KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH 9 MÔN TOÁN

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN BA VÌ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài I (2 điểm) x x 3x  x 2   B   với x  ; x  x 3 x 3 x9 x 3 a) Tính giá trị biểu thức B với x  64 b) Rút gọn biểu thức S  A : B c) Tìm giá trị x để biểu thức P  S đạt giá trị nguyên Bài II (2,5 điểm) Cho biểu thức: A  1) Vòng quay Mặt Trời khu du lịch Hạ Long – Quảng Ninh nằm tốp 10 vòng quay lớn giới vòng quay lớn Việt Nam, có đường kính 115 m Hãy tính chu vi vòng quay ( làm tròn đến đơn vị mét) 2) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một người xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu tăng vận tốc thêm 14 km / h xe đến B sớm dự định Nếu vận tốc giảm km / h xe đến B muộn dự định Tính vận tốc dự định thời gian dự định người từ A đến B 3) Cột cờ trường học cao m Bóng cột cờ thời điểm ngày in xuống mặt đất dài m Tính góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất thời điểm Bài III ( 2,0 điểm)   x4  y2 7  1) Giải hệ phương trình:    4  x  y  2) Cho phương trình x  mx  m   a) Giải phương trìn với m  b) Tìm m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài IV (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , điểm C nằm A B Vẽ đường tròn tâm O, O1 , O2 có đường kính AB, AC, CB Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường tròn tâm O D Các đoạn thẳng DA , DB cắt đường tròn tâm O1 , O2 M N 1) Chứng minh tứ giác DMCN hình chữ nhật 2) Chứng minh MD.DA  DN DB 3) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp 4) Đường thẳng MN cắt đường trịn tâm O E F Tìm vị trí điểm C để DE , DF lớn 0  x  1;  y  Bài (0,5 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn  x  y  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   x 1 y  NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN Bài I (2 điểm) x x 3x  x 2 B     với x  ; x  x 3 x 3 x9 x 3 a) Tính giá trị biểu thức B với x  64 b) Rút gọn biểu thức S  A : B c) Tìm giá trị x để biểu thức P  S đạt giá trị nguyên Cho biểu thức: A  Hướng dẫn a) Ta có: B  x 2 1 x 3 ĐKXĐ: x  ; x  Thay x  64  (thỏa mãn) vào biểu thức B có: B  2 1    3 1 3 Kết luận: Tại x  64 giá trị biểu thức B  b) Ta có: A  A A A x  x 3 x 3x   x 3 x9 3x  x x   x 3 x 3  x  3 x  3 x  x  3  x  x  3   x  3  x  3 x  3 x  x  x  x  3x    x  3 3  x  1 A  x  3 x  3 Ta có: B  x 3 x 2 x 2 x 3 1   x 3 x 3 Ta có: S  A : B  3   x 3  x 1  x 3  : x 1 x 3 x 1  x 3 3   x 3  x 1  x 3  x 3  x 1 3 x 3 3 với x  ; x  x 3 12 c) Ta có: P  S  x 3 Kết luận: S  12  4 mà x 3 Vậy 4  P  nên để P nguyên P  4; 3; 2; 1 Theo ĐKXĐ x   x   x    x 3 3 0 12 0 x 3 TH1: P  4  x    x   x  (thỏa mãn) TH2: P  3  x    x   x  (thỏa mãn) TH3: P  2  x    x   x  (không thỏa mãn) TH4: P  1  x   12  x   x  81 (thỏa mãn) Kết luận: Các giá trị x thỏa mãn là: x  0;1;81 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Bài II (2,5 điểm) 1) Vòng quay Mặt Trời khu du lịch Hạ Long – Quảng Ninh nằm tốp 10 vòng quay lớn giới vòng quay lớn Việt Nam, có đường kính 115 m Hãy tính chu vi vòng quay ( làm tròn đến đơn vị mét) 2) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một người xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu tăng vận tốc thêm 14 km / h xe đến B sớm dự định Nếu vận tốc giảm km / h xe đến B muộn dự định Tính vận tốc dự định thời gian dự định người từ A đến B 3) Cột cờ trường học cao m Bóng cột cờ thời điểm ngày in xuống mặt đất dài m Tính góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất thời điểm Hướng dẫn 1) Chu vi vòng quay Mặt Trời là:  115  361  m  2) Gọi vận tốc dự định người từ A đến B : x  km / h; x   thời gian dự định người từ A đến B là: y (giờ; y  ) Quãng đường từ A đến B xy ( km) Vì tăng vận tốc thêm 14 km / h xe đến B sớm dự định nên ta có phương trình:  x  14  y    xy 1 Vì vận tốc giảm km / h xe đến B muộn dự định nên ta có phương trình:  x   y  1  xy   Từ 1   ta có hệ phương trình:  x  14  y    xy  xy  x  14 y  28  xy  2 x  14 y  28   x  y  14       x   y  