CASIO NHỊ THỨC NEWTON – PHẦN 2

KỸ NĂNG CASIO VỀ NHỊ THỨC NEWTON - PHẦN  Đặt vấn đề: Bài toán độc lập sau ta không xét ( ax p + bx q ) p, q ∈ ¥ * n 14 Chẳng hạn: Tìm hệ số ( 3x − x ) = x11 ( 3x − ) 11 C118 311−8 ( −2 ) = 1140480 x khai triển nhị thức ( 3x hỏi hệ số − 2x) 11 tìm hệ số x3 khai triển xm 11 , ta đưa ( 3x − ) 11 đáp số tốn khơng có khó khăn Kỹ tìm hệ số lũy thừa xm : n Sau ta xét toán tìm hệ số xm khai triển  p b ax + q ữ p, q Ô + x   Bài tốn tìm hệ số xm khai triển nhị thức thường xuyên gặp, ta quy ước số hạng không chứa x tương đương hệ số x0 (Bài tốn trình bầy phần 1) Để có kỹ “mới” phải có “công thức mới”, đương nhiên đơn giản, dễ hiểu dễ áp dụng tốt Trước hết ta xét vài ví dụ dễ sau khái quảt hóa Thực chất khơng phải cơng thức gì, khác ta thực hành thi trắc nghiệm nên phải vận dụng khác đi, ta "tính bo" chậm! Ngồi em học sinh chưa học tốt nhị thức thực "ngon lành", đặc niệt em ban xã hội! 1.1 Các ví dụ giải tốn Ví dụ 1: (Sưu tầm) Tìm hệ số khơng chứa x khai triển biểu thức A 240 B 250 C 260 1  P ( x) =  2x − ÷ x   D 270 Hướng dẫn cách làm: + Xem quy đồng mẫu thức ngoặc + Ta cần tìm số mũ 0, nên ta tính tỉ số  x3 −   ÷  x  (nhẩm khơng cần ghi) k 2×6 + = = = n 3× 6 (có thể bấm máy)  (Lấy lũy thừa n nhân với bậc mẫu + m) chia cho số mũ nhân n  Máy tính rút gọn 2/3 ta đổi cho mẫu = n 6C × 24 × ( −1) + Đến ta nhập máy xong: bấm = cho ta 240 Trên ta trình bầy dài dịng, thực tế khơng cần ghi gì! 40 Ví dụ 2: Hệ số A 1000 x 31 khai triển 9880 B (Dùng máy tính ghi k n   x+ ÷ x   9870 C Hướng dẫn cách làm: × 40 + 31 37 = × 40 40 ): Nhập máy nào! 40C 37 D 9680 (có mẫu 40 không cần đổi) bấm = cho ta 9880 Ví dụ 3: Tìm hệ số A 3671 x3 B khai triển: 6330 (Dùng máy tính ghi k n    2x + ÷ x   là: 4600 C Hướng dẫn cách làm: ): 2×9 + = 3× 9 D 4608 (có mẫu khơng cần đổi) 9C × 27 bấm = cho ta 4608  1 x + ÷   x  Ví dụ 4: (Sưu tầm) Số hạng x4 khai triển là: 4 C8 x C8 x −C8 x −C83 x A B C D Nhập máy nào! Hướng dẫn cách làm: (Dùng máy tính ghi + Đổi đơn giản C83 = C85 k n ): 1× + = 4×8 (có mẫu không cần đổi) chọn A (Bạn chọn C, D kỳ lạ!) 12 Ví dụ 5: [SỞ GD YÊN BÁI] Hệ số số hạng chứa ? x4 khai triển  x 3  − ÷ , ( x ≠ 0) 3 x A 924 B (Dùng máy tính ghi k n ): 81 C 40095 Hướng dẫn cách làm: × 12 + = → × 12 12 D 55 (mẫu khác 12 cần đổi cho mẫu = 12) 1 12C ×  ÷ ( −3) 3 Nhập máy nào! bấm = cho ta 55/9 Bạn nhẩm tốt phần tính tỉ số theo kiểu trên: khơng cần dùng Casio + bút!  