TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN cấp 3

I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC sin  cos  Hệ thức Cơ bản: cos  ▪ cot  = sin  ▪ sin 2 + cos2 = ▪ tan  = ▪ + tan  = cos  ▪ + cot  = sin  Đối:  ; − k   ▪ sin( + k 2 ) = sin  cos( + k 2 ) = cos   ▪ tan cot = k   ▪  tan( + k ) = tan  cot( + k ) = cot   Cung Liên kết:  Khác pi:  ;  +  Phụ:  ; −  Bù:  ;  −  Pi  : ; +  2   sin  +   = cos  2    cos  +   = − sin  2  Khác   sin  −   = cos  2    cos  −   = sin  2  sin( +  ) = − sin  sin(− ) = − sin  sin( −  ) = sin  cos(− ) = cos  cos( −  ) = − cos  tan(− ) = − tan  tan( −  ) = − tan    tan  −   = cot  2  tan( +  ) = tan    tan  +   = − cot  2  cot(− ) = − cot  cot( −  ) = − cot    cot  −   = tan  2  cot( +  ) = cot    cot  +   = − tan  2  Sin bù Phụ chéo Cos đối cos( +  ) = − cos  Khác pi/2: sin bạn cos, Khác Pi: tang, cotang cos thù sin Công thức Cộng:  sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b  sin(a − b) = sin a.cos b − cos a.sin b tan(a + b) = tan a + tan b − tan a.tan b tan(a − b) = tan a − tan b + tan a.tan b Công thức Nhân đôi, Nhân ba: cos 2 = cos  − sin  = cos  − = − 2sin  sin 2 = 2sin .cos  cos3 = 4cos3  − 3cos  sin 3 = 3sin  − 4sin3  sin  =  cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b  cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Công thức Hạ bậc: + cos 2 cos  = − cos 2 2 tan 2 = tan 3 = tan  − tan  3tan  − tan  − 3tan  tan  = − cos 2 + cos 2 Biến đổi Tổng thành Tích: cos a + cos b = cos a+b a −b cos 2 cos a − cos b = − 2sin a+b a −b sin 2 Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k a+b a −b sin 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a.cos b a+b a −b cos 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a.cos b sin a − sin b = cos sin a + sin b = 2sin     sin  + cos  = 2.sin   +  = 2.cos   −  4 4       sin  − cos  = sin   −  = − cos   +   4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b = cos(a + b) + cos(a − b) sin a.sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin a.cos b = sin(a + b) + sin(a − b)  II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC u = v + k 2 sin u = sin v   (k  ) u =  − v + k 2 Nếu sin u = m   −1;1 ▪   m  1;  ; ;  ;0 thì: 2   Nếu sin u = m   −1;1 thì: sin u = m  u  Đặc biệt:  sin u =  u = k  + k 2 tan u = tan v  u = v + k ▪ cos u = m  u =  arccos m + k 2 (k  ) Nếu cos u = m   −1;1 thì: cosu = m  u  + k 2 sin u = −1  u = − (k  )   ; ;  ;0 thì: Nếu cos u = m   −1;1 m  1;  2   u = arcsin m + k 2 sin u = m   (k  ) u =  − arcsin m + k 2 sin u =  u = u = v + k 2 cos u = cos v   u = −v + k 2 ▪   ;0  thì: Nếu tan u = m   3; 1;    tan u = m  u = arctan m + k (k  ) Đặc biệt: cos u =  u = k 2 cos u = −1  u =  + k 2 cos u =  u = (k  ) (k  ) ▪  (k  ) + k cot u = cot v  u = v + k (k  )   ;0  thì: Nếu cot u = m   3; 1;    cot u = m  u = arc cot m + k (k  ) Lưu ý: Điều kiện để hàm tanu có nghĩa Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa  u  + k , k  Tuy vậy, phương trình tan u = m u  k , k  Tuy vậy, phương trình cot u = m ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện cho ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện Kỹ thuật 1: Làm dấu TRỪ Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k − sin  = sin(− ) − cos  = cos( −  ) − tan  = tan(− ) − cot  = cot(− ) Ví dụ: sin x x x 4 sin x x sin x sin x sin x sin( x) k2 x k (vônghiệ m) x 4 k (k ) Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO   sin  = cos  −   2    cos  = sin  −   2    tan  = cot  −   2    cot  = tan  −   2  Ví dụ:   k 2   x = − x + k 2 x= +      (k  ) sin x = cos x  sin x = sin  − x    2   x =  −   − x  + k 2  x =  + k 2     2  Phương trình a sin x + b cos x = c (với a + b2  c ) a sin x + b cos x = c a b c  sin x + cos x = a + b2 a + b2 a + b2 c  sin x.cos  + cos x.sin  = a + b2 a b , sin  = (với cos  = ) a + b2 a + b2 ▪ Trường hợp 1: Xét cos x =  sin x = Ta có hệ sin x = sin x =   .(1) sau:   a = d a sin x = d  ▪ Trường hợp 2: Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x , ta có: a tan x + b tan x + c = d (1 + tan x)  (2) c  sin( x +  ) = sin   với sin  = Phương trình a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d a + b2 ▪ Hợp nghiệm (1), (2) ta có tập nghiệm phương trình cho  Lưu ý: Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm a + b2  c [ III TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta cộng kết lại HOÁN VỊ ▪ Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số nhân kết giai đoạn TỔ HỢP ▪ Chọn k phần tử từ n phần tử (khơng xếp thứ tự), ta có số cách chọn C ▪ xếp thứ tự), ta số cách chọn k n cách xếp Pn = n ! với n CHỈNH HỢP ▪ Chọn k phần tử từ n phần tử (có k  , n  n! C = với  ( n − k ) !k ! 0  k  n k n Ank * ▪ k  , n  n! A = với  ( n − k )! 