1  xy  xy  x  y   xy  x  4y   x  4y   y  18 y6    ( TMĐK)  x   4.6  28 x  y  Vậy vận tốc dự định người từ A đến B 28 km / h thời gian dự định người từ A đến B 3) Gọi góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất  Theo đề ta có: tan       56 018 ' Vậy góc tạo tia sáng mặt trời mặt đất 56 018 ' Bài III ( 2,0 điểm)   x4  y2 7  3) Giải hệ phương trình:    4  x  y  2 4) Cho phương trình x  mx  m   a) Giải phương trìn với m  b) Tìm m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Hướng dẫn 1) Giải hệ phương trình   x4  y2 7     4  x  y  ĐK: x  4; y  2 1 Đặt  a  0;  b  ta có y2 x4 3a  4b  3a  4b  23a  23 a      tm   5a  b  20a  4b  16 b  5a  b    x    x    x      tm   y  1  y    1  y  Vậy  x; y    5; 1 2) a) Với m  ta có phương trình : x  x  x   x  x  1    x  Vậy m  phương trình có hai nghiệm x  0; x  b) có   m  4m    m   Để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt      m  2   m    m  2 Vậy với m  phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài IV (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , điểm C nằm A B Vẽ đường trịn tâm O, O1 , O2 có đường kính AB, AC , CB Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường trịn tâm O D Các đoạn thẳng DA , DB cắt đường tròn tâm O1 , O2 M N 1) Chứng minh tứ giác DMCN hình chữ nhật 2) Chứng minh MD.DA  DN DB 3) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp 4) Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm O E F Tìm vị trí điểm C để DE , DF lớn Hướng dẫn D 1) Chứng minh tứ giác DMCN hình chữ nhật M   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O có: MDN   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O1 có: AMC   90 (kề bù với   CMD AMC )   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O2 có: BNC   90 (kề bù với BNC )  CND N A O1 O C O2   CMD   CND   90  DMCN hình chữ nhật Xét tứ giác DMCN có: MDN 2) Chứng minh MD.DA  DN DB ACD vng C (vì DC  AB (giả thiết)) có đường cao CM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD  MD.DA (1) BCD vng C (vì DC  AB (giả thiết)) có đường cao CN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD  DN DB (2) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ B Từ (1) (2)  MD.DA  DN DB Theo chứng minh ý có: MD.DA  DN DB  DM DN  DB DA  chung D    DBA  Xét DMN DBA có:  DM DN  DMN ∽ DBA  DMN    DB DA   tứ giác AMNB nội tiếp (góc góc ngồi đỉnh đối) Xét tứ giác AMNB có  ABN  DMN * Chứng minh: EF  OD   DBA  Theo chứng minh câu Có DMN ABD   ADx  sdAD Kẻ tiếp tuyến Dx đường trịn  O  Có    DMN ADx  Dx // MN  Dx // EF  OD  EF  DE  DF (Quan hệ đường kính dây cung) * Chứng minh DF  OF Xét DHI vuông I  DI  DH DC DO  DI  OI  FD  FO hay FD  R Mà DH  , DC  DO  DI  2 Dấu "  " xảy DI  DH  H  I  C  O Vậy C  O DE , DF đạt độ dài lớn Bài (0,5 điểm) 0  x  1;  y  Cho số thực x, y thỏa mãn  x  y  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   x 1 y  Hướng dẫn Cách 1: Do x  y   y   x Ta có: 1 1 1  x  x 1 P        x  y  x   x  x   x  x  1  x   x  x  NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/  6   x  x   x     x  1   x  1  Vì  x   x     x  1  mà   x  1     x  1   x  1   P  x  Dấu “=” xảy   (thỏa mãn) y  x  Vậy Pmin    y  Cách 2: Do  x  1;  y  nên áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x 1 x 1  2 1 x 1 x 1 y2 y2  2  y  16 y  16 Từ (1); (2)  P  (1) (2) 1  x 1 y   3   1        x   y      x  3 x 1 y  2  16  16 16 3   (do x   x   ) 16 x  Dấu “=” xảy   (thỏa mãn) y  x  Vậy Pmin    y  P -HẾT - NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... nhật M   90  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Đường tròn tâm O có: MDN   90  (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Đường trịn tâm O1 có: AMC   90  (kề bù với   CMD AMC )   90  (góc nội... https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ... thiết)) có đường cao CM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD  MD.DA (1) BCD vng C (vì DC  AB (giả thiết)) có đường cao CN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CD  DN DB (2)