Nói thật làm theo cách nhanh! (Chiêu võ thứ tám) Ví dụ 6: (Đề Tham khảo 2018) Với n số nguyên dương thỏa mãn Cn1 + Cn2 = 55 , số hạng không chứa x khai triển n  2 x + ÷ x   biểu thức A 322560 bằng: B 3360 C 80640 D 13440 Hướng dẫn cách làm: XC1 + XC − 55 + Máy tính hỗ trợ tìm n: Calc tìm X = 10 = n + Nói ln đi: hai nhân 10 phần năm nhân 10 hai phần năm bốn phần 10 10C × 14 × 26 bấm = cho ta 13440 (Hoặc ghi XC4 nhân mũ 6)  Sau “nhẩm” công thức “khủng” nhé! + Ghi: 10    x + − 1÷ x   x Số hạng không chứa khai triển 1951 1950 3150 A B C Hướng dẫn cách làm: Ví dụ 7: D −360 Ta nhẩm cơng thức tính, ghi tí vậy: 10 k 10 1 10− k   k  C10  x + ÷  x + − 1÷ = ∑ ( −1) x  x   k =0 Tỉ lệ ngoặc sau (chỉ số i) 1/3 nên ta nhân ngược trở i = 1X, k = 3X, ∑ ( −1) 10−3 X x=0 Nhập: × 10C X × XCX   bấm bấm = cho ta 1951 n 1  1 + x + ÷ x  x Ví dụ 8: Tìm số hạng khơng chứa khai triển An2 − Cnn+−12 = 14 − 14n nguyên dương thỏa mãn 73789 73788 72864 A B C Hướng dẫn cách làm: , biết n≥2 D số 56232 MP − ( M + 1) C ( M − ) − 14 + 14M + Máy tính hỗ trợ tìm n: Calc tìm n = 12 + Nói ln đi: tách số ra, tỉ lệ phía sau 1/2, nên i = X, k = 2X ∑ ( 1) + Ghi: 12− X x =0 × 12C X × XCX   bấm = cho ta 73789 MỘT ỨNG DỤNG TO LỚN TA MỞ RỘNG THÊM!  Nhận xét 1: n Các ví dụ có số mũ ngun dương, có dạng: + Các số k, n tổ hợp cần tính thỏa mãn: + Hệ số xm là: nCX × a X b n− X  p b   ax + q ÷ x   k q×n + m X = = n ( p + q) × n n (cùng mẫu n) Các biểu thức phù hợp với em HS lớp 11, sau ta xét thêm ví dụ mà công thức cho lũy thừa hữu tỉ thuộc lớp 12, tức có chứa thức ! Ví dụ 9: (THPT KIM LIÊN HÀ NỘI 2019) Số hạng không chứa x khai triển  3  x+4 ÷ x  A bằng: B 35 C 45 Hướng dẫn cách làm: D + Nhẩm đổi thức lũy thừa hữu tỉ ta có số (dưới mẫu trước) 1/4 1/3 + (Dùng máy tính k n ): +0 = 1 1 7 + ÷  3 7C Ghi bấm = cho ta 35  Đối với em lớp 11, ta thử đổi biến xem sao? 12 Đặt 1 x = y⇒ x = y ;4 = x y dụ đầu :    y + y3 ữ k 7ì3+ = = n 7×7 ta có biểu thức ta có Ví dụ 10: (Sưu tầm) bit nẻ Ơ 7C n +1 n õy ta tính theo ví n C n + - C n+3 = 7(n+3) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển ( x + x )n bằng: A 324 B 456 C 268 D 495 Hướng dẫn cách làm: + Máy tính tìm n: ( M + ) C ( M + 1) − ( M + 3) CM − ( M + 3) Calc tìm n = 12 + Nhẩm đổi thức lũy thừa hữu tỉ ta có số (dưới mẫu trước) 5/2 + (Dùng máy tính k n ): × 12 + 8 = →  12  12  + ÷ 2  Ghi 12C bấm = cho ta 495  Nhận xét 2: Để nhanh hơn, tức tính k trực tiếp cách khơng nhân n mẫu Khi ta khơng n phải quy đồng gì: chẳng hạn  p b   ax + q ÷ x   k= ta tính nq + m p+q x8 2  f ( x) =  − 5x3 ÷ x  MH: Xác định hệ số khai triển sau: A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000  Thì nhẩm k = (8+8)/4 = nhập 8C4 ×(-5)4×24 bấm = (nhanh rồi!) Đến mời bạn luyện