0  k  n k n Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k * ▪ n ! = 1.2 ( n − 1) n ▪ Quy ước sốc: 0! = Một số tính chất: ▪ Cơng thức: P( X ) = XÁC SUẤT Cnk = Cnn−k Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 n( X ) n() ▪ Tính chất:  P( X )  Trong đó: n( X ) : số phần tử tập biến cố X ; n() : số phần tử không gian mẫu; P( X ) xác suất để biến cố X xảy với X   ▪ Nếu A, B hai biến cố xung khắc với P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) ▪ Khai triển dạng liệt kê: (với n * ) Khai triển tổng quát: (với n * ▪ Ank = k !Cnk P() = 0; P() = P( X ) = − P( X ) với X biến cố đối X ▪ Nếu A B hai biến cố độc lập với P ( A.B ) = P ( A ) P ( B ) IV KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN n ( a + b ) = Cn0 a n + Cn1a n−1b + Cn2 a n−2b + + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n n Đặc biệt: (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n (*) ▪ Hệ 1: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn−1 + Cnn = 2n (tức thay x = vào (*)) ▪ Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x = −1 vào (*), ta có: Cn0 − Cn1 + Cn2 − − Cnn−1 + Cnn =  Cn0 + Cn2 + Cn4 + Cnn = Cn1 + Cn3 + Cnn−1 n ( a + b ) =  Cnk a n−k bk Số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk a n−k bk n ▪ Khai triển: k =0 ▪ Phân biệt hệ số số hạng: Cnk ( 1) k an k bk x Số hạng không chứa x ứng với  = ) H ỆSỐ SỐH ẠN G CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN V CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Định nghĩa: ▪ Dãy số ( un ) gọi cấp số cộng ▪ Dãy số ( un ) gọi cấp số nhân khi un +1 = un + d với n * số ▪ Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d Số hạng tổng quát: ▪ un = u1 + (n − 1)d với n * Tính chất số hạng: ▪ uk −1 + uk +1 = 2uk với k  * un +1 = un q với n , d k  * , q số ▪ Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , cơng bội q Số hạng tổng quát: ▪ un = u1.q n −1 với n * Tính chất số hạng: ▪ uk −1.uk +1 = uk2 với k  k  Tổng n số hạng đầu tiên: Tổng n số hạng đầu tiên: (u + u )n ▪ Sn = u1 + u2 + + un = n ▪ Sn = u1 + u2 + + un = u1 (1 − q n ) với q  1− q VI GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ Giới hạn dãy số 1.1 Dãy số có giới hạn 0: Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k ▪ lim =0 n ▪ lim =0 n ▪ lim = n ▪ lim =0 n ▪ lim qn = với q  1.2 Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim un = a Ta có: ▪ lim un = a với a  ▪ lim un = a lim u = a Cho lim un = a , lim = b Ta có: ▪ lim ( un  ) = a  b ▪ lim ▪ lim ( un ) = a.b un a = với b  b ▪ lim ( k un ) = k a 1.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q + = u1 1− q 1.4 Dãy số có giới hạn vơ cùng: Quy tắc 1: Cho lim un = , lim =  Tính lim ( un ) lim lim ( un ) + + − + − − + + lim un Dấu a + + + – + – lim un − − − + Quy tắc 2: Cho lim un = , lim = a  Tính lim ( un ) − − lim ( un ) Quy tắc 3: Cho lim un = a  0, lim = Tính lim Dấu a (tử) Dấu (mẫu) + + – – + – + – + − − + un lim un + − − + Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k 2.1 Giới hạn vô cực: Cho k dương, ta có: =0 xk 2.2 Giới hạn hữu hạn: ▪ lim x k = + ▪ lim , k chẵ n , k l ẻ ▪ l i m xk x →+ x → x Cho lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b Ta có: x → x0 ▪ lim f ( x ) = a x → x0 ▪ lim f ( x ) = a x → x0 ▪ lim x → x0 ▪ lim  f ( x )  g ( x ) = a  b x → x0 x → x0 f ( x ) = a với a  ▪ lim  f ( x ) g ( x ) = a.b x → x0 ▪ lim k f ( x ) = k.a với k số x → x0 ▪ lim x → x0 f ( x) a = với b khác g ( x) b 2.3 Quy tắc tìm giới hạn vơ cực: Quy tắc 1: Cho lim f ( x ) = , lim g ( x ) = a  Tính lim  f ( x ) g ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x ) + + x → x0 + + – + – − − Giới hạn hàm số: lim  f ( x ) g ( x ) Dấu a x → x0 − − + Quy tắc 2: Cho lim f ( x ) = a  0, lim g ( x ) = Tính lim x → x0 x → x0 x → x0 Dấu g ( x ) Dấu a f ( x) g ( x) lim x → x0 f ( x) g ( x) + + + + – − – + − – – + 2.4 Bổ trợ công thức để khử dạng vô định: ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x n − = ( x − 1) ( x n −1 + x n − + + 1) x1 , x2 nghiệm tam thức bậc hai a+ b = a+ b = a2 − b a− b a− b = a3 + b a2 − a b + a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + + b n −1 ) ( b) a− b = a2 − b a+ b a3 − b a2 + a b + ( b) Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k 3.1 Điều kiện tồn giới hạn: Giới hạn bên phải lim f ( x ) Ký hiệu lim f ( x ) x → x0+ lim f ( x ) = lim− f ( x ) x → x0−  x ⎯⎯ → x0   x  x0 Nghĩa Điều kiện để hàm số có giới hạn x0 Giới hạn bên trái x → x0+ x → x0 Khi đó: lim f ( x ) = lim+ f ( x )  x ⎯⎯ → x0   x  x0 x → x0 x → x0 = lim− f ( x ) x → x0 Điều kiện giới hạn điều kiện liên tục: 3.2 Điều kiện liên tục hàm số: ▪ Hàm số f ( x ) liên tục x0  f ( x0 ) = lim+ f ( x ) = lim− f ( x )  f ( x0 ) = lim f ( x ) x → x0 x→ x0 x → x0 ▪ Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục tập xác định chúng ▪ Hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) liên tục với x = x0  ( a; b ) f ( x) l i ê n t ục t r eâ n (a; b) l i m f ( x) f (a); l i m f ( x) ▪ Hàm số f ( x ) liên tục a; b x a x f (b) b 3.3 Điều kiện có nghiệm phương trình: Nếu hàm số f ( x ) liên tục  a; b  f ( a ) f ( b )  phương trình f ( x ) = có nghiệm ( a; b ) ĐẠO HÀM VII Định nghĩa đạo hàm điểm: f  ( x0 ) = lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 Bảng đạo hàm mở rộng: ▪ ( x ) =  x  ▪ k = (với k số) x MR ⎯⎯→ ( eu ) = eu u ( sin x ) = cos x ( tan x ) = MR ⎯⎯ →(u ) =  u −1 u  x ▪ ( a ) = a ln a  x ▪ (e ) = e x ▪  −1 MR ⎯⎯→ ( au ) = au ln a u MR ⎯⎯ → ( sin u ) = u cos u = + tan x cos x u MR ⎯⎯→ ( tan u ) = = u (1 + tan u ) cos u ▪ ▪ ( x ) = x MR ⎯⎯→ ▪ ( u ) = 