Tuyển tập các bài toán số học bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào chuyên toán lớp 6

Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com MỤC LỤC NỘI DUNG Trang A – Mở đầu B – Nội dung Phần I: Tóm tắt lý thuyết Phần II: Các phương pháp giải toán chia hết Phương pháp sử dụng dấu hiệu chia hết Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp sử dụng xét tập hợp số dư phép chia Phương pháp sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử 10 Phương pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng 11 Phương pháp quy nạp toán học 13 Phương pháp sử dụng đồng dư thức 14 Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet 16 Phương pháp phản chứng 18 Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập chun đề tốn PHẦN I: TĨM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho số nguyên a b b  ta ln tìm hai số ngun q r cho: a = bq + r Với  r   b Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b xẩy  b số dư r  {0; 1; 2; …;  b} Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a  b  Có số nguyên q cho a = bq II CÁC TÍNH CHẤT Với  a   a  a Nếu a  b b  c  a  c Với  a    a Nếu a, b > a  b ; b  a  a = b Nếu a  b c  ac  b Nếu a  b  (a)  (b) Với  a  a  (1) Nếu a  b c  b  a  c  b Nếu a  b cb  a  c  b 10 Nếu a + b  c a  c  b  c 11 Nếu a  b n >  an  b n 12 Nếu ac  b (a, b) =1  c  b 13 Nếu a  b, c  b m, n am + cn  b 14 Nếu a  b c  d  ac  bd 15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = a n a n  a a Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125  N   a0   a0{0; 2; 4; 6; 8}  N   a0   a0{0; 5}  N  (hoặc 25)  a1 a0  (hoặc 25)  N  (hoặc 125)  a2 a1 a0  (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho + N  (hoặc 9)  a0+a1+…+an  (hoặc 9) Một số dấu hiệu khác  N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11  N  101  [( a1 a0 + a5 a4 +…) - ( a3 a2 + a7 a6 +…)]101  N  (hoặc 13)  [( a2 a1 a0 + a8a7 a6 +…) - [( a5a4 a3 + a11a10a9 +…) 11 (hoặc 13)  N  37  ( a2 a1 a0 + a5 a4 a3 +…)  37  N  19  ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0)  19 IV ĐỒNG DƯ THỨC a Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Ký hiệu: a  b (modun) Vậy: a  b (modun)  a - b  m b Các tính chất Với  a  a  a (modun) Nếu a  b (modun)  b  a (modun) Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun) Nếu a  b (modun) c  d (modun)  a+c  b+d (modun) Nếu a  b (modun) c  d (modun)  ac  bd (modun) Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) (d, m) =1 Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com a b  (modun) d d Nếu a  b (modun), d > d  Uc (a, b, m)   a b m  (modun ) d d d V MỘT SỐ ĐỊNH LÝ Định lý Euler Nếu m số nguyên dương (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m, (a, m) = Thì a(m)  (modun) Cơng thức tính (m) Phân tích m thừa số nguyên tố m = p 11 p22 … pkk với pi  p; i  N* Thì (m) = m(1 - 1 )(1 ) … (1 ) p1` p2 pk Định lý Fermat Nếu t số nguyên tố a khơng chia hết cho p ap-1  (modp) Định lý Wilson Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! +  (modp) Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Ví dụ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b  45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b  45  a56b  Xét a56b   b  {0 ; 5} Nếu b = ta có số a56b   a + + +   a + 11  a=7 Nếu b = ta có số a56b   a + + +   a + 16  a=2 Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Giải Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư  5a - a   4a  mà (4 ; 9) =  a  (Đpcm) Ví dụ 3: CMR số 111111      81 81 sè Giải Ta thấy: 111111111  Có 111111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1)     81 sè Mà tổng 1072 + 10 63 + … + 109 + có tổng chữ số  Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com  1072 + 10 63 + … + 109 +  Vậy: 111111      81 (Đpcm) 81 sè BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y  b 2x78  17 Bài 2: Cho số N = dcba CMR a N   (a + 2b)  b N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẵn c N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao? Bài 6: Chứng tỏ số 11 22 11  22     100 sè tích số tự nhiên liên tiếp 100 sè HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a x = y = x= y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17  x = Bài 2: a N4  ab 4  10b + a4  8b + (2b + a) 4  a + 2b4 b N16  1000d + 100c + 10b + a16  (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16  a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵn c Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mà (1000, 29) =1 dbca 29 Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com  (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2  b {0; 2; 4; 6; 8} Thay vào (1) a = 3; b = Bài 4: Có 1980 = 2.32.5.11 Vì chữ số tận a 80   A Tổng số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Có 279 + 279 = 558   A  279 - 279 =  11  A  11 Bài 5: Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp  có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ  tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 Bài 6: Có 11 22 = 11 100 11  22 11   02         100 sè Mà 100 sè 99 sè 100 = 33   02    34   99 sè  100 sè 99 sè 11 22 = 33 33 11  22  33  34         100 sè 100 sè 100sè (Đpcm) 99 sè Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n CMR: Gọi n số nguyên liên tiếp m + 1; m + 2; … m + n với m  Z, n  N* Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta tập hợp số dư là: {0; 1; 2; … n - 1} * Nếu tồn số dư 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1, n m+in * Nếu không tồn số dư  khơng có số ngun dãy chia hết cho n  phải có số dư trùng Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com  m  i  nqi  r  m  j  qjn  r  i; j  n Giả sử:   i - j = n(qi - q j)  n  i - j  n mà i - j< n  i - j =  i = j m+i=m+j Vậy n số có số số chia hết cho n… Ví dụ 1: CMR: a Tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn  Số chẵn chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích số ngun liên tiếp ln chia hết tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho  Tích số chia hết cho mà (1; 3) = Vậy tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải Gọi số nguyên liên tiếp là: n - , n , n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1)  (CM Ví dụ 1)  3(n - 1)n (n + 1)  9 ( n  1)  mà  18 n   A  (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  84 với  n chẵn, n4 Giải Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com Với k  nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  Mà (k - 2) (k - 1)k  ; (3,8)=1  (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  24  16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16,24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với  n chẵn, n  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1)  b n5 - 5n3 + 4n  120 Với  n  N Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 Với  n  Z Bài 3: CMR: Với  n lẻ a n2 + 4n +  b n3 + 3n2 - n -  48 c n12 - n8 - n4 +  512 Bài 4: Với p số nguyên tố p > CMR: p2 -  24 Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)  b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2)  120 Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3)  24 Bài 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3)  b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com = (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k  N) = 8k(k + 1) (k +2)  48 c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Với n = 2k +  n2 + n4 + số chẵn  (n2 + 1)2  n4 +   n12 - n8 - n4 +  (24.22 22 21) Vậy n12 - n8 - n4 +  512 Bài 4: Có p - = (p - 1) (p + 1) p số nguyên tố p >  p  ta có: (p - 1) (p + 1)  p = 3k + p = 3k + (k  N)  (p - 1) (p + 1)  Vậy p -  24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 có số chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Có tổng chữ số là: s; s + … ; s + 26 Có số chia hết cho 27 (ĐPCM) * Chú ý: n + 899  n + 999 + 899 < n + 1989  Các số (2) nằm dãy (1) Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Ví dụ 1: CMR: Với  n  N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho Giải Ta thấy thừa số n 7n + số chẵn Với  n  N  A(n)  Ta chứng minh A(n)  Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com Lấy n chia cho ta n = 3k + (k  N) Với r  {0; 1; 2} Với r =  n = 3k  n   A(n)  Với r =  n = 3k +  2n + = 6k +   A(n)  Với r =  n = 3k +  7n + = 21k + 15   A(n)   A(n)  với  n mà (2, 3) = Vậy A(n)  với  n  N Ví dụ 2: CMR: Nếu n  A(n) = 2n + 3n +  13 Với  n  N Giải Vì n   n = 3k + r (k  N); r  {1; 2; 3}  A(n) = 2(3k + r) + 33k+r + = 32r(3 6k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + ta thấy 6k - = (3 3)2k - = (33 - 1)M = 26M  13 33k - = (33 - 1)N = 26N  13 với r =  32n + n + = 32 + +1 = 13  13  32n + n +  13 với r =  32n + n + = 34 + + = 91  13  32n + n + Vậy với n  A(n) = 32n + 3n +  13 Với  n  N Ví dụ 3: Tìm tất số tự nhiên n để 2n -  Giải Lấy n chia cho ta có n = 3k + (k  N); r  {0; 1; 2} Với r =  n = 3k ta