tập sau! 1.2 Luyện tập: Câu 1: (Sưu tầm) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton 21    x − ÷ , ( x ≠ 0) x   −2 C A 21 bằng: B 28 C21 C 27 C21 ( x + )15 x D −28 C21 Câu 2: Tìm hệ số độc lập với x khai triển: C1510 310 C159 39 C1512 310 C1511 311 A B C D 10 1  x− ÷   x  Câu 3: Số hạng không chứa x khai triển là: 5 C10 C10 −C10 −C104 A B C D Câu 4: (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ 2019) Tìm số hạng không 18 chứa x khai triển A  x 4  + ÷ 2 x 29 C189 B với x≠0 211C187 Câu 5: (Sưu tầm) Tìm số hạng không chứa n    x x + ÷ , ( x > 0) Cn2 − Cn1 = 44 x   , biết 165 238 A B x C 28 C188 khai triển nhị thức Newton C 485 g ( x) = ( Câu 6: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: A 24310 B 213012 D 8C1810 D x + x3 )17 525 ( x > 0) C 12373 D 139412 n  7  +x ÷ x  x 26 Câu 7: Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton , biết n 20 C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = − A 210 B 213 C 414 D 213 Câu 8: Xác định hệ số A 1312317 x8 2  f ( x) =  − x ÷ x  khai triển sau: B 76424 C 427700 Câu 9: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần năm 2017-2018) D 700000 Cho số nguyên dương n khai triển biểu thức 43758 A thỏa mãn n  1 x + ÷ x  2Cn1 + 3Cn2 + + ( n + 1) Cnn = 2621439 31824 B 18564 C Số hạng không chứa x D Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần năm 2017-2018) Cnn−−46 + nAn2 = 454 n x4 Với số tự nhiên thỏa mãn , hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức n 2 3  −x ÷ x  x≠0 Niu-tơn ( với ) 1972 786 1692 −1792 A Câu 11: Cho n B C số nguyên dương thỏa mãn D Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + + 2n Cnn = 14348907 Hệ số n 10 số hạng chứa x khai triển biểu thức −1365 32760 A B  1 x − ÷ x   ( x ≠ 0) C 1365 D −32760 Câu 12: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần năm 2017-2018) Biết tổng hệ số ba số hạng đầu n khai triển k n n−k   k  2 x − = Cnk ( −1) ( x )  ÷ ∑  ÷ x  k =0  x 49 Khi hệ số số hạng chứa x3 khai triển A 60x B 60 C −160 D −160x3 Một số kỹ khác: Trong phần trước xét tốn liên quan đến tìm hệ số xm khai triển ( ax p + bx q ) p, q Ô n nh thc Niu tn dng (*) Trong phần ta xét thêm số kỹ khác đưa tích hay tổng (*), 2.1 Ví dụ: Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2048, n ∈ ¥ * Ví dụ 11: Cho ( x − 1) ( x + ) A 8098 Tìm hệ số x19 khai triển n B 8960 C 8090 D 8906 Hướng dẫn: M ∑ ( MCX ) − 2048 Nhập x=0 dùng CALC với M = 11 , X = kết 0, ta có M = n = 11 ( x − 1) ( x + ) Như ta có khai triển ∑ 9CX × ( −1) Nhập X 9− X x=8 11 Lấy 19 – 11 = : × 11C ( 19 − X ) × 11−( 19 − X )   bấm = ta 8960 ( x + 2) n = an x n + an−1 x n −1 + + ak x k + + a1x + a0 , n ∈ ¥ * Ví dụ 12: Cho biểu thức an−9 > an−8 an−9 > an−10 n Biết Giá trị bằng: 13 14 12 A B C D 15 Hướng dẫn: Ta thấy ak = Cnk 2k vào MODE nhập vào hai hàm: F ( X ) = XC × 29 − XC × 28 , G ( X ) = XC × 29 − XC10 × 210 start 10, end 15, step X = 13 ta hai hàm dương Ví dụ 13: Cho đa thức: P ( x ) = ( x + 1)8 + ( x + 1)9 + ( x + 1)10 + ( x + 1)11 + ( x + 1)12 Khai triển rút gọn ta P(x) = A 715 a0 + a1 x + a2 x + + a12 x12 B 720 Tìm hệ số C 700 a8 D 730 Hướng dẫn: ∑ ( (8 + X)CX ) Nhập vào cơng thức: x =0 bấm = ta có kết 715 Ví dụ 14: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần – năm 2017 – 2018) Với n Sn = số tự nhiên lớn , đặt A B 1 1 + + + + 3 C3 C4 C5 Cn C Tính lim S n D Hướng dẫn: Theo quy tắc tìm giới hạn thơng thường, nhập:   M ∑  XC ÷ x =3 CALC nhập M = 400 ta có 1,49998 chọn B Ví dụ 15: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Với mãn 1 1 + + + + = C2 C3 C4 Cn A 61 90 Tính giá trị biểu thức 59 90 B C 29 45 n∈¥,n ≥ Cn5 + Cn3+ P= ( n − 4) ! D 53 90 Hướng dẫn: Ở ta đồng thời tìm n tính P, nhập: M MC + ( M + ) C   M = M + 1: A = ∑  ÷− : B = ( M − 4) ! x =  XC  CALC nhập M = bấm = liên tục A = đọc kết B Đs M = 10 Ví dụ 16: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Tính tổng P = ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ×××+ ( Cnn ) A Cnn theo Cn2 B n C C2nn D C22nn Hướng dẫn: Cách 1: Theo PP loại trừ: loại A, D Khi n lớn P có (C ) 2 n nên loại B Cách 2: ∑ ( ( 3CX ) Sử dụng Casio nhập x=0 ) bấm = ta có kết 20 tương ứng C63 thỏa Ví dụ 17: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tính tổng 2 2017 2017 2018 2018 2 C2018 + C2018 + + ( ) ( ) ( C2018 ) + ( C2018 ) 2018 2017 S= S= A 2018 C4036 2018 S= B 2018 C4036 2018 S= C 2018 1009 C2018 2019 S= D 2018 2018 C4036 2019 Hướng dẫn: Nếu dùng tự luận biến đổi gần trang, để nguyên nhập máy máy báo lỗi tổ hợp q lớn! Cơng thức khơng phụ thuộc n ta cho n nhỏ, chẳng hạn n = 10 Nhập: 10  X ∑  11 − X × ( 10CX ) x =1  ÷  bấm = ta có 167960 Bấm Ans/20C10 ta có 10 11 , chọn D Ví dụ 18: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần năm 2017-2018) Hệ số số hạng chứa −6432 A x khai triển −4032 B (x − 3x + ) −1632 C D −5418 Hướng dẫn: Vì tốn hỏi m = > n = nên ta phân tích nhân tử (x − x + ) = ( x − 1) 6 ( x − 2) ∑ 6CX × ( −1) x =1 X ta nhập cơng thức: × 6C ( − X ) × ( −2 ) 5− X   bấm = cho ta kết −5418  Trong phần ta áp dụng công thức tổng quát tam thức bậc hai Ví dụ 19: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần – năm 2017 – 2018) Với