PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN BA VÌ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài I (2 điểm) x x 3x x 2 B với x ; x x 3 x 3 x9 x 3 a) Tính giá trị biểu thức B với x 64 b) Rút gọn biểu thức S A : B c) Tìm giá trị x để biểu thức P S đạt giá trị nguyên Bài II (2,5 điểm) Cho biểu thức: A 1) Vòng quay Mặt Trời khu du lịch Hạ Long – Quảng Ninh nằm tốp 10 vòng quay lớn giới vòng quay lớn Việt Nam, có đường kính 115 m Hãy tính chu vi vòng quay ( làm tròn đến đơn vị mét) 2) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một người xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu tăng vận tốc thêm 14 km / h xe đến B sớm dự định Nếu vận tốc giảm km / h xe đến B muộn dự định Tính vận tốc dự định thời gian dự định người từ A đến B 3) Cột cờ trường học cao m Bóng cột cờ thời điểm ngày in xuống mặt đất dài m Tính góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất thời điểm Bài III ( 2,0 điểm) x4 y2 7 1) Giải hệ phương trình: 4 x y 2) Cho phương trình x mx m a) Giải phương trìn với m b) Tìm m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài IV (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , điểm C nằm A B Vẽ đường tròn tâm O, O1 , O2 có đường kính AB, AC, CB Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường tròn tâm O D Các đoạn thẳng DA , DB cắt đường tròn tâm O1 , O2 M N 1) Chứng minh tứ giác DMCN hình chữ nhật 2) Chứng minh MD.DA DN DB 3) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp 4) Đường thẳng MN cắt đường trịn tâm O E F Tìm vị trí điểm C để DE , DF lớn 0 x 1; y Bài (0,5 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 1 y NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN Bài I (2 điểm) x x 3x x 2 B với x ; x x 3 x 3 x9 x 3 a) Tính giá trị biểu thức B với x 64 b) Rút gọn biểu thức S A : B c) Tìm giá trị x để biểu thức P S đạt giá trị nguyên Cho biểu thức: A Hướng dẫn a) Ta có: B x 2 1 x 3 ĐKXĐ: x ; x Thay x 64 (thỏa mãn) vào biểu thức B có: B 2 1 3 1 3 Kết luận: Tại x 64 giá trị biểu thức B b) Ta có: A A A A x x 3 x 3x x 3 x9 3x x x x 3 x 3 x 3 x 3 x x 3 x x 3 x 3 x 3 x 3 x x x x 3x x 3 3 x 1 A x 3 x 3 Ta có: B x 3 x 2 x 2 x 3 1 x 3 x 3 Ta có: S A : B 3 x 3 x 1 x 3 : x 1 x 3 x 1 x 3 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 3 x 3 3 với x ; x x 3 12 c) Ta có: P S x 3 Kết luận: S 12 4 mà x 3 Vậy 4 P nên để P nguyên P 4; 3; 2; 1 Theo ĐKXĐ x x x x 3 3 0 12 0 x 3 TH1: P 4 x x x (thỏa mãn) TH2: P 3 x x x (thỏa mãn) TH3: P 2 x x x (không thỏa mãn) TH4: P 1 x 12 x x 81 (thỏa mãn) Kết luận: Các giá trị x thỏa mãn là: x 0;1;81 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Bài II (2,5 điểm) 1) Vòng quay Mặt Trời khu du lịch Hạ Long – Quảng Ninh nằm tốp 10 vòng quay lớn giới vòng quay lớn Việt Nam, có đường kính 115 m Hãy tính chu vi vòng quay ( làm tròn đến đơn vị mét) 2) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một người xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu tăng vận tốc thêm 14 km / h xe đến B sớm dự định Nếu vận tốc giảm km / h xe đến B muộn dự định Tính vận tốc dự định thời gian dự định người từ A đến B 3) Cột cờ trường học cao m Bóng cột cờ thời điểm ngày in xuống mặt đất dài m Tính góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất thời điểm Hướng dẫn 1) Chu vi vòng quay Mặt Trời là: 115 361 m 2) Gọi vận tốc dự định người từ A đến B : x km / h; x thời gian dự định người từ A đến B là: y (giờ; y ) Quãng đường từ A đến B xy ( km) Vì tăng vận tốc thêm 14 km / h xe đến B sớm dự định nên ta có phương trình: x 14 y xy 1 Vì vận tốc giảm km / h xe đến B muộn dự định nên ta có phương trình: x y 1 xy Từ 1 ta có hệ phương trình: x 14 y xy xy x 14 y 28 xy 2 x 14 y 28 x y 14 x y 1 xy xy x y xy x 4y x 4y y 18 y6 ( TMĐK) x 4.6 28 x y Vậy vận tốc dự định người từ A đến B 28 km / h thời gian dự định người từ A đến B 3) Gọi góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất Theo đề ta có: tan 56 018 ' Vậy góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất 56 018 ' Bài III ( 2,0 điểm) x4 y2 7 3) Giải hệ phương trình: 4 x y 2 4) Cho phương trình x mx m a) Giải phương trìn với m b) Tìm m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Hướng dẫn 1) Giải hệ phương trình x4 y2 7 4 x y ĐK: x 4; y 2 1 Đặt a 0; b ta có y2 x4 3a 4b 3a 4b 23a 23 a tm 5a b 20a 4b 16 b 5a b x x x tm y 1 y 1 y Vậy x; y 5; 1 2) a) Với m ta có phương trình : x x x x x 1 x Vậy m phương trình có hai nghiệm x 0; x b) có m 4m m Để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt m 2 m m 2 Vậy với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài IV (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , điểm C nằm A B Vẽ đường trịn tâm O, O1 , O2 có đường kính AB, AC , CB Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường trịn tâm O D Các đoạn thẳng DA , DB cắt đường tròn tâm O1 , O2 M N 1) Chứng minh tứ giác DMCN hình chữ nhật 2) Chứng minh MD.DA DN DB 3) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp 4) Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm O E F Tìm vị trí điểm C để DE , DF lớn Hướng dẫn D 1) Chứng minh tứ giác DMCN hình chữ nhật M 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O có: MDN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O1 có: AMC 90 (kề bù với CMD AMC ) 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O2 có: BNC 90 (kề bù với BNC ) CND N A O1 O C O2 CMD CND 90 DMCN hình chữ nhật Xét tứ giác DMCN có: MDN 2) Chứng minh MD.DA DN DB ACD vng C (vì DC AB (giả thiết)) có đường cao CM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD MD.DA (1) BCD vng C (vì DC AB (giả thiết)) có đường cao CN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD DN DB (2) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ B Từ (1) (2) MD.DA DN DB Theo chứng minh ý có: MD.DA DN DB DM DN DB DA chung D DBA Xét DMN DBA có: DM DN DMN ∽ DBA DMN DB DA tứ giác AMNB nội tiếp (góc góc ngồi đỉnh đối) Xét tứ giác AMNB có ABN DMN * Chứng minh: EF OD DBA Theo chứng minh câu Có DMN ABD ADx sdAD Kẻ tiếp tuyến Dx đường trịn O Có DMN ADx Dx // MN Dx // EF OD EF DE DF (Quan hệ đường kính dây cung) * Chứng minh DF OF Xét DHI vuông I DI DH DC DO DI OI FD FO hay FD R Mà DH , DC DO DI 2 Dấu " " xảy DI DH H I C O Vậy C O DE , DF đạt độ dài lớn Bài (0,5 điểm) 0 x 1; y Cho số thực x, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 1 y Hướng dẫn Cách 1: Do x y y x Ta có: 1 1 1 x x 1 P x y x x x x x 1 x x x NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 6 x x x x 1 x 1 Vì x x x 1 mà x 1 x 1 x 1 P x Dấu “=” xảy (thỏa mãn) y x Vậy Pmin y Cách 2: Do x 1; y nên áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x 1 x 1 2 1 x 1 x 1 y2 y2 2 y 16 y 16 Từ (1); (2) P (1) (2) 1 x 1 y 3 1 x y x 3 x 1 y 2 16 16 16 3 (do x x ) 16 x Dấu “=” xảy (thỏa mãn) y x Vậy Pmin y P -HẾT - NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... nhật M 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Đường tròn tâm O có: MDN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O1 có: AMC 90 (kề bù với CMD AMC ) 90 (góc nội... https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ... thiết)) có đường cao CM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD MD.DA (1) BCD vng C (vì DC AB (giả thiết)) có đường cao CN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD DN DB (2)