có 2n - = 3k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M  với r =1  n = 3k + ta có: 2n - = 8k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mà 23k -   n - chia cho dư với r =  n = 3k + ta có : 2n - = 3k + - = 4(23k - 1) + Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com mà 23k -   n - chia cho dư Vậy 3k -   n = 3k (k  N) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4)  Với  n  Z Bài 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a51 + a52 + … + a5n Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 n2 -  24 Với  n  Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n +  Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn  55 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: + A(n)  + Lấy n chia cho  n = 5q + r r  {0; 1; 2; 3; 4} r =  n   A(n)  r = 1,  n2 +   A(n)  r = 2;  n2 +   A(n)   A(n)   A(n)  30 Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i -  30 đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1  n = 6k + (k  N) Với r  {1} r = 1 n2 -  24 Bài 4: Xét n = 3k + r (k  N) Với r  {0; 1; 2} Ta có: 22n + 2n + = 2r(26k - 1) + 2r(2 3k - 1) + 22n + 2n + Làm tương tự VD3 Bài 5: Có 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m   mn  Khi m  (m, 5) =  m4 -  Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chun đề tốn http://baigiangtoanhoc.com (Vì m5 - m   (m4 - 1)   m4 -  5)  n2   n  Vậy mn  Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Giả sử chứng minh an k Ta phân tích an chứa thừa số k phân tích thành thừa số mà thừa số chia hết cho thừa số k Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n  35 Với  n  N Giải 6n 6n n n 6 Ta có - = (3 ) - (2 ) = (3 - )M = (3 + 23) (33 - 3)M = 35.19M  35 Vậy 36n - 26n  35 Với  n  N Ví dụ 2: CMR: Với  n số tự nhiên chăn biểu thức A = 20 n + 16n - 3n -  232 Giải Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chứng minh A  17 A  19 ta có A = (20 n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M  17M 16 n - = (16 + 1)M = 17N  17 (n chẵn)  A  17 (1) ta có: A = (20n - 1) + (16 n - n) có 20n - = (20 - 1)p = 19p  19 có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 (n chẵn)  A  19 (2) Từ (1) (2)  A  232 Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n -  (n - 1)2 Với  n >1 Giải n Với n =  n - n + n - = (n - 1)2 = (2 - 1)2 = Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com  nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M  (n - 1)2 Vậy A  (n - 1)2 (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2  b mn(m4 - n4)  30 Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63  72 với n chẵn n  N, n  Bài 3: Cho a b số phương lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1)  192 Bài 4: CMR: Với p số nguyên tố p > p4 -  240 Bài 5: Cho số nguyên dương a, b, c thoả mãn a2 = b + c2 CMR: abc  60 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ 2n +1 2n +2 2n Bài 1: a +2 = 3.3 + 2.2 n n = 3.9 + 4.2 = 3(7 + 2)n + 4.2 n n = 7M + 7.2n  b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1)  30 Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = n = 2k (k  N) có n + 63 = 32k + 63 = (3 2k - 1) + 64  A(n)  Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k  N) Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1)  64 Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com Nếu a, b, c không chia hết cho  a2, b2 c2 chia hết cho dư  a2  b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M  Nếu a, b, c không chia hết cho  a2, b2 c2 chia dư  b + c2 chia dư 2;  a2  b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M  Nếu a, b, c số lẻ  b2 c2 chia hết cho dư  b2 + c2  (mod 4)  a2  b + c2 Do số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn Nếu C số chẵn  M  Nếu C số lẻ mà a2 = b + c2  a số lẻ b  a  c  a  c   b2 = (a - c) (a + b)        2     b chẵn  b   m  Vậy M = abc  3.4.5 = 60 Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A(n)  k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n  với  n  z Giải 3 Ta có n + 11n = n - n + 12n = n(n - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp  n(n + 1) (n - 1)  12n  Vậy n3 + 11n  Ví dụ 2: Cho a, b  z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b)  11 CMR: (16a +17b) (17a +16b)  121 Giải Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b)  11 Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com 16a  17b11   (1) 17a  16b11 Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b)  11 (2) 16a  17b11 