thỏa mãn (x 3Cn3+1 − An2 = 52 ( n − 1) + y2 ) Trong khai triển biểu thức y Tk x 34 hệ số số hạng mà tổng số mũ Tính 54912 1287 2574 A B C Hướng dẫn: n D , gọi n∈¥* Tk 41184 + Tìm n: ( X + 1) X ( X − 1) − X ( X − 1) − 52 ( X − 1) 3! Shift Solve 10 = ta có n = 13 + Tìm hệ số: Vì yêu cầu tổng số mũ 34 nên cho y = x = 0.01 gán vào A ( F ( X ) = 1068 13CX × ( A3 ) Vào Mode ghi 13− X ( 2A ) X ) start 1, end 12, step Với X = ta có F(X) = 41184 Chọn D n Ví dụ 20: (SGD Phú Thọ – lần - năm 2017 – 2018) Cho số nguyên dương thỏa n S = 22 Cn2 − 32 Cn3 + L + ( −1) n Cnn C21n + C23n + L + C22nn−1 = 512 mãn Tính tổng S =4 S =5 S =6 S =7 A B C D Hướng dẫn: Ở ta vừa tìm n vừa tính S, ta nhập: M M x =1 x=2 ( M = M + 1: A = ∑ ( MC ( X − 1) ) − 512 : B = ∑ ( −1) × X × MCX X ) CALC nhập M = bấm = liên tục A = bấm = đọc kết (M = 5, S = 5) Dưới mời bạn luyện tập 2.2 Luyện tập: Câu 1: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Tìm số tự nhiên Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2100 − n − + + + + = 1.2 2.3 3.4 ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) A n = 101 B Câu 2:Trong khai triển nhị thức b nhau? A Câu 3: a15 ? 116280 ( + x ) + 2.( + x ) B n = 98 352716 b a n = 99 D n = 100 21  ÷ ÷  , tìm hệ số số hạng có số mũ a C + 3.( + x ) + + 20 ( + x ) thỏa mãn C  a +  b  n 54264 20 D 293930 = a0 + a1x + a2 x + + a20 x 20 Tìm A 400995 B 15610 C 5507725 D 1855 Câu 4: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Tìm hệ số số hạng chứa x9 khai triển nhị thức Newton 4620 1380 A B ( + 2x) ( + x ) C 9405 11 D 2890 Câu 5: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Tìm hệ số số hạng chứa triển A (1+ x + x 582 126 + x3 ) 10 B Câu 6: Cho khai triển: A x5 (1+ x + x 1902 C 7752 + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a15 x15 B D 128 C 102 Tính a10 CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG! HẸN GẶP LẠI TRONG BÀI VIẾT SAU! 252 ? D 101 khai ... sau! 1 .2 Luyện tập: Câu 1: (Sưu tầm) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton 21    x − ÷ , ( x ≠ 0) x   ? ?2 C A 21 bằng: B 28 C21 C 27 C21 ( x + )15 x D ? ?28 C21 Câu 2: Tìm... sau: A 24 310 B 21 30 12 D 8C1810 D x + x3 )17 525 ( x > 0) C 123 73 D 1394 12 n  7  +x ÷ x  x 26 Câu 7: Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton , biết n 20 C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n... 20 18 2 C2018 + C2018 + + ( ) ( ) ( C2018 ) + ( C2018 ) 20 18 20 17 S= S= A 20 18 C4036 20 18 S= B 20 18 C4036 20 18 S= C 20 18 1009 C2018 20 19 S= D 20 18 20 18 C4036 20 19 Hướng dẫn: Nếu dùng tự luận biến