    3    2 6  2 2  a) 27   48 e) h) 2  3 b) 21 5 2      1,9  3  3 g) i) 17  12   3   2  0,8  n  n  Từ suy ra: n 1 2004       2005 1006009 2 3 b) 163 Trục thức mẫu : a)    4 2  3 3 y= 164 Cho x  Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3 3 162 Chứng minh : n   n  CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 2002 2003   2002  2003 2003 2002 x  3xy  y 166 Tính giá trị biểu thức : A  với x 3  y 3  x y2 6x  3  x  x 167 Giải phương trình : x  1 x b) 10x  14 1 c)  2  2x 4 168 Giải bất pt : a) 3  5x  72 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A   c) C  3 29  12 x   x2  2x   x  1 E     1 2 3 b) B   a  a(a  1)  a d) D  a1 a x  5x   x  x 3x  x  (x  2)  x 24  25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A    x2  171 Tìm giá trị nhỏ A  với < x < 1 x x 172 Tìm GTLN : a) A  x   y  biết x + y = ; b) B  y x  x y 173 Cho a  1997  1996 ; b  1998  1997 So sánh a với b, số lớn ? b) B   x  2x  174 Tìm GTNN, GTLN : a) A  52 6 x 175 Tìm giá trị lớn 176 Tìm giá trị lớn 177 Tìm GTNN, GTLN 178 Tìm GTNN, GTLN 179 Giải phương trình : A x  x A = | x – y | biết x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A x x  y y biết x  y 1  x  x  3x   (x  2) x 3 x § RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 180 Giải phương trình : x  2x    4x  2x 1 1      2 (n  1) n 1 1     182 Cho A  Hãy so sánh A 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 183 Cho số x, y x  y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n  Z+ , ta có : 184 Cho a  3  ; b   2   CMR : a, b số hữu tỉ 3 ... 1999.1 183 Cho số x, y x  y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n  Z+ , ta có : 184 Cho a  3  ; b   2   CMR : a, b số hữu tỉ 3 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU... 3x  120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x  2 121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14 4  2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ :  ; 2 123 Chứng minh x    x 2 124 ... : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  x y4   x y2   x y  c)            2 x  y x   y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m  với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số

Ngày đăng: 23/12/2013, 08:17

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w