Từ (1) (2)   17a  16b11 Vậy (16a +17b) (17a +16b)  121 Ví dụ 3: Tìm n  N cho P = (n + 5)(n + 6)  6n Giải Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n  6n nên để P  6n  n2 - n + 30  6n n2 - n  n(n - 1)  (1)    30  6n 30  n (2) Từ (1)  n = 3k n = 3k + (k  N) Từ (2)  n  {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2)  n  {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay giá trị n vào P ta có n  {1; 3; 10; 30} thoả mãn Vậy n  {1; 3; 10; 15; 30} P = (n + 5)(n + 6)  6n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 +  23 Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24  24 Bài 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1  59 b 2n + 14  Bài 4: Tìm n  N cho n3 - 8n2 + 2n  n2 + HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ 3 3 3 Bài 1: + + + = (1 + ) + (33 + 53) = 8m + 8N  Bài 2: 36 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ  n(3n + 5)   ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5 n + 2n+1 = n(25 + 26) + 2n+1 = n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m  59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15  Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n +  (n2 + 1)  n +  n2 + Nếu n + =  n = -8 (thoả mãn) Nếu n +   n + 8 n2 + n   -n 1 Víi n  8 n  n   Víi n  8    n   n  Víi n  8  n  n   Víi n  8    n  {-2; 0; 2} thử lại Vậy n  {-8; 0; 2} Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC Giả sử CM A(n)  P với n  a (1) Bước 1: Ta CM (1) với n = a tức CM A(n)  P Bước 2: Giả sử (1) với n = k tức CM A(k)  P với k  a Ta CM (1) với n = k + tức phải CM A(k+1)  P Bước 3: Kết luận A(n)  P với n  a Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16 n - 15n -  225 với  n  N* Giải Với n =  A(n) = 225  225 n = Giả sử n = k  nghĩa A(k) = 16 k - 15k -  225 Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) -  225 Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com = 16.16 k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225 mà A(k)  225 (giả thiết quy nạp) 225m 225 Vậy A(n)  225 n Ví dụ 2: CMR: với  n  N* n số tự nhiên lẻ ta có m  1 n  Giải Với n =  m2 - = (m + 1)(m - 1)  (vì m + 1; m - số chẵn liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 8) k Giả sử với n = k ta có m2 k 1 m  1 k  ta phải chứng minh  1 k  k k Thật k2 m  1 k   m   q (q  z ) k  m  k  2.q  có m2 k 1     2 1  m2 = k k2  q    k  4.q  k  3.q k  ( k 1 q  q )  k  n Vậy m  1 n  với  n  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27  29 với  n  Bài 2: CMR: 42n+2 -  15 Bài 3: CMR số thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dương HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Tương tự ví dụ Bài 2: Tương tự ví dụ Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com Bài 3: Ta cần CM a a .a  n sè a  3n (1)  1 1a 3 Với n = ta có a a a Giả sử (1) với n = k tức aa  a  k  3k sèa Ta chứng minh (1) với n = k + tức phải chứng minh aaa  k 1  3k+1 ta có 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3 k sè a k   Có a a a  a a a a a a  a a a k 1 sè a  3k k 3k  a a a 3k 3k 3k  k  aa a 102.3 103 1 3k1   3k Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC Giải toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222  Giải Có 2222  - (mod 7)  22225555 + 55552222  (- 4)5555 + 45555 (mod 7) Lại có: (- 4)5555 + 2222 = - 45555 + 42222  = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 4    Vì = 64  (mod 7)  1111 Vậy 22225555 + 55552222  24 n1 n1  33 1111  522 với  n  N Giải Theo định lý Fermat ta có: 310  (mod 11) 210  (mod 11) Ta tìm dư phép chia 24n+1 34n+1 cho 10 Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380  1   (mod 7)  22225555 + 55552222  (mod 7) Ví dụ 2: CMR:  a a  Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com Có 24n+1 = 2.16n  (mod 10)  24n+1 = 10q + (q  N) Có 34n+1 = 3.81n  (mod 10)  34n+1 = 10k + (k  N) 32 Ta có: n 1 n 1  33   310q2  210k 3 = 32.3 10q + 3.2 10k +  1+0+1 (mod 2)  (mod 2) mà (2, 11) = Vậy 24 n 1  5 22 với  n  N 34 n 1 3 n 1 22 Ví dụ 3: CMR:  11 với n  N Giải Ta có:  (mod)  2 4n+1  (mod 10) = 10q + (q  N) n1  4n+1 22  210q2 Theo định lý Fermat ta có: 10  (mod 11)  210q  (mod 11) 22 n1   210q2   4+7 (mod 11)  (mod 11) n 1 Vậy 22  11 với n  N (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ n 2 Bài 1: CMR 22  319 với n  N Bài 2: CMR với  n  ta có 52n-1 2n-15n+1 + n+1 22n-1  38 Bài 3: Cho số p > 3, p  (P) CMR p - p -  42p Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n  