2uu ( ln x ) = x u MR ⎯⎯→ ( ln u ) = u ▪ ( cos x ) = − sin x    x ▪   =− x2 u   MR ⎯⎯ →  = − u u ▪ ( log a x ) = x ln a u MR ⎯⎯→ ( log a u ) = u ln a MR ⎯⎯ → ( cos u ) = − u sin u = − (1 + cot x ) sin x u MR ⎯⎯→ ( cot u ) = − = − u (1 + cot u ) sin u ▪ ( cot x ) = − Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k Quy tắc tìm đạo hàm: ▪ ( u  v ) = u  v  u  uv − uv ▪  = v2 v ▪ f x = fu.ux với f u l àđạo hà m củ a f theo bi ế nu df ( x ) = f  ( x ) dx f  ( x ) =  f  ( x )  ; f  ( x ) =  f  ( x )  f f x l àđạo hà m củ a f theo bi ế n x ux l àđạo hà m củ a u theo bi eá n x Đạo hàm cấp cao vi phân: Đạo hàm cấp cao ( 4) ▪ (u.v) = uv + uv ▪ (k.u) = k.u ( x ) =  f  ( x ) ; ; f ( n) ( x ) =  f ( n−1) ( x ) Vi phân dy = y.dx du = u.dx VIII KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÀM BẬC BA XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU y = ax + bx + cx + d (a  0) ▪ Bước 1: Tìm tập xác định D ▪ Bước 2: Tính y = f ( x) ; cho y = T ìm nghi ệ m x1 , x2 Tìm thêm giá trị x mà y không xác định ▪ Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y để tìm dấu y khoảng đó) ▪ Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ▪ Đạo hàm y = 3ax2 + 2bx + c ▪ Hàm số đồng biến tập xác định  y  0, x  a     ▪ Hàm số nghịch biến tập xác định  y  0, x  a     ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ ▪ Hàm số có điểm cực trị  y( x0 ) = ( x0 ; y0 )    y ( x0 ) = y0 (giả thiết hàm số liên tục x0 )  f ( x0 ) = ▪ Nếu  hàm  f ( x0 )  số f ( x) đạt cực đại x = x0  Lưu ý: Nếu a chứa tham số m ta xét a = , tìm m Thay m tìm để kiểm tra dấu y , xem y có đơn điệu không? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y = ax + bx + cx + d (a  0) ▪ Đạo hàm y = 3ax2 + 2bx + c ▪ Hàm số có hai cực trị (tức có a  (*) CĐ-CT)    y  ▪ Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  x1x2   ac  ▪ Hàm số có hai điểm cực trị a  0,  y  dấu   ac  ▪ Phương trình đường thẳng qua HÀM NHẤT BIẾN ax + b y= (ad − bc  0, c  0) cx + d ad − bc (cx + d ) ▪ Hàm số đồng biến khoảng xác định  ad − bc  ▪ Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad − bc  ▪ Đạo hàm y =  Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghịch biến) ( ;  ) ta xét điều d kiện: −  ( ;  ) c CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y = ax4 + bx + c (a  0) ▪ Đạo hàm y = 4ax3 + 2bx ▪ Điều kiện cực trị ab  Ba cực trị ab  Một cực trị  2 a + b  Có cực trị a + b2  ▪ Cho A, B, C ba điểm cực trị, ta có: b3 + 8a cos BAC = b − 8a Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k hai điểm cực trị: b5 S = f ( x) f ( x) ABC −32a3 y = f ( x) − 18a Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị x = x0 rõ ràng ta nên gọi đường thẳng y = ax + b thay tọa độ hai điểm vào ⎯⎯ → Giải hệ tìm a, b TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a; b) Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a; b   f ( x0 ) = ▪ Nếu  hàm  f ( x0 )  số f ( x) đạt cực tiểu ▪ Bước 1: Tính y = f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x) = Tìm x j  (a; b) mà y không xác định ▪ Bước 2: Tính giá trị f (a), f (b) f ( xi ), f ( x j ) (nếu có) ▪ Bước 1: Tính y = f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x) = Tìm x j  (a; b) mà y không xác định ▪ Bước 2: Cần tính lim+ y, lim− y (Nếu thay (a; b) x →a x →b (−; +) ta tính thêm lim y ) x → ▪ Bước 3: So sánh tất giá trị bước để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ ▪ Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng ▪ Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b] ▪ Nếu hàm f ( x) nghịch biến [a; b]  max f ( x) = f (b)  max f ( x) = f (a )  x[a ;b ]  x[a ;b ]   f ( x) = f (a ) f ( x) = f (b)  xmin  xmin [a ;b ] [a ;b ] ĐẶC BIỆT TIỆM CẬN ĐỨNG  x ⎯⎯ → x0 ▪ Định nghĩa:  (x hữu hạn, y vơ →   y ⎯⎯ hạn), ta có tiệm cận đứng x = x0 Lưu ý: → x0 thay điều kiện x ⎯⎯ x ⎯⎯ → x0− (giới hạn bên trái) x ⎯⎯ → x0+ (giới hạn bên phải) ▪ Cách tìm TCĐ: Nếu x = x0 nghiệm mẫu số mà khơng phải nghiệm tử số x = x0 TCĐ đồ thị (với tập xác định có dạng D = K \  x0 ; x1 ;  ) ▪ Đồ thị hàm số y = TIỆM CẬN NGANG  x ⎯⎯ →  ▪ Định nghĩa:  (x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm → y0  y ⎯⎯ cận ngang y = y0 ▪ Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy NEXT NEXT → X = 10 ^10 ⎯⎯⎯ →= Bước 2: CALC ⎯⎯⎯ NEXT NEXT CALC ⎯⎯⎯ → X = −10 ^10 ⎯⎯⎯ →= Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y = y0 ax + b a d với (c  0, ad − bc  0) có TCĐ: x = − , TCN: y = cx + d c c  Nên nhớ, đồ thị có tối đa tiệm cận ngang SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k Xét hai đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) (C2 ) : y = g( x) Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị ▪ Bước : Lập phương trình hồnh độ giao ▪ Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , điểm (C1 ) &(C2 ) : f ( x) = g ( x) (*) (nếu có), suy y , y ▪ Điều kiện để (C1 ) (C2 ) có n điểm chung phương trình (*) có n nghiệm khác ▪ Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) phương trình (*) có nghiệm kép  f ( x) = g ( x) hệ sau có nghiệm :   f ( x) = g ( x) ax + b   (C ) : y = Tìm tham số để  cx + d cắt hai điểm phân biệt d : y =  x +  ▪ Bước : Viết phương trình hồnh độ giao ax + b điểm : =  x +  , đưa phương trình cx + d d  dạng g ( x) = Ax + Bx + C =  x  −  c     A  Tìm ⎯⎯→ m? ▪ Bước : Giải hệ  g   g  − d     c  (C ) : y = ax + bx + cx + d Tìm tham số để  cắt ba điểm phân biệt d : y =  x +  (Ta áp dụng cho trường hợp phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm đẹp) ▪ Bước : Viết phương trình hoành độ giao A   điểm : ax3 + bx2 + cx + d =  x +  , đưa Tìm ▪ Bước : Giải hệ điều kiện :  g  ⎯⎯→ m? phương trình dạng   g ( x0 )    ( x − x0 )  Ax + Bx + C  =    Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x = x0 , ta nhập vào máy chức g ( x)   giải phương trình bậc ba với m = 100 (có vận dụng kỹ chia Hoocner) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f ( x) điểm M ( x0 ; y0 )  (C) ▪ Bước 1: Tính đạo hàm y , từ có hệ số góc k = y( x0 ) ▪ Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị dạng y = k ( x − x0 ) + y0 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k ▪ Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính đạo hàm y ▪ Bước 2: Cho y( x0 ) = k , tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 ) ▪ Bước 3: Phương trình tiếp tuyến : y = k ( x − x0 ) + y0 DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f ( x) biết tiếp tuyến qua A( xA ; yA ) ▪ Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y = y( x0 )( x − x0 ) + y0 (*) với y0 = f ( x0 ) ▪ Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0 ▪ Bước 3: Thay x0 vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến  Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y = ax + b có hệ số góc k = a, tiếp tuyến vng góc đường (a  0) ; tiếp tuyến tạo với Ox góc  có hệ số góc k =  tan  a ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ thẳng y = ax + b có hệ số góc k = − 10 Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k ▪ Đường chéo: AC BD AC BD (caïn h) a a nên I tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ▪ Diện tích: SABCD (cạn h)2 a2 ; chu vi: p = 4a ▪ Vì ABN = ADM , ta chứng minh được: AM ⊥ BN IA = IB = IC = ID = I Hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB = a, AD = b 2 ▪ Đường chéo: AC = BD = a + b IA = IB = IC = ID = a + b nên I tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D ▪ Diện tích: S ABCD = a.b ; chu vi: p = 2(a + b) Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a Hình thoi: ▪ Đường chéo: AC ⊥ BD; AC = AI = AB.sin ABI = 2a.sin ABI ▪ Diện tích: S ABCD = AC.BD ; S ABCD = 2SABC = 2SACD = 2SABD Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B = D = 600 ( A = C = 1200 ) ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC = ACD; AC = a S ABC = S ACD a2 a2 = ; S ABCD = S ABC = B – THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: 7.1 Hình chóp tam giác Hình chóp: S h ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy tam giác cạnh a ▪ SH ⊥ ( ABC) với H trọng tâm (cũng trực tam) ∆ ABC D ▪ A H Sñ SH Sđ a2 h T hểtích V a2 h C B V h.Sñ 7.2 Tứ diện đều: 27 Góc cạnh bên mặt đáy: Góc mặt bên mặt đáy: ( (SAB),( ABC)) = SMH ( SA,( ABC)) = SAH = ( ( SBC ), ( ABC ) ) = SNH = ( SC ,( ABC ) ) = SCH Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngơ Quyền, Sơn Tây 160k ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V= 7.3 Hình chóp tứ giác đều: ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vng cạnh a ▪ SO ⊥ ( ABCD) với O tâm hình vng ABCD a3 12 ▪ Góc cạnh bên mặt ( ) ) = SB,( ABCD) = SBO 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy h SA Sđ S ABC h Thểtích V SA.S T hểtích V h.a2 ( (SAB),( ABCD)) = SMO = ( ( SBC ),( ABCD) ) = SNO Đáy tứ giác đặc biệt ABC ▪ h SA Sđ SABCD Thểtích V SA.SABCD ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABC ) = SBA    SC , ( ABC ) = SCA  Đáy tam giác ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SB, ( ABCD) = SBA    SC , ( ABCD) = SCA  Đáy tứ giác đặc biệt ▪ Đường cao h = SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABC ) = SAH    SC , ( ABC ) = SCH  ▪ Đường cao h = SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:  SA, ( ABCD) = SAH    SC , ( ABCD) = SCH  ( ( ( ( 28 SO Đáy tam giác ▪ 7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy a2 Góc mặt bên mặt đáy: đáy: SA,( ABCD) = SAO ( Sñ ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k C – TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Đặc biệt: M  A Đặc biệt M  A, N  B VS ANP SN SP = VS ABC SB SC VS ABP SP = VS ABC SC Cho hình chóp có đáy tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm cạnh SA, SB, SC Ta có: VS MNP SM SN SP = VS ABC SA SB SC Hình chóp có đáy hình bình hành với SM SN = y, = x, SB SA SQ SP = z, =t SC SD Khi đó: VS MNPQ VS ABCD = xyz + xyt + xzt + yzt 1 1 + = + x z y t Hình chóp có đáy đa giác Chẳng hạn: (MNPQR) (ABCDE) SM SN tỉ số: x = = SB SA SP SQ SR = = SC SD SE Khi đó: VS MNPQR = x3 VS ABCDE = D – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường: ▪ Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song ▪ Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành ▪ Thể tích: V h.Sđ Hình lăng trụ đứng: ▪ Các cạnh bên vng góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác Đáy tam giác Đáy tứ giác V = AH S ABC = AH S ABC  V = AH S ABCD = AH S ABC D Đáy tam giác Đáy tứ giác ▪ Thể tích: V h.Sñ với h = AA = BB = CC 29 ▪ Thể tích: V h.Sđ với h = AA = BB = CC = DD Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k Hình hộp: 3.1 Hình hộp chữ nhật: ▪ Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành ▪ Thể tích: V h.Sđ ▪ Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật V = abc với a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật 3.2 Hình lập phương: ▪ Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh V = a với a cạnh hình lập phương Tỉ số thể tích lăng trụ: Lăng trụ có đáy tam giác AM BN CP x= , y= , z= AA BB CC  Ta có: VABC MNP x + y + z = VABC ABC  Lăng trụ đáy hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng (Lăng trụ hình hộp thường hình hộp chữ nhật, hình lập phương) AM BN CP DQ x= , y= , z= ,t= AA BB CC  DD Ta có: VABCD.MNPQ VABCD ABC D = x+ y+ z +t x + z = y + t E – BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy hình vng, hình chữ nhật Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy tam giác ▪ d ( A, ( SBC ) ) = AH = 30 SA AK SA2 + AK ▪ d ( A, ( SBC ) ) = AH = ▪ d ( A, ( SCD ) ) = AK = SA AB SA2 + AB SA AD SA2 + AD = d ( D, ( SBC ) ) = d ( B, ( SCD ) ) Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k ▪ d ( B, ( SAC ) ) = BM ; d ( C , ( SAB ) ) = CN ▪ d ( SA, BC ) = AK ▪ ▪ ▪ ▪ d ( A, ( SBD ) ) = AF = = d ( C , ( SBD ) ) SA2 + AE d ( AD, SB ) = AH ; d ( AB, SD ) = AK d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = AK Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác ▪ d ( O, ( SBC ) ) = OH = ▪ d ( O, ( SCD ) ) = OH = SO.OK d ( A, ( SBC ) ) = 3d ( O, ( SBC ) ) = 3OH = d ( B, ( SAC ) ) = d ( C , ( SAB ) ) ▪ SO + OK d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) = 2OH = d ( A, ( SBC ) ) = d ( B, ( SAD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) = d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2OH d ( SA, BC ) = IK = d ( SB, AC ) = d ( SC , AB ) ▪ SO.OK = d ( O, ( SAB ) ) = d ( O, ( SBC ) ) = d ( O, ( SAD ) ) SO + OK = d ( O, ( SAB ) ) = d ( O, ( SAC ) ) ▪ ▪ SA AE = d ( AB, SD ) = d ( AD, SB ) = d ( AD, SC ) = F – MẶT TRỤ, MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: ▪ Đường cao: h = SO ( SO S gọi trục hình nón) ▪ Bán kính đáy: l h l A r = OA = OB = OM l ▪ Đường sinh: l = SA = SB = SM r O B M Hình thành: Quay  vng SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h = SO  r = OM 31 ▪ Góc đỉnh: ASB ▪ Thiết diện qua trục: SAB cân S ▪ Góc đường sinh mặt Một số công thức: ▪ Chu vi đáy: p = 2 r ▪ Diện tích đáy: Sđ =  r 1 ▪ Thể tích: V = h.Sđ = h. r 3 (liên tưởng đến thể tích khối chóp) ▪ Diện tích xung quanh: S xq =  rl ▪ Diện tích tồn phần: Stp = S xq + Sđ =  rl +  r đáy: SAO = SBO = SMO Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: ▪ Đường cao: h = OO ▪ Đường sinh: l = AD = BC Ta ▪ Bán kính đáy: MẶT CẦU ▪ Chu vi đáy: p = 2 r ▪ Diện tích đáy: Sđ =  r có: l = h Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên Một số cơng thức: r = OA = OB = OC = OD ▪ Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O, O ▪ Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD ▪ Thể tích khối trụ: V = h.Sđ = h. r ▪ Diện tích xung quanh: S xq = 2 r.h ▪ Diện tích tồn phần: Stp Sxq 2Sđ r h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Một số công thức: ▪ Tâm I , bán kính R = IA = IB = IM ▪ Đường kính AB = 2R ▪ Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình thành: Quay đường trịn ▪ Diện tích mặt cầu: S = 4 R đa diện mặt cầu đa diện mặt cầu AB  R qua tất đỉnh tiếp xúc với tất tâm I , bán kính R = quanh ▪ Thể tích khối cầu: V = đa diện mặt đa trục AB , ta có mặt cầu hình diện vẽ CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh Hình chóp góc vng ▪ Xét hình chóp có SA ⊥ ( ABC) ABC = 900 ▪ Ta có SAC = SBC = 900 nên mặt cầu ngoại tiếp 32 ▪ Xét hình chóp có SA ⊥ ( ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng ▪ Ta có: SAC = SBC = SDC = 900 Suy mặt cầu ngoại tiếp ▪ Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao SH = h ▪ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R= b2 2h ▪ Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO = h ▪ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp b2 hình chóp R = 2h Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngơ Quyền, Sơn Tây 160k hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán SC kính R = hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính SC R= Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy ▪ Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính R h Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy rñ ▪ Nếu đáy tam giác a ▪ Nếu đáy hình vng cạnh a rđ a ▪ Xét hình chóp có SA cạnh a rđ (đáy) SA h ; bán kính đường trịn ngoại tiếp ▪ Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b đáy rñ rñ a2 b2 ▪ Xét hình chóp có mặt bên (SAB ) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp SAB rb , d AB (SAB ) (đáy) (đoạn giao tuyến) ▪ Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R rđ d2 rb2 XIII HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz: ▪ Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc ▪ Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0) ▪ Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0) ▪ Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0;0;1) ▪ Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk  u = ( x; y; z ) Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: ▪ a  b = (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) ▪ a phương b  a = kb (k  R) a1 = kb1 a a a   a2 = kb2  = = , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 a = kb  ▪ ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 = b1  ▪ a = b  a2 = b2 a = b  3 ▪ a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 ▪ a = ▪ a ⊥ b  a.b =  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 33 2 2 ▪ a = a = a1 + a2 + a3 a12 + a22 + a22 ▪ cos(a, b ) = a.b a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k Tọa độ điểm: M ( x; y; z)  OM = ( x; y; z) Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta có: ▪ AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) ▪ AB = ▪ Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  x + x y + yB z A + z B  M A B; A ;   2  ▪ Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: Chiếu điểm trục tọa độ ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2  x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC G A B C ; A ; 3     QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ ▪ Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chi ế u o Ox ( Gi ữnguyê n x) M ( xM ;0;0) ▪ Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chi ế u o Oxy ( Gi ữnguyê n x, y) M ( xM ; yM ;0) ▪ Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chi ế u o Oy ( Gi ữnguyê n y) M (0; yM ;0) ▪ Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chi ế u o Oyz ( Gi ữnguyê n y, z) M (0; yM ; zM ) ▪ Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chi ế u o Oz ( Gi ữnguyê n z) M (0;0; zM ) ▪ Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chi ế u o Oxz ( Gi ữnguyê n x, z) M ( xM ;0; zM ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ ▪ M ( xM ; yM ; zM ) Đố i xứ n g qua Ox ( Gi ữnguyê n x; đổ i dấ u y, z) M ( xM ; yM ; zM ) ▪ M ( xM ; yM ; zM ) Đố i xứ n g qua Oxy ( Gi ữnguyê n x, y; đổ i dấ u z) M ( xM ; yM ; zM ) ▪ M ( xM ; yM ; zM ) Đố i xứ n g qua Oy ( Gi ữnguyê n y; đổ i dấ u x, z) M ( xM ; yM ; zM ) ▪ M ( xM ; yM ; zM ) Đố i xứ n g qua Oxz ( Gi ữnguyê n x, z; đổ i dấ u y) M ( xM ; yM ; zM ) ▪ M ( xM ; yM ; zM ) Đố i xứ n g qua Oz ( Gi ữnguyê n z; đổ i daá u x, y) M ( xM ; yM ; zM ) ▪ M ( xM ; yM ; zM ) Đố i xứ n g qua Oyz ( Gi ữnguyê n y, z; đổ i dấ u x) M ( xM ; yM ; zM ) Tích có hướng hai vectơ:  Định nghĩa: Cho a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a  a , b  =   b2 [a, b] = a b sin ( a , b ) [a, b] ⊥ b [a, b] ⊥ a  Tính chất: a1 a1 a2  ;  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) b1 b1 b2  a3 a3 ; b3 b3 ▪ Điều kiện phương hai vectơ a & b ▪ Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c  a, b  = với = (0;0;0)   [a, b].c = ▪ Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD =  AB, AD  ▪ Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD] AA ' ▪ Diện tích tam giác ABC: SABC = ▪ Thể tích tứ diện: VABCD =  AB, AC   AB, AC  AD  6 Phương trình mặt cầu: Dạng 1: (S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R Mặ t cầ u ( S) coù 2 Dạng 2: (S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = taâ m I (a; b; c) R Mặ t cầ u ( S) có R2 2 tâ m I (a; b; c) R a2 b2 c2 d  Phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu  a + b2 + c − d  2 Bài tốn 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm M ▪ Bước 1: Tính bán kính R = IM ▪ Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 34 Bài tốn 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB ▪ Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính R= AB = IA = IB Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k ▪ Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng: ▪ Mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n = (a; b; c) phương trình ( P) : a( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = (*)  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Đặc biệt: ▪ Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng ax + by + cz + d = , mặt phẳng có VTPT n = (a; b; c) với a2 b2 c2 VTPT VTPT VTPT Mp(Oyz ) : x = ⎯⎯⎯ → n(Oyz ) = (1;0;0), mp(Oxz ) : y = ⎯⎯⎯ → n(Oxz ) = (0;1;0), mp(Oxy) : z = ⎯⎯⎯ → n(Oxy ) = (0;0;1) Bài tốn 6.1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (Q) cho trước Bài tốn 6.2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với với đường thẳng d cho trước ▪ Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT n( P ) = n(Q ) nên ▪ Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P ) = ud nên phương trình phương trình viết theo (*) Bài tốn 6.3 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB viết theo (*) Bài tốn 6.4 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C ▪ Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính AB ▪ Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy  AB, AC  ▪ Bước 2: Phương trình mp( P) qua I VTPT n = AB qua A ▪ Bước 2: Phương trình mp( P) Bài tốn 6.5 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M  d ▪ Bước 1: Chọn điểm A  d VTCP ud Tính  AM , ud  VTPT n =  AB, AC  Bài toán 6.6 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c ) với a.b.c  ▪ Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn ( P) : x y z + + = a b c qua M ▪ Bước 2: Phương trình mp( P) 35 VTPT n =  AM , ud  Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( P) : ax + by + cz + d1 = (Q) : ax + by + cz + d =  M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P) : ax + by + cz + d = ▪ Cho  ▪ Khi đó: d ( M , ( P) ) = ▪ Cho hai mặt phẳng  ax0 + by0 + cz0 + d a + b2 + c Góc hai mặt phẳng ( P) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 =  (Q) : a2 x + b2 y + c2 z + d = ▪ Góc ( P) & (Q) tính: ( nP nQ = nP nQ ▪ Khi đó: d ( ( P), (Q) ) = d1 − d a + b2 + c với d1  d2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: ▪ Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình: cos ( ( P), (Q) ) = Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( P) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = Ta có:  (Q) : a2 x + b2 y + c2 z + d = a1 b1 c1 d1 = =  a2 b2 c2 d a b c d ▪ ( P)  (Q)  = = = a2 b2 c2 d ▪ ( P ) (Q)  a1a2 + b1b2 + c1c2 a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22 ) 0  Chú ý:  ( P), (Q)  90 ▪ ( P) & (Q) cắt  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2 ▪ ( P) ⊥ (Q)  a1a2 + b1b2 + c1c2 =  Lưu ý: Các tỉ số có nghĩa mẫu khác Ví trị tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax + by + cz + d = mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R ▪ Trường hợp 1: d ( I , ( P) )  R  ( P) ( S ) khơng có điểm chung ▪ Trường hợp 2: d ( I , ( P) ) = R  ( P) ( S ) có ▪ Trường hợp 3: d ( I , ( P) )  R  ( P) cắt ( S ) theo giao điểm chung Khi ta nói ( P) tiếp xúc ( S ) ( P) tiếp diện (S ) tuyến đường tròn Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r = R − IH với IH = d ( I , ( P) ) Ta có: IM ⊥ ( P) với M tiếp điểm Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u = (u1; u2 ; u3 )  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác , có giá trùng với d song song với d  x = xA + u1t  ▪ Phương trình tham số d :  y = y A + u2t với t tham số z = z + u t A  ▪ Phương trình tắc d : x − xA y − y A z − z A = = u1 u2 u3 với u1.u2 u3  36 Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k a ⊥ d d có VTCP là: ud =  a, b   Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác khơng phương cho   b ⊥ d  7.1 Ví trị tương đối hai đường thẳng: qua M Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I ❖ u1 , u2 0 VTCP u2 Bước II d1   ❖ u1 , MN     Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo Kết luận ❖ u1 , MN  = Hai đường thẳng d1 , d2 song song trùng ❖ u1 , u2 VTCP u1 qua N , d2 d2 d1 d2 ❖ u1 , u2 M N d1 cắt d2 ❖ u1 , u2 M N d1 & d2 chéo 7.2 Ví trị tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 u1 t Xét vị trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng ( P) : ax z z0 u3 t Bước I: ❖ Thay phương trình tham số d vào phương trình ( P ) , ta PT (*): a( x0 u1t ) b( y0 u2t ) c(z0 u3t ) d by cz d Bước II:Giải PT (*), ta gặp trường hợp sau ❖ PT (*) vô nghiệm d ❖ PT (*) có nghiệm t = t0 d cắt ( P ) điểm ❖ PT (*) có vô số nghiệm t d Kết luận ( P) ( P) 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: ▪ Bước 1: Chọn điểm A  d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc) ▪ Bước 2: d ( M , d ) = ud , AM    ud 7.4 Khoảng cách hai đường thẳng: Trường hợp 1: Hai đường thẳng song song Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo d1 , d d1 , d ▪ Bước 1: Chọn điểm M (đẹp) thuộc d1 ▪ Bước 2: d ( d1 , d ) = d ( M , d ) (xem 7.3) ▪ Bước 1: Ghi rõ d1 qua A ( ) VTCP u1 = ( ) ▪ Bước 2: Tính: d ( d1 , d ) = , d2 qua B ( ) VTCP u2 = ( ) u1 , u2  AB   u1 , u2    7.5 Góc hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d2 có VTCP u1 , u2 ( ) ⎯⎯ → Ta có: cos d1 , d = u1.u2 u1 u2 7.6 Góc đường thẳng mặt phẳng: 37 Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k  Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P) có VTPT n 8.2 Tìm điểm A đối xứng với A qua (P ) ❖ Gọi d đường thẳng qua A ⊥ ( P) 8.5 Viết phương trình đường thẳng d  hình chiếu đường thẳng d mp ( P)  xA = xH − x A  ❖ Ta có H trung điểm AA   y A = yH − y A z = 2z − z H A  A ❖ Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d) ❖ AH ⊥ d  AH ud = ⎯⎯ → Tìm t ⎯⎯ → Tọa độ H qua A Viết pt mp( P) ( P) ⊥ d ❖ Gọi H = d  ( P) Thay pt tham số d vào ❖ Gọi ( P) Cách  xA = xH − x A  ❖ Ta có H trung điểm AA   y A = yH − y A z = 2z − z H A  A Trường hợp 1: d song song mp (P) Trường hợp 2: d cắt mp (P) điểm ❖ Lập phương trình mp(Q) biết (Q) chứa d (Q) ⊥ ( P) : (Q) qua điểm A  d (Q) có VTPT nQ = ud , nP  ❖ Lập phương trình d  giao tuyến hai mp (P) (Q): Chọn hai điểm M, N thuộc d  cách thay Tìm x = ⎯⎯ → y, z thay Tìm y = ⎯⎯ → x, z (đối với hệ hai pt (P), (Q)) Viết pt d qua M, N [ XIV GẮN TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gắn tọa độ hình chóp 1.1.Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: 38 u.n Viết pt tham số d pt mp (P) ta tìm tọa độ H 8.4 Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d u.n với VTCP d VTPT (P) ❖ Gọi H = d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H Cách 8.3 Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d ) Hình chiếu điểm đối xứng: Phương pháp Bài tốn 8.1 Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P ) ( ⎯⎯ → Ta có: sin d , ( P) = Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k Đáy tam giác ▪ Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB = a = ▪ Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A  0; ;0  , B  − ;0;0  ,      1   C  ;0;0  , S  0; ; OH  2   = SA  Đáy tam giác vuông B ▪ Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ điểm: B  O ( 0;0;0 ) , A ( 0; AB;0 ) , C ( BC , 0;0 ) ,   S  0; AB; BH  = SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật ▪ Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ A  O ( 0; 0; ) , B ( 0; AB;0 ) , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA ) 39 Đáy tam giác cân A ▪ Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A ( 0; OA;0 ) , B ( −OB;0;0 ) ,   C ( OC ;0;0 ) , S  0; OA; OH  = SA   Đáy tam giác vuông A ▪ Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ điểm: A  O ( 0;0;0 ) , B ( 0; OB;0 ) , C ( AC;0;0 ) , S ( 0;0; SA ) Đáy hình thoi ▪ Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ O ( 0;0;0 ) , A ( OA;0;0 ) , B ( 0; OB;0 ) , C ( −OC ;0;0 ) Đáy tam giác cân B ▪ Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ điểm: O ( 0;0;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,   C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH  = SA   Đáy tam giác thường ▪ Dựng đường cao BO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ điểm: O ( 0;0;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,   C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH  = SA   Đáy hình thang vng ▪ Chọn hệ trục hình vẽ, a = ▪ Tọa độ A  O ( 0; 0; ) , B ( 0; AB;0 ) , C ( AH ; AB;0 ) , Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA )   D ( 0; −OD;0 ) , S  OA;0; OH  = SA   1.2.Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác, mặt bên tam Đáy tam giác cân C (hoặc Đáy hình vng-hình chữ nhật giác thường đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều) ▪ Vẽ đường cao CO ABC Chọn hệ trục hình, a = ▪ Ta có: O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) ,   B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S  0; OH ; OK  = SH   ▪ Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a = ▪ Ta có: O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) , ▪ Dựng hệ trục hình, chọn a = ▪ Ta có: A  O ( 0;0;0 ) , B ( AB;0;0 )   C ( AB; AD;0 ) , D ( 0; AD;0 ) , S  AH ;0; AK  = SH   B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S ( 0;0; SO ) 1.3.Hình chóp Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm: O ( 0;0;0 ) , hình vẽ a = Tọa độ điểm:        AB   BC AB AB   AB      O ( 0;0;0 ) , A  0; ;0;0  , ;0  , B  − A ;0;0  , B  0; ;0;0  , ;0  , C  −  2           =OB  =OA      =−OA    BC  AB   C ;0;0  , D  0; − ;0      =OB      AB  S ( 0;0; SO ) S  0; ; OK  = SH   =OH   Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: A  O ( 0;0;0 ) , B ( 0; AB;0 ) , 40 Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với O ( 0;0;0 ) , Thầy Ngơ Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k C ( AD; AB;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , B ( 0; OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , D ( AD;0;0 ) , D ( 0; −OD;0 ) , A ( −OA;0; AA ) , B ( 0; OB; AA ) , A ( 0;0; AA ) , C  ( OC ;0; CC  ) , D ( 0; −OD; DD ) B ( 0; AB; AA ) , C  ( AD; AB; AA ) , D ( AD;0; AA ) Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  O ( 0;0;0 ) , A  ;0;0  ,    AB  B  − ;0;0  , C ( 0; OC ;0 ) ,     A ( OA;0; AA ) ,  AB  B  − ;0; BB  , C  ( 0; OC ; CC  )   Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O ( 0;0;0 ) , A ( OA;0;0 ) , B ( −OB;0;0 ) , C ( 0; OC ;0 ) , A ( OA;0; AA ) , B ( −OB;0; BB ) , C  ( 0; OC ; CC  ) 2.2.Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm cạnh tam chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm giác đáy thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh ▪ Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, A ▪ Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA = BB = CC  41 ▪ Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, D, A ▪ Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA = BB = CC = DD Thầy Ngô Long – Quảng Oai – 0988666363 – Quảng Oai 200k/tháng, Ngô Quyền, Sơn Tây 160k ... ▪ ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 = b1  ▪ a = b  a2 = b2 a = b  3 ▪ a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 ▪ a = ▪ a ⊥ b  a.b =  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 33 2 2 ▪ a = a = a1 + a2 + a3 a12 + a22 + a22 ▪ cos(a,... −1  ? ?3   ? ?3  a =−1; b = ▪ 32 x dx =  x dx = 1 6x x.3x −1 dx =  x.3x dx =  x dx = +C 3 3ln a = 4; b = − MR ⎯⎯→  cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ▪ ▪ 1 −1 dx = +C = − +C (2 x − 3) 2x... SỐH ẠN G CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN V CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Định nghĩa: ▪ Dãy số ( un ) gọi cấp số cộng ▪ Dãy số ( un ) gọi cấp số nhân khi un +1 = un + d với n * số ▪ Cấp số cộng