Đề cương hình học 11 chương 2

HÌNH HỌC 11 ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG II TỰ LUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I Đại cương đường thẳng mặt phẳng Các tính chất thừa nhận: a) Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước b) Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hang cho trước c) Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng d) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng e) Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng II Hai đường thẳng song song Trong không gian qua điểm nằm ngồi đường thẳng, có đường thẳng song song với đường thẳng Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng qui đôi song song Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với III Đường thẳng mặt phẳng song song Gr: 2005 học toán 11 Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng  P  song song với đường thẳng  P  a song song với  P  Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  mặt phẳng  Q  chứa a mà cắt mặt phẳng  P  cắt theo giao tuyến song song với a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng IV Hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung Nếu mặt phẳng  P  chứa hai đường thẳng a b cắt song song với mặt phẳng  Q   P   Q  song song với Qua điểm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  Q  có mặt phẳng  P  chứa a song song với  Q  Nếu hai mặt phẳng  P   Q  song song với mặt phẳng  R  cắt  P  phải cắt  Q  giao tuyến chúng song song Định lí Ta – Lét: Ba mặt phẳng đơi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lí Ta – Lét đảo: Giả sử hai đường thẳng chéo a a lấy A , B , C A , B  , C  cho AB BC CA   Khi ba đường thẳng AA , BB , CC nằm AC  BC  C A ba mặt phẳng song song, tức chúng song song với mặt phẳng V Các cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng xác định biết điều kiện sau đây: Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Mặt phẳng qua đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng Mặt phẳng qua hai đường thẳng Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song VI Trọng tâm tứ diện Ba đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối diện tứ diện đồng qui trung điểm G đoạn Điểm G gọi tâm tứ diện VII Định lí Mê – nê – la - uýt Nếu đường thẳng d cắt đường thẳng AB , AC , BC ABC A , B  , C  AB BC C A   1 AC BA C B CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Gr: 2005 học toán 11 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Tìm giao tuyến đường thẳng mặt phẳng Xác định thiết diện Chứng minh điểm thẳng hàng; điểm, đường thẳng đồng qui Các toán chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song; đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song Các có nội dung tính tốn Các có yếu tố chuyển động a Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định b Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng cố định c Chứng minh đường thẳng thuộc mặt phẳng cố định d Tìm tập hợp giao điểm HỆ THỐNG BÀI TẬP §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 1: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Bài 11/50 SGK Cho hình bình hành ABCD nằm mặt phẳng  P  điểm S nằm  P  Gọi M điểm nằm S A ; N điểm nằm S B ; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm mặt phẳng  CMN  với đường thẳng SO b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   CMN  Bài Cho điểm không đồng phẳng A , B , C , D Gọi M , N trung điểm AC , BC E điểm BD thỏa mãn ED  EB a) Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng  MNE  b) Xác định giao tuyến mặt phẳng  MNE  với mặt phẳng  ACD  ,  ABD  Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AD BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MBC   NDA  b) Cho I , J hai điểm nằm hai đoạn thẳng AB AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MBC   IJD  Bài Cho hình chóp tam giác S ABC điểm M thuộc miền tam giác SBC Gọi E F tương ứng hai điểm thuộc cạnh AB AC cho EF không song song với BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MEF   SBC  b) Lấy N điểm thuộc miền tam giác SAC cho NF cắt đoạn SA H Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MNF   SAB  Bài Cho hình chóp SABCD có đáy tứ giác ABCD cho AB  CD  E AC  BD  F Gr: 2005 học toán 11 a) Xác định giao tuyến mặt phẳng  SAB   SCD  ;  SAC   SBD  b) Xác định giao tuyến mặt phẳng  SEF  mp  SAD  ;  SBC  Bài Cho hình chóp S ABCD Trong SBC lấy điểm M , SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm MN với mặt phẳng  SAC  b) Tìm giao điểm SC với mặt phẳng  AMN  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm SB , SD E điểm thuộc cạnh SC cho SE  EC Xác định giao tuyến mặt phẳng  MNE  với mặt phẳng  SAC  ,  SAB  ,  SAD   ABCD  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD , M điểm thuộc mặt bên  SCD  a) Xác định giao tuyến mặt phẳng  SAM  với mặt phẳng  SBC  b) N điểm thuộc cạnh AB Tìm giao điểm SB với mặt phẳng  DMN  Dạng 2: Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Bài 15/51 SGK Cho hình chóp tứ giác S ABCD Ba điểm A , B , C  nằm ba cạnh SA , SB , SC không trùng với S , A , B , C Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  ABC   Bài 16/ 51 SGK Cho hình chóp S ABCD Gọi M điểm nằm tam giác SCD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SBM   SAC  b) Tìm giao điểm đường thẳng BM mp  SAC  c) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp  ABM  Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi I trung điểm AD , J điểm đối xứng với D qua C ; K điểm đối xứng với D qua B a) Xác định thiết diện hình tứ diện cắt mặt phẳng  IJK  b) Tính diện tích thiết diện tính câu a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E trung điểm SB , G trọng tâm tam giác SAD Xác định thiết diện hình chóp S ABCD với: a) Mặt phẳng  CEG  b) Mặt phẳng  AEG  Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Bài 4/ 50 SGK Gr: 2005 học toán 11 Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  cắt theo giao tuyến  Trên  P  cho đường thẳng a Q cho đường thẳng b Chứng minh a b cắt giao điểm phải nằm  Bài 5/ 50 SGK Cho mặt phẳng  P  ba điểm không thẳng hàng A , B , C nằm mặt phẳng  P  Chứng minh ba đường thẳng AB , BC , CA cắt mp  P  giao điểm thẳng hàng Bài 9/ 50 SGK Cho ba đường thẳng a , b , c không nằm mặt phẳng cho chúng đôi cắt Chứng minh chúng đồng quy Bài 10 Cho hình chóp tam giác S ABC Lấy điểm M , N , E thuộc cạnh SA, SB AC cho MN cắt AB P , ME cắt SC Q Chứng minh ba đường BC , EP, NQ đồng quy Bài 11 Cho hình chóp S ABCD Trên hai cạnh AD , SB lấy hai điểm M , N a) Tìm giao điểm E , F MN , DN với  SAC  b) Gọi giao điểm AD BC P giao điểm PN SC Q Chứng minh bốn điểm A , E , F , Q thẳng hàng Dạng 4: Các toán có yếu tố chuyển động Bài 10/ 50 SGK Cho hai đường thẳng a b cắt điểm O đường thẳng c cắt mp  a , b  điểm I khác O Gọi M điểm di động c khác I Chứng minh giao tuyến mặt phẳng  M , a  ,  M , b  nằm mặt phẳng cố định Bài 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N hai điểm cố định AB , AC MN không song song với BC Mặt phẳng   quay quanh MN cắt cạnh BD , CD E F a) Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định b) Chứng minh giao điểm ME NF thuộc đường thẳng cố định Bài 13 Cho hình chóp S ABCD với AB CD không song song M điểm chuyển động cạnh SA N giao điểm SB mặt phẳng  CDM  Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 14 Cho hình chóp S ABCD Gọi I , J hai điểm cố định SA SC với SI  IA , SJ  JC Một mặt phẳng   quay quanh IJ cắt SB M , cắt SD N a) Chứng minh IJ , MN SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) b) AD cắt BC E , IN cắt MJ F Chứng minh ba điểm S , E , F thẳng hàng Gr: 2005 học toán 11 c) IN cắt AD P , MJ cắt BC Q Chứng minh PQ qua điểm cố định   Bài 15 quay quanh IJ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi E điểm thuộc đoạn OC ( E không trùng với O C ) M thuộc đoạn SA ( M không trùng với S A ) a) Xác định giao tuyến mặt phẳng  MDE  mặt phẳng  SAB  b) Tìm giao điểm N SB  MDE  c) Chứng minh SO, ME , DN đồng quy Bài 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành O tâm đáy M , N trung điểm SA, SC Gọi  P  mặt phẳng qua M , N , B a) Xác định giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  SAB  ,  SBC  b) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng  P  giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng  P  c) Xác định giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  SAD  ,  SCD  d) Tìm giao điểm E , F cùa đường thẳng AD, CD với mặt phẳng  P  chứng minh điểm E, B, F thẳng hàng Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thang  AB / / CD , AB  CD  Gọi I , J trung điểm SA, SB ; M điểm SD a) Tìm giao điểm K IM mặt phẳng ( SBC ) b) Tìm giao điểm N SC với mặt phẳng ( M IJ) c) Gọi H giao điểm IN JM Chứng minh H thuộc đường thẳng cố định M chuyển động SD Bài 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang  AB / / C D , AB  C D  Gọi I , J trung điểm cạnh SB SC a Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SBC  b Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng  A IJ  c Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  AIJ  Bài 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD , M trung điểm cạnh bên SA N điểm thuộc cạnh bên SC ( N không trung điểm SC ) a) Xác định giao tuyến  ABN   CDM  b) Tìm giao điểm MN với  SBD  c) Gọi P điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện hình chóp cắt  MNP  Gr: 2005 học toán 11 Bài 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P trung điểm BC , CD , SO a) Xác định giao tuyến  MNP  với mặt phẳng  SAB  ,  SAD  ,  SBC   SCD  b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng  MNP  c) Tính tỉ số đoạn thẳng chia đỉnh thiết diện cạnh hình chóp S ACBD Bài 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành; M điểm thuộc cạnh SD thỏa mãn SM  SD a) Tìm giao điểm BM với mặt phẳng  SAC  b) N điểm thay đổi cạnh BC Xác định giao tuyến  AMN   SBC  Chứng minh giao tuyến qua điểm cố định c) G trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chóp cắt mp  MNG  PHẦN ĐÁP ÁN §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 1: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Bài 11/50 SGK Cho hình bình hành ABCD nằm mặt phẳng  P  điểm S nằm  P  Gọi M điểm nằm S A ; N điểm nằm S B ; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm mặt phẳng  CMN  với đường thẳng SO b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   CMN  Lời giải a) Tìm SO   CMN  Gr: 2005 học toán 11 S M K I D A N O B C  I  SO Trong  SAC  , gọi I  SO  CM Ta có   I  CM   CMN  Vậy I  SO   CMN  b) Tìm  SAD    CMN  TH1: NI , SD cắt Trong  SBD  , gọi K  NI  SD  M  SA   SAD    M   CMN  Ta có   K  SD   SAD   K  NI  CMN    Vậy  SAD    CMN   MK TH2: NI , SD song song S N M I A K H O B Ta có: Gr: 2005 học tốn 11 C D  M   CMN    SAD    NI / / SD   NI   CMN   SD   SAD     CMN    SAD   MK / / SD / / NI  K  AD  Bài Cho điểm không đồng phẳng A , B , C , D Gọi M , N trung điểm AC , BC E điểm BD thỏa mãn ED  EB a) Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng  MNE  b) Xác định giao tuyến mặt phẳng  MNE  với mặt phẳng  ACD  ,  ABD  Lời giải a) Trong mặt phẳng  BCD  gọi F  NE  CD  F  NE   MNE   F  CD   MNE    F  CD Trong mặt phẳng  ACD  gọi G  MF  AD G  MF   MNE   G  AD   MNE    G  AD  M  AC   ACD  b) Ta có:   M   ACD    MNE   M   MNE   F  CD   ACD   F   ACD    MNE    F  NE   MNE  Từ 1    MF   ACD    MNE  Gr: 2005 học toán 11  2 1  E  BD   ABD  Ta có:   E   ABD    MNE   E   MNE   G  AD   ABD   G   ABD    MNE   G  MF   MNE   3  4 Từ  3    GE   ABD    MNE  Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AD BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MBC   NDA  b) Cho I , J hai điểm nằm hai đoạn thẳng AB AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MBC   IJD  Lời giải  M   MBC  a) Ta có   M   MBC    NDA  (1)  M  AD   NDA   N   NDA  Và   N   MBC    NDA  (2)  N  BC   MBC  Từ (1) (2) suy  MBC    NAD   MN b) Trong mặt phẳng  ABD  gọi H  MB  ID  H  MB   MBC  Ta có   H   MBC    IJD  (3)  H  ID   IJD  Trong mặt phẳng  ACD  gọi K  MC  JD  K  MC   MBC  Ta có   K   MBC    IJD  (4)  K  JD   IJD  Từ (3) (4) suy  MBC    IJD   HK Gr: 2005 học tốn 11 a) *) Tìm E  MN   SAC  Chọn  SMB   MN Trong  ABCD  gọi I  AC  MB Trong  SMB  gọi E  SI  MN  E  MN   SAC  *) Tìm F  DN   SAC  Chọn  SBD   DN Trong  ABCD  gọi K  AC  BD Trong  SBD  gọi F  SK  DN  F  DN   SAC  b) Xét  SAC   ANP  có A   SAC    ANP  1 Ta có E  MN   SAC   E   SAC    ANP    F  DN   SAC   F   SAC    ANP  Q  PN  SC  Q   SAC    ANP   3  4 Từ 1 ,   ,  3 ,   ta suy bốn điểm A, E , F , Q thẳng hàng Dạng 4: Các tốn có yếu tố chuyển động Bài 10/ 50 SGK Cho hai đường thẳng a b cắt điểm O đường thẳng c cắt mp  a , b  điểm I khác O Gọi M điểm di động c khác I Chứng minh giao tuyến mặt phẳng  M , a  ,  M , b  nằm mặt phẳng cố định Lời giải Gr: 2005 học toán 11 O  a , a   M , a  O  b , b   M , b    M , a    M , b   MO Do    M   M , a   M   M , b   M  c , c   O , c  Mà   MO   O, c  O   O , c  Do hai đường thẳng a b cắt điểm O , nên điểm O cố định , đường thẳng c cố định , suy  O , c  mp cố định Vậy giao tuyến mặt phẳng  M , a  ,  M , b  đường thẳng MO nằm mặt phẳng  O , c  cố định Bài 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N hai điểm cố định AB , AC MN không song song với BC Mặt phẳng   quay quanh MN cắt cạnh BD , CD E F a) Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định b) Chứng minh giao điểm ME NF thuộc đường thẳng cố định Lời giải a) Trong mặt phẳng  ABC  , gọi K  MN  BC nên K cố định K điểm chung mặt phẳng   mặt phẳng  BCD  Mặt khác  BCD      EF nên K  EF Vậy đường thẳng EF qua điểm cố định K Gr: 2005 học toán 11 b) Trong mặt phẳng   , gọi I  ME  NF  I  ME , ME   ABD  Do   I điểm chung mặt phẳng  ACD   ABD   I  NF , NF   ACD  Mặt khác  ACD    ABD   AD nên I  AD cố định Vậy giao điểm I ME NF thuộc đường thẳng cố định AD Bài 13 Cho hình chóp S ABCD với AB CD không song song M điểm chuyển động cạnh SA N giao điểm SB mặt phẳng  CDM  Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải Do AB CD không song song nên kéo dài chúng cắt điểm cố định E Trong mặt phẳng  SAB  , gọi N  SB  ME Khi đó: N  SB   CDM  Như ta có điểm M , N , E thẳng hàng, hay đường thẳng MN qua điểm cố định E Bài 14 Cho hình chóp S ABCD Gọi I , J hai điểm cố định SA SC với SI  IA , SJ  JC Một mặt phẳng   quay quanh IJ cắt SB M , cắt SD N a) Chứng minh IJ , MN SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) b) AD cắt BC E , IN cắt MJ F Chứng minh ba điểm S , E , F thẳng hàng c) IN cắt AD P , MJ cắt BC Q Chứng minh PQ qua điểm cố định   quay quanh IJ Lời giải Gr: 2005 học toán 11 a) Trong mặt phẳng  SAC  , gọi H  IJ  SO     SBD   MN      SAC   IJ Ta có:   SBD    SAC   SO  IJ  SO  H   Ba đường thẳng IJ , MN SO đồng qui H b) Ta có:  E  AD   SAD   E   SAD    SBC    E  BC   SBC  1  F  IN   SAD   F   SAD    SBC    F  MJ   SBC   2  S   SAD   S   SAD    SBC    S   SBC   3 Từ 1 ,     suy ba điểm S , E , F thẳng hàng c) Trong mặt phẳng  SAC  , gọi K  IJ  AC Ta có:  K  IJ     K      ABCD    K  AC   ABCD  Gr: 2005 học toán 11  4 Q  MJ     Q      ABCD   Q  BC   ABCD   5  P  IN     P      ABCD    P  AD   ABCD  6 Từ   ,     suy ba điểm K , Q , P thẳng hàng, hay đường thẳng PQ qua điểm cố định K   quay quanh IJ Bài tập tổng hợp Bài 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi E điểm thuộc đoạn OC ( E không trùng với O C ) M thuộc đoạn SA ( M không trùng với S A ) a) Xác định giao tuyến mặt phẳng  MDE  mặt phẳng  SAB  b) Tìm giao điểm N SB  MDE  c) Chứng minh SO, ME , DN đồng quy Lời giải S M N I A D O B K E C H a) Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi H  DE  AB  H  DE  H   MDE  Khi ta có:    H   MDE    SAB  1  H  AB  H   SAB  Lại có M   MDE    SAB    Từ 1 ,   ta có MH   MDE    SAB  Gr: 2005 học toán 11 b) Trong mặt phẳng  SAB  , gọi N  SB  MH  N  SB Khi ta có   N  SB   MDE   N  MH   MDE  c) Xét ba mặt phẳng  SAC  ,  SBD  ,  MDE  ta có:  SAC    SBD   SO    SBD    MDE   DN   SO, DN , ME  MDE    SAC   ME  đồng quy đôi song song Mà mặt  SBD  DN , SO ln cắt điểm I Vậy ba đường SO , DN , ME đồng quy I Bài 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành O tâm đáy M , N trung điểm SA, SC Gọi  P  mặt phẳng qua M , N , B a) Xác định giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  SAB  ,  SBC  b) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng  P  giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng  P  c) Xác định giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  SAD  ,  SCD  d) Tìm giao điểm E , F cùa đường thẳng AD, CD với mặt phẳng  P  chứng minh điểm E, B, F thẳng hàng Lời giải S K M I N A E D O B C F a) Ta có mặt phẳng  P  mặt phẳng Gr: 2005 học toán 11  BMN   B   P    SAB   BM   P    SAB  Ta có :   M   P    SAB   B   P    SBC  Ta có :   BN   P    SBC   N   P    SBC  b) Trong  SAC  có : I  SO  MN  I  SO  I  SO   P  Suy   I  MN   P  Trong  SBD  có : K  SD  BI  K  SD  K  SD   P  Suy   K  BI   P   M   P    SAD   MK   P    SAD  c) Ta có :   K   P    SAD   N   P    SCD  Ta có :   NK   P    SCD   K   P    SCD  d) Trong  SAD  có : E  AD  MK  E  AD  E  AD   P   E   ABCD    P  Suy   E  MK   P  Trong  SCD  có : F  CD  NK  F  CD  F  CD   P   F   ABCD    P  Suy   F  NK   P  Mặt khác B   ABCD    P  Suy E, F , B thuộc giao tuyến mặt phẳng  ABCD   P  Vậy E, F , B thẳng hàng Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thang  AB / / CD , AB  CD  Gọi I , J trung điểm SA, SB ; M điểm SD a) Tìm giao điểm K IM mặt phẳng ( SBC ) b) Tìm giao điểm N SC với mặt phẳng ( M IJ) c) Gọi H giao điểm IN JM Chứng minh H thuộc đường thẳng cố định M chuyển động SD Lời giải a) Gr: 2005 học toán 11 Ta có: IM  ( SAD ) Xét ( SAD ) ( SBC ) Có S chung Trong ( ABCD ) : E  AD  BC  E  AD, AD  ( SAD )  E  ( SAD)  ( SBC )   E  BC , BC  ( SBC )  ( SAD)  ( SBC )  SE Trong ( SAD ) : K  IM  SE  K  IM   K  SE , SE  ( SBC )  K  ( SBC )  K  IM  ( SBC ) b) Trong ( SBC ) : N  SC  KJ  N  SC   N  KJ , KJ  ( MIJ)  N  ( MIJ)  N  SC  ( MIJ) c) Trong ( ABCD ) : O  AC  BD  ( SAC )  ( SBD )  SO (1) Trong ( MNJI ) : H  IN  JM  H  IN , IN  ( SAC )  H  (SAC )  ( SBD) (2)   H  MJ , MJ  ( SBD) Từ (1), (2)  H  SO , SO cố định Vậy M chuyển động SD H chuyển động SO cố định Bài 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang  A B / / C D , AB  C D  Gọi I , J trung điểm cạnh SB SC d Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  SA D   SBC  e Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng  AIJ  f Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  AIJ  Lời giải Gr: 2005 học toán 11 S I J K H B A C D E a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SB C  S điểm chung thứ hai mặt phẳng  SAD   SB C  Trong mặt phẳng  A B C D  có AD BC không song song nên gọi E  AD  BC  E  AD  E   SAD  Ta có  suy E điểm chung thứ hai hai mặt phẳng  SA D   E  BC  E   SBC   SB C  Vậy SE   SA D    S BC  b)Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng  AIJ   H  SE  H   SAD   AH   SAD  Trong mặt phẳng  SB C  , gọi H  IJ  SE    H  IJ  H   AIJ   AH   AIJ  Trong mặt phẳng  SA D  , gọi K  SD  AH  K  SD    K  SD   AIJ   K  AH , AH   AIJ   K   AIJ  c) Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  A IJ  Ta có A I   A IJ    SA B  IJ   A IJ    SBC  K J   AIJ    SC D  A K   A IJ    SA D  Vậy thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  A IJ  tứ giác AIJK Bài 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD , M trung điểm cạnh bên SA N điểm thuộc cạnh bên SC ( N không trung điểm SC ) d) Xác định giao tuyến  ABN   CDM  e) Tìm giao điểm MN với  SBD  Gr: 2005 học toán 11 f) Gọi P điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện hình chóp cắt  MNP  Lời giải a) Xác định giao tuyến  ABN   CDM  Trong  ABCD  , gọi I  AB  CD ,  SAC  , gọi J  AN  CM  I  AB   ABN   I   ABN    CDM  1 Ta có:   I  CD   CDM   J  AN   ABN  Mặt khác:   J   ABN    CDM     J  CM   CDM  Từ 1   suy  ABN    CDM   IJ b) Tìm giao điểm MN với  SBD  Chọn  SAC  chứa MN ,  ABCD  , gọi O  AC  BD Ta có: S   SAC    SBD   3 O  AC   SAC  Mặt khác:   O   SAC    SBD    O  BD   SBD  Từ     suy  SAC    SBD   SO Trong  SAC  , gọi H  MN  SO  H  MN  MN   SBD   H  Ta có:   H  SO   SBD  c) Gọi P điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện hình chóp cắt  MNP  Trong  SAC  , gọi K  MN  AC Q  PK  BC Trong  ABCD  , gọi   E  PK  CD Trong  SCD  , gọi F  EN  SD Gr: 2005 học toán 11  MNP    SAB   MP   MNP    ABCD   PQ  Ta có:  MNP    SBC   QN   MNP    SCD   NF  MNP    SDA   FM  Vậy thiết diện hình chóp cắt  MNP  ngũ giác MPQNF Bài 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P trung điểm BC , CD , SO a) Xác định giao tuyến  MNP  với mặt phẳng  SAB  ,  SAD  ,  SBC   SCD  b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng  MNP  c) Tính tỉ số đoạn thẳng chia đỉnh thiết diện cạnh hình chóp S ACBD Lời giải a) Giao tuyến  MNP  với mặt phẳng  SAB  ,  SAD  ,  SBC   SCD  Gọi I giao điểm MN OC Khi ta có IO  IC Trong SOC , ta có IP / / SC  SC / /  NMP  Trong  SAC  , gọi K giao điểm IP với SA Suy SK   SA * Giao tuyến  MNP   SAB  : Gr: 2005 học toán 11  K  IP   MNP  Ta có  , K điểm chung thứ  K  SA   SAB  Trong  ABCD  , gọi E giao điểm MN AB , đó:  E  MN   MNP  , E điểm chung thứ hai   E  AB   SAB  Suy KE   MNP    SAB  Trong  SAB  , gọi T giao điểm SB KE , hay KT   MNP    SAB   Giao tuyến  MNP   SBC  T  KE   MNP  Ta có  , T điểm chung thứ T  SB   SBC   M  MN   MNP  Và  , M điểm chung thứ hai  M  BC   SBC  Suy MT   MNP    SBC  Mặt khác MT / / SC  SC / /  MNP   , nên ST   SB ** Giao tuyến  MNP   SAD   K  IP   MNP  Ta có  , K điểm chung thứ  K  SA   SAD  Trong  ABCD  , gọi F giao điểm MN AD , đó:  F  MN   MNP  , F điểm chung thứ hai   F  AD   SAD  Suy KF   MNP    SAD  Trong  SAD  , gọi H giao điểm SD KF , hay KH   MNP    SAD   Giao tuyến  MNP   SCD   H  KF   MNP  Ta có  , H điểm chung thứ  H  SD   SCD   N  MN   MNP  Và  , N điểm chung thứ hai  N  CD   SCD  Suy NH   MNP    SCD  Mặt khác NH / /SC  SC / /  MNP   , nên SH  Gr: 2005 học toán 11 SD *** b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng  MNP  Ta có  MNP    SAB   KT  MNP    SBC   TM  MNP    ABCD   MN  MNP    SCD   NH  MNP    SAD   HK Vậy thiết diện hình chóp với mặt phẳng  MNP  ngũ giác KTMNH c) Tính tỉ số đoạn thẳng chia đỉnh thiết diện cạnh hình chóp S ACBD Từ * , ** , *** , ta có: SK  SA ; ST  SB ; SH  SD ; MB  AB ; NC  CD Bài 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành; M điểm thuộc cạnh SD thỏa mãn SM  SD a) Tìm giao điểm BM với mặt phẳng  SAC  b) N điểm thay đổi cạnh BC Xác định giao tuyến  AMN   SBC  Chứng minh giao tuyến qua điểm cố định c) G trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chóp cắt mp  MNG  Lời giải a) Tìm giao điểm BM với mặt phẳng  SAC  Gọi O  BD  AC Ta có  SBD    SAC   SO Trong mp  SBD  gọi E  BM  SO Khi E  BM   SAC  Gr: 2005 học toán 11 b) N điểm thay đổi cạnh BC Xác định giao tuyến  AMN   SBC  Chứng minh giao tuyến qua điểm cố định Gọi F  AN  DC ; H  FM  SC Ta có N điểm chung thứ H điểm chung thứ hai  AMN   SBC  Suy  AMN    SBC   NH Mặt khác : Qua S kẻ Sx / / AD , mp  SAD  gọi AM  Sx  J cố định Khi J điểm chung  AMN   SBC  Suy J  NH Vậy giao tuyến NH qua điểm cố định J c) G trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chóp cắt mp  MNG  Gr: 2005 học toán 11 Gọi I trung điểm AB, K  NI  BD Suy  SNI    SBD   SK Trong mp  SNI  gọi P  NG  SK Trong mp  SBD  gọi Q  MP  BD Trong mp  ABCD  kéo dài NQ cắt AB; CD L; T Trong mp  SCD  gọi V  MT  SC mp  SAB  gọi Z  LG  SA Ta có  MNG    SAB   ZL  MNG    ABCD   LN  MNG    SBC   NV  MNG    SCD   NM  MNG    SDA   MZ Khi ta thiết diện cần tìm ngũ giác MVNLZ Gr: 2005 học toán 11 ... SBD  c) Gọi P điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện hình chóp cắt  MNP  Gr: 20 05 học toán 11 Bài 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P trung điểm BC , CD... điểm S , E , F thẳng hàng Gr: 20 05 học toán 11 c) IN cắt AD P , MJ cắt BC Q Chứng minh PQ qua điểm cố định   Bài 15 quay quanh IJ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với O giao... b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng  MNP  c) Tính tỉ số đoạn thẳng chia đỉnh thiết diện cạnh hình chóp S ACBD Bài 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành; M điểm thuộc