N) chia hết cho p HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Làm tương tự VD3 Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập chuyên đề toán Bài 2: Ta thấy 52n-1 2n-15n+1 + n+1 22n-1  Mặt khác 52n-1 2n-15n+1 + n+1 22n-1 = n(52n-1.10 + 6n-1) Vì 25  (mod 19)  n-1  6n-1 (mod 19)  25n-1.10 + 6n-1  n-1.19 (mod 19)  (mod 19) Bài 3: Đặt A = p - p - (p lẻ) Dễ dàng CM A  A   A  Nếu p =  A = 37 - -  49  A  7p Nếu p   (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có: A = (3 p - 3) - (2p - 2)  p Đặt p = 3q + r (q  N; r = 1, 2)  A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = r.27q - r.8 q - = 7k + r(-1)q - r - (k  N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ)  A = 7k - - - = 7k - 14 Vậy A  mà A  p, (p, 7) =  A  7p Mà (7, 6) = 1; A   A  42p Bài 4: Nếu P =  2 - =  Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1  (mod p)  m(p-1)  (mod p) (m  N) Xét A = m(p-1) + m - mp A  p  m = kq - Như p >  p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k  N chia hết cho p Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET Nguyên lý: Nếu đem n + thỏ nhốt vào n lồng có lồng chứa từ trở lên Ví dụ 1: CMR: Trong n + số nguyên có số có hiệu chia hết cho n Giải Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com Lấy n + số nguyên cho chia cho n n + số dư nhận số sau: 0; 1; 2; …; n  có số dư có số dư chia cho n Giả sử = nq1 + r 0r j; q, k  N  aj - aj = 1993(q - k) 1  00  9 3( q  k )     i - j 99 sè i sè 1  1  9 3( q  k )   j i - j 19 sè Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com mà (10j, 1993) = 111      11  1993 (ĐPCM) 1994 sè Bài 3: Xét dãy số gồm 17 số nguyên a1, a2, …, a17 Chia số cho ta 17 số dư phải có số dư thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} Nếu 17 số có số chia cho có số dư tổng chúng chia hết cho Nếu 17 số số có số dư chia cho  tồn số có số dư khác  tổng số dư là: + + + + = 10  10 Vậy tổng số chia hết cho Bài 4: Xét dãy số a1 = 1993, a2 = 19931993, … a1994 = 1993       1993 1994 sè 1993 đem chia cho 1994  có 1994 số dư thuộc tập {1; 2; …; 1993} theo ngun lý Đirichlet có số hạng có số dư Giả sử: = 1993 … 1993 (i số 1993) aj = 1993 … 1993 (j số 1993)  aj - aj  1994  i < j  1994 1993  1993 10   ni 1993 j - i sè 1993 Phương pháp 9: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Để CM A(n)  p (hoặc A(n)  p ) + Giả sử: A(n)  p (hoặc A(n)  p ) + CM giả sử sai + Kết luận: A(n)  p (hoặc A(n)  p ) Ví dụ 1: CMR n2 + 3n +  121 với  n  N Giả sử tồn n  N cho n2 + 3n +  121  4n2 + 12n + 20  121 (vì (n, 121) = 1) Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 Tuyển tập chuyên đề toán http://baigiangtoanhoc.com  (2n + 3)2 + 11  121 (1)  (2n + 3)2  11 Vì 11 số nguyên tố  2n +  11  (2n + 3)2  121 (2) Từ (1) (2)  11  121 vô lý Vậy n2 + 3n +  121 Ví dụ 2: CMR n2 -  n với  n  N* Giải Xét tập hợp số tự nhiên N * Giả sử  n  1, n  N* cho n2 -  n Gọi d ước số chung nhỏ khác n  d  (p) theo định lý Format ta có 2d-1  (mod d)  m < d ta chứng minh m\n Giả sử n = mq + r (0  r < m) Theo giả sử n2 -  n  nmq+r -  n  r(nmq - 1) + (2r - 1)  n  r -  d r < m mà m  N, m nhỏ khác có tính chất (1)  r =  m\n mà m < d có tính chất (1) nên điều giả sử sai Vậy n2 -  n với  n  N* BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Có tồn n  N cho n + n +  49 không? Bài 2: CMR: n2 + n +  với  n  N* Bài 3: CMR: 4n2 - 4n + 18  289 với  n  N HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Giả sử tồn n  N để n + n +  49  4n2 + 4n +  49  (2n + 1)2 +  49 (1)  (2n + 1)2  Vì số nguyên tố  2n +   (2n + 1)2  49 (2) Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập chuyên đề toán Từ (1); (2)   49 vô lý Bài 2: Giả sử tồn n2 + n +  với  n  (n + 2)(n - 1) +  (1) n   số nguyên tố    (n + 2)(n - 1)  (2) n  13 Từ (1) (2)   vô lý Bài 3: Giả sử  n  N để 4n2 - 4n + 18  289  (2n - 1)2 + 17  172  (2n - 1)  17 17 số nguyên tố  (2n - 1)  17  (2n - 1)2  289  17  289 vô lý Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net Hotline: 0989189380 ... ta có số a56b   a + + +   a + 11  a=7 Nếu b = ta có số a56b   a + + +   a + 16  a=2 Vậy: a = b = ta có số 7 560 a = b = ta có số 2 560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với...  16 với b chẵn c N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021…7980 Hỏi số. .. Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp  có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ  tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia